Простая волновая функция

Простейший случай распространения одномерной волны аналитически описывается выражением вида f = f x — t), где /—. функция координаты х и времени t — определяет возмущение некоторого физического параметра. Для механических волн [ имеет смысл перемещения, скорости частиц или напряжения, функция f(x— t) называется простой волновой функцией, а аргумент x — t — фазой волновой функции. Если t получает приращение А , а X одновременно получает приращение сМ, то аначение f x — t), очевидно, не меняется. Следовательно, функция f x — t) представляет собой возмущение, движущееся в положительном направлении оси х со скоростью с, которая называется фазовой скоростью. Возмущение, описываемое функцией f(x — t), представляет собой волновое движение частного вида, при котором возмущение распространяется в среде, не меняя своей формы. [c.389]

Проводимость переходная 105 Пропускания импульсов измерения 383 Простая волновая функция 389 Процессы необратимые 108, 130 [c.555]

Остается найти соответствующий итерационный ряд для величины п ь ) входящей в (9), которая при выключенном взаимодействии О представляет собой просто волновую функцию ядра в представлении свободных частиц, обозначаемую далее /(гг). Запишем уравнение для величины (п 1/), учитывая соответствующие уравнения для векторов [c.290]

Построение простейшей волновой функции в ВКБ-приближении. Чтобы построить волновую функцию в ВКБ-прибли-жении, исходим из закона сохранения энергии для частицы массой М, движуш,ейся в связываюш,ем потенциале и х) [c.192]

Заметим, что данное выражение применимо только внутри области осцилляторного поведения волновой функции, достаточно далеко от точек поворота. В точках поворота импульс обращается в нуль и поэтому волновая функция ВКБ-приближения обращается в бесконечность. Кроме того, мы должны считать значение волновой функции в классически запрещённой области равным нулю. Поскольку такое приближение точной волновой функции довольно примитивно, этот вид волновой функции ВКБ-приближения называют простейшей волновой функцией ВКБ-приближения. [c.193]

Действительно, подставляя асимптотическое разложение функции Эй-эи в формулу для волновой функции в осцилляторном режиме, можно убедиться, что она сводится к простейшей волновой функции ВКБ-при-ближения. Кроме того, для значений координат вблизи точки поворота можно использовать асимптотические выражения (5.24) и (5.25) для импульса Рт х) и фазы и получить волновую функцию (5.27), [c.194]

В соответствии с квантовой механикой состояние частицы описывается волновой функцией i i х, у, z, t), являющейся решением некоторого волнового уравнения (нанример, уравнения Шредингера). Волновая функция я ) комплексна и не имеет наглядного физического истолкования. Однако квадрат модуля волновой функции является величиной существенно положительной и имеет простой физический смысл. ф 2 определяет плотность вероятности местонахождения частицы в момент времени t в точке пространства (х, у, z). В соответствии с этим ве- [c.88]

Простейшим примером волновой функции с неопределенной четностью является плоская волна. Однако при взаимодействии плоской волны с ядром возникает состояние с определенной четностью. Например, если частицы медленные, то взаимодействие происходит с I = О, так что четность образующегося состояния будет равна произведению четностей взаимодействующих частиц. [c.91]

Что результат должен иметь такой вид, вытекает из следующих простых рассуждений. Волновая функция в областях I и III имеет осцилляторный, а в области I — экспоненциальный характер, причем, поскольку концентрация частиц при прохождении через барьер может только убывать, коэффициент а должен [c.128]

Очень простое правило отбора, связанное с выполнением закона сохранения четности, возникает для упругого рассеяния частиц (например, нуклонов) на ядрах в процессе рассеяния I может изменяться только на четное число. Это заключение следует из того, что при упругом рассеянии ни состояние ядра, ни состояние бомбардирующей частицы, не изменяются. Единственное, что с ними может произойти,—это переориентация спина, при которой четность сохраняется. Но тогда должна сохраняться и четность волновой функции, описывающей относительное движение частиц. Отсюда следует, в соответствии с формулой [c.275]

