Единственное решение уравнений течени

Единственное решение уравнений течения 147, 220 [c.386]

Допустим, что для изучаемого класса течений теорема существования и единственности решений уравнений Навье — Стокса доказана. Зафиксируем конкретные значения критериев (5.89) и сформулируем в безразмерных величинах условия однозначности для безразмерных уравнений Навье — Стокса. Тогда решив их, получим единственное решение, в которое в качестве параметров войдут зафиксированные значения чисел Fr, Ей, Re, Sh. Это решение определит целый класс физически реальных процессов, размерные параметры которых в сходственных точках будут отличаться только численными множителями, а безразмерные будут одинаковыми. Иначе говоря, получим класс механически подобных потоков. [c.123]

Допустим, что для изучаемого класса течений теорема существования и единственности решений уравнений Навье — Стокса доказана. [c.132]

В более общих задачах об обтекании тел сквозь поверхность тела может происходить отсасывание или, наоборот, выдавливание жидкости. При некоторых условиях и в этих случаях толщина пристеночного слоя, где существенно влияние вязкости, имеет порядок так что для описания течения в этом слое можно пользоваться уравнениями Прандтля. Использованию уравнений Прандтля для решения задач о ламинарных течениях жидкости в пограничном слое на твердом теле посвящена обширная литература (см., например, монографии [1-3]). Имеются и строгие доказательства существования и единственности решения уравнений Прандтля для таких течений [4]. Эти доказательства теряют, однако, силу в тех случаях, когда внутри пограничного слоя имеется зона обратных токов. Уравнения пограничного слоя широко используются также для решения задач о ламинарном смешении потоков, имеющих разные скорости, и о течениях в ламинарных струях. В этих задачах решения получены только для течений, в которых продольная составляющая скорости не меняет знак. [c.91]

В приложении к задачам струйного обтекания мы будем применять принцип непрерывности к семейству операторов FJX], определенных соотношением (7.26). В этом случае /Со(0) = 1, так что существование и единственность решения уравнения X=Fq,[X] следует из теоремы 5. Для простоты мы будем рассматривать только бесконечные симметричные кавитационные течения около выпуклых стенок, для которых W= = МР/2 и v(o) = sin о(1+sin о). Будем также предполагать, что К(д) >0 и [c.217]

Единственность. В п. 7 было показано, что течение единственно, если 5Х = О является единственным решением уравнения (7.37). Найдем теперь достаточные условия единственности, для чего предварительно определим достаточные условия того, что из A t) =0 следует 5Х = О (лемма 2), а затем получим достаточные условия для Л(/) =0 (лемма 3). [c.221]

Поскольку в критическом слое переменная 3 порядка единицы, неограниченное возрастание при к > Ке означает, что критический слой отделяется от стенки. Выше получено дисперсионное уравнение для трехслойной схемы течения (см. рис. 3.1, а), когда критический слой совпадает с пристеночным, и вычислена его асимптотика при С —> Рассмотрим теперь случай, когда толщина критического слоя много меньше, чем его расстояние до стенки (см. рис. 3.1, 5). Из (3.1.11) следует, что указанное расстояние имеет порядок У2 —1с1 Я,7, откуда в силу (3.1.13) с кг > С . Необходимо построить решение в критическом слое, не содержащее экспоненциально растущих членов на оси (3.1.18) при У Единственное решение уравнения первого приближения (3.1.16), удовлетворяющее данному требованию, гласит [c.62]

В том случае, когда налагаются условия обтекания выходных кромок лопаток, существует непрерывное и единственное решение уравнения для потенциала скорости (6.1), характеризующего дозвуковое течение через решетку. Но это не относится к случаю сверхзвукового течения, когда можно использовать метод малых возмущений для линеаризации этого уравнения. В этом случае возникает трудная проблема формулирования граничных условий и получаются отдельные нереальные решения, включая появление волн расширения. Все это препятствует использованию итерационных численных методов для получения достаточно точного решения с удовлетворительной сходимостью. Для правильного выбора решения, важного с физической точки зрения, требуется использовать какой-либо критерий, например условие возрастания энтропии. [c.191]

