Модель газа свободных электронов

Модель газа свободных электронов [c.67]

Прежде чем перейти к модели почти свободных электронов,, мы кратко изложим результаты попытки учесть электрон-электрон-ное взаимодействие в рамках простой модели газа свободных электронов. Допущение о независимости электронов физически оправдывается тем, что электроны стремятся расположиться так чтобы экранировать обычный дальнодействующий кулоновский потенциал e lr при этом потенциал кулоновского взаимодействия принимает вид (е /г) ехр (—аг) и быстро убывает на расстояниях, превышающих среднюю длину свободного пробега электронов ). [c.73]

Очевидно, что более реалистичный подход, чем тот, который использовался в модели газа свободных электронов, должен учитывать наличие кристаллической решетки, построенной из ионов, и периодичность этой решетки. Чтобы задача была разрешимой, мы по-прежнему будем считать частицы независимыми, но теперь мы уже знаем, что для металлов при обычных температурах это допущение является вполне разумным. [c.75]

Полупроводниковые жидкости представляют собой недостаточно изученный класс веществ по сравнению с другими веществами, такими, как жидкие металлы или расплавленные соли, для которых имеются модели в первом приближении (например модель газа свободных электронов для металлов или борнов-ская модель для ионных веществ). Простые модели, которые можно было бы рассматривать как первые приближения для объяснения свойств жидких полупроводников, отсутствуют, и развитие подходящих концепций для построения таких моделей представляет собой нерешенную проблему. [c.13]

Между тем в рассмотренной выше модели на газ свободных электронов никаких ограничений не накладывалось, и энергия электронов зависела лишь от температуры, причем по законам классической статистики. [c.45]

Газ свободных электронов Модель многих частиц (учитываются плазменные эффекты) То же Учитывается [c.66]

Рассмотрим классическую модель металла жесткая ионная решетка, погруженная в газ свободных электронов, который, в свою очередь, может двигаться под действием магнитных, электрических полей и температурных градиентов. При разности температуры в проводнике электроны диффундируют от горячего конца к холодному (термодиффузия. электронов, процесс теплопроводности), передавая ионной решетке часть своей кинетической энергии. Избыток электронов, возникший на холодном конце проводника,. приводит к градиенту электрического потенциала. Отрицательный заряд на холодном конце нарастает до момента достижения динамического равновесия между числом электронов с большой энергией, диффундирующих от горячего конца к холодному под действием градиента температуры УГ, и числом электронов, перемещающихся от холодного конца к горячему под действием градиента потенциала электрического поля Уф. Этот градиент потенциала существует, пока есть градиент температуры, и называется термоэлектрической ЭДС. Отсюда следует, что термо-ЭДС не может возникнуть без температурного градиента. [c.643]

Для газа свободных электронов формула (3.17) становится очень простой. В этой модели [c.46]

Эта глава будет посвящена изучению взаимодействия между электронами в металлах. Мы воспользуемся простой моделью металла, в которой периодически распределенный заряд ионов заменен равномерно размазанным по всему кристаллу положительным компенсирующим зарядом. Такая модель газа взаимодействующих электронов лучше всего описывает простые металлы (например, щелочные), в которых электроны ведут себя почти как свободные, т. е. периодический потенциал может рассматриваться как малое возмущение, лишь слабо искажающее движение электронов. Возможно, что эта модель дает также неплохое приближение и для всех металлов, исключая переходные и редкоземельные в последних двух случаях периодическое поле играет суще-ственную роль. [c.82]

Важно отметить, что псевдопотенциал (4.113), как и всякий псевдопотенциал, действует на газ свободных электронов, рассеивающихся на нем. Энергия рассеивающегося электрона в модели АС равна энергии в области III (см. рис. 1.14), т. е. Е . Следовательно, уравнение Шредингера с псевдопотенциалом (4.113) имеет вид [c.188]

