Метод асимптотический рядов

Случай кручения и растяжения упругого цилиндра с внешней кольцевой трещиной исследован в [111], где решение задачи осуществлено (по аналогии с подходом, который развивается в работе [8]) на основании метода парных рядов и представлено в виде асимптотических разложений по е. Задача исследована в точной постановке, однако асимптотическое разложение решения по е не дает замкнутости в том смысле, что погрешность решения при 8 1 неограниченно возрастает. [c.27]

Устойчивость цилиндрических оболочек при неоднородном осевом сжатии, в частности при изгибе моментом, рассматривалась во многих работах см. обзоры [36, 37]). В работе [44] применялся метод Бубнова — Галеркина, причем прогиб аппроксимировался двойным тригонометрическим рядом. В работах [112, 114] был использован излагаемый ниже метод асимптотического интегрирования. [c.93]

По итогам данного обзора можно констатировать, что к настоящему времени разработаны и описаны в литературе многие варианты неклассических двумерных уравнений слоистых анизотропных оболочек и пластин. Для вывода таких уравнений используются различные методы — метод асимптотического интегрирования уравнений пространственной задачи теории упругости, метод разложения в ряды по функциям поперечной координаты, метод гипотез для каждого слоя или для пакета слоев в целом в сочетании с вариационным принципом Лагранжа или Рейсснера и т.д. С точки зрения практических приложений наиболее перспективным из них представляется метод гипотез для пакета слоев, приводящий к математическим моделям, сочетающим в себе возможность адекватного описания процессов деформирования тонкостенных анизотропных слоистых систем с относительной простотой разрешающих дифференциальных уравнений. [c.11]

Изложим теперь метод сингулярных возмущений. Исследуем уравнения (5.5) при X < 1 методом сращиваемых асимптотических разложений, ограничиваясь рассмотрением лишь главных членов асимптотических рядов. Для возможности построения этих членов достаточно, чтобы выполнялись условия (5.4). Будем также предполагать, что f ix) удовлетворяет условию Гельдера nd отрезке [—1,11. [c.366]

Для точного уравнения четвёртого порядка у = Ус не будет особой точкой. При построении наших асимптотических рядов надо тщательно проследить за проявлением этой особенности, вводимой лишь математическим методом интегрирования. Это можно будет сделать, если мы получим возможность сравнения наших асимптотических разложений по 1/aR, удобных для практических расчётов, с точными решениями уравнения четвертого порядка (3.11). [c.671]

Таким образом, наша система уравнений свелась к одному нелинейному обыкновенному уравнению третьего порядка с тремя граничными условиями. Оно может быть проинтегрировано численно, например при помощи разложения функции ф(т1) в степенной ряд вблизи ii=0 и в асимптотический ряд при т)- оо (такой метод решения был использован в 1908 г. Блазиусом, впервые исследовавшим эту задачу) другие численные методы приме- [c.43]

Метод перевала, который в общем случае более точен, чем метод стационарной фазы, состоит в деформации контура интегрирования в комплексной плоскости и последующего вычисления интеграла с помощью асимптотического ряда. Можно показать, что этот ряд в це- [c.251]

Альтернативой численным методам стала очень популярная техника, основанная на асимптотическом вычислении интегралов [1]. Есть несколько причин такого успеха. Это и простота выражений, и высокая степень точности, достигаемая за счет удержания необходимого числа членов асимптотического ряда, и возможность разделения области поля на участки, в которых предсказывается конкретное поведение поля. Но наиболее важна возможность использования более точного представления поля на опорной апертуре. [c.339]

Вблизи каустик или фокуса методы ВКБ, СФ и НС приводят к сингулярным полям. Средством устранения этих сингулярностей являются сравнительные интегралы, из которых наиболее известны функции Эйри, они же — интегралы радуги, получившие свое название при объяснении Эйри образования радуги. Умножая эти интегралы сравнения на асимптотический ряд, можно получить полное представление поля, которое справедливо как вблизи, так и вдали от критических участков. Такой подход, имеющий много общего с методом Лангера (разд. 3.3), называют теорией однородного асимптотического пред-ставления [2—6]. [c.342]

В некоторых случаях из-за медленной сходимости асимптотического ряда, представляющего дифракционный интеграл, метод стационарной фазы применять нельзя. Это особенно явно проявляется в одном важном частном случае, когда распределение поля на опорной плоскости является гауссовым. Рассмотрим следующий дифракционный интеграл [c.366]

