Эллиптические координаты в пространстве

Эллиптические координаты в пространстве. В эллиптической системе координат точка М в пространстве ог ределяется параметрами тре.т пересекающихся в этой точке поверхностей второго порядка, софокусных заданной. Пусть [c.453]

Эллиптические координаты в пространстве. Мы нашли (п. 286) [c.497]

В некоторых случаях получаемые таким образом эллиптические координаты в гильбертовом пространстве образуют счетный набор. Однако возможен и случай непрерывного спектра, когда набор координат получается континуальным. В этом случае переход от исходной точки гильбертова (скажем, функционального) пространства к континуальному набору эллиптических координат этой точки может рассматриваться как нелинейное преобразование функционального пространства. Это преобразование, по аналогии с преобразованием Фурье, можно назвать преобразованием Якоби исходной функции сопоставляется функция, выражающая зависимость континуальной эллиптической координаты от ее номера (т. е. номера на оси спектрального параметра). Вероятно, исследование функционально-аналитических свойств прямого и обратного преобразований Якоби — дело не слишком далекого будущего. [c.435]

Эллиптические координаты. Рассмотреть в евклидовом пространстве п ( >2) измерений, в котором xi,. ....являются ортогональными декартовыми координатами, уравнение [c.380]

Это и будут искомые выражения для координат х в функциях от д, если в них под F(X) подразумевается выражение (19). Мы имеем, таким образом, одно-однозначное соответствие между п эллиптическими координатами и точками пространства со всеми положительными декартовыми координатами (т. е. из первого квадранта при ге = 2, из первого октанта при л = 3 и т. д.). [c.381]

В обычно применяемых методах определение движения свободной точки в пространстве под влиянием ускоряющих сил состоит в интегрировании трех обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, а определение движения системы свободных точек, взаимно притягивающихся или отталкивающихся, — в интегрировании системы подобных уравнений, число которых втрое больше числа притягивающихся или отталкивающихся точек, если только мы предварительно не уменьшим это последнее число на единицу, рассматривая только относительные движения. Таким образом, в солнечной системе, если мы рассматриваем только взаимные притяжения Солнца и десяти известных планет [ ], определение движений последних относительно первого при помощи обычных методов сводится к интегрированию системы тридцати обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, связывающих координаты и время, или же, при помощи преобразования Лагранжа, — к интегрированию системы шестидесяти обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, связывающих время и эллиптические элементы. При помощи этих интегрирований тридцать переменных координат или шестьдесят переменных элементов могут быть найдены, как функции времени. В методе, предложенном в данной работе, задача сводится к отысканию и дифференцированию единственной функции, которая удовлетворяет двум уравнениям в частных производных первого порядка и второй степени подобным же образом всякая другая динамическая задача, относящаяся к движениям (как бы многочисленны они не были) любой системы притягивающихся или отталкивающихся точек (даже если мы предполагаем, что эти точки ограничены какими-либо условиями связи, совместными с законом живой силы), сводится к изучению одной центральной функции, форма которой определяет и характеризует свойства движущейся системы и определяется двумя дифференциальными уравнениями в частных производных первого порядка в сочетании с некоторыми простыми соображениями. Таким образом, по крайней мере интегрирование многих уравнений одного класса заменяется интегрированием двух уравнений другого класса, и даже если считать, что этим не достигается никакого практического облегчения, тем не менее можно получить некое интеллектуальное наслаждение от сведения, пожалуй, самого сложного из всех исследований. [c.176]

Эллиптические координаты. Прежде, чем перейти к изучению распределения главных осей инерции в пространстве, познакомимся с той системой криволинейных координат, которая носит название эллиптиче-ской. Рассмотрим равенство [c.260]

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ. КВА. РАТУРА ПОВЕРХНО СТИ ЭЛЛИПСОИДА. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИН ЕГО ЛИНИЙ КРИВИЗНЫ. [c.184]

Мы видим, что вектор электрического поля Е является эллиптически поляризованным в плоскости xz, причем главные оси эллипса параллельны осям координат. При распространении в направлении +Z (/3 > 0) вектор Е имеет правую эллиптическую поляризацию в верхней половине пространства х > О и левую эллиптическую поляризацию в нижней половине пространства х < 0. Эллиптичности равны /3/ и -/3//7 для верхней и нижней половин пространства соответственно (см. рис. 11.33). [c.531]

Существуют два основных подхода к рассмотрению временных эффектов. Один из них заключается в том, чтобы учитывать время явно, таким же образом, как и пространственные координаты, и производить численное интегрирование по отрезку времени так же, как и по геометрической границе тела. Такой метод применялся в работе [1]. Другой подход, более широко используемый в методе ГИУ, состоит в исключении времени из числа независимых переменных путем применения преобразования Лапласа к исходным дифференциальным уравнениям в частных производных и граничным условиям. (Обсуждению такого подхода посвящается эта статья.) Этим способом параболические и гиперболические дифференциальные уравнения, как правило, могут быть сведены к более удобным эллиптическим уравнениям, которые решаются в пространстве преобразований методом ГИУ для [c.30]

