Равновесие механических систе устойчивое

Устойчивость равновесия механических систем [c.270]

УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ [c.273]

Исходя из этой формулы, Лагранж получает все частные и общие свойства равновесия механических систем шесть уравнений равновесия твердого тела, условия равновесия систем, подчиненных связям (способ множителей Лагранжа), условие устойчивого равновесия консервативной системы, введение силовой функции (без какого-либо названия) — вот далеко не полный перечень важнейших оригинальных вкладов Лагранжа в развитие аналитической статики. Следует подчеркнуть, что метод неопределенных множителей Лагранжа является не просто формальной операцией вычислительного характера, а содержит в себе принцип освобождаемости от связей, впервые четко сформулированный и разработанный для различных случаев [4, с. 111] ...таким образом,, применяя эти силы, можно рассматривать тела как совершенно свободные и не подчиненные каким бы то ни было связям . [c.101]

Одно из направлений посвящено изучению устойчивости положений равновесия механических систем. При этом в зависимости от поставленной задачи применяются теорема Лагранжа, критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы, теорема Четаева о неустойчивости положения равновесия исследуется устойчивость стационарных движений. [c.60]

А. Пуанкаре при разработке основ теории бифуркации равновесий механических систем, находящихся под действием сил, производных от силовой функции, зависящей от параметра. Теоремы Пуанкаре о числе реальных ветвей кривой равновесий, проходящих через точку бифуркации, и о законе смены устойчивости были обобщены Н. Г. Четаевым [c.34]

УСТОЙЧИВОЕ МЕХАНИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ — см. Равновесие механической систе.чы (равновесие). [c.499]

Кроме решения краевых задач, уравнения Ламба полезны в задачах устойчивости и в проблеме точного интегрирования уравнений динамики. Откладывая рассмотрение проблемы интегрирования до гл. IV, мы сейчас кратко обсудим приложение уравнений Ламба к решению задач устойчивости положений равновесия механических систем. [c.95]

Замечание об устойчивости механических систем. Устойчивость равновесия механической системы зависит от параметров последней. Для некоторых механических систем в число таких параметров входят действующие нагрузки. Аналогичное положение имеет место, и для упругих систем тонкие сжатые стержни, пластинки и оболочки при некоторых значениях нагрузок теряют устойчивость равновесия и выпучиваются. [c.347]

Одновременно с разработкой и совершенствованием аналитических и геометрических методов исследования движений материальных частиц и твердых тел в механике под влиянием запросов практики возникает и интенсивно развивается целый ряд новых областей и направлений, таких как механика жидкостей и газов (гидромеханика, аэромеханика, газовая динамика), механика упруго и пластически деформируемых тел (теория упругости и теория пластичности), общая теория устойчивости равновесия и движения механических систем, механика тел переменной массы и др. [c.14]

Колебательные движения механических систем удобно описывать уравнениями Лагранжа в обобщенных координатах. При составлении уравнений мы будем отсчитывать обобщенные координаты всегда от положения устойчивого равновесия, относительно которого и происходят колебания механических систем. В большинстве случаев эти уравнения нелинейны и их интегрирование связано с большими трудностями. Однако при решении многих технических задач оказывается возможным в этих уравнениях отбрасывать квадраты и более высокие степени координат и скоростей. Такая операция называется линеаризацией уравнений. Линеаризованные уравнения не могут, конечно, в точности отобразить движения системы и дают несколько искаженную картину явления. Искажения тем менее существенны, чем меньше отброшенные члены уравнений в сравнении с оставшимися. Если значения координат и скоростей во все время движения остаются очень малыми, то их квадратами и высшими степенями вполне можно пренебречь, подобно тому, как в дифференциальном исчислении пренебрегают бесконечно малыми высших порядков. Таким образом, мы пришли к заключению, что колебания, описываемые линеаризованными уравнениями при сделанном выборе начала отсчета, должны быть только малыми колебаниями около положения равновесия. [c.435]

Глава 13. КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ I. ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РАВНОВЕСИЯ [c.197]