Поскольку все частицы, находящиеся в конденсате, имеют одинаковые физические характеристики (все в одном состоянии), их поведение можно описать одной волновой функцией от одной пространственной переменной. Течение такого конденсата является сверхтекучим. Действительно, любой из частиц бозе-конденсата теперь очень не просто рассеяться на каком-либо дефекте. Остальные частицы конденсата препятствуют этому акту. [c.270]

Термины диаметр атома и межатомные расстояния не обсуждаются намеренно. Вся сложность состоит в том, что с точки зрения квантовой механики изолированный атом не имеет строго определенного размера. Действительно, даже в самом простейшем случае (электрон в атоме водорода, электрон в водородоподобном ионе) радиальная волновая функция имеет следующий вид [c.19]

Газ свободных, невзаимодействующих электронов, подчиняющихся принципу Паули, называют электронным газом Ферми. Простейшая формулировка принципа Паули гласит, что в системе электронов никакие два электрона не могут иметь одинаковые квантовые числа. Это означает, что каждая волновая функция Ч й(г) описывает состояние, ко- [c.104]

Волновые функции. Молекула водорода, состоящая из двух протонов и двух электронов, - одна из простейших молекул (рис. 93). Ее квантовомеханическая теория сравнительно проста. Будем обозначать протоны а и /), а электроны - 1 и 2. Если расстояние между протонами не очень велико, то волновые функции составляющих молекулу атомов существенно перекрываются. Это означает, что каждый из электронов принадлежит [c.307]

В нашем случае, однако, имеются не просто две частицы со спином половина, а две тождественные частицы. Поэтому их волновая функция должна быть антисимметрична по отношению к перестановке всех координат нейтронов (см. гл. И, 8) [c.123]

Для того чтобы разобраться в этом вопросе, рассмотрим простейший случай электрона, свободно движущегося вдоль оси Ох По сказанному в 17, он будет характеризоваться волновой функцией [c.95]

Возможность описать каждый электрон внутри атома своей собственной волновой функцией означает, что можно говорить об определенном состоянии каждого электрона внутри атома, характеризуемом своими квантовыми числами т . Полная энергия атома по (5) равна просто сумме энергий [c.197]

Метод В. А. Фока дает очень хорошие результаты для простейшего случая, когда вне замкнутых оболочек находится один валентный электрон (атомы щелочных металлов и сходные с ним ионы). Волновая функция, характеризующая атом в целом, ищется в виде произведения двух определителей (7). Один из них будет содержать k волновых- функций фJ, фд.....ф, , [c.205]

Периодические краевые условия. При решении задачи мы воспользовались краевыми условиями, состоящими в том, что волновая функция на стенках потенциальной ямы, т. е. на границах твердого тела, равна нулю. Однако часто удобнее применять так называемые периодические краевые условия, считая, что твердое тело имеет неограниченные размеры, но его характеристики, рассматриваемые как функции координат, являются периодическими с периодом, равным L. Иначе говоря, бесконечное твердое тело мысленно разбивается на кубики с ребром L и считается, что закон изменения г з повторяется в каждом кубике. Для тела конечных размеров допускается, что в простейшем случае оно такл<е представляет собой куб с ребром L, в котором имеет трехмерную периодичность с периодом L. [c.105]

Сделаем прежде всего предположение, что при построении рассматриваемой аналогии нужно считать введенную выше волновую систему синусоидальной волной. Хотя это предположение является простейшим и естественным, однако вследствие его основного значения нужно подчеркнуть некоторую вносимую им произвольность. Таким образом, время может входить 1з волновую функцию лишь посредством множителя sin (...), аргумент которого также линейно зависит от VT. Поскольку функция W является действием, а фаза синуса безразмерна, то коэффициент перед W должен иметь размерность, обратную размерности действия. Мы примем, что этот коэффициент носит универсальный характер, т. е. не зависит не только от Е, [c.684]