При п = 1 и п = 2 имеем интегрируемые задачи Кеплера и Эйлера. В задаче Кеплера дополнительным интегралом является интеграл момента, а задача Эйлера интегрируется разделением переменных (в эллиптических координатах). Задача Кеплера вполне интегрируема и в многомерном евклидовом пространстве [220]. Наиболее интересный с точки зрения релятивистской механики случай пространства Минковского рассмотрен в работе [93]. В литературе, по-видимому, не отмечалась полная интегрируемость многомерной задачи двух центров. [c.48]

Если через каждую точку пространства проходит одна поверхность из каждого семейства, то положение точки может быть определено значениями параметров а, р, у, характеризующими три поверхности, проходящие через неё. Для избежания многозначности надо должным образом ограничить рассматриваемую часть пространства. Например, в случае эллиптических координат следует взять один октант, ограниченный главными плоскостями. Соседняя точка будет определяться значениями параметров [c.125]

При исследовании пространственных течений приходится пользоваться различными криволинейными системами координат цилиндрической, сферической, эллиптической и др. Такой подход не только упрощает описание картины движения, но иногда просто неизбежен от удачного выбора системы координат зависит возможность разделения переменных в дифференциальных уравнениях, простота приемов удовлетворения граничных условий. В плоском безвихревом движении переход от физической плоскости г = х +1у к вспомогательной плоскости = I + гг] был эквивалентен пользованию в физической плоскости криволинейными координатами I, г вместо прямолинейных х, у. В пространстве трех измерений столь удобного аналитического аппарата, как комплексное переменное, нет, и приходится непосредственно применять формулы перехода от прямолинейных координат к криволинейным, выражая в этих координатах сами дифференциальные уравнения и соответствующие граничные условия. [c.347]

С каждым эллипсоидом в конечномерном евклидовом пространстве связаны эллиптические координаты Якоби, с помощью которых интегрируются уравнения геодезических на этом эллипсоиде, а также некоторые другие уравнения, например уравнения движения точки на сфере под действием сил с квадратичным потенциалом или тяжелой точки на параболоиде. [c.435]

Для перехода к бесконечномерному случаю нужно всюду заменить симметрические операторы в евклидовом конечномерном пространстве самосопряженными в гильбертовом. При зтом, поскольку эллиптические координаты связаны не с самим оператором, а с его резольвентой, неограниченность исходного оператора (который может, например, быть дифференциальным) не является слишком серьезным препятствием. [c.435]

Исходя из данной двумерной ортогональной системы криволинейных координат, построим трехмерную систему. Для этого опустим из произвольной точки М, не лежащей на координатной поверхности, перпендикуляр на эту поверхность. Тогда положение рассматриваемой точки в пространстве будет фиксировано тремя параметрами координатами а1 и аг основания упомянутого перпендикуляра и его длиною г. Координату г условимся считать положительной, если точка лежит со стороны центров отрицательной кривизны координатной поверхности (со стороны выпуклости координатной поверхности, если ее точки суть эллиптического типа). Пространственная система криволинейных [c.10]

В дальнейшем под базисом е, подразумевается ортогональный базис (рис. 1.1). Ортогональная система координат может бить прямолинейной (такая система координат называется декартовой) и криволинейной (цилиндрическая, сферическая, эллиптическая). В прямолинейной системе координат базисные единичные векторы во всех точках пространства неизменны по направлению, в криволинейных системах координат базисные векторы при переходе в другую точку пространства меняют направление. [c.8]

Исторический комментарий. Для уравнений динамики в форме (2.10), (2.11) Н. Г. Четаев [181] также развивал теорию интегрирования, аналогичную методу Гамильтона-Якоби. Однако, если в каноническом случае успех в разделении переменных связан с особо замечательными системами координат на конфигурационном пространстве (типа эллиптических или сфероконических), то для алгебраической формы записи (2.10), (2.11) таким путем удается исследовать только тривиальные симметрии (имеющиеся, например, в случае Лагранжа (см. гл. 2)). [c.36]

Вследствие возмущений спутник движется фактически не по эллипсу, а по замысловатой линии, не расположенной, по существу, в одной плоскости и вовсе не являющейся замкнутой, так что, совершив один оборот, спутник не может, строго говоря, оказаться в прежней точке околоземного пространства (его геоцентрические координаты изменятся). И скорость движения спутника изменяется не так плавно, как в эллиптическом движении. [c.91]

