Метод Лагранжа вариации постоянных

В соответствии с методом Лагранжа вариации постоянных произведем замену переменных х, х А, А, вводя одновременно комплексное представление координаты и скорости [c.184]

Частное решение Хч(1) можно получить посредством квадратур по методу Лагранжа вариации произвольных постоянных. Этот метод широко используется в механике для изучения движения возмущенных систем. Воспользуемся им. Представим x (t) в виде [c.233]

По методу Лагранжа вариации произвольных постоянных найти общее решение уравнения х + и/ х = ехр(1/<), где ш и — действительные постоянные, I — время. [c.301]

Метод оскулирующих элементов сродни методу Лагранжа вариации произвольных постоянных. В самом деле, пусть изучается движение, описываемое следующей системой обыкновенных дифференциальных уравнений [c.697]

Уравнение (IV.62) можно интегрировать двумя способами методом вариации постоянных интегрирования (методом Лагранжа) и символическим методом. Мы применим второй метод ). [c.352]

Используем метод вариации произвольной постоянной с х) (метод Лагранжа), согласно которому решение ищем в виде [c.172]

Величина а в знаменателе правой случай биения (е о. части в (17.144) (масса колеблющегося тела) появляется в процессе вывода уравнения согласно (17.115). Решение такого неоднородного дифференциального уравнения находим по известной схеме Лагранжа ) (метод вариации постоянных Лагранжа). Фундаментальная система однородного уравнения, соответствующего (17.144) имеет вид (17.100) [c.119]

Решения для простейших одномерных задач при движении газа (жидкости) по трубе получены в аналитическом виде [69]. Например, среднемассовая температура в трубе при произвольных граничных условиях на стенке может быть найдена из уравнения энергии методом вариации произвольной постоянной (методом Лагранжа) [c.186]

Другие механики в основном приняли то понятие вариации, которое дано Эйлером в его более поздней статье о методе Лагранжа. Это понятие заключается в следующем. Вариация функции имеет место, когда заключенные в ней параметры претерпевают изменение. Якоби в своих Лекциях по динамике утверждает, например, что вариации заключают в себе лишь изменения qt, которые проистекают от изменений содержащихся в gt произвольных постоянных. В соответствии с этим он делает вывод, что независимые переменные не варьируются, так что = 0. [c.220]

Метод вариации постоянных изложен в пятом отделе первого тома Аналитической механики Лагранжа ). Приведены уравнения возмущенного движения как в форме (1.10), так и (3), хотя канонические уравнения не были известны Лагранжу. Он следующими словами характеризует сущность метода обычно первое решение (в задачах механики) находят, принимая во внимание только главные силы, действующие на тела, а для того чтобы это решение распространить на другие силы, которые можно назвать возмущающими, проще всего сохранить форму первого решения, но рассматривать входящие в него произвольные постоянные как переменные величины. Ибо если величины, которыми мы пренебрегли и которые хотим теперь учесть, очень малы, то новые переменные будут почти постоянными и к ним можно будет применять обычные методы приближения . [c.565]

Мы рассмотрим сначала способ получения приближенного решения, наиболее привычный и удобный для астрономов, опирающийся на общий метод изменения (вариации) произвольных постоянных, основы которого были заложены еще Ньютоном в его знаменитом сочинении Математические начала натуральной философии и который был затем детально разработан Лагранжем в ряде замечательных мемуаров и в его Аналитической механике ). [c.568]

Основная идея метода Лагранжа изменения (или вариации) произвольных постоянных заключается в следующем [c.570]

Таким образом, к уравнениям (13.1) вполне можно применить общий метод Лагранжа изменения (или вариации) произвольных постоянных, основы которого были подробно разобраны в предыдущей главе. [c.656]

Воспользуемся общеизвестным математическим приемом — исключим зависимые вариации по методу Лагранжа. Для этого умножим уравнения (57) и (58) на некоторые множители С и Сг, являющиеся постоянными величинами, т. е. одними и теми же для всех элементов объема, прибавим результат к уравнению (56) и в полученном выражении приравняем нулю коэффициенты при и 6е. [c.78]

