Движение системы относительно невозмущенного

Рассмотрим движение системы относительно ее невозмущенного положения равновесия. Если отклонения от этого равновесия малы, то кинетическую энергию системы можно представить квадратичной формой обобщенных скоростей [c.431]

Рассмотрим получение вариационно-матричным способом канонической системы дифференциальных уравнений для решения задач устойчивости н колебаний. При получении разрешающих уравнений будем считать, что в исходном невозмущенном состоянии оболочка напряжена, но не деформирована. Исходное напряженное состояние определяется решением- задачи статики в линейной постановке. При составлении уравнений движения в окрестности исходного состояния будем учитывать начальное напряженное состояние. В деформационных соотношениях кроме линейных составляющих будем учитывать нелинейные слагаемые, связанные с дополнительными углами поворота нормалей. При решении задач рассмотрим только осесимметричное начальное напряженное состояние. Будем считать, что действующие на конструкцию внешние нагрузки при движении системы не изменяются ни по величине, ни по направлению. В целом систему, включая внешние нагрузки и условия связи, будем считать консервативной. Исследование движения системы относительно начального состояния проведем без учета демпфирующих свойств. [c.156]

Момент количеств движения системы относительно оси Ог сохраняется, как отсюда видно, в возмущенном движении в любой момент времени. Конечно, выражения (20) легко было бы получить непосредственно, варьируя интеграл энергии (при неизменной с точностью до первых степеней возмущений полной энергии) и учитывая наличие интеграла моментов количеств движения в невозмущенном и в возмущенном движении. Вышеприведенное вычисление имело целью дать иллюстрацию вычислений, которые надо провести, рассматривая задачу механики в терминах геометрии Римана. [c.638]

Примечание 1. Так как невозмущенное движение устойчиво относительно скоростей при любом значении det G, то из доказательства неустойчивости системы следует, что при det G = О система теряет устойчивость только в координатах. [c.186]

Уравнения стационарного одномерного движения. Исследование только что определенной стационарной волны удобно проводить в системе координат, связанной с этой стационарной волной, в которой параметры среды не зависят от времени, т. е. течение является стационарным. В указанной системе координат волна неподвижна, а невозмущенная среда перед волной имеет скорость Уо = — >0, которая равна скорости распространения стационарной ударной волны относительно невозмущенной среды. Ось X направим вдоль направления распространения волны относительно невозмущенной среды [c.335]

Второй пример случай тройной или множественной системы с одной преобладающей массой уравнения невозмущенных движений других масс в отдельных бинарных системах относительно этой преобладающей массы дифференциалы всех их элементов, выраженные посредством коэффициентов одной возмущающей функции. [c.272]

Пусть движение системы с п = к степенями свободы описывается системой дифференциальных уравнений относительно обобщенных координат д, = д 1) (/=1,2,. .., к). Частное решение этой системы, соответствующее некоторым начальным условиям, назовем невозмущенным движением. [c.70]

Необходимо заметить, что форма линий тока одного и того же потока, а также форма траекторий зависят от системы отсчета. Так, например, при движении тела в жидкости для наблюдателя, покоящегося относительно невозмущенной жидкости, линии тока и траектории будут совсем иными, чем для наблюдателя, движущегося вместе с телом. [c.51]

Таким образом, для волн на поверхности воды скорость их распространения, в отличие от звуковых волн, сильно зависит от длины волны. Длинные волны распространяются быстрее, чем короткие. Волны с разной длиной могут налагаться друг на друга без заметного взаимного возмущения. При этом короткие волны как бы приподнимаются длинными волнами, но затем длинные волны уходят вперед, а короткие остаются позади них. Линии тока в системе отсчета, неподвижной относительно невозмущенной воды, показаны на рис. 81. Из расположения линий тока видно, что скорость движения воды очень быстро убывает с увеличением глубины, а именно, пропорционально уменьшению [c.129]