Рассмотрим основные свойства малых колебаний механических систем с одной и двумя степенями свободы на основе применения уравнений Лагранжа некоторые результаты для системы с любым, конечным числом степеней свободы приведем без вывода. Механическая система может совершать малые колебания только вблизи устойчивого положения равновесия. Обобщенные координаты системы в положении равновесия принимают равными нулю, т. е. отсчитывают их от положения равновесия. Тогда колебательным движением механической системы в общем случае считают всякое ее движение, при котором все обобщенные координаты или часть из них изменяются не монотонно, а имеют колебательный характер, т. е. принимают нулевые значения по крайней мере несколько раз. [c.384]

Колебания механических систем происходят вблизи устойчивых положений равновесия и вблизи устойчивых движений. Кроме этого интересного для оптико-механической аналогии факта, устойчивость имеет следующее, более глубокое значение. [c.243]

На основе такого представления, рассматривая выход системы из состояния равновесия как результат виртуальных отклонений внутренних параметров от их равновесных значений, можно, пользуясь основным неравенством термодинамики (3.59) для нестатических процессов, получить общие (т. е. для любых систем) условия термодинамического равновесия и устойчивости. При этом, поскольку состояние термодинамических систем определяется не только механическими параметрами, но и специально термодинамическими (температура, энтропия и др.) и другими параметрами, вместо одного общего условия равновесия для механических систем (6.2) для термодинамических систем их будет несколько в зависимости от отношения системы к внешним телам (адиабатная система, изотермическая система и др.). [c.100]

Равновесие термодинамических систем по аналогии с механическими может быть устойчивым (стабильным), неустойчивым (лабильным) и относительно устойчивым (метастабильным). Равновесное состояние называется устойчивым, если по устранении возмущения, вызвавшего некоторое отклонение системы от этого состояния, система сама по себе возвращается в первоначальное состояние равновесия. [c.15]

Колебания около положения равновесия возникают в случае устойчивого равновесия. В случае неустойчивого равновесия система при малейшем отклонении удаляется от положения равновесия и колебания около этого положения не возникают. Поэтому при изучении малых колебаний механических систем важно знать критерий устойчивости равновесия этих систем. [c.5]

Но интуиция может дать верный ответ только в простейших случаях для более сложных систем одной интуиции оказывается недостаточно. Например, даже для сравнительно простой механической системы, изображенной на рис. 1.7, а, интуиция может лишь подсказать, что положение равновесия шарика на вершине при очень малой жесткости пружины будет неустойчивым, а с увеличением жесткости пружины оно должно стать устойчивым. Для изображенной на рис. 2.3, б системы стержней, соединенных шарнирами, на основе интуиции можно только сказать, что исходное положение равновесия этой системы устойчиво или неустойчиво в зависимости от соотношения между силой, жесткостью пружины и длиной стержней. [c.11]

Постановка задачи об устойчивости равновесия распределенных систем. Диссипативные системы образуют частный класс неконсервативных систем. Для этих систем каждое (или почти каждое) движение сопровождается уменьшением полной механической энергии. Ниже рассмотрим такие системы с не зависящими от времени параметрами, в которых возможно возрастание полной механической энергии за счет ее притока извне. Равновесие таких систем и (х, () = О при определенных значениях параметров может стать неустойчивым. В связи с этим возникает задача [c.241]

Изложенную постановку задачи об устойчивости стационарных движений можно применять также для систем, содержащих упругие звенья. Постановка и метод решения задачи об устойчивости стационарных движений (равновесий) упругого тела с полостью, содержащей жидкость, даны в работе [26 . Приложения этой теории для ряда механических систем с упругими и жидкими элементами можно найти в работах [14, 16, 22, 23]. [c.300]

Рассмотрим консервативную механическую систему с п степенями свободы. Состояние равновесия этой системы характеризуется обобщенными координатами ql,. .., д , внешние воздействия - параметрами Рь. .., р . Пусть, кроме того, равновесие системы может быть изменено возмущающими параметрами Е1,. .., е . Потенциальная энергия системы имеет вид П=П(q,s,P), где через д, в и р обозначены соответствующие векторы. Для устойчивых состоя- [c.525]

