Интегралы от элементарных функций

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ [c.110]

Интегралы от элементарных функций 1 (1-я) —254 [c.112]

Известно, что выразить решение системы (А) через элементарные функции или через интегралы от элементарных функций (решить систему (А) в квадратурах ) возможно лишь в случае частных типов этой системы. [c.25]

Неопределённый интеграл от функции вида / (A )sin.t, R x)zo%x, R x)e° , где R x) — рациональная функция, уже не всегда выражается через элементарные функции. Возможность выразить интегралы через элементарные функции представляется только в том случае, если R (х) — полином при этом она реализуется путём многократного применения формулы интегрирования по частям. [c.167]

То есть решений в виде интегралов от элементарных или специальных функций. Прим. ред.) [c.276]

Обращаясь далее к формулам (16.25 ), убеждаемся после элементарного анализа (с использованием обобщенной теоремы о среднем значении интеграла), что все коэффициенты системы 16.25), кроме Pii, Раг. Pss. обращаются в нуль. Последние же не равны нулю, являясь интегралами от положительных функций. Таким образом bi = bi =Ьз = О, т. е. формулы (16.31) обеспечивают однозначность смещений и углов поворота. [c.598]

Интегралом от биномиального дифференциала (или дифференциального бинома), называют х (а - - Ьх )Р ах, где т, п, р — рациональные числа. П. Л. Чебышев доказал, что такие интегралы выражаются в элементарных функциях только в следующих трех случаях а) когда р — целое число б) когда [c.161]

Интегралы Френеля, как известно, в элементарных функциях не интегрируются, поэтому приходится прибегать к использованию специальных таблиц. Результаты вычисления отношений Eq в зависимости от значений z или Al сведены в табл. 10,4 [c.166]

Видно, ЧТО все искомые величины, связанные с решением интегрального уравнения (1.43), выражены через элементарные функции. В решении фигурируют постоянные Ф и Qo, представимые в виде интегралов от f t). В случае, когда f t) — многочлен, эти интегралы берутся в явном виде. [c.43]

В этой главе излагаются специальные методы поиска гамильтоновых систем, допускающих полиномиальные по импульсам первые интегралы. Актуальность такой задачи определяется прежде всего тем, что все известные интегралы в гамильтоновой механике либо полиномы по импульсам, либо функции от полиномов (см, 1 гл, II), Задача о наличии линейных и квадратичных интегралов вполне элементарна и обычно решается без труда. Существенные трудности представляет задача о полиномиальных интегралах, степень которых не фиксирована. Ее пока удается решить полностью лишь для некоторых классов гамильтоновых систем, [c.372]

Поэтому особое внимание уделяется тем задачам, в которых удается получить решение системы, записанное через элементарные функции или интегралы от них. Такие задачи называются интегрируемыми. Многие практически важные задачи оказываются в определенном смысле близкими и интегрируемыми. Опираясь на эту близость , часто удается на основе анализа интегрируемых задач получить представление об общих свойствах решений в задачах, близких к интегрируемым. [c.222]

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПО КОНЕЧНЫМ РАЗНОСТЯМ ОТ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ [c.252]

Отличие между совершенной работой и потенциальной энергией аналитически может быть выражено следующим образом. Силовая функция, определенная в п. 337, представляет неопределенный интеграл от элементарной работы сил. Если система движется, то совершенная работа равна определенному интегралу с нижним пределом интегрирования, определяемым некоторым стандартным положением отсчета, обозначим его С, и верхним пределом интегрирования, определяемым текущим положением системы. Потенциальная энергия равна определенному интегралу с верхним пределом интегрирования, определяемым некоторым фиксированным положением отсчета, обозначим его Д, и с нижним пределом, определяемым текущим положением системы. Если указанные два положения отсчета С и Д совпадают, то работа равна потенциальной энергии, взятой с обратным знаком. Однако это не общий случай положения отсчета могут выбираться независимо в соответствии со смыслом каждого из интегралов, к которым они относятся. [c.307]