Дифференциальные уравнения возмущенного движения (2.4), получаемые методом вариации постоянных, вполне точны. Когда вспомогательная задача (для функции Гамильтона И ) отличается от исходной малыми слагаемыми, то новые переменные в этих дифференциальных уравнениях — они были постоянными во вспомогательной задаче — представляют медленно изменяющиеся функции времени, вследствие чего оказываются применимыми приемы приближенного интегрирования. В противоположность этому, излагаемый далее способ рассмотрения возмущенного движения основывается на составлении приближенных дифференци альных уравнений относительно предполагаемо м лых отклонений (вариаций) возмущенного движения от заданного невозмущенного движения. При учете лишь первых степеней этих отклонений задача сводится к рассмотрению системы линейных дифференциальных уравнений, называемой системой в вариациях. Интегрирование ее облегчается возможностью непосредственного написания некоторых частных решений в числе, равном числу произвольных постоянных в решении задачи о невозмущенном движении, отклонения от которого рассматриваются ). [c.605]

А. Невозмущенное движение. Система с гамильтонианом Но (/) имеет п первых интегралов в инволюции п переменных действия). Каждое множество уровня всех этих интегралов представляет собой .-мерный тор в 2п-мерном фазовом пространстве. Этот тор инвариантен относительно фазового потока невозмущенной системы каждая фазовая кривая, начавшаяся в точке такого тора, на нем и останется. [c.368]

Действительно, пусть уравнения движения имеют вид (2.5" ), и поставлена задача об устойчивости невозмущенного движения, представляемого решением qя = ((ls t), рз = а( ) этой системы относительно 2к величин Ф5( <7о Ра), Ч 5( (7о /Оо)-Вводя вместо д, новые переменные подстановкой [c.69]

При конкретных расчетах, связанных с распадами произвольных разрывов, наряду с р, У-диаграммами очень удобны так называемые р, м-диаграммы, на которых по осям отложены давления р и скорости газов и в лабораторной системе координат. Ударную адиабату газа Рн(У) можно представить в виде зависимости давления за фронтом волны от скачка скорости газа, т. е. от скорости движения сжатого гг за относительно невозмущенного. Аналогичным образом, в волне разрежения давление однозначно связано со скоростью условием постоянства инварианта Римана (см. 10, 11). Удобство р, м-диаграмм в задаче о распаде разрыва связано с тем, что в конечном состоянии давление и скорость обоих газов одинаковы, т. е. конечные состояния изображаются одной и той же точкой на р, м-диаграммах. [c.82]

Как и для струны, остановим движение и найдем условие неизменности профиля. Мы увидим сейчас, что остановить удается только профили, продолжающиеся периодически неограниченно по всему стержню. В таких волнах нет невозмущенных участков стержня. Поэтому нужно будет различать искомую скорость с подвижной системы относительно центра тяжести стержня и скорость [c.23]

Вторая функция определяется квадратурами через характеристическую функцию течения безграничной жидкости, вызванного движениями данной системы пластинок и дополнительной системы пластинок, симметричной первой относительно невозмущенного уровня жидкости. [c.335]

Массоперенос к частице в поступательном потоке, рассмотренный в разд. 4.4, хорошо моделирует многие реальные процессы в дисперсных системах, когда основную роль в конвективном переносе играет скорость поступательного движения частиц относительно жидкости, а градиенты невозмущенного поля скоростей несущественны. [c.154]

Под влиянием мгновенных возмущений начнется возмущенное движение. Если невозмущенное движение устойчиво, то при надлежащем выборе переменных возмущенное движение можно описывать уравнениями первого приближения. Возмущенное движение есть движение точек относительно вращающейся системы отсчета, поэтому кроме центробежных сил появятся силы Кориолиса. Силы Кориолиса — частный вид гироскопических сил — мы будем рассматривать как возмущающие силы. [c.482]

Выражение (1) записано в системе координат, фиксированной относительно невозмущенного движения воды. Чтобы привести его к виду, соответствующему установившемуся течению со скоростью и вдоль волнообразной стенки, заметим, что если V— фазовая скорость в точке с волновым вектором х = 1,т), то частота о) равна [c.197]