Основное практическое применение в анализе устойчивости конструкций находит концепция устойчивости механических систем, восходящая к Эйлеру. С состоянием устойчивости системы связывается возможность существования для нее при заданном Р только одной формы равновесия напротив, в состоянии неустойчивости в тех же условиях система характеризуется наличием нескольких, так называемых смежных форм равновесия, соответствующих бесконечно близким значениям функционала П. Иными словами, для состояния неустойчивости нагруженной системы характерно ветвление или бифуркация форм равновесия. Очевидно, что в рамках концепции Эйлера задача анализа всевозможных равновесных состояний системы на устойчивость эквивалентна задаче определения точек бифуркации системы в пространстве параметров, определяющих ее состояния (нагрузки, частоты возбуждающих колебаний и т. п.). [c.108]

Кроме того, что движение шарика происходит вдоль заданной окружности (а это уменьшает диапазон допустимых состояний), имеется лишь одно важное различие между этим и предыдущим случаями теперь маятник может покоиться в двух различных положениях, обозначенных на рис. 2.2 цифрами 1 и 2, Оба они являются некоторыми равновесными положениями, однако лишь положение 1 соответствует механическому состоянию устойчивого равновесия. Положение 2 соответствует состоянию неустойчивого равновесия, поскольку даже простого прикосновения достаточно для того, чтобы сместить его хотя бы на бесконечно малую величину в неустойчивое положение, из которого маятник сам по себе переходит в положение 1 без какого-либо взаимодействия с окружающей средой. Следовательно, как и ранее, мы видим, что при условии неизменности связей, наложенных на систему, имеется одно и только одно устойчивое состояние, в которое система переходит из любого начального состояния после устранения всех взаимодействий с внешней средой. [c.30]

Математический и физический маятники, груз, подвешенный на пружине, плавающее тело представляют собой примеры простейших механических систем, обладающих тем свойством, что, будучи выведенными из положения устойчивого равновесия и предоставленные затем самим себе, они совершают колебания. Системы такого рода называют колебательными системами, а совершаемые ими колебания — собственными . [c.336]

В состоянии полного равновесия вариация (30.16) должна равняться нулю, каковы бы ни были изменения поляризации и смещения частиц магнетика. Поскольку индукция связана с распределением вещества в пространстве и с поляризацией уравнениями Максвелла, она тоже изменится. Однако ее изменение не должно давать внешней работы, так как в равновесии свободная энергия имеет минимум при неизменном движении внешних механических систем. Вместе с тем, вариация Г при постоянных М+ и р как раз равна внешней работе (см. (30.14)). Поэтому, хотя <5В ф О, слагаемое, содержащее <5В, должно быть таким, чтобы интеграл с <5В в выражении ЬР исчезал. Следовательно, при отыскании равновесного состояния (но не при исследовании устойчивости) можно считать В постоянной. Учитывая, [c.168]

Простейшее представление об устойчивости и неустойчивости механических систем дает известный пример с тяжелым шариком на сферической поверхности или на плоскости — в зависимости от характера изменения потенциальной энергии шарика здесь различают случай устойчивого, неустойчивого или безразличного равновесия. [c.363]

Влияние диссипативных сил на малые колебания системы около устойчивого положения равновесия. До сих пор рассматривались малые колебания механических систем. При этом предполагалось, что на систему наложены идеальные связи и всякое сопротивление движению системы отсутствует. На самом деле на всякую механическую систему действуют некоторые силы сопротивления. В общем случае характер этих сил очень сложный и каждый раз определяется экспериментально. В простейшем случае предполагается, что силы сопротивления, действующие на каждую точку системы, пропорциональны скорости движения соответствующей точки и направлены в сторону, противоположную скорости движений этой точки. [c.568]

Основные теоремы. Задача об устойчивости имеет значение ие только при исследовании положений равновесия, но и при исследовании движения механических систем. Она возникает в связи с необходимостью знать, как изменится движение нри отклонении начальных условий от заданных. Исследованием вопросов устойчивости равновесия занимался еще Аристотель. Лагранж сформулировал известную теорему об устойчивости равновесия и рассмотрел малые возмущенные движения в окрестности положения равновесия системы. Развитием учения об устойчивости равновесия и движения занимались такие крупнейшие ученые, как П. Тэт (1831— 1901), Томсон (лорд Кельвин) (1824—1907), Э. Раус, А. Пуанкаре, [c.571]

МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ОДНОЙ И ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ ОКОЛО ПОЛОЖЕНИЯ УСТОЙЧИВОГО РАВНОВЕСИЯ [c.453]

В настояш,ей главе мы рассмотрим простейшие вопросы колебаний механических систем, а именно —малые колебания систем с одной и двумя степенями свободы около положения устойчивого равновесия. [c.453]

Различают устойчивые и неустойчивые еостояния равновесия механических систем. В принципе для решения вопроса об устойчивости состояния равновесия нужно исследовать результаты возможного нарушения этого состояния, т. е., иными словами, изучить общие евойства движения, которое возникает вследствие сколь угодно малых начальных возмущений состояния равновесия такое движение называетея возмущенным. Если, совершая возмущенное движение, система удаляется от состояния равновесия (монотонный уход или колебания с возрастающими пиковыми значениями), то такое состояние следует считать неустойчивым. Если же в возмущенном движении система остается в непосредственной близости к равновесному состоянию (например, еоверщает гармонические колебания) или, тем более, постепенно приближается в этому состоянию (монотонное приближение, или колебания с убывающими пиковыми значениями), то такое состояние устойчиво. [c.152]

Следовательно, есла свободная энергия имеет минимум, то система находится в состоянии устойчивого равновесия, так как если бы какое-нибудь превращение могло увеличить свободную энергию, то это противоречило бы (ИЗ). В случае механических систем устойчивое равновесие устанавливается при минимальной потенциальной энергии. Поскольку условием устойчивого равновесия термодинамической системы, заключенной в жесткий ре-эервуар и имеющей температуру окружающей среды, является [c.73]

Пример 7. Частный случай обращения теоремы Лагранжа-Дирихле об устойчивости положения равновесия механических систем и теорема Ирншоу о неустойчивости равновесия точечного заряда в электростатическом поле. [c.96]

Системы с двумя степенями свободы без трения. Исследование устойчивости состояний равновесия механических систем с несколькими степенями свободы также состоит в изучении свойств во шущенного движения, т. е. того движения, которое будет происходить после произвольного ско.ль угодно малого нарушения состояния равновесия. Названные свойства определяются видом 13 я. г, Пановко [c.193]

Доказательство теорем существования и единственности обобщенных решений следует проводить в соответствующих фу циональных пространствах, как это делается в большинстве раб по этой тематике. Вопросы устойчивости движений или поле ний равновесия механических систем необходимо также сматривать в наиболее широком классе решений, т. е. в кла обобщенных решений. Этот подход позволяет в качестве вс щенных движений рассматривать всю совокупность решений и i мерять отклонения возмущенных движений от исследуемого с nd мрщью естественной энергетической нормы или нормы ей э валентной. [c.280]

Метод вспомогательных оторЗажений. Опнсанные выше критерии существования неподвижной точки и особенно критерий, основанный на принципе сжимающих отображений, в тех случаях, когда его удается применить, дает значительные, а ииогд ) и исчерпывающие сведения о поведении изучаемой системы. В качестве примера можно привести произвольную механическую систему с взаимными и собственными комбинированными трениями без падающих участков характеристик трения. К такой системе возможно применение принципа сжимающих отображений, позволяющее установить глобальную устойчивость многообразия состояний равновесия или периодических движений при воздействии на такую систему внешней периодической силы. Применение принципа сжимающих отображений позволяет установить существование и единственность вынужденных колебаний в системе с т 1к называемым конструкционным демпфированием. Соответствующие примеры могут быть продолжены, но все же они не очень многочисленны, поскольку далеко не всегда имеется сжимаемость. В настоящем разделе излагается метод вспомогательных отображений, позволяющий расширить применение критерия о существовании и единственности неподвижной точки на несжимающие отображения. Ради геометрической наглядности это изложение, как и относящиеся к нему примеры, будет ограничено двумерными точечными отображениями. [c.301]