Правая часть этого уравнения вообще не может быть проинтегрирована в элементарных функциях, но она может быть приведена к эллиптическому интегралу первого рода. Тогда и, а следовательно, и г выражаются эллиптическими функциями от 5 и орбиты вообще либо закручиваются к началу координат, либо уходят в бесконечность, причем характер их зависи о начальных условий. [c.93]

Результаты (11.7.13) и (11.7.15) выражаются через элементарные функции и интегралы от них. Такая форма удобна для изучения, но не всегда удобна для использования. Для некоторых целей, например для разложения в ряд или даже для прямого вычисления, могут быть более полезными эллиптические функции и их разложения в бесконечные произведения. [c.302]

С методической точки зрения оба эти интеграла совершенно равноценны. В принципе оба интеграла представляют некоторые разложения на бесконечно малые слагаемые, имеющие целью решение задачи на основе принципа наложения. Различие обоих интегралов сводится лишь к различию вида элементарных слагаемых синусоида в интеграле Фурье, единичная функция в интеграле Дюамеля. Однако это различие практически существенно, так как приводит к значительному различию в технике вычислений. В зависимости от характера проблемы либо один, либо другой инструмент может оказаться более подходящим с чисто практической точки зрения вычислителя. [c.284]

Удельное элементарное усталостное повреждение AD в интервале времени Ai можно выразить в виде произведения R/Ss, где R — функция, связанная с параметрами упомянутых кривых усталости. Она зависит от величин главных напряжений или главных деформаций, реализуемых при описании элемента As, и от других факторов, которые можно включить в ее выражение. В результате оказывается, что суммирование элементарных удельных повреждений АО выражается криволинейным интегралом по траектории главных деформаций, где прибавлены и компоненты Ау. Этот интеграл отражает закономерность увеличивать усталостное повреждение, когда чаще реализуются элементы As при больших значениях главных деформаций (или напряжений). Изучается также статистическая интерпретация траектории и соответствующей долговечности. [c.25]

Этой формулой для вычисления работы можно пользоваться в том случае, когда скорость точки приложения силы, а также модуль и направление силы известны для любого момента t (т. е. определены как функции от t). Выражение Fv os ф dt, стоящее под интегралом, представляет собой, очевидно, элементарную работу силы F за время dt. [c.411]

Из (/) следует, что плотность вероятности найти частицу в элементарном объеме i)p имеет максимум, движущийся по классической траектории x(i) = Ь + Pot/m со скоростью ро/т. Решение имеет форму волнового пакета постоянного размера. Однако функция ф х, t) существенно отличается от точного решения. Вычисляя гауссовы интегралы в (27.35), получим [c.294]

Рассматриваемая проблема была предметом обстоятельного анализа в рамках А. Л. Гольденвейзера (1961, 1966), подошедшего к ней с точки зрения общей теории оболочек, т. е. применительно к произвольной оболочке. В последней статье Гольденвейзер подытожил результаты качественного исследования свободных колебаний с большим показателем изменяемости состояния перемещений. Целью исследования было установление областей для параметров, характеризующих функцию изменяемости, в которых возможно расчленение общего состояния перемещений на элементарные. Классификация задач проведена с учетом геометрических свойств контурной линии, от которых существенно зависит характер дополнительных интегралов, привлекаемых для удовлетворения краевых условий. Основное внимание в статье уделено безмоментным поперечным колебаниям, происходящим при относительно малых частотах и сопровождаемым лишь малыми тангенциальными колебаниями. Разрешающее уравнение этих колебаний имеет любопытную структуру [c.249]

В нашем же случае координаты и г] входят в правые части уравнений (9.84) как параметры интегралов (9.86) и представляют собой весьма сложные функции этих параметров, зависящие от формы и структуры тел, и могут быть выражены только при помощи бесконечных рядов. Исключение, как всегда и ранее, составляет случаи, когда (9.86 ) есть закон Гука, но это единственный случай, который мы знаем, когда задача о движении любого числа тел всегда решается элементарным образом. [c.443]