Реологическое поведение несжимаемых ньютоновских жидкостей полностью определяется величиной единственного параметра — вязкости. Для заданного материала вязкость является функцией только температуры. Экспериментальное определение-вязкости состоит в измерении некоторой легко определимой величины, которая единственным образом может быть связана с вязкостью при помощи соотношения, получаемого теоретически из решения уравнения движения. Например, градиент давления A/ /L в осевом направлении для прямолинейного течения в длинной круглой трубе выражается законом Хагена — Пуазейля [c.167]

Хорошо известно, что ламинарные течения неустойчивы при очень больших числах Рейнольдса, когда течение перерождается в турбулентное. Это означает, что, хотя поле ламинарного течения представляет собой решение полных уравнений движения, удовлетворяющих всем граничным условиям, оно не есть единственное решение, поскольку, разумеется, поле турбулентного течения тоже удовлетворяет как дифференциальному уравнению движения, так и граничным условиям. [c.260]

При таком рассмотрении остается, конечно, в стороне вопрос о влиянии, которое может иметь на устойчивость пограничного слоя кривизна обтекаемой поверхности Имеется также и определенная непоследовательность, связанная с делаемыми пренебрежениями. Дело в том, что единственными плоско-параллельными течениями (с профилем скорости, зависящим только от одной координаты), удовлетворяющими уравнению Навье — Стокса, являются течения с линейным (17,1) и параболическим (17,4) профилями (в то время как уравнение Эйлера удовлетворяется плоско-параллельным течением с произвольным профилем). Поэтому рассматриваемое в теории устойчивости пограничного слоя основное течение не является, строго говоря, решением уравнений движения. [c.238]

Уравнение (5.5) называется уравнением Лапласа, а функция ф, удовлетворяющая этому уравнению, — гармонической функцией. Уравнение Лапласа — это линейное дифференциальное уравнение, в силу чего его частные решения можно дифференцировать, складывать и получать таким образом новые частные решения этого уравнения. Использование условий однозначности (обычно условий на границах области течения) позволяет получать единственные решения для гармонической функции, а следовательно, и для поля скоростей в различных конкретных задачах. [c.186]

При а = 0 и р= — 1 (течение в расширяющемся канале) существует единственное для всех значений >1/8 решение уравнения (2-7), удовлетворяющее условиям (2-10) и (2-19). Необходимое решение можно выбрать по распределению / (т1), которое при т]—>-оо подходит монотонно к единице. Решение выражается через эллиптические функции при у = 5/1/3. В [Л. 20, 346] приводятся результаты численного интегрирования уравне- [c.43]

В нашей работе приводится доказательство единственности решений внутренних и внешних краевых задач для уравнения (3) в случае стационарного температурного поля и потенциального течения потока. В этих условиях уравнение (3) принимает следующий вид [c.179]

В приведенной постановке задачи число уравнений совпадает с числом неизвестных, н они имеют единственное решение в дозвуковой области. Задача не имеет решения, если заданный расход газа О превосходит критический для какой-либо из решеток. 13 этом случае расход газа принимается равным критическому и за соответствующей решеткой (или на выходе из турбомашины) задается статическое давление, причем для единственности решения задачи необходимо, чтобы в каждой характерной точке за этой решеткой был дополнительно указан тип течения (до- или сверхзвуковая скорость). [c.299]

Следует подчеркнуть, что приведенные рассуждения о единственности решения справедливы лишь в предположении непрерывности всех функций и их производных до второй включительно в области течения. Поэтому при разработке численных методов интегрирования уравнений задачи весьма существенно обеспечение непрерывности скорости потока и ее первых производных при склейке решений между областями Л и Б и между решетками. При наличии в потоке осесимметричных поверхностей разрыва (например, типа вихревого диска )) вопрос о единственности решения более сложен и в каждом частном случае требует специального исследования. [c.304]

Введение функции тока является унифицированным методом описания двумерных течений несжимаемой жидкости. Для таких течений нахождение решения уравнений движения сводится к определению единственной скалярной функции. К сожалению, в обш,ем случае трехмерных течений этот метод неприменим. В каждом конкретном случае должны находиться свои решения уравнений движения, зависяш,ие от геометрии задачи. Суш ествуют, однако, классы трехмерных течений, которые можно единственным образом описывать при помош,и одной скалярной функции. Каждому из таких течений присущ некоторый вид симметрии. [c.116]