Когда мы проинтегрируем дифференциальные уравнения переменных элементов (5 ), то сможем вычислить переменные относительные координаты 1,1], С для какой-либо двойной системы (т, М) с помощью законов невозмущенного движения, выраженных уравнениями (J2), (Q2) или посредством [c.279]

Введение системы уравнений возмущенного движения (1.2.1) позволяет в ЧУ-теории рассматривать обладающую большой общностью единообразную задачу о у-устойчивости нулевого положения равновесия (невозмущенного движения X = 0) этой системы при достаточно общих предположениях относительно её правой части. Разумеется, система (1.2.1) составляется (всякий раз заново) для каждого конкретного исследуемого на устойчивость движения (процесса) исходной системы. [c.43]

Частичная стабилизация программных движений управляемых систем. Введение системы возмущенного движения позволяет в ЧС-теории рассматривать обладающую большой общностью единообразную задачу о у-стаби-лизации нулевого положения равновесия (невозмущенного движения) х = О системы (1.3.1) при достаточно общих предположениях относительно правой части этой системы. [c.51]

НИИ значение потенциала, в котором происходит движение решетки, при определенной конфигурации положений ядер равно полной энергии основного состояния, причем эта энергия вычисляется при неподвижных ядрах в той же самой конфигурации. В дальнейшем изложении мы в той мере исходим из модельных допущений п. 3.161, в какой мы учитываем связанные с колебаниями электрические поля наряду с этим принимается во внимание периодичность кристалла. Определяющие соотношения для колебаний решетки (уравнения для плотности энергии, уравнения движения и др.) содержат в явном виде как механические компоненты, так и компоненты внутренних электрических полей в кристалле. Необходимые принципиальные познания об оптических (в особенности о нелинейных оптических) свойствах мы можем получить уже при изучении относительно простых кристаллов или модельных кристаллов так, например, мы рассмотрим решеточные волны линейной цепочки и в трехмерном представлении колебания решетки с определенным направлением поляризации и распространения в оптически изотропных кристаллах с двумя ионами в элементарной ячейке. Сначала мы займемся невозмущенной системой и изучим длинноволновые оптические колебания решетки (оптические фононы) и колебания поляризации (фо-нон-поляритоны), представляющие собой смешение решеточных и электромагнитных колебаний [3.1-2]. Затем мы перейдем к рассмотрению взаимодействия решетки с внешним полем излучения. Квантовое описание основных соотношений для невозмущенной системы, а также для взаимодействия с внешним полем излучения может быть успешно выполнено как в качественной, так и в количественной формах по аналогии с классическим рассмотрением. В ч. I и до сих пор в ч. II мы еще не обсуждали решеточные колебания, и поэтому нам придется начать издалека. [c.371]

Поставленную общую задачу об устойчивости невозмущенного движения относительно заданных величин Фз можно привести к единообразной математической задаче об устойчивости нулевого решения нормальной системы дифференциальных уравнений первого порядка вида (2.1) относительно величии [c.66]

Поэтому и задача об устойчивости невозмущенного движения (2.6) относительно величин Фа действительно приводится всегда к задаче об устойчивости нулевого решения системы (2.10). Обозначая через 4 начальные значения возмущений (2.9), так что [c.67]

Пусть в пространстве имеется изолированная система двух тел Ро и Р, с массами /Ио и /га, и пусть эти тела притягиваются друг к другу как материальные точки согласно закону всемирного тяготения Ньютона ). Требуется изучить движение одного тела относительно другого. Движение, получаемое на основе задачи двух тел, называется невозмущенным кеплеровским движением. [c.211]

Задачи об устойчивости состояний равновесия занимают одно из центральных мест в теории устойчивости механических систем. К этому классу принадлежит большинство задач об устойчивости элементов конструкций и машин, загруженных квазистатическими силами. Кроме того, многие задачи устойчивости движения также приводятся к задачам об устойчивости состояний равновесии. Так, стационарное движение системы при силах, не зависящих от времени, может быть представлено в виде некоторого относительного равновесия. В других случаях нестационарностью невозмущенного движения допустимо пренебречь. Например, рассматривая устойчивость прямолинейной формы упругих стержней, нагруженных продольньпаи силами -периодическими функциями времени, обычно пренебрегают продольными колебаниями от действия этих сил [3]. Задача об устойчивости движения в результате сводится к родственной задаче об устойчивости равновесия. [c.473]