В обгцем случае решение (3) не удается выразить через элементарные функции или даже через интегралы от элементарных функций. Поэтому обгцим методом приближенного решения уравнений (2) на ограниченных интервалах времени являются различные варианты метода численного интегрирования. Этот метод успешно используется в большинстве практических задач. Однако во многих задачах механики представляют интерес исследования всех возможных траекторий движения системы в обобщенных координатах. Методами численного интегрирования это сделать не удается. [c.222]

В случае п > 3 сами слова проинтегрировать систему или найти ее решение без дополнительного уточнения не имеют смысла. Действительно, если под интеграцией системы (3) понимать нахождение аналитического выражения для решения, то естественным образом встает вопрос, каковы требования, которые можно предъявлять к характеру такого аналит1гческого выражения. Уже в начале XIX столетия было установлено, что выразить решение системы (3) при г > 3 через интегралы от элементарных функций (т. е. решить систему (3) в квадратурах) возможно лишь в очень частных случаях. Кроме того, даже в случае, когда такое решение возможно, полученные выражения могут быть столь сложными, что непосредственный анализ их может быть чрезвычайно затруднительным и фактически может потребовать специальных методов. [c.13]

Система (13.7) (и (13.6)) является системой обыкновенных дифференциальных уравнений шестого порядка. В общем случае ее общее и частные решения не могут быть выражены через элементарные функции, т. е. в виде конечных формул от степенных, логарифмических, тригонометрических и т. п. функций незаЗи-СИ1ЮЙ переменной t и интегралов от этих функций. Это обусловливает необходимость изучения отдельных классов типичных простейших задач, что и составит содержание 3 этой главы w гл. XIV-XVI. [c.243]

В сопротивлении материалов и строительной механике приходится иметь дело с функциями Mx(z) и Qy z). При этом основная трудность состоит в том, что эти функции, как правило, оказываются лишь кусочно гладкими. Задавая их аналитические выражения на разных участках, мы получим очень громоздкую форму представления функций, изображаемых простыми графиками (по большей части ломаными). Поэтому в правтике расчетов обычно начинают с построения графиков этих функций, или так называемых эпюр изгибающих моментов и перерезывающих сил. Некоторые аналитические операции, например вычисление интегралов от кусочно линейных функций, сводятся к элементарному вычислению площадей треугольников п трапеций. Такие приемы, которые называют графо-аналитическими, чрезвычайно облегчают решение многих задач, поэтому ниже будут изложены некоторые элементарные приемы построения такого рода эпюр. [c.84]

Интеграл (2.53) относится к классу эллиптических интегралов и, следовательно, приводится к сумме элементарных функций и трёх так называемых нормальных эллиптических интегралов [27]. Результат интегрирования зависит от типа корней полинома четвёртой степени f u). Для реализации реального физического процесса два из четырёх корней многочлена (2.56) должны соответствовать минимальному и максимальному углам атаки и = osamin, Щ = osamax- Корни щ и U2 должны принадлежать интервалу [—1,+1]. Оставшиеся два корня г з, U4 в зависимости от значений параметров h, а, Ь, R и G могут быть либо действительными, либо комплексно-сопряжёнными. Введём следующее правило нумерации этих корней. Действительные корни при Ь < О — щ > щ, при b > О — щ < щ. [c.84]

Следствие. Следующая система третьего порядка на S amoa2v a=Kk,keZ)xR z ,z , зависящая от 8 параметров, обладает, вообще говоря, трансцендентным (в смысле теории функций комплексного переменного) первым интегралом, выражающимся через элементарные функции [c.128]

ИТ в том, что скорость точки касания диска параллельна его горизонтальному диаметру. В отличие от задачи Аппеля — Кор-тевега, здесь первые интегралы выражаются через элементарные функции и имеют простой механический смысл сохраняются проекции кинетического момента диска, вычисленного относительно его центра, на вертикаль и на ось Ог. Для почти всех начальных условий диск никогда не упадет на лед и траектория его точки касания ограничена. Более точно, точка касания описывает некоторую замкнутую кривую, которая, в свою очередь, вращается как твердое тело вокруг некоторой точки с постоянной угловой скоростью (детали см. в работе [79]). [c.151]