В случае слабого периодического потенциала удается составить достаточно полное представление о структуре электронных энергетических уровней. Раньше такой подход можно было рассматривать как упражнение, хотя и поучительное, но представляющее лишь чисто академический интерес. Сегодня, однако, мы знаем, что во многих случаях это явно нереалистическое допущение дает тем не менее поразительно точные результаты. Современные теоретические и экспериментальные исследования металлов, относящихся к I—IV группам периодической таблицы (это металлы, у которых в атомной конфигурации имеются 8- и /5-электроны, расположенные над конфигурацией заполненных оболочек инертных газов), показывают, что в них для описания движения электронов проводимости можно использовать почти постоянный потенциал. Такие элементы часто называют металлами с почти свободными электронами. Отправной точкой при их описании служит газ свободных электронов Зоммерфельда, свойства которого изменены из-за присутствия слабого периодического потенциала. В настоящей главе в рамках модели почти свободных электронов будут исследованы общие черты зонной структуры. Примеры применения к конкретным металлам рассмотрены в гл. 15. [c.157]

Обратите внимание на аналогию с моделью почти свободных электронов, изложенную в гл. 9, — газу свободных электронов соответствует моноатомная линейная цепочка, слабому периодическому потенциалу соответствует малое изменение в силе связи между чередующимися парами ближайших соседей. [c.77]

Заметим, что выражение (П1.16) имеет тот же вид, что и для газа свободных электронов, но масса свободного электрона должна быть заменена циклотронной массой т в дискретном слагаемом и продольной массой т в непрерывном слагаемом. Это соотношение полезно тем, что позволяет легко применить любой результат, полученный в модели свободных электронов, к анизотропной эллипсоидальной модели путем простой замены т шт или т . Величины т и т , разумеется, нетрудно получить, вычислив определитель D и величину W для данного направления поля. [c.560]

Природу термоэлектричества в металле можно качественно понять на основе простой модели свободного электронного газа. Краткое введение в элементарную теорию электропроводности было дано в начале гл. 5. Модель свободного электронного газа не может дать количественных показаний, но позволяет понять механизм явления. Далее можно построить более сложную теорию, включающую зависимость рассеяния электронов решеткой от их энергии, явление увлечения электронов фононами и т. д. Приведенные ниже элементы теории заимствованы из книги Бернара [3], где современные идеи о термоэлектричестве изложены очень ясно (см. также [12]). [c.267]

Если два состояния системы обладают одинаковой энергией, то их часто называют вырожденными. К сожалению, термин вырожденные может иметь два совершенно разных значения. Здесь оно использовано в том смысле, что электронная теплоемкость вырождается (деградирует) по сравнению с ее большим значением, вытекаемым из классических моделей. Ряд других свойств также вырождается в результате квантовых ограничений, поэтому говорят, что в металле имеется сильно вырожденный электронный газ . И в полупроводниках электронный газ может быть как вырожденным, так и невырожденным в зависимости от того, имеется ли достаточное число свободных электронов, чтобы стали существенными квантовые ограничения движения электронов. [c.126]

Существенным недостатком рассмотренной выше модели является пренебрежение принципами квантовой механики. В самом деле, согласно ее принципам, для совокупности электронов должен выполняться принцип Паули, согласно которому в данном случае при объединении свободных электронов в единый газ в каждом энергетическом состоянии не может находиться более двух электронов (с противоположными спинами). [c.45]

Если учесть вклад кинетической энергии свободного электронного газа Ферми, добавив найденную по (3.52) величину к сумме величин энергий электростатической и ионизации, вычисленных ранее для Mg, Be, Na и К, то можно соответственно получить, в Ry/ат (напомним, что 1 Ry = 13,6 эВ) 0,156 0,244 0,065 0,044. Таким образом, в этой модели энергия оказалась положительной, откуда следует, что учет только электростатической (эвальдов-ской) энергии, кинетической энергии свободных электронов и энергии ионизации не позволяет объяснить возникновение твердых, металлов. [c.51]