Дифференциальное уравнение (10.149) может быть проинтегрировано различными методами. Если параметр 2А велик [2 > 5, см. формулу (10.137)1, то достаточную точность обеспечивает метод асимптотического интегрирования. При выполнении расчетов по этому методу следует пользоваться таблицами специальных функций [291. При малых значениях параметра 2k решение может быть получено в рядах. [c.451]

Методом Лапласа (2) с учетом известного разложения в степенной ряд функции 1о(х) получим асимптотический ряд [c.465]

Для квазистационарного состояния в решении (5) рядом можно пренебречь. Для малых значений Ро можно найти приближенное решение. Применяя метод разложения функции lg (г) в асимптотический ряд, после некоторых преобразований получим решение для изображения в случае Bi = оо в таком виде (подробно см. 5 гл. IV) [c.287]

Практическая значимость асимптотических оценок чрезвычайно велика. Это объясняется тем, что решение многих нетривиальных задач математической физики получается очень громоздким или сложным по форме. Например, оно может быть задано сложным функциональным рядом или контурным интегралом. Вместе с тем часто в задачах надо знать точное решение не при всех значениях параметров и переменных, а лишь при некоторых предельных значениях. Например, иногда достаточно знать поведение решения по истечении большого промежутка времени. В этих случаях о поведении сложного точного решения можно судить по его асимптотическому разложению. Так как решение линейных задач теории теплопроводности может быть всегда выражено в виде контурных интегралов (а в ряде случаев и интегралов по действительной переменной), то, естественно, в первую очередь надо рассмотреть методы асимптотических оценок интегралов соответствующих типов. [c.557]

Впервые асимптотический метод для решения смешанных задач теории упругости был предложен в 1959 г. в работе И. И. Воровича и Ю. А. Устинова [126]. В ней рассмотрена осесимметричная контактная задача для упругого слоя. Основные характеристики задачи представлены в виде асимптотических рядов по отрицательным степеням безразмерного геометрического параметра =А/а, к — толщина слоя, а — радиус области контакта. Построенные асимптотические ряды оказались эффективными при больших значениях Поэтому метод мы будем далее именовать методом больших Я (м. 6. Я). В этом же году Ю. А. Устинов [342] с помош,ью м. б. Я изучил осесимметричную задачу -о распространении продольной трещины в упругом полупространстве. [c.96]

В ходе изложения теории волновых взаимодействий мы постоянно будем сталкиваться с необходимостью решения уравнений с переменными коэффициентами. Одним из наиболее мощных приближенных методов решения является метод ВКБ. Несмотря на то, что при его использовании обычно ограничиваются только главным членом асимптотического ряда, он позволяет получить ответы на многие вопросы, важные с физической точки зрения (см. гл. II). [c.3]

Подробные сведения об асимптотических рядах и об асимптотических методах изложены в литературе [17 45 55 107 115]. Здесь мы остановимся лишь на способах асимптотических оценок функций, заданных интегралами (формулами обращения). [c.109]

Метод стационарной фазы применим и в том случае, когда функции g (х), к (х) не являются аналитическими. Более подробные сведения о методе стационарной фазы, в частности, о построении с его помощью асимптотического ряда изложены, например, в [115]. [c.119]

Кроме перечисленных, известны и другие асимптотические методы. Так, иногда асимптотический ряд удается построить интегрированием по частям. [c.119]

На рубеже двух веков А. Пуанкаре подвел в своих Новых методах небесной механики итоги исследований XIX века и дал обильную пищу ученым XX века. Поражаешься богатству идей и понятий, содержащихся в этой книге метод малого параметра, асимптотические ряды, исследование периодических решений, гомоклинические кривые, интегральные инварианты и т.д. Словом, значительная часть того, что теперь называется качественной теорией дифференциальных уравнений , восходит к Новым методам Пуанкаре и, следовательно, к небесной механике. [c.16]

В настоящем обзоре будут рассматриваться в основном уточненные динамические теории, основанные на модели выдающегося отечественного ученого-механика С. П. Тимошенко (1916, 1921) для стержней и ее обобщениях на пластины и оболочки. Будут рассмотрены также с достаточной полнотой метод степенных рядов и менее подробно асимптотические и некоторые другие методы. Метод степенных рядов ведет свое начало от работ выдающихся математиков прошлого века Коши и Пуассона (1828). Асимптотические методы в динамике стержней, пластин и оболочек начали развиваться значительно позже, чем в других естественных науках. Все известные методы сводятся, по существу, к уменьшению тем или иным способом размерности трехмерной задачи теории упругости. [c.5]

