Цепочка уравнений для функций распределения

Эта разительно контрастирует с одночастичной компонентой обобщенного уравнения Лиувилля в нем скорость изменения Д зависит от значения двухчастичной функции /2, которая в свою очередь зависит от/зИ т. д. Таким образом, мы видим, что посредством больцмановской гипотезы молекулярного хаоса бесконечная цепочка уравнений для функций распределения обрывается и остается единственное уравнение для /х ). Таким образом, уравнение Больцмана является замкнутым уравнением для функции Д. Этим же свойством обладает и уравнение Фоккера — Планка [c.33]

ЦЕПОЧКА УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ФУНКЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 185 [c.185]

Цепочка уравнений для функций распределения 306, 383 [c.429]

Цепочка уравнений для функций распределения — 632, 736 [c.799]

Как и в главе 8, базисные динамические переменные, удовлетворяющие локальным законам сохранения, будут обозначаться посредством а г). В гидродинамике неравновесное состояние системы описывалось средними значениями а г)) для которых выводились гидродинамические уравнения. В теории флуктуаций такого описания недостаточно, так как средние значения локальных переменных и моменты их флуктуаций удовлетворяют цепочке связанных уравнений. Таким образом, нужно расширить набор базисных переменных, включив в него произведения а г2), 2( 2) газ( з) и т.д. Недостатком этого подхода является то, что в нем приходится иметь дело со сложными формальными выражениями, содержащими бесконечные векторы и матрицы [98, 99]. Поэтому более удобно использовать уравнение для функции распределения (или функционала распределения) гидродинамических переменных, которое мы выведем в этом параграфе. [c.217]

Н. Н. Боголюбов [5] и другие авторы, интегрируя уравнения Лиувилля получили цепочку зацепляющихся уравнений для функций распределения и нашли ряд поправок к интегралу столкновений уравнения Больцмана. [c.124]

В левой части (7.7), помимо искомой функции Грина О, фигурирует также двухчастичная функция О2. Уравнение для нее составляется совершенно аналогичным образом, и легко усмотреть, что в него, помимо О2, войдет также трехчастичная функция Грина Од, содержащая уже шесть операторов а, а под знаком усреднения.. Продолжая этот процесс, получим бесконечную цепочку зацепляющихся уравнений. Естественно, наряду с (7.7) и т. д. надо рассматривать и цепочку сопряженных уравнений, получающихся при дифференцировании О, О ,. .. по х (а не по Хц). В дальнейшем мы, как правило, не будем явно оговаривать это обстоятельство, лишь подразумевая его. По структуре левых частей цепочка уравнений для функций Грина вполне аналогична цепочке уравнений для частных функций распределения, найденной в работах [2], [3]. Разница состоит в том, что в нашем случае искомые функции зависят от двух времен и система не однородна. Последнее обстоятельство связано с наличием у рассматриваемых функций особенностей при совпадении временных аргументов, т. е. именно с тем, что позволило нам в 4, 5 расширить определение спектральных функций на всю комплексную плоскость. Мы увидим, что это действительно весьма облегчает решение конкретных задач. Появление таких цепочек типично для любого [c.61]

Система зацепляющихся уравнений для временных функций распределения ,,( ) называется цепочкой уравнения Боголюбова. Функции определяемые этими уравнениями, и являются [c.99]

Цепочка уравнений Боголюбова (6.10) для неравновесных функций распределения лежит в основе статистической теории неравновесных процессов. Найдем частное решение этой цепочки уравнений для кинетической стадии эволюции неравновесной системы, определяемой кинетическим уравнением вида (6.12) [c.108]

Первое уравнение цепочки Боголюбова (12.73) для функций распределения ps(qi, . , q ) имеет вид [c.287]

Использованный там метод основан на несколько произвольном обрыве цепочки уравнений для равновесной парной функции распределения (см. разд. 7.4). [c.253]

Цепочка уравнений для приведенных функций распределения. Чтобы получить уравнения движения для 5-частичных функций распределения, проинтегрируем уравнение Лиувилля (3.1.2) по фазовым переменным Ждг, где 5 = 1, 2,... Используя формулы (3.1.4) и (3.1.5), получаем цепочку уравнений [25] [c.167]

Теперь, исходя из уравнений (3.1.16) для приведенных функций распределения, мы можем вывести цепочку уравнений для корреляционных функций д . Первое уравнение этой цепочки совпадает с уравнением (3.1.20) для = Д. Выражая с помощью (3.2.1) двухчастичную функцию распределения через /1 и 2 получим [c.182]

