Линеаризация дифференциальных уравнений

С упругой связью, причем основной задачей этих опытов являлось решение вопроса о том, насколько правильны результаты, полученные на основании линеаризации дифференциальных уравнений движения механизма, и являются ли факторы, учтенные при анализе, действительно решающими [c.183]

Уравнения (3.1) движения платформы гиростабилизатора представляют собой сложную систему нелинейных дифференциальных уравнений, правые части которых содержат возмущающие моменты, зависящие от координат а, 3, а, р, oz и их производных. В первом приближении, производя линеаризацию дифференциальных уравнений (3.1), полагаем, что 3 = Зо + Ар, а=ао + Аа, углы р и [c.71]

Для многих технических объектов, описываемых системой линейных дифференциальных уравнений, необходимо получение амплитудно-частотных и фазочастотных характеристик (АЧФ и ФЧХ). Часто АЧХ и ФЧХ определяют для объектов, описываемых системами нелинейных дифференциальных уравнений в режиме малого воздействия, в котором возможна линеаризация нелинейностей. [c.140]

Применяются и нелинейные средства измерений, однако с целью упрощения их описаний часто проводят линеаризацию характеристик таких средств измерений, что позволяет для их анализа также использовать линейные дифференциальные уравнения вида [c.137]

Линеаризация уравнений движения газа около тонких тел вращения, движущихся под малыми углами атаки, заключается в приведении нелинейных дифференциальных уравнений, не имеющих общих решений, к линейному виду, для которого общее решение имеется. Такое упрощение уравнений возможно, если сделать предположение, что параметры возмущенного течения около тонких тел мало отличаются от соответствующих их значений в невозмущенном потоке, т. е. для составляющих скорости в цилиндрических координатах получим Vy= Vx, [c.498]

Как было показано в разделе 2.2, нелинейность оператора, задаваемого дифференциальными уравнениями, проистекает либо от наличия ненулевых начальных условий, либо от нелинейности дифференциальных уравнений. Рассмотрим последовательно оба этих случая. Пусть технологический объект описывается линейным дифференциальным уравнением с ненулевыми начальными условиями. Рассмотрим процедуру линеаризации нелинейного оператора такого объекта. В этом случае линеаризация приводит к линейному оператору А, который эквивалентен исходному нелинейному оператору А в том смысле, что каждая выходная функция v(t) =Au t) оператора А с помощью точного соотношения выражается через соответствующую выходную функцию линейного оператора А. [c.78]

Перейдем к рассмотрению нелинейных операторов, задаваемых с помощью нелинейных дифференциальных уравнений. В этом случае уже невозможно свести нелинейный оператор к эквивалентному линейному, т. е. нельзя написать соотношение, аналогичное (2.3.6), с помощью которого можно было бы точно выразить любую выходную функцию нелинейного оператора с помощью соответствующей выходной функции некоторого линейного оператора. Процедура линеаризации дает лишь приближенное выражение выходных функций нелинейного оператора с помощью выходных функций линейного оператора, причем даже такое приближенное выражение справедливо далеко не для всех входных функций u(i). Для реальных технологических объектов, как правило, линеаризованный оператор эквивалентен исходному на входных функциях, значения которых не слишком сильно отклоняются от значения соответствующего параметра в некотором стационарном режиме работы объекта. Таким образом, линеаризованный оператор позволяет описывать поведение технологического объекта в условиях, когда вхо,п,ные параметры меняются лишь в незначительных пределах. [c.79]

Рассмотренный пример иллюстрирует общую идею линеаризации, которая заключается в выделении некоторого стационарного режима работы объекта. При этом считается, что все переходные процессы в объекте закончились и на выходе установилось стационарное значение выходного параметра. Если скачок значения выходной функции от нуля до стационарного значения произошел в некоторый конечный момент времени (о, то теоретически переходной процесс в объекте нельзя считать закончившимся поэтому необходимо предполагать, что стационарное входное воздействие подается бесконечно долго, т. е. момент времени to отодвинут в —00. Исходный нелинейный оператор заменяется эквивалентным нелинейным оператором, входными функциями которого являются малые отклонения входного воздействия от начального стационарного значения. Разлагая все нелинейные функции параметров, входящие в дифференциальные уравнения, по степеням отклонений этих параметров от их стационарного значения и отбрасывая все члены разложения, содержащие степени отклонений выше первой, получим линейные дифференциальные уравнения, задающие линейный оператор. Этот оператор и является результатом линеаризации. При входных параметрах, мало отклоняющихся от их значений в выбранном стационарном режиме, выходные функции исходного оператора приближенно выражаются через выходные функции построенного линейного оператора. [c.81]