Другой вид применения теоремы энергии получается в случаях, когда постороннее тело вызывает в первоначально покоящейся жидкости вихревую систему, движение которой можно указать, как это бывает, например, при поступательном движении несущих поверхностей или пропеллера. В этих случаях систему отсчета выбирают так, чтобы она покоилась относительно невозмущенной жидкости. Пусть постороннее тело, например пропеллер, двигается вперед (в направлении своей оси) со скоростью V и врзншется с равномерной угловой скоростью о. Если вращающий момент на валу пропеллера равен М, а тяга пропеллера равна 5, то приращение энергии жидкости в единицу времени, измеренное в системе отсчета, в которой невозмущенная жидкость покоится, равно [c.218]

В № 37 первого тома мы уже видели, что форма линий тока зависит от той системы отсчета, относительно которой течение рассматривается. Рассмотрим, иапример, движение в воде несущей поверхности, расположенной своим поперечным сечением параллельно свободной поверхности воды. Линин тока, которые в этом случае можно сделать видимыми иасыпанием алюминиевого порошка на поверхность воды, будут различными, смотря по тому, отнести ли рассматриваемое движение к системе координат, неподвижной относительно невозмущенной жидкости или же неподвижной относительно движущегося крыла. В первом случае спектр линий тока имеет форму, изображенную на фиг. 52 таблицы 21 (фотографический аппарат находился в покое относительно неаозмущенной жидкости) во втором случае спектр линий тока того же течения имеет форму, изображенную нз фиг. 50 таблицы 20 (фотографический аппарат покоился относительно крыла, т. е. двигался вместе с крылом относительно воды). Не особенно опытный наблюдатель при наблюдении всегда видит Спектр линий тока второго рода, так как наши глаза обыкновенно непроизвольно следуют за движущимся объектом. [c.275]

Это можно быстро понять, если воспользоваться в каждой точке локальной системой отсчета, двин ущейся с локальной средней скоростью Vj. Мы обозначим плотность волновой энергии через W , чтобы напомнить себе, что это—значение W при движениях волн относительно локального потока. Поэтому FFr связано с амплитудой и волновым числом так же, как в покоящейся жидкости, поскольку это есть значение W в той локальной системе отсчета, в которой невозмущенная жидкость находится в состоянии покоя. [c.398]

Мы получили уравнение степени 21 относительно к, которое обычно называется. характеристическим. Ляпунов называл его определяющим —название, как мы увидим дальше, связано-с тем, что корни этого уравнения определяют характер движения системы, В случаях колебательного движения системы уравнение (7.21) называют частотным —корнями будут квадраты собственных частот колебаний системы. Характеристическое уравнение (7,21) может иметь кратные корни. Мы покажем дальше,, что в этом случае будет либо просто совпадение нескольких собственных частот колебаний, либо появятся расходящиеся решения Если каким-либо способом мы докажем устойчивость невозмущенного состояния системы, то для приближенного описани возмущенного движения сможем применить уравнения первого приближения. Но при исследовании устойчивости, например методом Ляпунова нужно строить в явном виде функции Ляпунова, а это очень трудная задача. Поэтому большую ценность-имеют приемы, позволяющие судить об устойчивости невозмущенного состояния без построения функции Ляпунова, в частности по первому приближению. [c.444]

В системах газ—жидкость может также возникать дополнительный поток вещества вдоль межфазной границы, обусловленный локальными изменениями поверхностного натяжения во время процесса массопероноса (эффект Марангони). Изменения поверхностного натяжения могут быть вызваны локальными изменениями любой величины, влияющей на поверхностное натяжение, например концентрации вещества на межфазной границе, температуры или электрических величин. Характер движения вещества по межфазной поверхности различен в случае движущихся друг относительно друга или покоящихся (невозмущенных) фаз. В последнем случае могут происходить слабые пульсации коэффициента поверхностного натяжения. Тогда, если движущая сила массопереноса и градиент поверхностного натяжения малы, а естественная конвекция отсутствует, происходит медленный дрейф элементов жидкой фазы с растворенным в ней целевым компонентом вдоль границы раздела, вызванный последовательными сжатиями и растяжениями поверхности раздела фаз. При этом наблюдают образование пространственных долгоживущих ячеек с различной концентрацией целевого компонента. Такой вид поверхностной конвекции часто называют ячеистым поверхностным движением. [c.8]

