Тройные интегралы

Возьмем первый из тройных интегралов в уравнении (л) и проинтегрируем его по частям по л [c.158]

Аналогично соотношению (о) преобразовываются и остальные восемь первых тройных интегралов в уравнении (л). После их преобразования и группировки по составляющим возможных перемещений вместо уравнения (л) получаем [c.158]

Подставим полученное выражение удельной потенциальной энергии в пластинке в формулу (3.18). Так как прогибы пластинки являются функциями только двух переменных х и г/, то в тройном интеграле можно отделить интегрирование по г [c.167]

В случае однородного тела можно всегда начинать с выполнения одного интегрирования и привести тройные интегралы к двойным. [c.145]

Сплошные системы. Для вычисления моментов инерции сплощного тела, например, какой-нибудь металлической массы, его предполагают разбитым на элементарные объемы dv, каждый из которых имеет координаты х, у, г л массу т = д , где р — плотность элементарного объема до. Тогда суммы вида тх или туг превратятся в тройные интегралы /// рд 2 до или /Я руг до, распространенные на рассматриваемый объем. [c.16]

Эти суммы распространяются теперь на бесконечно большое число бесконечно малых слагаемых и представляют собой в действительности определенные интегралы. Они распространены на все элементы объема V и являются, следовательно, объемными, или тройными интегралами. Их записывают обычно в следующем виде [c.270]

Эту теорию можно распространить и на формулы тройных интегралов и отсюда получить аналогичные выводы. [c.146]

В статье исследуются кратные интегралы и их технические применения. Ассур предполагал распространить свое исследование и на тройные интегралы, но на это жизнь ему также не отпустила времени. Во всяком случае и в данной статье он ищет общее решение, которое можно применить, в частности, при определении моментов инерции тел вращения. [c.57]

Тела —Объём 1 (1-я)—104 — Выражение тройным интегралом 1 (1-я)—184 — Правило Гульдена-Паппуса 1 (1-я) — 106 —- Площадь поверхности—Правило Гульдена-Паппуса 1 (1-я) — 106 [c.294]

Замена переменных в тройных интегралах. При замене переменных х —f(u,v,w), y = f (II, V, w), г = ф (и, V, W) [c.184]

Ньютонов потенциал. Потенциал объёма. Так называется функция U (x,y,z), определяемая тройным интегралом, распространённым на объём V, ограниченный одной или несколькими поверхностями S [c.249]

Замена переменных в тройных интегралах. При замене переменных х=р и,у,т), у = <е (и, а, 11>), г = = ф (и, V, w) имеет место формула [c.185]

Функции тригонометрические Тригонометрия плоская — Формулы 94 Тройные интегралы 185 Труба — Объем 109 [c.587]

Замена переменных в тройных интегралах. При замене переменных [c.185]

Преобразовав двойные и тройные интегралы в однократные и выполнив соответствующие упрощения, представим выражения (51) в удобном для вычислений виде [c.75]

Обратимся в уравнении (л) к первому из тройных интегралов и произведем интегрирование по переменной х. Интегрируя по частям, находим [c.155]

Двойные и тройные интегралы в правой части (6.45) можно преобразовать в одинарные тогда (6.45) упрощается и Щ)ини-мает вид [c.244]

Определение П.8. Пусть G — стержень с осью Г, О G G АГ С Г, AG — часть стержня с осью АГ, ограниченная соответствующими поперечными сечениями. А/ = АГ , АР и AM — векторы равнодействующих силы и момента относительно точки О, найденные по формуле (П.8), где тройные интегралы вычисляются по стержню AG, а поверхностные — по его боковой поверхности. Тогда [c.586]

Чтобы избежать тройных интегралов, разбиваем данный шар на бесконечно тонкие концентрические слои с центром в начале координат. Объем слоя равен dV = 4-nr dr. Тогда масса шара [c.191]