Иногда ошибочно указывают на эллиптические орбиты с периодом обращения, кратным сидерическому месяцу, как на траектории периодического облета Луны. При этом вовсе не учитывается притяжение Луны. Фактически же после облета Луны, как мы знаем, начальные условия (величина и направление скорости) если и повторяются, то в другой точке пространства Поэтому после облета космический аппарат не может возобновить прежнее движение в геоцентрических координатах. Но, как можно сообразить, в случае периодического сближения с возвращением в системе координат, вращающейся вместе с линией Земля — Луна, возобновляется периодически не только вектор начальной скорости, но и начальная точка. Иными словами, в этой системе координат траектория периодического сближения с возвращением будет замкнутой. [c.233]

Проблема интегрируемости. Переход от уравнений движения (1.1) и (2.7) к гамильтоновой системе со скобкой (1.10) и (2.17), описывающей эволюцию взаимного расположения вихрей, соответствует процессу редукции в алгебраической форме. Для реального понижения порядка необходимо, так же как и в случае плоскости, ввести некоторую систему координат (не обязательно канонических) на симплектических листах, которые и являются фазовым пространством приведенной системы. В дальнейшем ( 3) мы проделаем эту процедуру для частного случая при N = Ъ, при введении канонических (симплектических) координат, которые выражаются в очень частном случае через эллиптические функции. При К = 4 нам удалось построить соответствующие симплектические координаты только для случая плоскости, для случая сферы можно указать лишь общие соображения, позволяющие разобрать общий алгоритм, хотя и не являются каноническими, но также могут быть использованы для аналитических и численных исследований. [c.43]

Ha основе этой теоремы, которая в настоящее время известна под названием теоремы Якоби — Гамильтона, Якоби дал новое решение знаменитых задач небесной механики о движении планет в поле тяготения Солнца, о движении точки, притягиваемой щвумя неподвижными центрами вместе с тем он определил геодезические линии трехосного эллипсоида. Решение двух последних задач Якоби сопроводил изложением теории эллиптических координат в многомерном пространстве. [c.20]

Эллиптические координаты в евклидовом пространстве определяются при помощи конфокальных квадрик (поверхностей второй степени). Геометрия же конфокальных квадрик получается из геометрии пучка квадратичных форм в евклидовом пространстве (т. е. из теории главных осей эллипсоидов или из теории малых колебаний) переходом в сопряженное пространство. [c.436]

Через каждую точку пространства проходят три такие поверхности, соответствующие трем значениям д , до, д величины 1 (п. 286). В частности, через точку М, взятую на эллипсоиде (2), проходит сам рассматриваемый эллипсоид, соответствующий значению X = 0 д = 0), и две другие софокусные поверхности, соответствующие значениям д и 53 величины X. Мы примем эти два параметра д и д., за координаты точки М на поверхности. Согласно теореме Дюпена, кривые д = onst, и = onst, являются линиями кривизны эллипсоида. Для величины ds2 в эллиптических координатах мы нашли ранее (п. 286) выражение вида [c.489]

Сначала введем в пространстве эллиптические координаты, ассоциированные с нашим эллипсоидом. Для определенности нусть А<В<С. По определению q, <72, Яъ суть корни уравнения [c.189]

Эллиптическая трещина с взаимодейств5 щими поверхностями. Рассмотрим деформацию упругого пространства, ослабленного эллиптической в плане трещиной, под действием напряжений, заданных на бесконечности аД-. Уравнение эллиптической трещины в системе координат 1, Х2, Хз (ось Хз нормальна плоскости трещины) имеет вид [c.66]

Это наводит на мысль, что и в бесконечномерном, гильбертовом пространстве с каждым симметрическим оператором должен быть связан свой класс интегрируемых систем. Для исследования этих систем нужно перенести на бесконечномерный случай теорию эллиптических координат. А для этого нужно прежде всего изложить обычную конечномерную теорию конфокальных поверхностей второго порядка в бескоординатной форме. [c.435]

Положения точки иногда определяются этим способом неоднозначно например, в эллиптических координатах через каждую точку проходит эллипсоид я два конфокальных гиперболоида но те же поверхности пересекаются в семя друПК точках. Многозначности можно избегнуть, если должным образом ограничить рЛС-, сматриваемую область пространства, папример, в случае эллиптических коордшшт следует взять один октант, огоаниченный главными плоскостями. [c.63]

Положение и скорость спутника в пространстве. Пусть заданы элементы орбиты (4.1.4), а требуется определить координаты и составляющие скорости спутника в экваториальной (эклиптической) системе координат Fxyz (рис. 4.1) в произвольный момент времени t. При этом будем полагать, что орбита спутника эллиптическая (для гиперболической и параболической орбит последовательность вычислений остается такой же, но должны использоваться соотношения, полученные ранее для этих орбит). Ось Fx направлена в точку весеннего равноденствия Т, которая на небесной сфере соответствует линии пересечения плоскостей экватора и эклиптики при переходе Солнца из Южного полушария в Северное. [c.100]