Тогда эти центробарические компоненты будут теми же функциями времени и новых переменных элементов, которые могли быть выведены иначе посредством исключения из интегралов (Q2). Они будут строго представлять (путем распространения теории на эти ранее упоминавшиеся интегралы) компоненты скорости возмущенной планеты т относительно центра тяжести всей солнечной системы. Мы предпочли (и это вполне соответствует общему направлению нашего метода), чтобы эти центробарические компоненты скорости были вспомогательньши переменньши, объединяемыми с гелиоцентрическими координатами. Их возмущенные эначения были в этом случае строго выражены формулами невозмущенного движения. Этот выбор сделал необходимым видоизменить эти последние формулы и определить орбиту, существенно отличающуюся теоретически (хотя мало отличающуюся практически) от орбиты, так блестяще разработанной Лагранжем. Орбита, которую он себе представлял, была более просто связана с гелиоцентрическим движением единственной планеты, следовательно, она давала для такого гелиоцентрического движения как скорость, так и положение (планеты). Орбита, которую мы избрали, быть может, более тесно связана с концепцией множественной системы, движущейся относительно ее общего центра тяжести и подверженной в каждой ее части влиянию со стороны всех остальных. Какая бы орбита ни была в будущем принята астрономами, следует помнить, что обе они одинаково пригодны для описания небесных явлений, если числовые злементы каждой системы будут соответствующим образом определены при наблюдениях, а элементы другой системы орбит будут выведены из результатов наблюдения в процессе вычисления. Тем временем математики решат пожертвовать ли частично простотой той геометрической концепции, исходя из которой выведены теории Лагранжа и Пуассона для простоты другого рода (которая хотя еще не введена, но была бы желательна для этих превосходных теорий), получаемой благодаря нашим достижениям в строгом выражении дифференциалов всех наших собственных новых переменных элементов через посредство единственной функции (поскольку до сих пор казалось необходимым употреблять одну функцию для Земли, возмущенной Венерой, и другую функцию для Венеры, возмущенной Землей). [c.281]

На рис. 4 представлены смоченная поверхность отсека S, свободная поверхность жидкости 2 и область Q, занятая жидкостью в невозмущенном движении и свободная поверхность жидкости в возмущенном движении. В качестве обобщенных координат используются проекции векторов, и и S на оси систем координат 0 x y z и Oxyz соответственно = т = з = iJg — смещения точки О (рис. 5, а) ф = 6, )) = 6а О = 63 — углы поворота системы Oxyz относительно системы 0 x y z (рис. 5, б). На рис. 5, б представлена последовательность поворотов системы координат 0 x y z до совмещения с Oxyz. При предположениях, сформулированных [c.64]

Что касается второй причины, мы предположим для простоты, что препятствие имеет в соответствии с 79 симметрию относительно направления Ох) колебания в исходной волне. Для невозмущенной системы волн (2) скорость частиц воздуха в точке О можно представить символически в виде 1кС, а момент двойного источника, обусловленный движением преиятствия в обратном направлении, будет равен —ik Q- Q ) . Тогда рассеянные волны, вызванные на большом расстоянии неподвижностью препятствия, даются согласно (24) 76 формулой [c.305]

В 6.3 исходные уравнения гинердвижения записываются с использованием тензорного исчисления в криволинейных сферических координатах, так как пространственный анализ возмущенного и невозмущенного движения удобно проводить именно в этой координатной системе. Затем особое внимание уделяется плоскому или орбитальному движению относительно притягивающего центра, получению различных дифференциальных уравнений плоского гипер-реактивного движения. [c.175]