В этом смысле заслуживает большого внимания работа Ю, А. Устинова [2.139], в которой изложен разработанный автором эффективный метод определения напряженного состояния в круговом кольце произвольной толщины. Этот метод дает возможность представить решение в наиболее опасной зоне среды в виде некоторых асимптотических рядов по параметру, характеризующему степень близости границ области, причем [c.292]

Схема метода эталонных задач состоит в следующем. Рассматриваемая исходная задача заменяется простейшей эталонной задачей, допускающей точное решение обычно путем разделения переменных. Точное решение эталонной задачи исследуется при (О — оо и из него выделяется выражение, которое асимптотически описывает волновое поле в интересующей нас области, где поле лучей обладает специфическими для рассматриваемой задачи особенностями. Обычно это выражение представляет собою произведение специальных функций или контурный интеграл от специальных функций, аргументами которых являются асимптотические ряды по дробным отрицательным степеням большого параметра и. Волновое поле в исходной [c.14]

Доказательство приводимых ниже правил получения асимптотических рядов для Wi t), Wi t) и v t) можно провести с помощью метода перевала, чему посвящены последние страницы этого дополнения. [c.415]

Выражение для коэффициентов j можно найти с помощью следующих соображений поскольку полученные по методу перевала асимптотические ряды можно дифференцировать, правая часть асимптотического равенства [c.423]

При этих условиях согласно идее асимптотических методов нелинейной механики [12, 39] приблим<енное решение уравнения (115) в самом общем виде, пригодное для исследования как резонансной зоны, так и подходов к ней из нерезонансной, ищем в виде асимптотического ряда [c.83]

Наличие в (56) малого параметра позволяет составить уравнения, описывающие только медленное изменение механических координат, что упрощает задачу. При этом можно использовать метод В. М. Волосова, согласно которому искомые перемещения ищутся в виде асимптотических рядов [c.345]

Глава посвящена рассмотрению двух наиболее интересных случаев деформирования оболочки вращения — осесимметричному ( = 0) и обратносимметричному k — 1) изгибам. Решение однородной системы разрешающих уравнений определяется методом асимптотического интегрирования и является точным в рамках кирхгофовской теории оболочек. Однако для практических целей достаточной обычно является точность первого (так называемого геккелеровского) приближения, соответствующая пренебрежению слагаемыми порядка Y hlRo по сравнению с единицей. Частное решение также вычисляется приближенно на основе предложения о его плавности и совпадает с безмомент-ным решением. Главу заключают параграфы, посвященные отдельно цилиндрическим, коническим и сферическим оболочкам. Рассмотрен ряд задач, которые могут представлять самостоятельный интерес (например, аналог теоремы о трех моментах в теории оболочек). [c.184]

А. Амбарцумяна [7], И.И. Воровича и М.А. Шленева [86], А.К. Галиньша [92], Э.И. Григолюка и Ф.А. Когана [105], Э.И. Григолюка и Г.М. Куликова [110], А.А. Дудченко и др. [135], Г.А.Тетерса [298]. Авторы обзора [135] выделяют две группы методов получения двумерных уравнений теории пластин и оболочек — методы аналитические и гипотез. В свою очередь, группу аналитических методов можно разделить на несколько подгрупп. К первой относятся методы асимптотического интегрирования уравнений трехмерной задачи теории упругости, опирающиеся на предположение о наличии малого параметра (относительная толщина, отношения жесткостей). К другой — методы, идея которых заключается в задании характеристик напряженно-деформированного состояния рядами по некоторой системе функций поперечной координаты с последующим выводом уравнений на коэффициенты разложений из трехмерных уравнений теории упругости. Наконец, к аналитическим относят [135] также и те методы, в которых организуется сходящийся итерационный процесс уточнения решения. [c.6]