Если в начальный момент времени положение склерономной системы выбрано достаточно близким к положению устойчивого равновесия и начальные скорости по абсолютной величине достаточно малы, то на протяжении всего движения будут малыми по абсолютной величине как сами отклонения от положения равновесия, так и обобщенные скорости. Это обстоятельство позволяет сохранить в дифференциальных уравнениях движения только линейные члены относительно отклонений и скоростей, а члены более высокого порядка малости отбросить. Тогда дифференциальные уравнения движения становятся линейными, т. е. задача линеаризуется . В этом параграфе рассматривается линеаризация уравнений движения для случая консервативной системы. [c.230]

Когда говорят малые колебания , то обычно имеют в виду движения, описываемые системой дифференциальных уравнений, полученной в результате линеаризации полных (нелинейных) уравнений движения. В случае движений в окрестности положения равновесия консервативной системы линеаризация сводится, как мы видим, к получению Т и П в виде квадратичных форм (5) и (3). [c.501]

Если 1 "(0)=0, то первое приближение не представляет ценности и не позволяет судить о поведении точных решений уравнений Лагранжа (ср. с теоремами о линеаризации в курсе дифференциальных уравнений). [c.163]

Классический путь получения дифференциальных уравнений колебаний системы из уравнений Лагранжа второго рода. Линеаризация уравнений. Будем исходить из уравнений Лагранжа второго рода, описывающих движение материальной системы (17.46) [c.79]

Для системы с распределенными параметрами, которую можно трактовать как систему с бесконечным числом степеней свободы, линеаризация условий равновесия вблизи исходного положения равновесия системы приводит к однородным дифференциальным уравнениям. Их решение дает, вообще говоря, бесконечное число точек бифуркации. [c.24]

Таким образом, при рассмотренных выше методе аппроксимирования приведенного момента и линеаризации уравнения движения машинного агрегата задача численного интегрирования системы дифференциальных уравнений сводится к вычислению интегралов с переменным верхним пределом. Заметим, что функции Мс (ф, ф) и J (ф) часто задаются в табличной форме. При этом значение кинетической энергии оказывается необходимо вычислять только для определенных (базовых) точек. [c.319]

Линеаризация упругих характеристик соединений превращает ряд нелинейных дифференциальных уравнений математической модели системы в линейные. Линеаризованная модель позволяет при помощи достаточно простых методов оценить спектр собственных частот исследуемой системы и выявить наличие и расположение резонансных режимов в ее эксплуатационном диапазоне. Используя энергетический учет эффекта диссипативных сил, на основе линеаризованной модели можно также оценить уровень установившихся вынужденных колебаний, пиковые нагрузки при переходных режимах и динамическую устойчивость системы в малом [39]. [c.14]

В дальнейшем при динамическом расчете коэффициенты диссипации позволяют установить некоторый энергетический эквивалент, учитывающий силы сопротивления в системе дифференциальных уравнений. Этот вопрос будет подробнее освещен в последующих главах. Здесь лишь укажем, что наиболее эффективный подход к учету диссипативных сил в инженерных задачах связан с так называемой эквивалентной линеаризацией, при которой нелинейная сила сопротивления заменяется условно линейной при сохранении той же величины рассеянной за один цикл энергии. При таком подходе линеаризованная сила сопротивления может быть представлена как R = —Ьх, где коэффициент пропорциональности Ь определяется следующим образом [18, 63] [c.40]

К модификации 2 отнесем динамические модели 0—U.—H, для которых ведущая часть предполагается абсолютно жесткой, а ведомая отображается в виде колебательной системы с Я степенями свободы. При линеаризации диссипативных сил эта модель обычно описывается системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Переход от модификации 1 к модификации 2 при динамических расчетах дал чрезвычайно богатый материал для рационального проектирования скоростных механизмов, у которых динамические нагрузки являются доминирующими. Использование этого материала оказалось особенно эффективным при динамическом анализе и синтезе законов движения ведомых звеньев, приводимых в движение от кулачковых механизмов. [c.51]