Рассмотрим вопрос подробнее на примере меди и никеля [2]. Изолированный атом меди имеет конфигурацию внешних электронов Однако в отличие, скажем, от замкнутой р-обо-лочки щелочных металлов волновые функции (зарядовые облака) d-электронов заметно перекрываются. В простейшем варианте теории считается, что 3d- и 45-электроны образуют отдельные зоны широкую для 4s (сильное перекрывание орбит) и узкую для 3d (рис. 8). В меди rf-зона заполнена целиком, а s-зона наполовину, поэтому медь ведет себя как одновалентный металл. В никеле f-зона не заполнена целиком (на рис. 8 заштрихованная область соответствует заполненным уровням). Согласно расчетам, в d-зове находится приблизительно 9,4 электрона, а в s-зоне — около 0,6. [c.27]

Равномерное асимптотическое разложение. Можно преодолеть трудности с сингулярностью простейшей волновой функции ВКБ-приближения в точке поворота, воспользовавшись решением в виде функции Эйри (5.27). Кроме того, как показывается в задаче 5.1, можно использовать выведенное в приложении Д асимптотическое зазложение функции Эйри для положительных аргументов для нахождения простого выражения для волновой функции в запрещённой области. [c.193]

Простейшая волновая функция ВКБ-приближения в запре-ш,ённой области [c.194]

Чтобы вывести вид простейшей волновой функции ВКБ-прибли-жения в классически запреш,ённой области, где и х) > Е, записать уравнение Шрёдингера (5.6а) в виде [c.194]

Если говорить об этих методах, тесно связанных с методом Метро-полиса и др., необходимо упомянуть краткое, но полезное обсуждение этого вопроса в работе Хэммерсли и Хэндскомба [38]. Мак-Мил-лан [57] провел интересные приближенные вариационные расчеты основного состояния жидкого Не, точнее его термодинамических свойств при ОК. В этих расчетах для оценки среднего значения энергии малой периодической системы с помощью простой волновой функции, содержащей подгоночные параметры, использовался метод Метрополиса и др. Исследовалась система из iV = 32 или 108 молекул Не в кубическом объеме V с периодическими граничными условиями. Предполагалось, что молекулы являются бозонами с нулевым спином с потенциальной энергией в форме (18), где в качестве и (г) использовался обычный потенциал Леннарда-Джонса (6, 12), полученный из оценки вириальных коэффициентов при высоких температурах. Квантовомеханический гамильтониан такой системы имеет вид [c.318]

Теперь мы достаточно подготовлены, чтобы понять, откуда берутся энергетические щели, эффективные массы, меньшие т, и какова роль дырок как носителей заряда. Предположим, что значения компонент Фурье Но потенциальной энергии. малы по сравнению с кинетической энергией 1гкр12т свободного электрона на поверхности сферы Ферми. Это предположение позволит нам ограничить рассмотрение случаем простых волновых функций, приближенно описываемых линейной кОлМбннацией двух плоских волн. [c.326]

Следующий, казалось бы естественный, шаг, предпринятый в направлении учета взаимодействия электронов, привел к результатам, которые вообще не подтверждаются экспериментально. Речь идет о замене простого произведения атомных волновых функций их линейной комбинацией в виде известного определителя, которая удовлетворяет требованию антисимметрии волновой функции по отношению к перестановкам частиц. Это приводит к появлению обменной э ргии, уменьшению величины gj ) и следующей зависимости электронной теплоемкости от температуры [c.326]

В основу калибровочной теории сильных взаимодействий [4] положена калибровочная симметрия SU (3)с. Использование этой группы симметрии связано прежде всего с необходимостью обеспечить выполнение требований статистики Ферми — Дирака для грехкварковых систем, образующих, например, Л+ + - или 0 -барионы в состояниях с проекцией спина 1з 3/2, при нулевых значениях кварковых относительных орбитальных моментов, характерных для основных состояний связанных систем. Простейший способ обеспечить антисимметрию указанных состояний барионов относительно перестановки любой пары кварков — приписать каждому кварку с заданным ароматом (ароматом часто называют сорт кварка — и, d, s, с п т. д.) еще одно квантовое число, которое может принимать три различных значения. Это квантовое число получило название цвет. Антисимметризация волновых функций кварков по цветовым степеням свободы обеспечивает требования статистики Ферми — Дирака для барионных состояний со спином и четностью 3/2+. [c.973]