Введение. Методы выделения поверхностей разрывов при численных расчетах газодинамических задач известны [1-5]. Основываются они либо на методе характеристик [1] с алгоритмическим внесением специальных процедур, например выделение плавающих разрывов [6], либо на решении задачи о распаде разрыва [2] с последующим использованием подвижных сеток. Применение подобных подходов в нелинейной динамике деформируемых твердых тел проблематично из-за взаимозависимости в них, по существу, двух процессов распространения граничных возмущений изменение объемных деформаций и деформаций изменения формы. Поэтому в этом случае используются, главным образом, различные варианты схем сквозного счета [7-9]. Следует, однако, заметить, что из-за наличия в деформируемых телах более значимого диссипативного механизма (пластичность, ползучесть), проблема выделения фронтов разрывов в твердых деформируемых средах не стоит столь остро, как в газовой динамике. Иначе, использование здесь разных вычислительных методик, основанных на процедурах сквозного счета, гораздо более оправдано. И все же существуют ситуации в динамике деформируемых твердых тел, когда нестационарность явления столь существенна (отражение и взаимодействие ударных волн при высокоскоростном соударении и др.), что выделение нелинейных разрывов может стать необходимым. Здесь предлагается способ расчета ударного деформирования, выделяющий поверхность разрыва путем включения в неявную разностную схему одновременного вычисление параметров прифронтовой асимптотики, т. е. параметров разложения решения непосредственно за поверхностью разрывов в асимптотический ряд. Способы построения таких разложений могут основываться на методе возмущений [c.146]

Отметим прежде всего работы Б. Г, Галеркина (1932, 1935) по применению к анализу толстых плит общих решений уравнений теории упругости, выраженных через бигармонические функции, а также монографии Б. Г. Галеркина (1934) и Ю, А. Шиманского (1934), посвященные расчету пластинок разного очертания по классической теории изгиба. Метод асимптотического интегрирования для расчета оболочек вращения впервые был применен И. Я, Штаерманом (1924) он же указал на аналогию между статическими расчетами оболочки вращения и кривого (плоского) стержня на упругом основании. Решение ряда интересных задач безмоментной теории куполов дано в монографии В. Э. Новодворского (1932), с именем которого связано одно из условий применимости безмоментной теории тангенциальные краевые условия не должны допускать изгибания срединной поверхности (В. Э. Новодворский, 1933), [c.228]

При изучении вопроса о концентрации напряжений около щелей и трещин значительный интерес представляет решение смешанных задач теории упругости для неклассических областей типа полосы (слоя). В математическом отношении эти задачи очень трудны. Однако начатое около десяти лет назад систематическое исследование этого вопроса привело к созданию эффективных методов решения задач такого класса (В. М. Александров, И. И. Ворович, Н. Н. Лебедев, Я. С. Уфлянд и др.). Методами операционного исчисления эти задачи довольно легко сводятся к решению интегральных уравнений первого рода с нерегулярным ядром. Наибольший эффект в нахождении удобных для практического использования решений этих уравнений был достигнут при использовании специфичных асимптотических методов. Начало исследований вопроса равновесия трещин в полосе было положено И. А. Маркузоном (1963). В. М. Александров (1965) исследовал равновесные трещины вдоль полосы или слоя, где интегральное уравнение строится для функции, определяющей форму трещины. Им получено приближенное решение путем разложения ядра уравнения в ряд при больших отношениях толщины к размеру трещины и получены зависимости нагрузки от размеров трещины. Используя этот метод и решения уравнений Винера — Хопфа, В. М. Александров и Б. И. Сметанин (1965, 1966) получили выражение для коэффициента интенсивности напряжений на краях равновесной трещины в слое малой толщины. Для случая постоянной нагрузки определяется связь размера равновесной трещины с действующей нагрузкой. Аналогичное решение получено для дискообразной трещины в слое конечной толщины. В. М. Ентов и Р. Л. Салганик (1965) рассмотрели в балочном приближении задачу Ь полубесконечной трещине, проходящей по средней линии полосы, причем для нагрузок, приложенных к берегам трещины, задача сводится к рассмотрению расслаивания под действием нормальной или тангенциальной силы. В этой работе с помощью метода Винера — Хопфа получено выражение для коэффициента интенсивности напряжений для достаточно больших и достаточно малых значений отношения расстояния от конца трещины до точки приложения силы к полуширине полосы. Используя аналитический метод, развитый В. М. Александровым и И. И. Воровичем (1960) при исследовании контактных задач для слоя большой относительной толщины, Б. И. Сметанин (1968) рассмотрел задачу о продольной щели в клине, а также плоскую и осесимметричную задачи о продольной щели в слое при различных условиях на гранях клина и слоя. Для щели, расположенной симметрично относительно граней клина (слоя), и нормальной нагрузки, приложенной к поверхности щели, получены формулы для определения поверхности щели. Коэффициент интенсивности напряжений выражается в виде асимптотического ряда по степеням безразмерного параметра. [c.383]

В разд. 5.4 мы получили главные члены асимптотического ряда, к которому можно прийти с помощью метода, предложенного в 1956 г. Честером и др. [25]. Он основан на замене переменной5- определяемой неявным соотношением [c.384]