Как доказывается в теории потенциала, при весьма широких предположениях о виде поверхности о и при только что указанных граничных условиях, уравнение Лапласа имеет единственное решение (задача Неймана). Не останавливаясь на общей теории, перейдем к рассмотрению некоторых простейших частных гидродинамических задач, а затем и более общих пространственных течений. [c.271]

Условимся среди всех чисел подобия (39) особо выделять составленные только из тех масштабов сравниваемых потоков и физических констант среды, которые заключаются в постановке задачи об определении движения, т. е. наперед заданы. Одинаковость таких чисел подобия обусловливает подобие двух сравниваемых течений, и поэтому сами числа могут быть названы критериями подобия. Критериев подобия меньше, чем чисел подобия для соответствующего класса течений, так как не все масштабные величины, введенные при составлении безразмерных уравнений и граничных и начальных условий, на самом деле могут быть заданы наперед. Значения некоторых из них определяются только после того, как будет получено единственное решение данной конкретной задачи. Отсюда следует, что число достаточных условий, представленных системой равенств вида (40), будет меньше общего числа необходимых условий. [c.369]

Как показывает предыдущий анализ, при больших величинах вязкости все течения с одинаковым распределением скорости на границе после достаточно долгого времени будут одинаковы. С другой стороны, при малых значениях вязкости (или, эквивалентно, при больших числах Рейнольдса) наблюдаемые течения уже не стремятся к единственному предельному течению. Указанные факты легко проиллюстрировать на простых примерах течений Куэтта и Пуазейля, для которых устойчивый ламинарный режим возможен только при малых числах Рейнольдса. Исходя из экспериментальных результатов, Хопф ) высказал предположение о существовании класса решений уравнений Навье — Стокса, соответствующих течениям, наблюдаемым после достаточно долгого промежутка времени, когда влияние начальных данных уже не сказывается. При больших величинах вязкости этот класс исчерпывается одним решением при уменьшении вязкости таких решений становится все больше и больше. При фиксированном V класс Хопфа выделяет устойчивое многообразие в фазовом пространстве всех возможных решений. В работе Хопфа, на которую мы ссылались выше, это предположение сформулировано более четко и подтверждено интересной математической моделью уравнений Навье — Стокса, решения которой можно выписать в замкнутом виде. [c.238]

Следовательно, с течением времени более высокие гармоники исчезают по сравнению с более низкими и в конце концов остается существенной только одна, самая низшая гармоника, именно та, которую мы брали раньше в качестве единственного решения нашего уравнения. [c.164]

При а= 0 и, 3 = —1, т. е. при течении в расширяющемся канале, существует решение уравнения (3-7), удовлетворяющее условиям (3-10) и (3-20) и являющееся единственным для всех значений у 5 8. Необходимое решение 6 83 [c.83]

Метод непрерывности. Ранние доказательства теорем единственности ([54], [48]) основывались на методе непрерывности Вайнштейна, распространенном на функциональные уравнения. Несмотря на то, что этот метод лишен изящности и простоты, которыми обладают методы сравнения (гл. IV, п. 12— 14), он имеет и свои преимущества. Так, он позволяет обнаружить тесную связь между вопросами существования и единственностью решений он применим к плоским несимметричным течениям, а некоторые его идеи могут быть применены даже к пространственным несимметричным течениям. [c.216]

Криволинейные препятствия. В гл. VII мы исследовали вопрос о существовании и единственности идеальных плоских течений около криволинейных препятствий и решений соответствующих интегральных уравнений (6.15) и (6.16). Теперь мы исследуем как с теоретической, так и с практической точек зрения эффективное приближенное решение этих интегральных уравнений. [c.278]