Дальнейшее содержание четвертой части Маятниковых часов составляет по сути главу интегрального исчисления. Те простые, двойные и тройные интегралы, которые выражают моменты инерции однородных одно-, двух-и трехмерных тел, Гюйгенс в более простых случаях вычисляет, в других случаях, не имея возможности получить результат в конечном виде, только упрощает их вычисление. Кроме того, он устанавливает некоторые свойства центра качаний физического маятника. Гюйгенс заканчивает четвертую часть Маятниковых часов разъяснением того, что его открытия позволяют со значительно большей точностью, чем раньше, определить длину секундного [c.111]

С мемуаром Лагранжа О притяжении эллиптических сфероидов (1773) и Приложением к этому мемуару мы уже целиком в эпохе торжества аналитических методов механики. Лагранж начинает с записи составляющих силы притяжения материальной точки к любому телу в виде тройных интегралов (в декартовых координатах) и затем дает правила замены переменных в тройных интегралах,— вопрос, которым Лагранж занялся именно в связи с задачей о притяжении эллипсоидов. Вся трудность задачи — в выполнении 152 необходимого интегрирования. Лагранж получает аналитически основные результаты (Ньютона, Маклорена, некоторые обобщения Даламбера) для задачи о притяжении эллипсоидом внутренней точки. Так же, как его предшественники, для внешней точки Лагранж ограничивается случаем, когда точка находится на продолжении одной из осей эллипсоида (вообще говоря, трехосного). [c.152]

Показанные здесь знаки перед двойным и тройным интегралами верны, если нормали направлены внутрь области R. В частности, если R — бесконечная область и поверхность S отодвигается на бесконечность и если интеграл в области R сходится, то получим формулу [c.210]

При построении системы КОР используется метод Винера-Хопфа. Первоначально полученные замкнутые решения выражаются тройными интегралами, и при их реализации возникают различные вычислительные проблемы, связанные с медленной сходимостью обращений преобразования Лапласа. Спектральный анализ соответствующих характеристических функций позволил преодолеть эти трудности и построить эффективное решение, в котором все ряды и интегралы имеют экспоненциальную сходимость. Для сингулярных точек области получены асимптотические представления решений и явные формулы для коэффициентов интенсивности. Получены простые формулы для временных осадок штампа на прямоугольнике. Выполнены численные проверки сходимости, приводятся численные результаты по исследованию изменения коэффициента интенсивности напряжений в процессе консолидации. [c.574]

Мы пишем в (9.1) суммы — в действительности же мы должны разбить твердое тело на элементарные частицы и искать пределы этих сумм, в предположении, что масса каждой элементарной частицы стремится к нулю. Если известна плотность V = = у( у, г) в каждой точке тела и известно уравнение поверхности, являющейся его границей, то вычисление сумм (9.1) сводится к вычислению тройных интегралов по объему тела (учебник, 132, формула (3 )), где йт = yйv, а йю — элемент объема тела. Шесть величин (9.1) зависят, очевидно, как от выбора точки О, так и от направлений прямоугольных координатных осей Ох, Оу, Ог, Зная эти шесть величин, мы легко найдем момент инерции тела относительно любой оси Ои по формуле [c.232]

Сумма же элементарных работ всех сил, действующих на всю массу, выразится тройным интегралом [c.622]

Компоненты по осям силы притяжения всего тела выразятся тройными интегралами от написанных выражений, распространенными на все [c.720]

Триоды 2 — 361 Тройники 2 — 487 Тройные интегралы 1 — 185 Троллеи — Допустимые нагрузки 2 — 351 [c.483]

В уравнении (84), написанном в наиболее общей форме, из 11 тройных интегралов вычислению подлежит только 7 интегралов, так кш йх йх- йх [c.67]