Прежде чем приступить к основной теме, остановимся кратко на обозначениях. Ранее одночастичная функция распределения Д(г,р, ) вводилась как функция радиуса-вектора г и импульса р частицы. Такое удобно при выводе цепочки уравнений для приведенных функций распределения из уравнения Лиувилля. Однако в кинетической теории чаще пользуются одночастичной функцией распределения / (г, v, ), которая зависит от скорости частицы. Для более наглядного сравнения излагаемого здесь подхода с традиционными методами построения нормальных решений кинетических уравнений мы будем исходить из уравнения Больцмана, записанного для функции /(r,v, ). Нетрудно установить связь между этой функцией и Д(г,р, ). Вводя условие нормировки [c.234]

Как уже отмечалось, квантовые кинетические уравнения можно вывести из цепочки уравнений для 5-частичных матриц плотности, которые аналогичны 5-частичным функциям распределения в классических системах. Здесь мы займемся построением этой цепочки уравнений, исходя из квантового уравнения Лиувилля для неравновесного статистического оператора. Мы также приведем примеры, иллюстрирующие возможности метода группового разложения в квантовой кинетической теории. [c.266]

Приступим теперь к выводу уравнений движения для приведенных матриц плотности. Мы будем исходить из квантового уравнения Лиувилля (4.1.3), в котором бесконечно малый источник определяет граничное условие для неравновесного статистического оператора ). Как было показано в главе 3, выбор квазиравновесного распределения Qq t) является определяющим при решении цепочки уравнений для классических функций распределения. Мы пока отложим обсуждение вопроса о выборе Qq t) в квантовом случае, ограничившись лишь замечанием, что квазиравновесный статистический оператор должен удовлетворять условию самосогласования для одночастичной матрицы плотности [c.267]

Подведем итоги. Мы убедились в том, что с точки зрения общей теории неравновесных процессов стандартный метод временных функций Грина основан на граничном условии полного ослабления корреляций в отдаленном прошлом, которое эквивалентно граничному условию Боголюбова к цепочке уравнений для классических функций распределения или квантовых многочастичных матриц плотности. Как мы знаем, при таком выборе граничного условия корреляционные эффекты проявляют себя как эффекты памяти в кинетических уравнениях. Поэтому марковские кинетические уравнения, получаемые в стандартном методе функций Грина, применимы только к системам, которые достаточно хорошо описываются в рамках модели слабо взаимодействующих квазичастиц. Для систем с сильными корреляциями нужно вводить новые граничные условия, учитывающие динамику корреляций в системе. Обратим внимание на то, что предельные значения (6.3.108) временных функций Грина выражаются через квази-равновесные функции G , в которых усреднение производится со статистическим оператором зависящим от времени через макроскопические наблюдаемые Р У. Таким образом, соотношение (6.3.108) показывает, что в общем случае предельные гриновские функции зависят от макроскопической эволюции системы. Иначе говоря, уравнения движения для временных гриновских функций должны рассматриваться совместно с уравнениями переноса для Р У. В параграфе 4.5 первого тома был рассмотрен пример такого объединения квантовой кинетики с теорией макроскопических процессов в методе неравновесного статистического оператора. Соответствующая техника в методе функций Грина пока не разработана, так что читателю предоставляется возможность внести свой вклад в решение этой проблемы. [c.62]

Полученную цепочку уравнений для многочастичных функций можно записать в иной форме, используя корреляционные функции. Рассмотрим прежде всего уравнение (47.3). При этом мы воспользуемся функцией распределения / = (NJV) а также представим двухчастичную функцию распределения в виде (47.5) [c.188]

Структура уравнения (47.9) характерна и для уравнений, которым подчиняются высшие многочастичные корреляционные функции. Поэтому с помощью уравнения (47.9) можно провести общее обсуждение параметров малости, которые могут быть использованы при приближенных решениях цепочки уравнений для многочастичных функций распределения. [c.189]

ДЛЯ всевозможных моментов дает аналитическую формулировку проблемы турбулентности. Но эта система уравнений оказывается весьма сложной любая конечная подсистема этой системы уравнений всегда незамкнута, т. е. содержит больше неизвестных, чем имеется уравнений в данной подсистеме (невозможность получить замкнутую систему уравнений для конечного числа моментов является прямым следствием н е л и-ней ности уравнений гидродинамики). Таким образом, при использовании метода Фридмана — Келлера в применении к конечному числу моментов возникает проблема замыкания уравнений для моментов, во многом аналогичная проблеме замыкания цепочки уравнений для многочастичных функций распределения в кинетической теории газов. [c.18]

