Квадрики конфокальные

А. Эллиптические координаты и конфокальные квадрика. [c.436]

Таким образом, конфокальные друг другу квадрики образуют однопараметрическое семейство, но от параметра квадратичная форма семейства зависит уже не линейно. [c.436]

Теорема 1 (Якоби). Через каждую точку п-мерного евклидова пространства проходит п квадрик, конфокальных выбранному зллипсоиду. Гладкие конфокальные квадрики пересекаются под прямыми углами. [c.437]

Доказательство. Спроектируем квадрики конфокального семейства пучком параллельных прямых на перпендикулярную пучку гиперплоскость. Каждая квадрика определяет видимый онтур (множество критических значений проектирования квадрики). Для направления проектирования общего положения видимые контуры квадрик — это поверхности второй степени в гиперплоскости — образе проектирования. [c.438]

Лемма. Видимые контуры квадрик конфокального семейства сами образуют конфокальное семейство квадрик. [c.438]

Окончание доказательства теоремы 3. Зафиксируем прямую общ его положения в К". По теореме 2 она касается п — 1 квадрик конфокального семейства в п — 1-й точке. Построим в окрестности каждой из этих точек гладкую функцию, без критических точек, поверхности уровня которой — квадрики нашего конфокального семейства. [c.441]

Гиперболоид делит пространство на две части внутреннюю и внешнюю (неодносвязную). Рассмотрим линии эллиптических координат, поверхности уровня которых — квадрики, конфокальные данному гиперболоиду. [c.443]

Карты совместные 72 Каустика 407, 4С8, 417, 449 Квадрики конфокальные 436 Класс когомологий алгебры Ли 339 Клетки жордановы 348 [c.469]

Семейство квадрик конфокальное 436 Сила 20, 44 [c.471]

Эллиптические координаты в евклидовом пространстве определяются при помощи конфокальных квадрик (поверхностей второй степени). Геометрия же конфокальных квадрик получается из геометрии пучка квадратичных форм в евклидовом пространстве (т. е. из теории главных осей эллипсоидов или из теории малых колебаний) переходом в сопряженное пространство. [c.436]

Определение 2. Конфокальным семейством квадрик в евклидовом пространстве называется семейство квадрик, двойственных квадрикам одного евклидова пучка (квадрик в пространстве, двойственном рассматриваемому) [c.436]

Эллиптическими координатами точки называются значения параметра Я, которым соответствуют проходящие через эту точку квадрики фиксированного семейства конфокальных квадрик. [c.437]

Доказательство. Переход к двойственным объектам превращает сечения в проекции, а проекции в сечения. Видимые контуры проектирования конфокальных квадрик пзп1ком параллельных прямых двойственны поэтому сечениям двойственных квадрик проходящей через нуль гиперплоскостью. [c.438]

Применим доказанную лемму к проектированию вдоль прямой, о которой идет речь в теореме 2. По лемме видимые контуры проектирования конфокальных квадрик теоремы 2 образуют конфокальное семейство квадрик в гиперплоскости. По теореме 1 эти видимые контуры пересекаются под прямыми углами. Это доказывает теорему 2. [c.438]

Теорема 3 (Якоби и Шаля). Касательные прямые к геодезической линии квадрики в п-мерном пространстве, проведенные во всех точках геодезической, касаются, кроме зтой квадрики, еще п—2-х конфокальные с ней квадрик, одних и тех же для всех точек геодезической. [c.438]

Зафиксируем одну из этих квадрик ( первую ) и рассмотрим уравнения Гамильтона в пространстве прямых, функцией Гамильтона которых является первая индуцированная функция прямой. Каждая фазовая кривая на фиксированной поверхности уровня функции Гамильтона состоит из касательных прямых одной геодезической квадрики (лемма А). Остальные индуцированные функции имеют с этой функцией нулевую скобку Пуассона по лемме В (ибо плоскости, касающиеся конфокальных друг другу поверхностей в точках одной прямой, ортогональны по теореме 2). [c.441]

С семейством конфокальных квадрик в трех- 349. Фокальный мерном евклидовом пространстве связаны две эллипс й фокальная фокальные кривые эллипс (рис. 249) и ги- гипербола [c.443]

Задача Якоби решается с помощью разделения переменных ([56, гл. 26]). Для этого вводится конфокальное с (2.1) семейство квадрик [c.104]

С геометрической точки зрения интегрируемость задачи о геодезических на п-мерном эллипсоиде означает следующее касательные прямые к геодезической линии квадрики (2.1) в R"+, проведенные во всех точках геодезической, касаются кроме этой квадрики еще п—1 конфокальных с ней квадрик, одних и тех же для всех точек геодезической. Это знаменитая теорема Якоби — Шаля. По словам Якоби, она принадлежит ...к замечательнейшим теоремам аналитической геометрии [56, с. 185 русского перевода]. Устремляя к нулю одну из полуосей эллипсоида в трехмерном пространстве, приходим к малой теореме Понселе (см. 1). [c.105]

В ряде случаев (когда, например, среди чисел а, Ь, с есть равные) система конфокальных квадрик (2.2) вырождается. Все они расклассифицированы имеется 10 различных типов вырождения эллиптических координат Якоби, среди них — обычные декартовы координаты в (см., например, Г64, гл. 5]). Для нас наибольший интерес представляют два случая вырождения. [c.107]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...