Задача состоит в том, чтобы привести систему определяю-Ш.ИХ уравнений, граничных и начальных условий к безразмерному виду и выявить те безразмерные параметры или функции, от которых зависит решение (или вообще течение). Очевидно, что если для разных течений эти параметры, или, как их называют, критерии подобия, будут совпадать, то вследствие предполагаемой единственности решения будут одинаковыми и зависимости безразмерных функций (4.2.2) от безразмерных переменных (4.2.3). Такие течения называются подобными. В новых переменных уравнения движения, неразрывности и энергии не изменяют вида (производные в операторах градиента и дивергенции взяты по безразмерным переменным) [c.113]

Для изучения отрывного течения, показанного на рис. 4.7, существенными являются некоторые результаты работы [В.Я. Нейланд, 1970, б]. Во-первых, вблизи передней кромки тела и до точки отрыва существует однопараметрическое семейство решений задачи (4.53) (4.55). Выбор единственного решения определяется положением точки отрыва. Положение точки отрыва зависит от формы и размеров препятствия. Во-вторых, во всей области отрыва с длиной Ах 0(1), кроме малой окрестности препятствия, течение также описывается уравнениями (4.53). [c.154]

Входящее в (4.124) распределение р( ) заранее неизвестно и должно быть опре делено в результате решения задачи. Наличие индуцированного градиента давления придает параболической системе уравнений пограничного слоя новые свойства, связанные передачей возмущений вверх по потоку и с появлением соответствующей неединственности решения, описанной в работе [Нейланд В. Я., 1970] и выше в этой главе. Дополнительное краевой условие, задаваемое, например, на донном срезе р = 1) = В, позволяет получить единственное решение краевой задачи (4.124). Для численного решения краевых задач такого типа использован метод, опубликованный в работе [Дудин Г.Н., Лыжин Д.О., 1983]. Процедура решения заключается в задании некоторого поля скоростей и давления в области (0 1 0 Л сх)). В дальнейшем линеаризованная краевая задача (4.124) решается при известных градиенте давления, распределении давления и толщине вытеснения <5 ( ), в результате определяется новое распределение толщины вытеснения <5( ), которое не совпадает с исходным <5 ( ). Следующий этап вычислений связан с нахождением поправки А (С) к распределению толщины вытеснения. Для этого используется линейное дифференциальное уравнений второго порядка, в котором неоднородный член пропорционален разности ( ) — 5 ). Процедура вычислений повторяется при новом распределении толщины вытеснения 5+1 (е) = ( ) + Д( ) И соответствующих распределениях давления и градиента давления до тех пор, пока разность <5 ( ) — <5( ) не станет достаточно малой. Таким образом можно рассчитывать также течение и в пограничном слое с возвратными токами, используя ориентированные разности при аппроксимации конвективных производных. [c.184]

Рассмотрим согласно [Нейланд В.Я,, 1974, в] ре- 1 шение задачи в общем случае, когда поперечная скорость для уравнений пограничного слоя во всем профиле, соответствующем плоскости симметрии крыла, не равна нулю. Можно показать, что в этом случае вопреки утверждению, содержащемуся в работе [Козлова И.Г., Михайлов В.В., 1970], удается построить локально-невязкую зону течения вблизи оси симметрии с узкими подслоями вязкого течения. Сращивание решений дает дополнительное граничное условие, позволяющее отобрать единственное решение для пограничного слоя. Оно оказывается наложенным на величину расхода газа в поперечном направлении и поэтому может быть удовлетворено выбором имеющейся одной произвольной постоянной. [c.227]

Таким образом, характер течения различается по геометрическим признакам. В силу того, что существует единственное решение уравнений (6.31), (6.32), соответствующее знаку плюс и обозначаемое и, будем различать режим в соответствии с корнями U+. Удобной мерой при классификации рещений служит величина /3 / /г - /lod v 2A j . Подчеркнем, что величина /3 / /г - Лоо /2j4 считается неизменной для всех режимов, поскольку, как уже отмечалось, предполагается, что отступающий мениск описывается монотонной функцией. [c.126]