Исторически первым и простейшим вариантом модели Э, г, была теория металлов Друде—Лоренца, в к-рой Э, г. рассматривался как идеальный газ (см. Друде теория металлов). Теорию Друде—Лоренца сменила Зоммерфельда теория. металлов, в к-рой учтено вырождение Э, г. Теория Э.г. по Друде — Лоренцу сохраняет своё значение для полупроводников, если принять во внимание, что число частиц Э.г. зависит от темп-ры, а эффективная масса носителей заряда отлична от массы свободного электрона. [c.573]

Вопрос о смещениях атомов вокруг точечного дефекта рассматривался выше без учета электронной структуры металла. Учет электронной подсистемы кристалла приводит при исследовании этого вопроса к некоторым новым результатам. Для выяснения лишь их общей качественной стороны ограничимся простейшей моделью газа свободных электронов проводимости. Появление точечного дефекта сопроволедается изменением распределения зарядов в металле. В случае вакансии удаление положительного иона вызывает появление на его месте эффективного отрицательного заряда, отталкивающего электроны проводимости. При добавлении примесного атома его валентные электроны могут перейти в электронный газ и в результате появится соответствующий заряд в месте расположения иона примеси. Этот заряд, как и в случае вакансии, экранируется электронами проводимости. Таким образом, появление дефекта сопровонсдается измененпем пространственного распределения плотности электронов, соответствующим изменению их волновых функций. [c.86]

Хотя теория направлен на получение осциллирующего термодинамического потенциала 12, в процессе вычислений мы также получим осциллирующую намагниченность М и осцилляции плотности состояний и энергии Ферми. На каждой стадии результаты для произвольного закона дисперсии е к) иллюстрируются с помощью модели газа свободных электронов, свойства которого обычно можно вывести более элементарным способом. Обсуждение осцилляций тепловых и механических свойств, которые, как и М, выводятся из 12, а также других видов осцилляций мы отложим до гл. 4. В заключение будут кратко рассмотрены многочастичные эффекты, которые, как выясняется, только при экстремальных условиях существенно меняют вид формулы ЛК, хотя параметры, входящие в формулу, могут заметно измениться. [c.49]

В любом случае теплоемкость электронного газа в модели СЭТФ линейно убывает с уменьшением температуры и при комнатных, скажем, температурах составляет величину порядка 10- от теплоемкости классического электронного газа. Эти результаты качественно согласуются с экспериментом. Однако оказалось, что количественное согласие наблюдается не для всех металлов. Для переходных металлов (Fe, Мп) предсказываемое теорией значение слишком мало, а для металлов типа Bi и Sb — слишком велико. Таким образом, в отличие от простейшей модели свободных электронов учет принципа Паули для газа свободных электронов позволил качественно объяснить электронную теплоемкость металлов, и это было замечательным успехом данной модели. Однако количественное согласие расчета с экспериментом обнаружено лишь для некоторых групп металлов. [c.53]

ЛАНДАУ диамагнетизм — диамагнетизм систелш подвижных носителей зарядов (напр., электронов проводимости в металлах). Предсказан Л. Д. Ландау в 1930. Л. д. представляет собой чисто квантовый аффект, обусловленный квантованием орбитального движения заряж. частиц в магн. поле (квантуется энергия движения в плоскости, перпендикулярной полю, см. Ландау уровни). Л. д. связан С тем, что при помещении заряж. частиц в магн. поле траектории свободного движения частиц искривляются и возникает добавочное магн, поле, противоположное внеш. полю, т. е. у системы заряж. частиц появляется добавочный диамагн. момент. Л. д. заметно проявляется при низких темп-рах (ниже темп-ры вырождения) и может наблюдаться в вы-рождепном газе свободных электронов и у электронов проводимости в металлах, полуметаллах и полупроводниках. В простейшей модели вырожденного газа электронов проводимости в твёрдом теле с квадратичным законом дисперсии (е, р и пг — энергия, [c.571]