Другой Способ построения полной асимптотики решения смешанных задач с кольцевой областью раздела граничных условий развит в работах В. С. Губенко, В. И. Моссаковского, Н. М. Бородачева, В. М. Александрова и др. [19, 47, 52, 53, 106, 107, 110, 160—163, 254—256, 292, 322, 414, 417]. Общий метод построения полной асимптотики решения при малых л широкого класса плоских смешанных задач предложен в работе В. А. Бабешко [58]. Здесь основные параметры задачи, по сути дела, представлены в виде асимптотических рядов по ехр (—где ця — корни некоторого трансцендентного уравнения. Построение таких разложений связано с необходимостью решения последовательными приближениями бесконечной алгебраической системы. Главная часть этой системы точно обращается путем решения соответствующего интегрального уравнения Винера — Хопфа. [c.98]

Следует, однако, иметь в виду, что метод усреднения приводит к неверному выводу о том, что возмуш енная система всюду интегрируема. Истинное движение, которому отвечает структура фазового пространства с перемежаюш имися областями хаотичности и островами устойчивости, подменяется всюду интегрируемым движением, вытекающим из существования адиабатических инвариантов ). Будет такое описание справедливо или нет, определяется величиной возмущения и той степенью детальности, с которой сравниваются между собой реальное движение и предсказания адиабатической теории. Это обстоятельство подчеркивалось в п. 1.4а, где для задачи Хенона и Хейлеса (см. рис. 1.13 и последующее обсуждение) сопоставлены истинные траектории и результаты вычислений с помощью адиабатических инвариантов. Формальная расходимость ) (для любого конечного е) асимптотического ряда, представляющего адиабатический инвариант, является еще одним свидетельством того, что метод усреднения искажает действительную структуру фазового пространства. Тем не менее этот метод весьма полезен при изучении движения в нелинейных системах. [c.83]

В [3.54] (1960) выводятся уточненные уравнения неосесимметричных колебаний цилиндрической оболочки на основе метода степенных рядов. Определяется показатель изменяемости напряженного состояния p S( i + % + mP (со — частота X и т — характеризуют изменяемость вдоль осевой и дуговой координат соответственно) и оценивается асимптотическая погрешность решений. Уточненные уравнения строятся исходя из бесконечной системы уравнений. В основу полагается критерий точности, основанный на со анении членов до некоторого порядка малости а (а=нУ 2R). Получена система уравнений с точностью до Утверждается без доказательства, что построенные аппроксимации являются гиперболическими. [c.189]

Таким образом, наша система уравнений свелась к одному нелинейному обыкновенному уравнению третьего порядка с тремя граничными условиями. Это уравнение может быть проинтегрировано численно, например, при помощи разложения функции ф(т1) в степенной ряд вблизи Т1=0 и в асимптотический ряд при т1->оо (такой метод решения был использован в 1908 г. Блазиусом, впервые исследовавшим рассматриваемую здесь задачу) некоторые другие численные методы применили к решению уравнения (1.48) в последующие годы Тепфер, Бер-стоу, Гольдштейн, Хоуарт и др. (см. ссылки в книгах Гольдштейна (1938), Шлихтинга (1951) и Лойцянского (1941,19626) ). Полученные в результате этих расчетов профили продольной и [c.53]

В, работе Толмина (1929) методом малых возмущений исследовалось течение в пограничном слое, которое он рассматривал как плоскопараллельное и имеющее профиль скорости, составленный из отрезков прямых и парабол при этом впервые удалось получить форму кривой нейтральных возмущений на плоскости (й, Ее), отделяющую область устойчивых возмущений от неустойчивых возмущений. В дальнейшем Толмин (1930, 1947) и Шлихтинг (1933а, б 1935а) перенесли эти результаты также и на случай произвольных профилей скорости. В 1944—1945 гг. вся теория устойчивости плоскопараллельных потоков была критически пересмотрена Линем (1945), пересчитавшим заново основные примеры и уточнившим численные результаты Толмина и Шлихтинга. Тем не менее, сложность используемых при этом методов анализа асимптотического поведения решений уравнения (2.28) приводит к тому, что еще до сих пор полученные результаты в некоторых отношениях нельзя считать окончательными. Дело в том, что используемые асимптотические ряды обычно имеют особенность точке г,. в которой (7(2) —с — О, в то время как исходное уравнение регулярно в этой точке. Поэтому большой интерес представляет нахождение равномерно сходящихся асимптотических разложений, но построение таких разложений пока наталкивается на большие трудности (см., например. Линь и Бенни (1962)). [c.126]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...