Постановка задачи. Исследование связи уравнения Больцмана с уравнениями гидродинамики — одна из классических проблем статистической физики. В работах Максвелла впервые появилась бесконечная цепочка уравнений для моментов больцмановской функции распределения и проблема обоснования уравнений гидродинамики была сформулирована как проблема замыкания этой цепочки. Из уравнения Больцмана и равенства (11.20i) следует, что моменты S [c.301]

Здесь фигурируют условные средние, определенные согласно(10.65). Однако соответствующее уравнение для функции ( 2 (г ))2,1 содержит трехчастичные функции распределения — мы снова сталкиваемся с проблемой решения цепочки уравнений для все более сложных функций этого типа (ср. с 2.12). [c.494]

Мы уже знаем, что уравнение Лиувилля, а следовательно, и уравнение цепочки Боголюбова удовлетворяются функциями распределения, постоянными вдоль траекторий механического движения частиц системы. Но мы желаем построить кинетическое уравнение не для функций, описывающих такое движение (они строятся на основе решения задачи механики и описывают чистое механическое состояние системы, см. задачи 1 и 31), а для статистических функций распределения (т.е. функций, характеризующих смешанное состояние всей системы), в частности, для такой функции J l, которая в комбинации п 1(<, г, р) йт ф определяет статистическое число частиц в объеме йг йр в момент < и которая является характеристикой не отдельной частицы, а всей статистической системы в целом. [c.313]

Центральная предельная теорема 146 Цепочка уравнений для кинетических функций распределения 2 9, 400 ---равновесных функций распределения 405 [c.447]

Цепочка уравнений Боголюбова для неравновесных функций распределения классических систем [c.96]

Метод решения цепочки уравнений (6.10) для неравновесных функций распределения был развит Боголюбовым на основе существования различных временных масштабов, характеризующих релаксационные процессы в статистических системах. При этом на каждом этапе в процессе приближения системы к равновесию ее состояние определяется различным числом параметров и описывается детерминированным уравнением для соответствующей функции от этих параметров. Действительно, в любом реальном газе существуют три резко разграниченных масштаба времени. [c.100]

Первое уравнение цепочки Боголюбова (7.3) для одночастичной неравновесной функции распределения запишем в виде [c.110]

Решение общих задач статистической физики сопряжено с большими численными сложностями. Поэтому вначале были рассмотрены так называемые идеальные системы как для классического, так и для квантового случая. Наряду с рассмотрением идеальных систем исследуются и слабо неидельные системы, т. е. системы, свойства которых не сильно отличаются от идеальных. В 1927 г. Урселом впервые получено разложение по степеням плотности (вириальное разложение) [21]. В дальнейшем оно было развито Дж. Майером, который ввел диаграммный метод [22]. Н. Н. Боголюбовым предложен эффективный способ рассмотрения слабонеидельных систем на основе решения цепочки уравнений заложением функций распределения в ряд по степеням соответствующего малого параметра [И]. [c.213]

В применении к газам и плазме уравнения цепочки Боголюбова для функций распределения (15.32) позволяют, как мы видели, ввести соответственно газовый и плазменный малые параметры и находить решение этих уравнений в виде разложения функций распределения по степеням того или другого малого параметра В случае жидкости уравнения (15.32) не допускают выделения малого параметра. Тем не менее наиболее важным является при менение метода функций распределения к построению статистиче ской теории жидкостей. Это достигается другим, отличным от ме тода малого параметра, способом решения цепочки уравнений Бо голюбова. Этот способ основан на обрыве цепочки уравнений когда исходя из дополнительных физических соображений стар шая функция распределения (s>2) аппроксимируется выраже нием, включающим в себя более младшие функции (k[c.287]

Нахождение -частичной функции распределения ra (qi,. . ., qs> с использованием определения (7.1.13) приводит к вычислению N — S интегралов — сложному, вообще говоря, процессу,, особенно в тех случаях, когда рассматривается термодинамический предел. Попытаемся поэтому получить другое определение, в котором использовались бы лишь операции с частичными функциями. Будем исходить из соображений, аналогичных применявшимся при построении цепочки ББГКИ (см. разд. 3.4). Если функции, определенные выражением (7.1.12), подставить в цепочку уравнений (3.4.7), то получается цепочка уравнений для функций щ, мы, однако, выведем несколько более удобную систему уравнений. [c.271]