В последнее десятилетие получило широкое развитие и применение новое направление в вычислительной математике—метод конечных элементов. Отметим сразу, что, хотя на эту тему уже опубликовано большое число статей, общая математическая теория метода конечных элементов развита в основном в последние годы. Успех в обосновании этой методики был обеспечен прежде всего достижениями в области теории сплайнов. Существует глубокая взаимосвязь между теорией обобщенных функций, теорией сплайнов и методом конечных элементов. Как известно, обобщенные функции могут быть полученй как предельные элементы последовательностей традиционных элементарных функций (полиномы, тригонометрические полиномы, собственные функции краевых задач математической физики). В современном численном анализе в систему элементарных функций были включены сплайны, которые кратко можно определить как кусочные полиномы . Систематическое изучение свойств последних породило теорию сплайн-функций. Отметим, что дифференцируя сплайн-функции необходимое число раз, мы получим обобщенные функции, т. е. сплайн-функции являются интегралами от распределений. [c.5]

Простые асимптотики звукового поля, содержащие только элементарные функции, удается получить в случае z = Zq =0, т.е. для источника и приемника, лежащих на границе раздела ) (230,.369, 471]. Мы не будем заранее предполагать близость значений n и m к единице и проведем выкладки в общем случае. Коэффициент отражения У ((/) представим в виде (12.26) и подставим его в (12.9). В интеграле от Кг сделаем замену переменной q = пи. Тогда для полного звукового давления р = Л ехр (/АЛ) + + р, при Z =2о О получаем [c.267]

Следствие 1. Следующая система третьего порядка на 5 а той2я x7 zj, Zj , зависящая от 8 параметров, обладает полным набором (вообще говоря, трансцендентных (в смысле ТФКП)) первых интегралов, выражающихся через элементарные функции [c.239]

Область определения функций X, Y, Z называется силовым по лем. Если движение точки происходит в силовом поле и работа сил поля не зависит от пути, по которому происходит перемещение точки, а зависит лншг. от начального М и конечного Л/j положений точки (рис. 15.12), то такое силовое поле называется потенциальным. В потенциальном силовом поле работа по любому замкнутому контуру будет равна нулю. Это условие, как доказывается в теории криволинейных интегралов (см. Пискунов Н. С. [VIL4], т. II, гл. XV, 7), эквивалентно тому, что элементарная работа силы F есть полный диффереп-циал некоторой функции Uix, у, z), т. е. [c.288]

Здесь Akh — несущая способность гладкой полосы, ширина которой равна минимальной ширине надрезанной полосы. Выражение, стоящее в правой части формулы (15.13.3), всегда больше единицы, оно называется коэффициентом поддержки. При любом виде надреза несущая способность полосы с концентратором будет больше, чем несущая способность полосы с той же минимальной шириной. Это следует из статического экстремального принципа. Если предположить, что в заштрихованной на рис. 15.13.2 полосе растягивающее напряжение равно пределу текучести, а в остальной части полосы напряжения равны нулю, мы получим некоторое статически возможное напряженное состояние соответствующая нагрузка будет служить оценкой для предельной нагрузки снизу. Что касается поля скоростей для полосы с двумя круговыми вырезами, расчет его оказывается далеко не элементарным. Разделенные пластическо зоной части полосы движутся поступательно вдоль оси, удаляясь одна от другой с относительной скоростью V на граничных характеристиках нормальная составляющая скорости задана и выполнены условия (15.8.16). Эти данные позволяют или строить поле скоростей численно, или же решать задачу аналитически по методу Рима-на, представляя результат в виде некоторых интегралов, содержащих функции Бесселя. Что касается полноты построения решения, этот вопрос остается открытым. Возможность построения поля скоростей доказывает лишь кинематическую допустимость решения, следовательно, формула (15.3.3) дает наверняка верхнюю оценку. Но могут существовать и другие кинематически возможные схемы, например скольжение по прямой тп, показанной на рис. 15.13.1 штриховой линией, которые дадут для Р оценку более низкую, чем оценка (15.13.3). [c.522]

