Координаты сфероконические

Исторический комментарий. Для уравнений динамики в форме (2.10), (2.11) Н. Г. Четаев [181] также развивал теорию интегрирования, аналогичную методу Гамильтона-Якоби. Однако, если в каноническом случае успех в разделении переменных связан с особо замечательными системами координат на конфигурационном пространстве (типа эллиптических или сфероконических), то для алгебраической формы записи (2.10), (2.11) таким путем удается исследовать только тривиальные симметрии (имеющиеся, например, в случае Лагранжа (см. гл. 2)). [c.36]

Сфероконические координаты А1, Аг на сфере (7.14) определяются как корни квадратного уравнения [c.80]

Гамильтониан частицы с потенциалом (7.15) в сфероконических координатах имеет вид [c.81]

Если для натуральных гамильтоновых систем с двумя степенями свободы, обладающих дополнительным квадратичным интегралом, существуют общие соображения (см., например, Уиттекер [167], Биркгоф [13]), позволяющие конструктивно построить разделяющие переменные, то уже для ненатуральных двухстепенных систем, а также систем, обладающих дополнительным интегралом с более высокой (> 2) степенью по импульсам, разделение переменных является своего рода искусством. Для многомерных систем вопрос о разделении еще более сложен. Здесь практически известно несколько многомерных обобщений двухстепенных систем (типа задач Якоби и Неймана), для которых имеются аналоги эллиптических и сфероконических координат). Более подробно вопрос о разделении переменных на 8 " рассмотрен в [18, 283]. [c.83]

Вследствие постоянства величины / вектор а находится из соотношений (2.2). Квадратуры для 7 могут быть легко получены при помощи сфероконических координат на сфере Пуассона 7 = 1. Действительно, в выбранной системе координат постоянная площадей равна нулю, а гамильтониан в случае Эйлера совпадает с дополнительным интегралом задачи Неймана с нулевым потенциалом. Следовательно, в сфероконических координатах переменные разделяются и можно воспользоваться формулами (7.17) гл. 1 (см. подробно 7 гл. 1). [c.98]

Отметим, что при добавлении гиростатического момента ( 7 гл. 5) преобразование (8.27) не позволяет свести систему Ковалевской к задаче Неймана и получить разделение переменных (в сфероконических координатах). Эта задача до сих пор явно не проинтегрирована. [c.313]

В качестве примеров рассмотрим классические задачу Якоби о геодезических на трехосном эллипсоиде и задачу Неймана о движении точки на сфере в квадратичном потенциале. Они связаны с двумя различными, но взаимными друг другу, интегрируемыми случаями Клебша в уравнениях Кирхгофа (см. 1 гл. 3) и их интегрирование, а также возникающие в процессе эллиптические и сфероконические координаты имеют универсальный характер в теории интегрируемых систем. Все известные задачи, допускающие разделение переменных (на конфигурационном пространстве), решаются с использованием этих координат или их вырождений. [c.78]

Приведенные в книгах [9, 61] методы сведения к квадратурам случая Клебша, принадлежащие Коббу и Е. И. Харламовой, реально не дают возможности получить общее решение. Кобб записал гамильтониан системы в углах Эйлера, а Е. И. Харламова [172] — в сфероконических координатах. Но ни в тех, ни в других координатах случай Клебша не разделяется на ненулевой постоянной площадей. Отметим также, что в неопубликованных рукописях [180] [c.175]

А. Чаплыгин также использовал метод Гамильтона-Якоби для интегрирования двух случаев Клебша в сфероконических координатах. При этом аналогичная процедура предлагается им для интегрирования полной (т.е. для системы уравнений для случая Эйлера - Пуансо. [c.175]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...