Наиболее полное развитие получил метод Боголюбова, основанный на построении иерархической цепочки зацепляющихся уравнений для функции распределения, следующий из уравнения Лиувилля [101, 102, 2, 3, 6, Ц]. Этот метод, известный под названием метода Боголюбова — Борна — Грина — Кирквуда — Ивона (ББГКИ), заканчивается выводом кинетического уравнения больцмановского тина. Используемый в нем принцип ослабления корреляций заключается, грубо говоря, в том, что частицы, находящиеся достаточно далеко друг от друга, должны совершать нескоррелированные движения. Этот метод не будет рассматриваться далее, однако на одном из вопросов полезно остановиться. [c.105]

Вообще говоря, это не есть практичная процедура расчета плотности состояний в неупорядоченной решетке. Легко видеть, однако, что для настоящей линейной цепочки условие статистической однородности диагональных и недиагональных матричных эле-лгентов гамильтониана удовлетворяется. Таким образом, интегральное уравненне (9,102) или соответствующее ему уравнение для функции распределения значений локального массового оператора (9.45) дает точное решение одномерной задачи [58]. Однако приведенный выше вывод довольно определенно наводит на мысль о том, что мы здесь имеем дело просто с уравнением Дайсона — Шмидта (8.76), записанным на языке функций Грина [59]. [c.415]

Первое рассмотрение задач статистической физики методом частичных функций распределения было осуществлено Ивоном [10]. Наиболее полное и плодотворное исследование с помощью функций распределения как для равновесных, так и для неравновесных систем (о чем подробно будет сказано ниже) осуществлено Н. Н. Боголюбовым [11]. В развитие этого направления большой вклад внесли также Борн, Грин [12] и Кирквуд [13]. Поэтому цепочка уравнений для частичных функций распределения получила название иерархии Боголюбова-Борна-Грина-Кирквуда-Ивона (ББГКИ иерархии). [c.212]

Чтобы развить теорию дальше, введем плассификацим случайных процессов. Идея такой классификации заключается в том, что можно представить себе ситуации, в которых для описания задачи достаточно знать одну, две или некоторое конечное число функций Wn- Иными словами, в некоторых случаях функцию высшего порядка W можно выразить через функции низших порядков. Здесь заложена та же самая идея, что и в процедурах расцепления цепочки уравнений для частичных функций распределения, о чем говорилось в разд. 3.3 и 7.4 ). Однако мы не станем проводить исчерпывающую систематическую классификацию, а рассмотрим лишь два первых класса. [c.17]

Итак, мы видели, что для учета эффектов обрезания траекторий частиц на длине свободного пробега необходимо просуммировать бесконечную последовательность членов в цепочке уравнений для приведенных функций распределения. Типичный подход к решению подобных проблем состоит в применении диаграммной техники , дающей графическое представление рассматриваемых величин и позволяющей сформулировать простые правила, с помощью которых может быть выписан любой член теории возмущений. В классической кинетической теории диаграммная техника такого рода была впервые разработана Балеску [56, 57]. В настоящем разделе будет рассмотрен ее вариант [26], который позволяет в удобной форме учесть граничные условия для приведенных функций распределения. Будут сформулированы правила построения диаграмм для приведенных функций распределения и интеграла столкновений в любом порядке теории возмущений по плотности. Кроме того, мы рассмотрим несколько простых примеров вывода кинетических уравнений с помощью диаграммного метода. [c.181]

Точно таким же путем могут быть получены и уравнения для корреляционных функций высших порядков. Для этого нужно сначала продифференцировать по t соотношение (3.2.3) для произвольного s. Следующим шагом будет исключение временных производных функций распределения с помощью цепочки ББГКИ (3.1.16). И наконец, все приведенные функции распределения нужно выразить через корреляционные функции, используя соотношение (3.2.2). Эта процедура приводит к цепочке уравнений для корреляционных функций, которая полностью эквивалентна цепочке ББГКИ [c.183]

Кинетическое уравнение для одночастичной матрицы плотности можно вывести из квантового уравнения Лиувилля различными способами. В частности, для этого достаточно построить статистический оператор g t), удовлетворяющий граничному условию ослабления корреляций в отдаленном прошлом, и выразить его через ква-зиравновесный статистический оператор Qq t) который, в свою очередь, зависит от одночастичной матрицы плотности. Такой метод оказывается особенно удобным для систем со слабым взаимодействием частиц, так как он позволяет построить интеграл столкновений, исходя только из общих свойств системы. Вывод квантовых кинетических уравнений с помощью этого метода дается в параграфе 4.1. Другой подход к квантовой кинетической теории основан на цепочке уравнений для 5-частичных матриц плотности которые аналогичны классическим 5-частичным функциям распределения. В случаях слабого взаимодействия между частицами или малой концентрации частиц, квантовую цепочку уравнений можно решить с помощью теории возмущений. Некоторые разновидности этого подхода изложены в книгах [35, 57]. В параграфах 4.2 и 4.3 мы рассмотрим квантовую цепочку уравнений с точки зрения метода неравновесного статистического оператора. Вначале мы построим групповое разложение интеграла столкновений для систем с малой плотностью, а затем обобщим метод на плотные квантовые системы. [c.248]