Этим мы не хотим утверждать абсолютно, что ш существует других первых интегралов напротив, для всякой нормальной дифференциальной системы первого порядка с п неизвестными функциями от одного перемен-яого из теоремы существования общего решения, зависящего от п произвольных постоянных, необходимо следует существование и первых интегралов, которые теоретически можно получить, разрешая относительно произвольных постоянных уравнения общего решения. Если из этих п первых интегралов, зависящих от t, исключим это переменное, то придем во всяком случае к л — 1 первых интегралов, связывающих только неизвестные величины задачи. Но во все теоремы существования входят разложения в степенные ряды или другие виды последовательных приближений, т. е. бесконечные алгоритмы, которые, вообще говоря, не приводят к функциям, выражающимся элементарно (алгебраическим, показательным или тригонометрическим), а когда в механике говорят о первых интегралах, известных или подлежащих определению (если нет явно выраженной оговорки о противном), то подразумеваются именно интегралы, выражаемые в этой Элементарной форме. [c.100]

Имеет смысл кратко остановиться на различиях между квантовыми интегралами столкновений Больцмана (4.2.50) и Улинга-Уленбека (4.1.86). Наиболее важная особенность последнего заключается в том, что он содержит комбинации функций распределения, вид которых зависит от типа статистики. С другой стороны, в интеграле столкновений Больцмана квантовые статистические эффекты не включены. Физический смысл различия состоит в том, что эти интегралы столкновений фактически используются для описания разных систем. Выражение (4.1.86) применимо для квантовых газов произвольной плотности со слабо взаимодействующими элементарными возбуждениями (квазичастицами), когда статистические эффекты являются существенными. Квантовый интеграл столкновений Больцмана (4.2.50) применяется для разреженных газов, когда квантовые эффекты важны только при вычислении сечения рассеяния ). Чтобы включить квантовые статистические эффекты в интеграл столкновений Больцмана, необходимо учесть последнее слагаемое в левой части уравнения (4.2.14), описывающее трехчастичное взаимодействие. Этот вопрос будет обсуждаться в параграфе 4.3. [c.274]

Сформулированы правила построения матричных элементов в нелокальной теории поля. Эти правила отличаются от обычных включением форм-фактора в вершинную часть диаграммы с обязательным условием не учитывать особенностей форм-фактора при вычислении интегралов методом вычетов. Исследуются аналитические свойства матричных элементов и отмечено появление специфических особенностей, положение которых не зависит от величины элементарной длины. Показано, что функции Грина, построенные из гейзенберговских и in-операторов поля, не совпадают друг с другом этим объясняется появление комплексных особенностей собственно энергетической части. Выяснена применимость в нелокальной теории поля редукционной формулы Лемана-Симанзика-Циммермана для матричных элементов рассеяния. [c.130]

Интеграция (17.14) при условиях (17.15) совершается элементарно. Так как УКа —постоянная величина, уравнение (17.14) означает, что сро- -/ У/Ссофо есть аналитическая функция от lл-j-гv, и краевые условия (17.15) позволяют эту функцию определить, срд и ]/ о фо совпадают с потенциалом скоростей и функцией тока в соответствующей задаче для несжимаемой жидкости. Однако при нахождении срц и УКсю о следует торопиться с определением циркуляции из условия регулярности в остриё А контура С (как это надлежало бы сделать в задаче обтекания).. Не надо забывать, что гидромеханический смысл имеют не ср и фц, а суммы Ро+ Р и фц- -ф, поэтому надлежит оставить циркуляцию, входящую при определении срц и фц, назовём её Г, неопределённой с тем, чтобы после нахождения <р и ф найти Г из условия 6) для ср и ф (т. е. требуя, чтобы обратились в нуль интегралы типа (17.11) по замкнутому контуру, обходящему вокруг С). [c.136]

