Разрывы функции ср и ее первых производных

Наряду с поверхностями разрывов, на которых испытывают скачок величины р, р, v и т. п., могут существовать также и такие поверхности, на которых эти величины как функции координат обладают какими-либо особенностями, оставаясь сами непрерывными. Эти особенности могут быть самого разнообразного характера. Так, на поверхности разрыва могут испытывать скачок первые производные по координатам от величин р, р, V,. .. или же эти производные могут обращаться в бесконечность, Наконец, то же самое может иметь место для производных не первого, а более высоких порядков. Все такие поверхности мы будем называть поверхностями слабого разрыва в противоположность сильным разрывам (ударным волнам и тангенциальным разрывам), в которых испытывают скачок сами указанные величины. Отметим, что ввиду непрерывности самих этих величин на поверхности слабого разрыва, непрерывны также и их тангенциальные производные разрыв непрерывности испытывают лишь нормальные к поверхности производные. [c.500]

Здесь 0 — превышение температуры над ее постоянным значением в натуральном состоянии Vi — объем, в котором задано распределение температуры вне этого объема 0 = 0. Такое же поле вектора перемещения в неограниченной упругой среде создается, по (1.1.12), распределением в объеме Vi центров расширения с интенсивностью, пропорциональной 0, Функция х представляет ньютонов потенциал притягивающих масс с плотностью, пропорциональной температуре. Первые производные этого потенциала (компоненты силы притяжения, компоненты вектора перемещения в нашем случае) непрерывны во всем пространстве (в предположении, что непрерывна плотность) разрыв вторых производных при переходе через поверхность О извне (из объема Ve) внутрь объема Vi определяется известными формулами [c.218]

Из кинематических условий совместности (см. [8]) для функции /( i, 2, первые производные которой терпят разрыв при переходе через поверхность S( i, 2, (з) = О, [c.87]

Будем предполагать далее, что в окрестности поверхности Rt непрерывны все четвертые производные функции Ф(г, (p t), содержащие дифференцирование дважды по каждой из независимых переменных. Такое предположение о гладкости течения в окрестности Rt реализуется в ряде конкретных течений, например в одномерных те чениях, если движение поршня происходит достаточно гладко [1], в классе плоских и пространственных двойных волн [2, 3]. В частности, из сделанного предположения следует, что возмущения в течении типа разрывов первых производных функций щ, U2, С не догоняют слабый разрыв г = 0. [c.290]

Таким образом, разрыв первого рода всегда ведет к разности, значение которой составляет до половины величины разрыва функции объекта в непосредственном соседстве с ним то же самое происходит в областях, где велики первые производные. [c.260]

Производные от термодинамических функций вследствие наличия скачка в случае ФП1 должны испытывать бесконечный разрыв. Первыми производными энтропии и объема по переменной температуре и при постоянном давлении являются удельная теплоемкость Ср и термическое расширение Ор [c.97]

Будем предполагать, что поле напряжений и скоростей деформации непрерывно. Рассмотрим характеристические поверхности слабого разрыва х г) = О, на которых первые производные напряжений и скоростей деформации терпят разрыв. Предположим, что поверхность текучести является гладкой, дважды дифференцируемой функцией своих аргументов. В дальнейшем будем использовать выражения условия текучести и ассоциированного закона течения в комнонентах главных напряжений и скоростей деформации, которые будем обозначать соответственно через сг , [c.85]

Поверхности S, на которых сами гидродинамические элементы претерпевают разрыв, носят название поверхностей сильного разрыва. В том случае, если сами гидродинамические элементы непрерывны, но среди их первых производных по координатам или по времени найдётся хотя бы одна, меняющаяся скачком при переходе через поверхность последняя называется поверхностью разрыва первого порядка. Вообще говоря, если при переходе через поверхность S функция Ь непрерывна, но производная по координате илн по времени, начиная с некоторого порядка, терпит разрыв, то S называется поверхностью слабого разрыва для функции Ь. Употребительны также термины просто разрыв или волна . Поверхности сильного разрыва, представляющие разрыв давления, называются ещё скачками уплотнения или ударами сжатия. [c.18]

В изложенной постановке рассмотрены неравновесные двухмерные течения, причем получены необходимые условия экстремума. Показано, что разрыв первой производной функции, описывающей контур тела, обусловливает разрыв множителей Лагранжа в области влияния выведена условия на таких разрывах. Дан расчет первой вариации при варьировании положения точки излома контура тела. [c.244]

Общие свойства III. у. б е з времени. Волновая ф-ция должна удовлетворять нек-рым дополнит. условиям, имеющим ясный физ. смысл. Вместе со своей первой производной она должна быть однозначной, непрерывной и конечной во всем пространстве, если потенциальная энергия U (/ ) нигде не обращается в бесконечность (если же U (г) бесконечна в области, ограниченной нек-рой поверхностью, то на границе этой области я]) обращается в нуль, а производные от i ) испытывают, вообще говоря, разрыв). Поэтому III, у. без времени (3 ) является ур-нием на собственные значения. Отдельное его решение (г) наз. собственной функцией, соответствующей нек-рому собств. значению Л оператора II. Собств. значения — единственно возможные результаты точных измерений полной энергии частицы. Ш. у. без времени действительно. Его решения для систем, не находящихся в магнитном поле, всегда могут быть выбраны действительными как для вырожденных, так и для невырожденных значений энергии. [c.423]