С пол ощью уравнения Лиувилля мояшо понять, что необходимо знать для получения ураппения, которому подчиняется одночастичная функция распределения. Болес того, изучая следствия, вытекающие из уравнения Лиувилля, можно найти путь для построения его приближенных решений, дающих, в частности, кинетические уравнения. Такой путь открывается при рассмотрении цепочки уравнений для многочастичпых функций распределения, получаемой с помощью уравнения Лиувилля. [c.186]

Р( (о) или Р1 с1(х)) на фазовом пространстве турбулентного течения, и потому их нахождение явилось бы полным решением проблемы турбулентности. В работе Эбергарда Хопфа (1952) для характеристического функционала турбулентного поля скорости в несжимаемой жидкости было выведено уравнение в вариационных производных, замечательной особенностью которого является его линейность. В работе А. С. Монина (19676) и некоторых работах других авторов были выведены уравнения для конечномерных плотностей распределений вероятности значений гидродинамических полей на конечных наборах точек пространства-времени (образующие бесконечную зацепляющуюся цепочку и также оказавшиеся линейными). Таким образом, хотя динамика жидкости нелинейна, основная проблема статистической гидромеханики, сформулированная в терминах характеристических функционалов или набора конечномерных плотностей вероятности, оказывается линейной задачей. Отметим, что уравнение Хопфа оказалось формально близким к так называемому уравнению Швинтера квантовой теории поля (на имеющуюся аналогию между теорией турбулентности и квантовой теорией поля мы уже указывали выше). Уравнения для конечномерных распределений вероятности оказались аналогичными цепочке уравнений Н. Н. Боголюбова для п-частичных функций распределения скоростей молекул в кинетической теории газов. [c.20]

Идея метода статистг.ческой линеаризации (априорное введение функции распределения, зависящей от конечного числа параметров, которые далее находят из условия минимума ошибки) нашла применение и при решеиин детерминистических задач [18]. Аналогичную идею используют по существу и при исследовании нелинейных стохастических уравнений методом моментов. Для того чтобы замкнуть цепочку уравнений для моментов, постулируют зависимость между моментами различных порядков, соответствующую выбираемому закону распределения. В рассмотренном выше примере система уравнений для моментов второго и четвертого порядков замыкается при помощи дополнительного соотношения х 3 (х ) - В результате приходим к выражению (56) для со . [c.539]

Конечно, мы чисто интуитивно полагаем, что предельное при t +оо решение, следующее из уравнения Больцмана, соответствует описанию термодинамически равновесного состояния системы. В задаче 32 показано, что цепочка уравнений для кинетических функций распределения в стационарном случае dFJdt = О содержит в себе цепочку уравнений для равновесных функций F,, О построенных на основе распределения Гиббса, т. е. Рис. 200. Характер эволюции равновесные функции F, удовлетворяют цепочке Pf-функции Больцмана [c.323]

Наибсмее важным материалом 5 является формулировка метода построения на основе цепочки Боголюбова замкнутых систем уравнений, гараширующих получение решений для функции распределения с точностью до второго порядка по В.1/у [c.358]

Задача 2В. Для классической системы N частиц с парным взаимодействием написать цепочку уравнений Боголюбова для функций распределения Р,. Записать первые два уравнения этой цепочки, выделив корреляционные чааи в функциях Ег и з. [c.399]

Результаты, полученные в задачах 31, 32, можно подытожить с несколько иной точки зрения мы показали, что уравнения цепочки Боголюбова для функций Р, (как и вытекающие из них кинетические уравнения) содержат решения, которые в каждый момент времени соответствуют чисто механическому состоянию всех частиц системы, и в то же время их решениями являются функции распределения Р,, соответствующие равновесной статистической механике Шббса, описывающей предельное смешанное состояние равновесной статистической системы. > [c.405]

В нашем изложении мы получим кинетичеекое уравнение Власова, исходя непосредственно из первого уравнения цепочки Боголюбова (7.3) для неравновесных функций распределения [c.128]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...