Для приближенного решения дифференциального уравнения 4.27) воспользуемся методом гармонической линеаризации (см. 7, 18], а также п. 30). Решение ищем в виде [c.148]

Теперь обратимся к общему случаю, описанному системой дифференциальных уравнений (5.ё8), которая после линеаризации приводится к виду (5.46). При этом [c.191]

Метод гармонической линеаризации. Рассмотрим некоторую модификацию этого метода применительно к системам с переменными параметрами, описываемым дифференциальным уравнением (6.67). [c.277]

Дальнейший анализ исследуемой системы может быть проведен на основании дифференциального уравнения (6.71), которое формально является линейным. Однако за линеаризацию приходится расплачиваться тем, что коэффициенты этого уравнения теперь — не заданные функции времени, как это было при рассмотрении (6.7), а включают члены, зависящие от параметров решения. Поскольку А/С и АР не зависят от времени, то они в качестве добавок войдут в свободные члены рядов /С ((ot) и Р ((ot) [см. (6.8), (6.9)] [c.278]

Для определения переменных коэффициентов дифференциального уравнения (6.7) была использована линеаризация передаточных функций механизма в окрестности текущего фазового угла (см. п. 19). Если в рядах (5.3) не ограничиваться только линейными членами, то левая часть уравнения (6.7) дополнится нелинейной функцией А (d)t, q, q, q). Так, для динамической модели 1—П—О с точностью до третьего порядка обобщенной координаты и ее [c.290]

Поэтому в настоящей главе ставится более ограниченная задача применения практических приемов решения систем обычных линейных дифференциальных уравнений, к которым методами линеаризации, в первом приближении, можно свести и большое число нелинейных задач. Для некоторых случаев нелинейных сил трения во второй главе будут показаны принципы возможной их линеаризации. [c.22]

Полученные дифференциальные уравнения нелинейные, поэтому прибегаем к линеаризации. После преобразований и сон-местного решения уравнений (1 и 2) получаем дифференциальное уравнение второго порядка [c.113]

Использованный метод линеаризации коэффициентов дифференциального уравнения движения позволил получить в конечном виде аналитические выражения, определяющие величину увода механизма при сколь угодно сложной структуре последнего. [c.161]

При статистическом анализе нелинейных динамических систем обычно возникает задача приближенной замены нелинейных функций, входящих в систему дифференциальных уравнений, более простыми. Так, например, статистическая линеаризация позволяет во многих практиче ских случаях находить линейные эквиваленты для нелинейных преобразований и применять для нелинейных систем хорошо разработанные методы, которые подробно рассмотрены в I главе и в [33, 69, 85]. Если нелинейные функции не могут быть описаны математически, то задача сводится к выбору подходящей аппроксимации совместно с методами статистической линеаризации [29]. Таким образом, может быть решена задача идентификации нелинейных систем. Отличительная черта рассматриваемых приближенных методов состоит в том, что анализируются соотношения между статистическими характеристиками процессов, а не между самими процессами. Это приводит к тому, что 10 147 [c.147]

Расхождение в результатах объясняется различием критериев устойчивости решений стохастических дифференциальных уравнений и выбором методики исследования. Отметим, что данная методика дает возможность исследовать приближенными методами движение систем в переходных режимах как при стационарных, так и нестационарных возмущениях, а в сочетании с методом статистической линеаризации перенести изложенные выше результаты на случай существенно нелинейных параметрических систем. В работе [54] исследование подобных систем приведено с использованием асимптотического метода и нестационарных уравнений ФПК. Из у.равнений (6.58), (6.59) следует, что наличие флюктуаций при линейных членах f н f приводит к увеличению дисперсии движения системы. Из рис. 70 видно, что наличие флюктуаций в нелинейных членах также приводит к изменению дисперсии системы по сравнению с системой с постоянными параметрами. Однако, как нетрудно показать из анализа выражения (6.54), увеличение дисперсии флюктуаций в нелинейных членах приводит к уменьшению дисперсии. В работе [27 ] рассмотрена проблема снижения резонансных амплитуд за счет введения флюктуаций при линейном члене /. При этом введение флюктуаций предполагалось кратковременным. Выражение (6.54) показывает новые возможности при решении подобных проблем в сочетании с принципом управления по возмущению (компенсация возмущений). [c.249]