Собственные значения и собственные функции. Атом водорода является простейшим атомом. Он состоит из протона и электрона, между которыми действует сила электрического притяжения [ ( ) = — с/(41160 )]. Масса протона во много раз больше массы электрона, поэтому приближенно протон можно считать покоящимся. Энергия такой системы из двух частиц определяется посредством решения уравнергия для радиальной части волновой функции (см. 28) [c.188]

Тем не менее имеющие простой вид волновые функции состояний в нильсеновском потенциале широко используются в различных расчетах. [c.110]

Из этих соотношений следует, что если частица существует в течение короткого промежутка времени Д/, то ее энергия может флук-туи овать на величину Й/2Д/, а если частица находится лишь в области размера Дл , то ее импульс флуктуирует на величину Н/2Ах. Таким образом, в течение малых промежутков времени может временно нарушаться закон сохранения энергии, а в процессах, происходящих внутри малых объемов, могут происходить местные нарушения закона сохранения импульса. Рассмотрим простой пример. Если свободная частица имеет энергию Ер, то ее волновая функция Ч " (/) гармонически зависит от времени, [c.315]

Двухуровневая система. Выясним некоторые особенности активированного диэлектрика, допустив вначале, что он обладает двумя уровнями энергии 1 2 и Wi, эти уровни будем считать простыми, невырожденными в отличие от них энергетические уровни, которым может соответствовать несколько различных волновых функций, называют вырожденными. Переход 2 1 сопровождается выделением, а / - 2 — поглощением энергии. Излучение энергии будет преобладать над поглощением, если населенность > iVj (для простых невырожденных уровней), т. е. если на верхнем уровне излучательного перехода находится большее число частиц, чем на нижнем. Переходы с поглощением (/ - 2) и с выделением (2 /) энергии наблюдаются непрерывно возбужденные состояния не являются устойчивыми. Средняя продолжительность пребывания частиц в возбужденном состоянии называется временем жизни т метастаб ильного состояния. Такое состояние, когда > N , достигается особыми методами — инверсией населенности. Под этим понимают процесс образования избыточной концентрации частиц (населенности) на высоких уровнях с возможностью переходов на низшие уровни. Энергии квантов на высших уровнях, например, на уровне IFj распределены в некотором интервале значений F. Плотность распределения частиц по энергии [c.215]

Вопрос о смещениях атомов вокруг точечного дефекта рассматривался выше без учета электронной структуры металла. Учет электронной подсистемы кристалла приводит при исследовании этого вопроса к некоторым новым результатам. Для выяснения лишь их общей качественной стороны ограничимся простейшей моделью газа свободных электронов проводимости. Появление точечного дефекта сопроволедается изменением распределения зарядов в металле. В случае вакансии удаление положительного иона вызывает появление на его месте эффективного отрицательного заряда, отталкивающего электроны проводимости. При добавлении примесного атома его валентные электроны могут перейти в электронный газ и в результате появится соответствующий заряд в месте расположения иона примеси. Этот заряд, как и в случае вакансии, экранируется электронами проводимости. Таким образом, появление дефекта сопровонсдается измененпем пространственного распределения плотности электронов, соответствующим изменению их волновых функций. [c.86]