Пусть теперь % будет симметричным решением уравнения Я = Р [Х], существование которого было доказано в п. 6. Уравнение в вариациях 5Х = Р[5Х, 5а] в развернутой записи представляет собой интегральное уравнение типа уравнения Фред-гольма. Для таких уравнений и существование решения и его единственность, требуемые по второму условию принципа непрерывности, эквивалентны отсутствию ненулевого решения соот ветствующего однородного уравнения (5/( = 0) (см. [49, т. 1). Таким образом, все следствия принципа непрерывности, и в частности единственность течения, будут справедливы при условии, что 5Я = О является единственным решением уравнения [c.218]

Математические проблемы существования и единственности решений уравнений в частных производных, описывающих течения жидкости, далеки от своего завершения как для самих дифференциальных уравнений, так и для их конечно-разностных аналогов. В 1961 г. появилась монография Ладыженской, посвященная этим проблемам для стационарного течения вязкой несжимаемой жидкости изложение существа ее работы дано Эймсом [1965]. Основываясь на сравнении задачи о течении несжимаемой жидкости, описываемом уравнениями Навье — Стокса, с другими задачами, Эймс (с. 480) предполагает, что единственное стационарное решение существует только ниже некоторого неизвестного предельного значения числа Рейнольдса, выше этого значения в некотором интервале чисел Re существует несколько решений и, наконец, выше некоторого другого, также неизвестного, значения числа Рейнольдса решений вообще не существует. (Однако Эймс также задается правомерным вопросом, справедливы ли сами стационарные уравнения Навье— Стокса для чисел Рейнольдса, превышающих некоторое значение, прп котором возникает турбулентность.) При конечно-разностном решении этой задачи положение может еще более усложняться из-за неясности граничных условий. [c.24]

Вопрос о судьбе гофрировочно-неустойчивых ударных волн тесно связан со следующим замечательным обстоятельством при выполнении условий (90,12) или (90,13) решение п дродинами-ческих уравнений оказывается неоднозначным (С. 5. Gardner, 1963). Для двух состояний среды, I w 2, связа иых друг с другом соотношениями (85,1—3), ударная волна является обычно единственным решением задачи (одномерной) о течении, переводящем среду из состояния I ъ 2. Оказывается, что если в состоянии 2 выполнены условия (90,12) или (90,13), то решение указанной гидродинамической задачи не однозначно переход из состояния 1 в 2 может быть осуществлен не только в ударной волне, но и через более сложную систему волн. Это второе решение (его можно назвать распадным) состоит из ударной волны меньшей интенсивности, следующего за ней контактного разрыва и из изэнтропической нестационарной волны разрежения (см. ниже 99), распространяющейся (относительно газа позади ударной волны) в противоположном направлении в ударной волне энтропия увеличивается от si до некоторого значения S3 < S2, а дальнейшее увеличение от ss до заданного S2 происходит скачком в контактном разрыве (эта картина относится к типу, изображенному ниже на рис. 78, б предполагается выполненным неравенство (86,2)) ). [c.478]

Существование и единственность решения задачи для нелинейных уравнений осесимметричного движения газа в турбомашине в общем виде не доказаны. Однако можно высказать некоторые соображения в пользу положительного решения этого вопроса. Прежде всего существование решения очевидно из физических соображений даже для самой обшей (трехмерной) постановки. Единственность решения линеаризованных (в отношении производных) уравнений очевидна, так как они сводятся к квазилинейному эллиптическому уравнению типа уравнения Пуассона. Нелинейность уравнений существенно связана с множителем р в уравнении неразрывности, а также с производными от р (т. е. с и 7 ) в уравнении вихрей. Для частного случая линейных уравнений с р = onst up — onst, который отвечает течению несжимаемой жидкости только через неподвижные решетки (ш = 0), существование и единственность решения следуют из тех же свойств, доказанных для более общей задачи трехмерного движения. Нелинейность, зависящая от производных от р, вообше очень слабая. Она связана со смещением линий тока (вдоль которых р постоянно или является известной функцией). В предположении непрерывной зависимости формы линий тока от значений р у задаваемых в виде гладкой функции поперек входного сечения, а также от величины угловой скорости ш (такая зависимость, безусловно, должна быть непрерывной в силу эллиптичности уравнений с гладкими коэффициентами) можно определенно утверждать единственность решения нелинейных уравнений, по крайней мере, для достаточно малых областей А или для достаточно малых [c.303]