Однако вернемся к основному интегралу (28) теории дифракции. Когда точка ( , 1- ) пробегает область интегрирования, функции /(g, т]) изменяется на очень много длин волп поэтому вещественная и мнимая части подынтегрального выражения многократно изменяют знак. В общем случае вклады от различных элементов фактически уничтожают друг друга (деструктивная интерференция). По для элементарного участка, окружающего точку (назовем ее критинеской тошюй или полюсом), где /( , т ) постоянна, положение другое. Здесь подынтегральное выражение изменяется значительно медленнее, и можно ожидать, что его вклад станет заметным. Поэтому, если длина волны достаточно мала, величина интеграла, по существу, определяется поведением f вблизи точек, где f постоянно. Это является основой метода стационарной фазы, позволяющего определить асимптотическое поведение ннге1 рялов определенного класса (более подробно он разбирается в приложении 3). Ниже мы [c.355]

Временнйе интегралы в выражении (17.50) значительно менее тривиальны, но мы можем обсудить формы, которые они принимают за короткое и продолжительное время. Если 1 много меньше обратной ширины полосы частот поля излучения, то функции практически не будут изменяться во всем интервале от О до 1. Для таких времен интеграл должен быть просто пропорционален V. Если мы запишем 1 как хю1, где гю — коэс ициент пропорциональности, то элементарный характер пространственных интегрирований позволяет показать, что общий результат должен выражаться в виде [c.187]

Решение плоской задачи теории упругости зависит от двух координат и может быть выражено через две произвольные (с точки зрения выполнения уравнений равновесия и условий неразрывности) двухмерные гармонические функции, определяющиеся путем подчинения решения двум краевым условиям на плоском граничном контуре. То обстоятельство, что ортогональные преобразования координат на плоскости и теория двухмерных гармонических функций тесно связаны с теорией функций комплексного переменного, позволило разработать общий метод решения плоской задачи, основанный на аппарате теории аналитических функций (Г. В. Колосов [10], Н. И. Мусхелишвили [20] и его школа). Этот путь в принципе позволяет подойти к решению любой плоской задачи, но наиболее эффективен для односвязных и (в меньшей мере) для двухсвязных областей. Основная идея, которой при этом руководствуются, состоит в отображении рассматриваемой области на одну из канонических областей (на полуплоскость, круг единичного радиуса или круговое кольцо) с последующим использованием аппарата интегралов типа Коши для нахождения двух неизвестных функций по заданному краевому условию. Если ограничиться только односвязными областями (каковые по существу главным образом и рассматриваются [20], [27]), то можно обойтись и без аппарата интегралов типа Коши, оперируя лишь самыми элементарными представлениями теории аналитических фунщий. В нашей книге, носящей общий характер, мы даем только этот наиболее простой и в то же время достаточно эффективный способ, отсылая читателя за более полным и общим изло- [c.292]

В этой связи Кэйз (1960а, б) и Дикий (1960а, б) указали независимо друг от друга, что при исследовании устойчивости течений идеальной Жидкости целесообразно вообще отказаться от рассмотрения элементарных волновых решений вида (2.27). Вместо этого следует с самого начала решать задачу с начальным условием ф(д , г, 0) = фо(л , г) для дифференциального уравнения в частных производных (2.26) с нулевой правой частью (т. е. с V = 0 это и есть тот второй подход к задаче об устойчивости течений идеальной жидкости, о котором говорилось на стр. 120). Оказывается, что общее решение этой задачи с начальным условием может быть представлено в виде некоторого интеграла Лапласа, асимптотическое поведение которого при ->оо может быть изучено с помощью обычных методов теории функций комплексного переменного. При этом подынтегральное выражение в соответствующем интеграле Лапласа [c.121]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...