На возможное возражение, что группа сама по себе является априорным понятием, можно указать, что понятие группы является результатом абстрагирования от различных подвижных инструментов циркуль, линейка и т. д., являющихся орудием геометрического исследования ). Напомним, что уже в геометрии Евклида неявно предполагалось, что все геометрические построения следует проводить с помощью только циркуля и линейки. Смысл этого требования становится ясен только с точки зрения программы Клейна. Геометрические свойства тел выражаются, таким образом, в терминах инвариантов группы и допускают изоморфную подстановку элементов пространства, в котором реализуется группа, и, следовательно, совершенно не зависят от самих геометрических объектов. Укажем, например, на реализацию геометрии Лобачевского на плоскости, предложенную А. Пуанкаре. Приведенный пример указывает на большую методологическую ценность программы Клейна. Аналогичный подход возможен также и в физике, где различные законы сохранения интерпретируются как свойства симметрии относительно различных групп. Основными группами современной физики являются группа Лоренца, заданная в пространстве Минковского, и группа непрерывных преобразований, заданная в криволинейном пространстве общей теории относительности, коэффициенты метрической формы которого определяют поле гравитации. В релятивистской квантовой механике мы переходим от группы Лоренца к ее представлениям, определяющим преобразования волновых функций. Как было показано П. Дираком, два числа I и 5, задающих неприводимое представление группы Лоренца, можно интерпретировать как константы движения угловой момент и внутренний момент частицы (спин). Иначе говоря, операторы, соответствующие этим инвариантам, перестановочны с гамильтонианом (квантовые скобки Пуассона от гамильтониана и этих операторов равны нулю). Числа, обладающие этими свойствами, называются квантовыми числами. В работах Э. Нетер дается общий алгоритм, позволяющий найти полную систему инвариантов любой физической теории, формулируемой в терминах лагранжева или гамильтонова формализмов. В основу алгоритма положена указанная выше связь между инвариантами группы Ли и константами движения уравнений Гамильтона или Лагранжа. В качестве простейшего примера рассмотрим вывод закона сохранения углового момента механической системы, заданной лагранжианом Г(х, X, (). Вводим непрерывную группу вращения, заданную системой инфи- [c.912]

ЧИСТОЕ СОСТОЙНИЕ—состояние квантовомеханич. системы, к-рое характеризуется заданием полного набора возможных значений динамич. переменных, определяющих состояние системы. Ч. с. описывается волновой функцией от этих переменных и является одним из осн. понятий квантовой механики. Суперпозиция волновых ф-ций (т. е. их сумма с произвольными комплексными коэф.) также описывает Ч. с. системы. Обычно Ч. с. называют просто квантовомеханическим состоянием, хотя в квантовой механике есть более общий случай—смешанное состояние. [c.459]

В кристаллической решетке потенциал, испытываемый электронами, периодически зависит от координат и волновые функции электронов представляют собой произведение плоской волны, соответствующей свободным электронам, и функции, которая имеет периодичность решетки, — блоховской функции. Эти волны по-прежнему распространяются без затухания в идеальной периодической решетке. Наличие решетки меняет зависимость энергии электрона от волнового числа (для свободных электронов эта зависимость квадратичная) и возможные энергии электрона в решетке. Если рассмотреть случай простой кубической решетки, как это делалось для фононов в п. 1 4, гл. 4, то для электрона, волновой вектор которого имеет такую вличину и направление, что почти достигает границы зоны Бриллюэна, энергия заметно отличается от энергии для того же самого значения k, вычисленной на основании модели свободных электронов. При k -<.п1а энергия меньше, чем ее значение для свободного электрона, а при k > я/а — больше. Это означает, что имеется энергетическая щель на границе зоны и волновое уравнение не имеет решений при энергиях, лежащих в пределах этой щели. Для малых значений k зависимость E k) такая же, как для свободных электронов для одномерного случая это показано на фиг. 10.2. Ясно, что значения k, лежащие на границе зоны, являются особыми, так как в этом случае условие брэгговского отражения волны означает, что вторичные волны, испускаемые последовательными рядами атомов, находятся в фазе. Для одномерного случая отсюда следует, что расстояние между атомами должно быть равно половине длины волны, поэтому а — Я/2 = я/А или k == nia, что как раз совпадает с расстоянием по перпендикуляру от центра к грани зоны Бриллюэна. Тот же принцип применим и в трехмерном случае, так что границы кубической зоны определяют значения А, для которых имеется щель в спектре электронов в простой кубической решетке. Этим значениям А соответствуют [c.178]