Одни авторы [2] связывают появление тетрагональности с особенностями зонной структуры переходных металлов и возможностью образования дырок среди коллективизированных электронов. Зонная модель ферро- и антиферромагнетизма предполагает, что в фермиевском газе свободных электронов в определенных условиях устанавливается обменное взаимодействие, способствующее самопроизвольному намагничиванию. В Зс1-металлах нахождение одной дырки на жу-орбитали приводит к формированию связывающей dxy-зоны, а образующиеся две дырки попадают на dyz и с гж-орбитали, что ведет к кооперативному искажению ГЦК-решетки до тетрагональной симметрии. Одновременно возникает двухподрешеточная структура и появляется антиферромагнитная корреляция. В первом случае, с/а>1 и наблюдается антиферромагнитное взаимодействие в плоскостях (001) во втором случае, ja< и— взаимодействие между плоскостями (001).Спо-нижением температуры испытания и уменьшением содержания железа роль дырочной проводимости увеличивается [30]. Зонная модель со спонтанным моментом коллективизированных электронов наиболее полно объясняет магнитные свойства Зд-металлов с высокой степенью перекрытия недостроенных оболочек (хром, марганец). Однако эта модель не объясняет разделения магнитных и кристаллографических превращений, а также существования анти- ферромагнитного порядка только в ГЦК-кристаллах [2]. [c.77]

Теоретическая модель ФП типа диэлектрик — металл должна главным образом объяснить, почему газ свободных электронов при низких температурах конденсируется в непроводящее состояние. Одной из наиболее простых моделей, допускающих такую конденсацию, является модель Вигнера — так называемая модель жсле>. В ней локализованные в периодическую решетку положительные ПОНЫ заменяются распределенны.м по решетке положительным зарядом, компенсирующим заряд электронного газа. Конденсация соответствует в этой модели случаю сильной связи, т. е. когда потенциальная энергия электрически заряженных взаимодействующих частиц U больше их кинетической энергии S е г> Й где г — расстояние между электронами ей т — их заряд и масса. Из этого неравенства легко определить, что r ti lme = a, где а—боров-ский радиус водородоподобной орбиты электронов. Значит, условию конденсации электронного газа в непроводящую ре<шетку соответствует неравенство г>а, означающее, что среднее расстояние между электронами вигнеровского диэлектрика больше радиуса их орбиты, [30]. [c.117]

К факторам, определяющим возможность образования адгезионного соединения, следует 01нести прежде всего характер межатомных взаимодействий контактирующих материалов, близость типов и параметров кристаллических решеток, чистоту поверхностей, возможность формирования больших площадей фактического контакта, на которых атомы сближаются до расстояний, достаточных для проявления сил межатомного взаимодействия. Строение металлов в первом приближении удовлетворительно описывается моделью положительно заряженных ионных остовов в газе свободных электронов. Такое строение обеспечивает относительную легкость подстройки решеток при образовании адгезионного соединения. Уже само по себе наличие свободной поверхности приводит к значительному изменению межатомного расстояния в наружных слоях. [c.16]

Газ свободных электронов Модель Зом-мерфельда Положительный заряд размазан по всему объему и создает однородный средний потенциал Не учитывается [c.66]

Первый интеграл в (11.1) есть взаимодействие /-го электрона с п—1 другими, которые в нашей модели равномерно распределены в основной области. Член Я+ дает взаимодействие того же электрона с положительным фоном (м равномерно размазанных положительных зарядов). Оба члена компенсируют друг друга с точностью до пренебрежимо малого члена —взаимодействия с отрицательным зарядом одного электрона, распределенным по Vg. Уравнение Хартри, которое отличается только третьим членом в левой части (11.1), приводит здесь к газу свободных электронов. Третий член, пояъляющшся в приближении Хартри— Фока, напротив, описывает некоторое взаимодействие, к которому мы теперь и обратимся. В этом члене, согласно (11.2), нет расходимости, так как расходяш,ийся член к = исключен. Получается ряд, члены которого имеют вид — Этот ряд легко [c.51]