Рассматривается нагруженный гидродвигатель (любой), питаемый через трубопровод постоянным расходом, достаточно малым для того, чтобы нелинейные демпфирование и сопротивления типа, отрицательное сопротивление могли привести к возникновению автоколебаний. Устанавливаются условия возникновения автоколебаний на основе анализа дифференциального уравнения, определяются основные параметры малых автоколебаний методом гармонической линеаризации, устанавливаются способы проверки малости автоколебаний. Рис. 4, библ. 6. [c.221]

Полагая при составлении дифференциальных уравнений малых движений обобщенные координаты (отсчитываемые от положения равновесия) и обобщенные скорости малыми величинами, ограничимся в дифференциальных уравнениях движения линейными членами. Этот прием, заключающийся в отбрасывании в нелинейных дифференциальных уравнениях членов, содержащих квадрат и более высокие степени обобщенных координат и скоростей, называется линеаризацией уравнений. Такая линеаризация, естесавенно, в известной мере искажает действительную картину движений, однако чем меньше отклонения системы от положения устойчивого равновесия, тем точнее будут описывать линеаризованные уравнения движение системы. Линеаризация дифференциальных уравнений позволяет получить замкнутое решение для таких систем, для которых нахождение интегралов точной. [c.585]

С помощью электронных аналоговых машин можно решать нелинейные задачи, когда линеаризация дифференциальных уравнений движения по каким-либо причинам недопустима, а также задачи, приводящие к линейным дифференциальным уравнениям с переменными коэффициентами. В заключение отметим, что в современных аналоговых машинах устанавливается, как правило, не электродинамическая, а электроматематическая аналогия, когда математическим операциям сложения, умножения, дифференцирования, интегрирования и т. п. отвечает соответствующий электрический элемент. Такие машины более универсальны. [c.67]

В. Линеаризация дифференциального уравнения. Вернемся теперь к общей системе (1). При исследовании решений системы (1), близких к положению равновесия часто пользуются линеаризацией. Предположим, что = О (обшрй случай приводится к этому сдвигом системы координат). Тогда первый член ряда Тейлора / линейный [c.91]

Определение нутации. Сначала необходимо рассмотреть в выражс1П1Ях L и М члены, которые содержат явно долготу I возмущающего тела. Вместе с тем для выполнения линеаризации дифференциальных уравнений можно записать [c.393]

Данное трансцендентное уравнение является уравнением устойчивости упругой системы по МГЭ. Корни уравнения устойчивости определяют спектр критических сил, число которых (теоретически) бесконечно. Чтобы не пропустить первой критической силы, нужно начинать анализ поведения определителя (4.6) с достаточно малых значений сжимающих сил Г. Рекомендуется начальное значение Г выбирать из интервала (1/100 - 1/1000)Гть, где Гщь - минимальная критическая сила стержней основной системы метода перемещений. Шаг изменения сжимающей силы рекомендуется выбирать равным (1/100 - 1/1000) интервала, на котором выполняется поиск критических сил. Изменение знака определителя (4.6) или равенство его нулю свидетельствует о прохождении критической силы. Таким образом, методика определения критических сил не отличается от методики определения частот собственных колебаний упругих систем. Здесь можно использовать программы на языках ГоЛгап и Разса1 примеров №13, №14 с соответствующим изменением обозначений переменных. В рамках принятых допущений МГЭ позволяет определять точный спектр собственных значений (частот или критических сил). Однако, линеаризация дифференциальных уравнений и краевых условий, неучет деформаций [c.122]

В программе FIELDAY, основанной на использовании метода конечных элементов, реализуются двух- и трехмерные модели процессов переноса заряда в полупроводнике. В моделях может быть учтен широкий спектр физических эффектов, существенных для биполярных и полевых транзисторов. С помощью метода конечных элементов непрерывное описание процесса переноса заряда в полупроводниковом приборе преобразуется в численную модель на дискретном множестве точек. Для линеаризации дифференциальных уравнений используется два типа алгоритмов так называемые алгоритмы одновременного и последовательного решения уравнений. Результирующие матричные уравнения решаются прямыми методами. Наличие препроцессоров и постпроцессоров позволяет пользователям легко генерировать новые модели и исследовать результаты. Гибкость и точность программы FIliLDAY демонстрируется на характерных примерах. Обсуждаются возможности дальнейшего усовершенствования программы. [c.458]