Большинство иолуэмпирических методов основано на валентном приближении, явно учитывающе. г лишь электроны валентной оболочки атомов, входящих в молекулу или кристалл. Можно допустить, что волновые функции остова свободного атома сохраняются без существенного изменения и в кристалле. В то же время волновые функции валентных электронов кристалла можно записать в такой форме, что будет выполняться требование ортогональности собственных состояний. Эта вводимая с самого начала ортогонализация является характерной чертой метода ортогонализированных плоских волн (ОПВ), широко применяемого в теории энергетических зон и стимулировавшего развитие метода псевдопотенциала. Как известно, истинный потенциал можно заменить в области ионного остова более простым эффективным потенциалом (псевдопотенциалом), приводящим вне остова к таким же волновым функциям, какие дает истинный потенциал. Требование ортогональности собственных состояний в методе псевдопотенциала значительно сокращает число членов при разложении волновой функции валентного электрона по плоским волнам. [c.138]

В методе Ха можно визуализировать химические связи, строя контурные карты распределения заряда валентных электронов. Например, для поверхности кубического Lig такие карты показывают наличие зарядовой плотности между ядрами, возрастающей по направлению к центру грани [429]. Контурные карты d-орбитальных волновых функций в плоскости грани простого кубического кластера u8 приведены в работе [732], где было показано, что большинство орбиталей вблизи дна й-полосы являются связывающими, тогда как большинство орбиталей около вершины этой полосы являются либо несвязывающими, либо разрыхляющими. [c.244]

Электронный спектр кристаллов, т. е. распределение электронов по энергиям в разрешенных зонах, принято описывать в пространстве квазиимпульсов — в обратной решетке. Закон дисперсии W p), т. е. зависимость энергии электронов от их квазиим-пульса p = Hk, где k — волновое число, различается для свободных электронов и электронов в кристаллической решетке. Для свободных электронов W p) представляет собой простую параболическую функцию [c.13]

Здесь следует обратить внимание на аналогию между такой интерпретацией статистической механики и интерпретацией обьга г ной квантовомеханической теории. Квантовая механика также утверждает, что теоретически предсказуемы только средние значения наблюдаемых. Однако статистический характер квантовой теории определяется совершенно иными физическими причинами. Этот немаловажный факт можно понять, если опять о15ратиться к уже рассматривавшемуся простому эксперименту с потоком тепла, но дать ему на сей раз квантовомеханическую интерпретацию. Пусть теперь металл характеризуется микроскопически некоторой определенной волновой функцией, удовлетворяющей уравнению Шредингера. Для данного состояния можно вычислить квантовомеханическое среднее значение энергии и проследить эволюцию во времени этого значения. Однако волновая функция системы многих тел чрезвычайно сложна. Если в нулевой момент времени заданы лишь макроскопические условия (например, градиент температуры), то в нашем распоряжении имеется огромное число возможных волновых функций данной системы, совместимых с заданными макроскопическими условиями. Каждой из этих разрешенных функций, т.-е. состояний, соответствует вполне определенное квантовомеханическое среднее значение энергии эти значения обычно отличаются одно от другого. Следовательно, мы оказываемся в том же положении, как и в классическом случае. Рассуждая далее по аналогии, припишем соответствующ ша образом подобранные веса каждому возможному состоянию системы. Определим теперь наблюдаемое значение энергии как усредненное по ансамблю значение квантовомеханических средних величин микроскопической энергии. Таким образом, ясно, что описание квантовостатистической системы подразумевает два последовательных процесса усреднения первое усреднение связано с принципом неопределенности Гейзенберга, а второе — с неопределенностью начального состояния системы многих тел. [c.51]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...