Аналогично с (50.21), сдвиг одноэлектронных состояний при электрон-фононном взаимодействии можно найти, дифференцируя (50.20) по Пд.. Для единичного электрона при низкой температуре (Пд = 0) мы это выше уже обсуждали. Исходя из (50.20), расширим эти результаты на случай электронного газа (т. е. на какой-либо газ свободных ферми-частиц и произвольное возбуждение фононной системы). Одним из важнейших результатов для газа свободных электронов будет изменение E k), в особенности вблизи k = kp, т. е. вблизи поверхности Ферми. В то время как в точке k = kp не происходит изменения, энергии В ниже поверхности Ферми смещаются к более высоким, а выше поверхности Ферми — к более низким значениям. Величина dEldk, следовательно, там будет меньше. Другими словами, это означает, что скорость электронов вблизи поверхности Ферми уменьшается. Мы не будем останавливаться на этих поправках к одноэлектронному приближению зонной модели, тем более что по сравнению с этими поправками становится существенным рлияние электрон-электронного взаимодействия. Следовательно, электрон-электронное взаимодействие и электрон-фононное взаимодействие должны рассматриваться совместно. Укажем по этим вопросам на книгу Пайнса Г16]. Более глубокое сбсуждение уравнения (50.20) дает Тейлор [19]. [c.206]

СЛИШКОМ массивны, чтобы обладать заметными орбитальными магнитными моментами, а собственный магнитный момент ядер примерно в 1(Я раз меньше соответствующего магнитного момента электрона. Ориентация электронных спинов во внешнем магнитном поле приводит к явлению парамагнетизма, а орбитальное движение электронов лежит в основе диамагнетизма. В реальном веществе эти два эффекта конкурируют между собой. Однако в этом параграфе мы полностью игнорируем явление парамагнетизма, а также пренебрегаем взаимодействием электронов с атомами. Таким образом, мы рассматриваем идеализированную задачу о газе свободных электронов во внешнем магнитном поле, считая их для простоты бесспино-выми частицами. Такая модель наглядно иллюстрирует возникновение диамагнетизма в результате квантования орбит, но, конечно, слишком упрощена для использования в физических приложениях [c.263]

Модель почти свободных электронов (ПСЭ). В этой модели кристалл рассматривается как пространственная решетка пз ИОНОВ, в которую впущен электронный газ. Если в модели ЛКАО возмущение спектра возникло из-за отклонения потенциала от атомного и изменения граничных условий, то в модели ПСЭ возмущением служит отклонение потенциала от нуля. При нулевом потенциале волновая функция электрона (в вакууме) есть плоская волна, нормированная на все пространство. В кристалле удобно нормировочный интеграл разбить на сумму вкладов от каждого узла кристаллической решетки, а затем, воспользовавшись одинаковостью таких вкладов, вынестп их за знак суммы. Тогда суммирование по всем узлам даст просто число узлов /V. Вводя объем ячейки Вигнера — Зейтца Йо = О/Л, где О — объем кристалла, получим, что плоские волны могут быть нормированы и на ячейку Вигнера — Зейтца. [c.14]

Действительно, в модели ПСЭ металл — это газ свободных электронов, рассеиваюш ихся на решетке из атомов, причем взаимодействие с каждым атомом в силу факторизации матричного элемента (см. (1.21)) можно рассматривать независимо от взаимодействия с остальными. [c.47]

Эти рассуждения наглядно демонстрируют, что мы учитываем кулоновское взаимодействие электронов в приближении самосогласованного поляеФ. А что, если не ограничиваться малыми д, то есть учесть изменение II г) на малых расстояниях Честное вычисление (0, д) но формуле Линдхарда (6.11) для газа свободных электронов ири Т = О (модель Зоммерфельда для металла) дает [c.36]