Алгебраизованная форма — результат представления дифференциальных уравнений в полученных после дискретизации точках в алгебраизованном виде с помощью форМул численного интегрирования. Ряд численных методов решения основан на линеаризации исходных уравнений. [c.168]

Под сильно нелинейной с11стемой обычно понимают либо динамическую систему, не допускающую линеаризации в малом, либо систему, в которой проявляются нелинейные эффекты, не обнаруживаемые квазилинейной теорией. К таким системам относятся релейные системы автоматического регулирования, динамические системы с ударным взаимодействием, системы с люфтом и сухим трением и др. Одним из эффективных методов изучения динамики сильно нелинейных систем, поведение которых описывается дифференциальными уравнениями (4.1) с кусочно-гладкими правыми частями, является метод точечных отображений. Этот метод, зарождение которого связано с именем А. Пуанкаре и Дж. Биркгофа, был введен в теорию нелинейных колебаний А. А. Андроновым. Установив связь между автоколебаниями и предельными циклами А. Пуанкаре и опираясь на математический аппарат качественной теории дифференциальных уравнений, А. А. Андронов сущест-Еенно расширил возможности метода припасовывания и сформулировал принципы, которые легли в основу метода точечных отображений и позволили эффективно использовать этот метод при исследовании конкретных систем автоматического регулирования и радиотехники. С помощью метода точечных отображений оказалось возможным полностью решить ряд основных задач теории автоматическою регулирования и, в первую очередь, классическую задачу И. А. Вышнеградского о регуляторе прямого действия с сухим трением в чувствительном элементе [1, 2J. Была рас- [c.68]

В разделе 2.3 будет показано, что нелинейность оператора, связанная с ненулевыми начальными условиями, довольно легко может быть устранена. Нелинейность оператора, связанная с нелинейностью дифференциальных уравнений математической модели, не может быть, как правило, устранена. Для таких операторов необходимо либо придумымать индивидуальные методы исследования, либо с некоторой степенью точности заменять их линейными операторами. Более подробно процедура такой замены (линеаризации) будет описана в разделе 2.3. [c.53]

Нетрудно заметить, что уравнения (XII.16) и (XII.17), являющиеся уравнениями Рикатти, не интегрируются в элементарных функциях. Для нахождения их решения можно применять метод численного интегрирования. Однако для упрощения расчетов, если зависимость рд , = р (/) задана графически, можно с небольшой погрешностью представить график в виде отрезков прямых, произведя линеаризацию кривой. После этого численное интегрирование не представляет особого труда. При расчете необходимо следить по значению скорости и числу Re за режимом течения жидкости и при смене режима перейти на соответствующее уравнение. Когда значение р t) достигнет своего практически постоянного значения (например, давления в сети), то и правые части уравнений (XII.16) и (ХП.17) окажутся постоянными и их можно проинтегрировать, как дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Разгон поршня будет происходить до установления постоянной скорости и . [c.235]

Линеаризация в окрестности идеального фазового угла. Уравнение (5.2) является нелинейным в силу нелинейности функции П (ф + ) и ее производных, а также члена, связанного с q . Покажем, что это уравнение устранением весьма слабых нелинейных связей может быть приведено к виду дифференциального уравнения с переменными коэффициентами. Предварительно разобьем фазовый угол 2я, соответствующий полному обороту приводного вала, на участки, в пределах которых П (ф Fi (ф dFJdff и по крайней мере первые три передаточные функции не терпят разрыва непрерывности. Тогда, раскладывая эти нелинейные [c.165]

Учитывая, что координаты qi и связаны между собой зависимостью iqi с q , после линеаризации передаточных функций в окрестности текущего фазового угла получаем дифференциальное уравнение (5.4) при [c.178]

Иапользов зние дифференциальных приближений приводит К нелинейному относительно температуры дифференциальному уравнению энер гии, решаемому численно или методом линеаризации. При использовании же ин-тегралыных уравнений теплообмена излучением в конечном счете получается нелинейное интегро-дифференци-альное уравнение, которое либо решается численно [Л. 108, 402—405], либо путем экапоненциальной аппроксимации ядра (в случае плоского слоя) сводится к нелинейному дифференциальному уравнению [Л. 370, 407], решаемому тем или иным способом. [c.382]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...