Таким образом, в первом приближении для локально невязкой области течения отбирается единственное решение, удовлетворяющее условию Ро = Роо и не содержащее критической точки. Исследование асимптотики затухания возмущений для этого решения приводит к необходимости изучения течения еще для области л Ке" , в которой характерная величина перепадов давления имеет порядок Ке" . В этой области давление возрастает и достигает предельного значения рс . Здесь же расположена критическая точка течения, а решение описывается уравнениями теории свободного взаимодействия. Таким образом, первая поправка к условию Чепмена — Корста имеет порядок Не" (тот же порядок [c.253]

Уравнение (3-35), удовлетворяющее граничным условиям (3-36), исследовано Д. Р. Хартри [Л. 118] при —0,1988 р 2,4. Результат этого исследования частично представлен на рис. 3-3. Существование решений уравненпя (3-35) с граничными условиями (3-36) в диапазоне доказано в [Л. 263]. О ригинальные решения, основанные на выводах этой работы, получены В. Коппелем [Л. 77]. Решения в области —0,1988 затабулнрованы Д. Р. Хартри [Л. 118] и К- Стюартсоном [Л. 225]. При ускоренном течении (р>0 /га>0) имеется единственное решение. Для замедленного течения (р<0 /п<0) значение второй производной /"(л), которое при /(0)=0 и / (0)=0 удовлетворяло бы граничному условию / (оо)=1, остается неопределенным. Однако существует одно значение /"(0), при котором / (т)), возрастая, стремится к единице при Г)— оо скорее, чем при каком-либо другом значении. Вероятно, что это значение ["(0) является единственным, для которого / (т)) стремится к единице экспоненциально, в то время как при других значениях ["(ц) разность [1— Г(т1)] стремится к нулю при т —>-оо, как конечная степень 1/г . При р<0 вычислено то решение, при котором / (т]) быстрее стремится к единице [c.90]

Приведенные результаты объясняют трудности, с которыми столкнулся Серрин [236], пытаясь доказать теорему единственности при р < I единственности просто нет. В то же время для случая р = 1 эта теорема доказана в разд. 4.4, что позволяет предположить наличие единствепности и при всех р 1. Интересные результаты получены в работе [31]. Здесь рассмотрено автомодельное решение уравнений Навье — Стокса, описывающее течение, вызванное линией источников или стоков в присутствии плоскости, перпендикулярной этой линии. Численным анализом установлено, что задача о стоках однозначно разрешима при всех числах Рейнольдса. В случае источников решение существует лишь при малых числах Рейнольдса (Ке< 0,848) и, что самое интересное, в окрестности критического числа Рейнольдса найдено два реше- [c.57]

Характер течения около холодного треугольного крыла зависит от режима взаимодействия пограничного слоя с внешним гиперзвуковым потоком [Нейланд В.Я., 1974]. При докритическом режиме возмущения могут распространяться от плоско сти симметрии к кромкам. Для отбора единственного решения необходимо учитывать дополнительное краевое условие, например, величину давления на некоторой поверхности ( = onst. В области закритического течения возмущения не распространяются вверх по потоку и течение описывается автомодельным решением системы уравнений (7.3). На холодном крыле изменение толщины вытеснения создается основной частью пограничного слоя, причем это изменение линейно зависит от возмущения [c.309]

Ф. И. Франкль (1947) первый указал на возможность математической некорректности задачи об обтекании фиксированного тела с безударной (бесскачковой) местной сверхзвуковой зоной. Опираясь на теорему единственности решения обобщенной задачи Трикоми для уравнений типа уравнений Чаплыгина, он провел рассуждение, которое, не будучи доказательством, сделало в глазах специалистов его предположение о некорректности упомянутой выше задачи о бесскачковом течении весьма вероятным (это рассуждение Ф. И. Франкля получило в литературе название аргумента Франкля ). Указанное рассуждение Ф. И. Франкля легло в основу последующего доказательства для течений, близких к заданному, теоремы о некорректности указанной выше краевой задачи безударного обтекания, выполненного в США К. Моравец. [c.102]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...