Заметим, что эти определения относятся к системам уравнений первого порядка. В механике сплошной среды традиционно для многих моделей (в том числе в теории упругости) система может содержать уравнения более высокого порядка, которые, конечно, могут быть записаны в виде (1.6) путем введения вспомогательных функций. Если система уравнений содержит вторые или более высокие производные, то сильным разрывом называется разрыв более низких производных, чем старшие из тех, которые входят в уравнения. Если рвутся старшие производные, входящие в уравнения, или более высокие производные, то разрыв называется слабым. Мы будем рассматривать далее только сильные разрывы. [c.38]

В случае разрыва 1-го порядка волна называется волной сильного разрыва] если разрыв порядка п 2, то такая волна называется обыкновенной волной. Разрыв нулевого порядка не может распространяться, так как это означало бы разрыв среды. Таким образом, если на поверхности (/) поля тензора напряжений аг или скорости VI материальных частиц имеют разрывы, то эта поверхность является волной сильного разрыва. Если поле тензора напряжений и скорости частиц Vi на 5 ( ) — непрерывные функции, но какая-нибудь из их первых производных разрывна, то волна называется волной слабого разрыва или волной ускорения. [c.43]

Из разложения (18.4) видно, что в тех точках, где потенциал или его первая производная терпят разрыв, функция Go также будет очень плохим приближением. Этого следует ожидать, так как необходимо, чтобы потенциальная энергия изменялась медленно. [c.523]

С этих позиций более эффективным методом для анализа процесса адвекции пассивных жидких контуров в известном двухмерном поле скорости является метод кусочной сплайн-интерполяции [2]. Этот метод тоже относится к параметрическим. В качестве параметра кривой используется ее длина для текущего момента времени от произвольно выбранного первого маркера. Для каждого момента времени все координаты используемых маркеров описываются интерполяционной формулой. Интерполяция по небольшому количеству узловых точек (значения координат используемых маркеров) на текущем интервале и объединение их в общую интерполяционную функцию позволяет в точках сопряжения избавиться от разрывов функции [9]. Понятно, что в этих точках испытывают разрыв только высшие производные. [c.450]

Если функция в некоторой точке испытывает скачок, то ее производная в этой же точке обращается в бесконечность. В согласии с опытом при фазовых переходах первого рода по мере приближения к точке перехода Ср, и ар стремятся к бесконечности. При фазовых же переходах второго рода удельная энтропия и удельный объем изменяются непрерывно, однако имеется разрыв непрерывности в зависимости от давления и температуры таких характеристик, как С , р -иар. Все они определяются через вторые производные от химического потенциала. В бесконечность должны обращаться величины, связанные уже с третьими производными. [c.212]

При выводе уравнений этого параграфа мы предполагали гидродинамические элементы и их производные непрерывными. Пусть теперь есть поверхность Е, являющаяся поверхностью слабого разрыва, так что сами функции непрерывны всюду, но уже первые их производные по координатам н времени претерпевают при переходе через Е разрыв. Такого рода слабые разрывы возможны, как мы в дальнейшем увидим, для нестационарного движения и для широкого класса стационарных движений. Остановимся на этом вопросе детальнее. [c.21]

Покажем теперь, как слабый разрыв связан с характеристиками системы уравнений газовой динамики. Последняя есть система пяти уравнений в частных производных первого порядка по четырём независимым переменным, содержащих пять неизвестных функций. Известно, что к рассмотрению характеристик приводит задача Коши, каковая [c.24]

Следовательно, составляющая силы притяжения по нормали к плоскости диска, или нормальная производная силовой функции, имеет разрыв первого рода в центре диска и величина скачка равна [c.60]

Фридман и Тамаркин рассматривают также вопрос о распространении разрывов в вязкой сжимаемой жидкости. В связи с тем что уравнения Навье-Стокса отличаются по форме от уравнений Эйлера для идеальной жидкости (в последние не входят производные второго порядка от компонент скорости), им приходится несколько изменить тип изучаемого разрыва. Они считают в этом случае, что производные первого порядка от слагаюгцих скорости непрерывны, а терпят эазрыв производные второго порядка. Остальные неизвестные функции ведут себя так же, как в случае разрывов первой ступени, т.е. разрыв претерпевают первые производные от давления и от удельного объема и первые или вторые производные от температуры. Такой разрыв авторы называют гидродинамическим разрывом второй ступени. [c.223]