Из равенств (8) и (Э) можно заключить, что при данных значениях физических величин в невозмущенном газе изменения скорости движения газа по отнощению к неподвижной системе координат Ох после прохождения звуковой волны тем больше, чем больще относительное уплотнение газа [c.157]

Рассмотрим условия существования и структуру стационарной волны, которая может установиться прп одномерном стационарном движении пузырьковой смесп в трубе (в этом случае волпа может быть неподвижной относительно трубы) пли при воздействии инициируемого камерой высокого давления поршпя , вдвигающегося с постоянной скоростью или с постоянным давлением в неподвижную однородную смесь, когда при длинных КВД и КНД волпа после переходного режима выйдет на стационарный режим и будет распространяться с постоянной скоростью Da, не меняя своей структуры. Тогда, как л в 4 гл. 4, в системе координат, связанной с волной, процесс стационарный, невозмущенная среда входит в волну со скоростью = —Da- Как и рапее, направление оси х совпадает с направлением распространения волны относительно певозмущеппой среды (см. (4.4.1)). [c.26]

Как мы видели, всякая задача об устойчивости заданного невозмущенного движения относительно даных функций обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени всегда может быть приведена к единообразной математической задаче об устойчивости нулевого решения нормальной системы дифференциальных уравнений первого порядка, вида (2.1), относительно величин Х5. [c.74]

Очевидно, что система (9.50 распадается на п независимых систем, каждая из которых определяет движение одной из точек Mi относительно точки Мо так, как если бы все осталь-ныеточки не существовали. По этой причине в астрономических задачах уравнения (9.5 ) называются дифференциальными уравнениями невозмущенного движения, а точные уравнения относительного движения (7.24) в задаче многих тел-точек называются соответственно дифференциальными уравнениями возмущенного движения. [c.416]

В уравнениях невозмущенного движения (9.7) неизвестными функциями являются прямоугольные декартовы координаты движущейся точки М относительно системы координат Oxyz (см. рис. 45) с неизменными направлениями осей. [c.418]

Пример 12 Задана Гаусса). Рассмотрим круговую ограниченную задачу трех тел (не плоскую). Массу Юпитера будем считать малой, по сравнению с массой Солнца. Уравиения движения относительно вращающейся системы отсчета, введенной при описании примера 10, в канонических элементах Делоне I, С, 0, I, д, О (гл. 2) однократно вырождены — угол д (аргумент широты перицентра астероида) в невозмущенном движении постоянен. Усреднение по быстрым фазам /, д в этой задаче называется усреднением Гаусса. Согласно теореме 2.1, величины 0 —интегралы усредненной системы. Изменение О, ц после усреднения описывается гамильтоновой системой с [c.184]

Относительное движение центра масс системы Земля —Луна вокруг Солнца настолько мало отклоняется от невозмущенной эллиптической орбиты, что для всех практических целей можно считать орбиту этого движения кеплеровым эллипсом для масс т и Е- -М. [c.270]

Поскольку движение установившееся, к участку АВ трубки можно применить в системе х ) закойы сохранения вещества и импульса. Согласно закону сохранения вещества при установившемся движении суммарная масса среды, вытекающей из трубки, должна быть равна нулю. Пусть среда втекает в Л и вытекает из В. Обозначим невозмущенную плотность среды через р, а возмущенную— через р = р + бр = р (1 + з) относительное приращение плотности 8 = бр/р называют акустическим сжатием среды. Закон сохранения вещества запишется в виде [c.27]

Представляется важным также и то обстоятельство, что уравнения (6.13) сравнительно легко анализировать, когда случайные воздействия являются быстрофлуктуирующими, так что параметр v велик в сравнении с характерными частотами невозмущенной (а = 0) системы, и вклад от флуктуаций a(f) в динамику движений x t) на интервале времени te = относительно мал. В этом случае ряды справа в (6.13) представляют собой, как увидим в 3, разложения по степеням малого параметра, и их дальнейшее упрощение может проводиться регулярным образом с помощью известных асимптотических методов усреднения 143, 44]. [c.85]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...