Пусть шз = О (предположе-иис 1 тг > О ПС вносит ничего принципиально нового). Тогда рг и р2 описывают в ХОУ симметричные кеплеровские орбиты около О, которые в случае к < О будут эллипсами. В момент, когда рз проходит через О, состояние системы определяется скоростью этого тела и фазой г (истинной или средней аномалией) эллиптического движения тел рх и р2- Примем (г , г) за полярные координаты в некоторой плоскости Ф (ввиду симметрии относительно ХОУ знаком V можно пренебречь). Сдвиг вдоль траектории в фазовом пространстве от одного попадания рз в О к следующему определяет локальный диффеоморфизм 3 Д+ К С Ф. Оказывается, что можно указать такое открытое множество Г С Ф, что максимальное инвариантное множество А, содержащееся в Г, является марковским и допускает описание в терминах символической динамики. [c.152]

Q = rot в каждый момент времени остается постоянным в пространстве и одинаковым для всех жидких частиц. В рассматриваемой гидродинамической системе имеются три линейно независимых поля скорости, каждое из которых соответствует стационарному однородному эллиптическому вращению жидкости вокруг какой-либо из трех главных осей эллипсоида. Эти стандартные бездивергент-ные векторные поля скорости, которые, очевидно, зависят от координат, касаются границы области, т. е. удовлетворяют граничному условию (2), и являются точными решениями уравнения Гельмгольца (1). С помощью таких опорных полей можно описать более сложное течение жидкости в эллипсоидальной полости, в котором скорости жидких частиц зависят от времени, но по-прежнему являются линейными функциями их координат. [c.28]

Эллиптический вихрь Кирхгоффа. Кирхгофф доказал в свои.х Le ons de Me anique, что может существовать конфигурация, где вихри заполняют пространство, имея постоянную интенсивность С внутри эллиптического цилиндра, который вращается равномерно (с угловой скоростью (о) вокруг своей оси, параллельной образующим и проходящей, очевидно, через центры поперечных сечений. Относительное движение будет кроме того перманентным и не зависящим от координаты s, параллельной образующим цилиндра. [c.171]

Остановимся подробнее на получении системы интегро-функциональ-ных уравнений контактной задачи. Использование принципа суперпозиции предполагает возможность получения аналитического решения краевой задачи динамической теории упругости с однородными граничными условиями в напряжениях для составляющих многослойную область с каноническим включением элементов. Таковыми являются однородный упругий слой, однородное упругое полупространство, полость в безграничном пространстве и упругое включение, граница которого тождественна границе полости. Решение задач для однородного слоя (полупространства) строится методом интегральных преобразований с использованием принципа предельного поглощения и может быть получено в виде контурного несобственного интеграла [2,4,14]. В зависимости от постановки задачи (пространственная, плоская, осесимметричная) получаем контурные интегралы типа обращения преобразования Фурье или Ханкеля [16]. Решение задачи для пространства с полостью, описываемой координатной поверхностью в ортогональной криволинейной системе координат, получаем в виде рядов по специальным функциям (сферическим, цилиндрическим (Ханкеля), эллиптическим (Матье)) [17]. При этом важно корректно удовлетворить условиям излучения, для чего можно использовать принцип излучения. Исключение составляет случай горизонтальной цилиндрической полости при исследовании пространственной задачи. Здесь необходимо использовать метод интегральных преобразований Фурье [16] вдоль образующей цилиндра и принцип предельного поглощения [3] для корректного удовлетворения условиям излучения энергии вдоль образующей. [c.312]

Примеры. 1. Двумерная поверхность общего положения в симплектическом пространстве в окрестности каждой своей точки симплектически диффеоморфна поверхности Р2 Рг, Рз = Яз . . . = О (в координатах Дарбу). 2. На четырехмерном подмногообразии устойчиво встречаются линии эллиптических и гиперболических особых точек Мартине с нормальной формой [c.448]

В качестве примеров рассмотрим классические задачу Якоби о геодезических на трехосном эллипсоиде и задачу Неймана о движении точки на сфере в квадратичном потенциале. Они связаны с двумя различными, но взаимными друг другу, интегрируемыми случаями Клебша в уравнениях Кирхгофа (см. 1 гл. 3) и их интегрирование, а также возникающие в процессе эллиптические и сфероконические координаты имеют универсальный характер в теории интегрируемых систем. Все известные задачи, допускающие разделение переменных (на конфигурационном пространстве), решаются с использованием этих координат или их вырождений. [c.78]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...