Приложение формулы (17.12.1) к обработке опытных д.шных было начато больше чем через пятьдесят лет после появления работы Вольтерра. Следует отметить, что во всех этих новейших работах исследовались материалы, поведение которых мало отличалось от линейного. Поэтому в разложении (17.12.1) было достаточно удержать два члена, соответствующих однократному и тройному интегралам. Двукратный интеграл обычно отбрасывается, так как поведение материала при растяжении и сжатии предполагается одинаковым. Даже при таких упрощениях определение вида ядра, зависящего от трех независимых аргументов, довольно затруднительно. Обращение соотношения (17.12.1) имеет тот же вид, но фактическое выполнение такого обращения встречает существенные трудности. Лишь относительно недавно (1957 г.) кратно-интегральное представление было распространено на случай трехмерного напряженного состояния. При сохранении интегралов до трехкратных включительно поведение изотропного материала описывается при помощи 12 независимых ядер. Многие авторы поэтому стремились упростить полученные соотношения, делая те или иные предположения. Мы не будем здесь касаться этих вопросов. [c.607]

Аналогично рассматривают тройные интегралы, в которых области интегрирования есть тела /просдтанстпенные области/. Тройные интегралы при зтом обладают обьпшыми свойствами. Они гтрименяютс при вычислении объема и массы тела, моментов /статических и инерции/ тела, координат центра тяжести тела и др. [c.15]

При вычислении тройных интегралов их сводят к повторным, используя при этом прямоугольную декартовую и тe fy координат, а также цилиндрическую и сферическую системы координат и вообще ме тод замены переменных. [c.15]

Пусть имеем непрерывное магериальное тело. Разделим его координатными поверхностя ми на бесконечно малые объёмы пусть масса внутри какого-либо элемента объёма равняется dm. Тогда масса тела представится тройным интегралом j j j dm, a радяус-вектор и декартовы координаты центра масс найдутся по формулам [c.247]

Триэдр подвижной 1 (1-я) — 215 Триэтаноламим — Свойства 7 — 568 Тройные интегралы — см. Интегралы тройные Тролейкары — Применение 14 — 406 Троллейбусные двигатели ДК — Электромеханические характеристики 13—443 Троллейбусные шины — Внутреннее давление П — 120 Размеры 11—120 Троллейбусы 13 — 441, 443 - МТБ-82, ЯТБ-1, ЯТБ-2 —Шины —Внутреннее давление 11 — 120 — Размеры [c.312]

Здесь тройные интегралы берутся по объему тела, ограниченному поверхностью 5, а двойной — по этой поверхности. Величина I — косиг нус угла, образованного внешней нормалью к поверхности и осью х. При этом I dS dSyi — проекция площадки dS поверхности на плоскость у2. Аналогичные зависимости имеют место, если в левой части уравнения вместо д /дх СТОЯТ производные д 1ду или д /дг. Тогда вместо I в формулу подставляют величину т или п, а вместо d ldx —величину d ldy или d p/ г. [c.14]

Составляющие работы внешних.сил и 6R2 выражаются формулами (1.25) и (1.26). Так как вариации ди, 6v, 6w внутри объема тела произвольны, то из уравнения (1.31) следует, что должны быть равны соответствующие множители при 8и, 6у и 6с(У в ыражениях, стоящих под знаками тройных интегралов в левой и правой частях этого уравнения. Следовательно, [c.15]

Т р о й н о й (т р е X к р а X н ы ц) и и т с -г р а л функции трех переменных, распространенный на объем V, определяется аналогично двойному интегралу тело i разбивается на элементарные тела и рассматриваются произведения вида [ х . iij, Zf)dV, где (х, -, г, )—точка внутри (или на границе) элементарного тела, а dl -—его объем. Тройным интегралом называется предел суммы таких произведеии для всех элементарных тел, на которые разбито тело, если dl i O и число их п-> lx> [c.44]

Обозначим полную, кинетическую и потенциальную энергии всей системы, через г, и а кинетические энергии частей через г р и е р. Эти кинетические энергии необходимым образом разделены относительно потенциальных энергий мы можем не делать никаких предположений. Фазовый объем внутри произвольных границ, которые могуа быть выражены через s p, может быть представлен, в обозначениях главы VIII, тройным интегралом [c.126]

Возможные перемещения стеснены уравнениями (7) и (8). Умножим условие (7) на dxdydz так как в каждой точке жидкости имеет место это условие, то для всего объема жидкости оно представится тройным интегралом, распространенным на весь объем, именно [c.623]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...