Для решения задач Лагранж развил в динамике общий приближенный метод, основанный на вариации произвольных постоянных ). [c.280]

Следующий важный щаг в развитии интересующего нас круга идей сделал замечательный французский ученый Пуассон, исходя из разработанного Лагранжем и им метода вариации произвольных постоянных. Вместе с тем Пуассон как бы завершил исключение всякой посторонней метафизики из вопросов, связанных с соотношением, получившим название принципа наименьшего действия. [c.804]

Найдем общее решение уравнения (5.41), воспользовавшись методом вариаций произвольных постоянных Лагранжа. Считая Уоо функцией времени, подставим (5.42) в уравнение (5.41) [c.167]

Начало основных понятий теории интегральных инвариантов можно найти в гидродинамике при выводе уравнений движения жидкости и в исследованиях вихревых движений идеальной жидкости, выполненных Г. Гельмгольцем и Кельвином вместе с тем можно увидеть частные примеры интегральных инвариантов и в работе Лагранжа о методе вариации произвольных постоянных. [c.36]

Так как единица есть множитель Якоби для канонических уравнений, то (/it /а> /з5 /4) = С будет интегралом этих уравнений Мы упомянули выше, что уже Лагранж встретил в своих исследованиях о методе вариации произвольных постоянных один интегральный инвариант. Этот инвариант есть основной инвариант второго порядка (79). Отметим некоторые подробности. [c.41]

Этот метод определения частного решения, предложенный впервые Лагранжем, называется методом вариации произвольных постоянных. [c.470]

Задача об устойчивости заданного движения материальной системы может рассматриваться с различных точек зрения. Речь может идти, во-первых, о разыскании оценок отклонений обобщенных координат и обобщенных скоростей от их значений в опорном движении в любой момент времени, когда начальные возмущения достаточно малы. Об основывающемся на этом воззрении определении устойчивости движения по Ляпунову кратко говорилось в п. 11.10, а составлению уравнений возмущенного движения — уравнений в вариациях — были посвящены пп. 11.14—11.17. Во-вторых, может рассматриваться лишь орбитальная устойчивость, когда вопрос о протекании во времени возмущенного движения отодвигается на второй план, а изучаются лишь траектории возмущенного движения и устанавливаются критерии их близости к опорной траектории. При этом часто, ограничивая постановку задачи, рассматривают только консервативные возмущения — такие, при которых на возмущенных траекториях сохраняется то же самое значение постоянной энергии /г, что и на опорной траектории. Принцип стационарного действия Лагранжа оказывается при этой постановке задачи наиболее приспособленным методом исследования орбитальной устойчивости, поскольку траекториями как опорного, так и возмущенного движений являются геодезические линии многообразия / элемента действия, т. е. простейшие геометрические [c.721]

Выполненная замена представляет собой метод вариации произвольных постоянных Лагранжа, в котором вновь вводимые переменные связываются дополнительным условием [c.163]

Хвх в виде единичной скачкообразной функции X ( ) = 1 [ ] и нулевых начальных условиях. Если бы мы решали эту задачу классическим способом, то нам, очевидно, пришлось бы получить прежде всего для системы исходное дифференциальное уравнение (четвертого порядка и, следовательно, с правой частью), найти численные значения корней характеристического уравнения (для уравнения без правой части), выписать (судя по их виду) интеграл уравнения без правой части. Затем задаться видом частного решения уравнения с правой частью каким-либо из известных нам методов (например, методом вариации произвольных постоянных или методом неопределенных множителей Лагранжа), для чего придется многократно (3 раза) дифференцировать и, получив общий интеграл, искать постоянные интегрирования. Это потребует из-за наличия производных в правой части и скачкообразной формы возмущения пересчета начальных условий. Только после определения постоянных интегрирования в численном виде можно будет, задаваясь значениями аргумента t, вычислить ординаты функции или кривой переходного процесса. [c.145]

В первом томе Аналитической механики Лагранж, излагая приближенный метод решения задач динамики— метод вариаций произвольных постоянных и приложение его в теории возмущений—для упрощения записи уравнений движения ввел функцию [c.220]