Сингулярные критические точки были идентифицированы как в измеренных, так и в рассчитанных дисперсионных кривых для различных кристаллов со структурой алмаза. Ранее мы видели, что сингулярные критические точки, характеризуемые разрывной первой производной только в одном направлении, вносят разрыв в первую производную функции распределения частот dg ( i)jd(u, если критическая точка является максимуигом или минимумом (см. [91, в частности фиг. 2] и [92, табл. VI]). Другие сингулярные случаи, например разрывы в более чем одной первой производной для максимума Рз или минимума Ро или случаи седловых точек Рь Рг или F, F2 с одной или более разрывными производными, вносят разрывы в производные более высокого порядка функции ( ). Более детально обозначения поясняются ниже. [c.160]

На фронте поперечной волны (при у = 0) т- -уд = 0, так же как и на фронте продольной волны, о(т, х, 0) и обе ее первые производные по х и т непрерывны. Из формулы (5.32) нетрудно увидеть, что функция ц(т, х, 0) при т = 3х имеет логарифмическую особенность, т. е. в вертикальном смещении на свободной части границы имеется логарифмический разрыв, который распространяется со скоростью волны Релея. Можно также проверить, что и(т, х, 0) непрерывна в точке х = 0, но дь1дх при х- —о оказывается неограниченной и при малых х величина 5ц/(3х имеет асимптотику [c.491]

Только в теории ударов приходится пметь дело со схемой отобразкеиия явлений движения, которые предполагают разрыв первых производных функций (2) [c.91]

Поскольку функция ZO W) 2л -перйодична, ограничимся W6[0, 2л]. Функции sin IF и OS IF являются непрерывно дифференцируемыми, функция Z0 (И7) непрерывна, однако не является непрерывно дифференцируемой. Первая производная функции Z0 (W) терпит разрыв в точках W = [c.167]

Предположим, что на некоторой линии х = X t) на плоскости х,1 терпит разрыв хотя бы одна из первых производных функций щ х,Ь), а сами функции щ[х,Ь) непрерывны. Будем считать, что на линии х = Х Ь) существуют односторонние производные от щ х,1) с обеих сторон от этой линии. Обозначим через [дщ/дЬ) и дщ/дх) значения производньлх со стороны X > Х 1) -а через [дщ/д1) и дщ/дх) - со стороны х < Х Ь) (для определенности считается Х/йЬ > О и знаки и -Ь читаются как перед и за слабым разрывом). Обозначим квадратными скобками величину разрыва (скачок) производных [c.21]

Из проведенного выше построения решения видно, что характеристики несут информацию с границы в рассматриваемую область. Физически характеристики соответствуют волнам, распространяющимся со скоростями с . Судя по этому построению, в общем случае следует ожидать, что любое резкое изменение данных на границе приведет к соответствующим резким изменениям решения, распространяющимся вдоль характеристик, проходящих через эти граничные точки. Если такое резкое изменение представляет собой разрыв некоторых производных функции и, то это не слишком определенное соображение становится точным и можно ожидать, что разрывы производных распространяются вдоль характеристик. Соответствующие результаты можно получить непосредственно из уравнений. Рассуждения проводятся для случая разрыва первого рода первых производных функций Uj. Производные высших порядков и прочие особенности можно рассмотреть ана. югичным образом. [c.129]

Как уже отмечалось в 1-1, для фазовых переходов первого рода при пересечении кривой фазового равновесия скачком изменяется ход изотерм, изохор, изоэнтроп, изобар и линий других функций состояния. Это связано с различиями в структуре вещества в однофазной и двухфазной областях. Следует, однако, иметь в виду, что на пограничных кривых внутренняя энергия, энтропия, энтальпия, температура, давление и объем имеют единственные значения, не зависящие от направления подхода к этой кривой. Переход системы через пограничные кривые не нарущает непрерывности изменений самих термодинамических функций. Производные же от термодинамических функций по термическим параметрам претерпевают разрыв в точках равновесных переходов. [c.17]

Рассмотрим в пространстве xi X2,x t окрестность слабого разрыва Ф(ж1, Ж 2, жз) = t, характеризуемую тем, что расстояние р произвольной точки М этой окрестности до поверхности Ф = будет меньше или равно к, т. е. р М Ф) к. Пусть возмуш ения в течении за слабым разрывом не догоняют разрыв (течение в окрестности разрыва достаточно гладкое) и форма разрыва также достаточно гладкая. Тогда для t 0(1с / ) разность одинаковых первых частных производных для двух любых ре шений, соответствуюш их данной форме разрыва, будет отличаться на величину О к) (см. (3.4)). Тогда из формул тэйлоровских разложений для функций с, так как предельные значения этих функций для всех различных течений на Ф = совпадают, для t следует, что с точностью 0 к ) основные газодинамические величины [c.122]

Если функция т иретерневает разрыв на поверхностп у = Л(ж, ), то производные, входягцие в первые трп интеграла, представляют собой обобгценные функции, так что для вычисления интегралов нужно. [c.227]

Смотреть страницы где упоминается термин Разрывы функции ср и ее первых производных : [c.145] [c.185] [c.133] [c.565] [c.95] [c.76] [c.21] [c.23] [c.147] [c.356] [c.141] [c.198] [c.290] [c.101] [c.32] [c.404] [c.214] [c.79] [c.220] [c.112] [c.53] [c.193]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...