Такую же формулу можно получить для электронов, находягцпхся в одной зоне, когда справедлива модель Зоммерфельда для газа свободных электронов. В этом случае матричный элемент равен 1 и, разлагая числитель в ряд но д и выполняя интегрирование по к по частям, получим [c.38]

Совершенно очевидно, что с помощью теории магнетизма газа свободных электронов не имеет смысла даже пытаться описать магнитное взаимодействие в реальных металлах. Однако эта теория не лишена интереса в силу ряда причин. а) Это простая модель, позволяющая объяснить возникновение магнитной структуры в отсутствие взаимодействий, явно зависящих от спина, б) Ее сложность дает указание на масштаб проблем, с которыми приходится сталкиваться при описании реальных металлов, в) В правильной общей теории магнетизма металлов (которой в настоящее время не существует), несомненно, должен быть найден способ одновременного описания особенностей обменного взаимодействия, связанных как с локализацией (что было сделано выше), так и с де локализацией (что будет сделано ниже) элект]Юпов. Блох [5] впервые показал, что при- [c.297]

Таким образом, совершенно не очевидно, какое основное состояние в приближении Хартри — Фока будет наилучшим. Кроме того (что еще хуже), простые попытки улучшить теорию Хартри — Фока приводят к радикальному изменению ее результатов. В настоящее время существует мнение, что газ свободных электронов, возможно, не является ферромагнитным ни при каких значениях плотности, хотя строгое доказательство этого отсутствует. Фактически ферромагнитные свойства обнаруживают только те металлы, отдельные ионы которых содержат частично заполненные д.- или /-оболочки, а такая ситуация безнадежно далека от области применимости модели свободных электронов. Чтобы объяснить магнитное упорядочение в металлах, необходимо рассматривать обменное взаимодействие между делокализованными электронами, учитывая при этом конкретные особенности зонной структуры ) и (или) особенности строения атомов, которые лежат в основе правил Хунда. [c.299]

Рассмотренная нами в предыдущей главе модель свободных электронов, предложенная Друде и усовершенствованная Лорент-цем, и в особенности модель Зоммерфельда, учитывающая квантовый характер электронного газа, достаточно хорошо объясняют ряд свойств металлов. Однако ни та, ни другая не дают ответа на вопрос почему проводимость различных твердых тел изменяется в столь широких пределах Почему одни вещества являются хорошими проводниками электрического тока, а другие диэлектриками Почему в некоторых твердых телах при низких температурах возникает сверхпроводимость [c.209]

Принципиальное отличие результата проведенного Зоммер-фельдом (1928) расчета электропроводности в модели свободного электронного газа Ферми от более ранних моделей состоит в том, что в модели СЭГФ время релаксации определяется скоростями фермиевских электронов, поскольку только эти электроны могут менять импульс при столкновениях. Это означает, что в ранее полученной Друде формуле (3.8) следует заменить среднеквадратичную скорость Окв на Vp. Получим [c.53]

Для реальных металлов плотности электронного газа соответствуют значениям 7, , в интервале 1,8 г <5,6, г. с. промежуточным плотностям. Для оценки К. э. щелочных металлов можно применить модель свободного электронного газа, без учёта крясталлич. решётки. [c.467]

Физически спадающая к центру частицы осциллирующая поверхностная релаксация связана с фриделевскими осцилляциями плотности вырожденного электронного газа. Осцилляции Фри-деля вызываются любыми дефектами, нарушающими трансляционную симметрию кристалла в данном случае таким двумерным дефектом является поверхность. Фриделевские осцилляции передаются решетке через электрон-фононное взаимодействие и приводят к изменению межплоскостных расстояний. Согласно [270], в модели свободных электронов амплитуда фриделевских осцилляций убывает по мере удаления от поверхности. Необходимо заметить, что в зависимости от параметров решетки и размера кристалла поверхностная релаксация может не только уменьшать, но и увеличивать его объем. [c.78]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...