Принцип устойчивости требовался в основных космогонических задачах Лагранжем, Лапласом, Пуассоном, Пуанкаре, Ляпуновым. Наиболее широкое употребление он получил через применение теоремы Лагранжа об устойчивости равновесия при существованни силовой функции для описания развития равновесий медленно изменяющихся механических систем. Основные законы физики, как-то законы Гука, энтропии, закон всемирного тяготения Ньютона, сила Лоренца — удовлетворяют необходимым условиям принципа устойчивости ). [c.247]

Сравнительно просто решается вопрос об устойчивости равновесия для консервативных механических систем с конечным числом степеней свободы, когда справедлива теорема Лагранжа— Дирихле если в состоянии равновесия потенциальная энергия системы имеет минимум, то это состояние устойчиво. [c.153]

Устойчивости механических систем посвящен седьмой раздел. Здесь даны критерии устойчивости, устойчивость равновесия, численные методы анализа равновесия, устойчивость неупругих систем, устойчивость роторов и аэрсгид-роупругих систем, устойчивость при случайных воздействиях. [c.16]

Задачи об устойчивости состояний равновесия занимают одно из центральных мест в теории устойчивости механических систем. К этому классу принадлежит большинство задач об устойчивости элементов конструкций и машин, загруженных квазистатическими силами. Кроме того, многие задачи устойчивости движения также приводятся к задачам об устойчивости состояний равновесии. Так, стационарное движение системы при силах, не зависящих от времени, может быть представлено в виде некоторого относительного равновесия. В других случаях нестационарностью невозмущенного движения допустимо пренебречь. Например, рассматривая устойчивость прямолинейной формы упругих стержней, нагруженных продольньпаи силами -периодическими функциями времени, обычно пренебрегают продольными колебаниями от действия этих сил [3]. Задача об устойчивости движения в результате сводится к родственной задаче об устойчивости равновесия. [c.473]

Для прикладной теории устойчивости механических систем эти теории не добавляют существенно нового (кроме терминологаи) к известным фактам. В этом можно убедиться, например, по приложениям этой теории к строительной механике из книги [17]. На рис. 7.3.9, а приведена известная зависимость характерного прогиба /упругого стержня или его модели (рис. 7.3.2) от параметра нагрузки 5 и начального возмущения е . На рис. 7.3.9, б показана диаграмма катастрофы типа сборки , которая по существу представляет собой трехмерную интерпретацию зависимости между / р и в для положений равновесия. [c.477]

Знание нормальных форм позволяет не только проводить приближенное интегрирование, ио и решать вопросы устойчивости положения равновесия (причем для полной, а не только для укороченной системы), существования, построения и исследования устойчивости периодических и условпо-периодических движений в окрестности положения равновесия конкретных механических систем. [c.226]

Третья часть дисциплин учебного плана относится непосредственно к теоретической механике. Здесь изучаются аналитическая динамика и дополнительные главы теоретической механики, куда рходят, например, вопросы устойчивости равновесия и движения механических систем, вариационные принципы механики, канонические уравнения, канонические преобразования, механика тел переменной массы и др. В этой же части изучается курс по методике преподавания математики и теоретической механики. На семинарах по этому предмету все слушатели выступают с дою1адами по предложенным самими слушателями темам. Такие семинары проходят с повышенной активностью слушателей, ибо они затрагивают наиболее интересные дискуссионные и близкие для преподавателей вопросы преподавания курса теоретической механики и смежных ДИС1ЩПЛИН. [c.65]

Устойчивость частичных положений равновесия. Возможность частичных положений равновесия, безразличных в отношении оставшихся переменных, является хара1сгерной особенностью многих механических систем с конечным числом степеней свободы. Достаточно указать голономные системы с циклическими и квазициклическими координатами и, более конкретно, на ситуации, возникающие при исследовании движения гироскопа в кардановом подвесе [Magnus, 1955, 1971 Румянцев, 1958 Климов, Харламов, 1978 Хапаев, 1986 Андреев, 1991]. [c.29]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...