Метод вариации постоянных, предложенный Лагранжей ), заключается в следукццем пусть найдено решение системы (9.3) при Q = О (ш=1, 2, s), т, е. определено движение системы под действием основных сил Qm предполагая теперь, что дополнительные силы Q , которые называются возмущающими , достаточно малы по сравнению с основными, решение системы уравнений (9.3) ищут в форме (9.4), причем величины l, С2,. .., 2S считаются уже не постоянными, а медленно меняющимися функциями премени. [c.239]

Формули])уя в общем впде, мы можем этот принцип, который был введен в астрономию Лагранжем и именуется методом вариации постоянных, выразить так, что для интегрирования дифференциальных уравнений [c.196]

Среди работ, затерянных в безбрежном океане статей и монографий, посвященных задаче трех тел, многие результаты и поныне не утратили своего значения. XVIII в. оставил нам частные решения Л. Эйлера и Ж. Лагранжа, теорию возмущений и метод вариации постоянных . XIX столетию принадлежит великое открытие па копчике пера , сделанное У. Леверрье и Дж. Адамсом. Идея представления решений в виде степеииых и тригонометрических рядов также в духе того столетия для вычисления орбит небесных тел астрономы до сих пор нередко используют методы, восходящие к исследованиям того времени. Итог исследованиям XIX в. подвели Новые методы небесной механики Л. Пуанкаре и знаменитая теорема К. Зундмана об аналитической регуляризации любого решения задачи трех тел с ненулевым значением момента количества движения. [c.133]

Итак, основные этапы развития аналитической динамики таковы первым шагом явилось установление лагранжевой формы уравнений движения, затем лагранжев метод вариации произвольных постоянных и аналогичная теория Пуассона и связанные с нею проблемы интегрирования затем Гамильтон представил интегральные уравнения посредством единственной характеристической функции, определяемой а posteriori посредством интегральных уравнений, предполагаемых известными, или из того условия, что она должна одновременно удовлетворять двум дифференциальным уравнениям в частных производных Гамильтон же нашел новую форму уравнений движения Якоби свел интегрирование дифференциальных уравнений динамики к нахождению полного интеграла единственного дифференциального уравнения в частных производных он же развил теорию последнего множителя системы дифференциальных уравнений движения Остроградский рассмотрел проблему интегрирования уравнений динамики Раус нашел новую форму дифференциальных уравнений движений Пуанкаре развил теорию интегральных инвариантов наконец, [c.848]

Другими частными решениями задачи трех тел, существование которых доказано строго, являются периодические орбиты. Работа Пуанкаре ) представляет обширную теорию этого класса орбит. В гл. XII настоящей книги пример такого рода периодических орбит приводится при рассмотрении теории Хилла —Брауна движения Луны. Метод, примененный для изучения орбит в окрестности периодической орбиты, выбранной в качестве первого приближения в теории Луны, применим в большинстве случаев и к периодическим орбитам в ограниченной задаче. Однако в этом случае уравнения в вариациях больше не являются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, как это было для частных решений Лагранжа. Коэффициенты этих линейных уравнений представляют собой периодические функции времени. [c.234]

Первое аналитическое развитие метода вариации произвольных постоянных было даио Эйлером в работах по изучению взаимных возмущении Юпитера и Сатурна, удостоенных премий Французской Академии наук в 1748 и 1752 гг. Разработка этого метода была продолжена Лагранжем в 1766 г. и завершена им в 1782 г. [c.266]

Лагранж, вклады которого в небесную механику носили наиболее блестящий характер, написал свой первый мемуар о возмущениях Юпитера и Сатурна в 1766 г. В этой работе он еще дальше развил метод вариации параметров, оставляя, однако, все еще неправильными конечные уравчения тем, что считал большие осп и эпохи прохождения через перигелий как постоянные в выводе уравнений для определения вариаций. Уравнения для наклонности, узла и долготы перигелия от узла были совершенно правильны. В выражениях для средних долгот планет имелись члены, пропорциональные первой и второй степеням времени. Они происходили всецело от несовершенства метола, и их истинная форма есть форма членов долгого периода, как это было показано Лапласом в 1784 г. при [c.374]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...