Оператор конечномерный

Наряду с определением 5.4.2 существуют и другие способы, позволяющие оператору класса 61 приписать ядро на измеримом квадрате полной меры. Наиболее естественный из них получается путем аппроксимации ядерного оператора конечномерными. Одномерному оператору А = (, и)у сопоставляется ядро = (-, ( /))г (//), заданное на квадрате ЛхЛ, где Л—множество, на котором определены функции й V. Аналогичным образом строится и ядро конечномерного оператора. В п. 5 1.6 соответствие между операторами и ядрами было распространено на класс Гильберта—Шмидта. При этом, однако, ряд (1.6.17) сходился лишь в метрике (1.6.16), а потому его сумма определялась на множестве полной меры в х не имеющем, вообще говоря, структуры прямого произведения. Сейчас мы увидим, что для операторов из, 61 та же процедура приписывает ядру значения на измеримом квадрате полной меры. [c.301]

Бесконечномерный оператор определяется в полной аналогии с конечномерным как правило, по которому бесконечномерному вектору I ) сопоставляется бесконечномерный вектор I ф > [см. (21.18)] [c.145]

Измеренные сигналы тестового воздействия и отклика можно представить в виде конечномерного вектора и (t), у (t) и ,. . ujv, У1,-. г/i,. . ., 1/л=и, У G в котором ui=u (tj, yi=y (tf). В этом случае задачу вибродиагностики можно рассматривать как отыскание оператора, осуществляющего отображение , где Е " — пространство параметров со- [c.133]

Вырождение уровней энергии квантовой системы, находящейся в стационарном состоянии, связано с наличием у неё оек-рой симметрии (группы инвариантности), т. е. с наличием набора операторов, коммутирующих с гамильтонианом системы, к-рые обычно образуют конечномерную Ли алгебру. Помимо вырождений, связанных с явной симметрией гамильтониана (напр., относительно вращений в трёхмерном пространстве), [c.625]

Конечномерный оператор А + наз. сопряжённым к Л, если матрицы этих операторов связаны соотношениями aij= t ji, т. е. матрица А + получается из матрицы А в результате транспонирования и комплексного сопряжения. Если А А, то А паз. само- [c.590]

Самосопряжённый Л. о. Р наз. проекционным оператором или проектором, если Р —Р. Для каждого проектора найдётся такое подпространство Lp пространства L, что Ре=е, если е принадлежит Lp, и Ре О, если е принадлежит ортогональному дополнению Lp. Всякий конечномерный самосопряжённый [c.590]

Для т. н. дифференцируемых П. г ф-ция Т(а) дифференцируема [так, в частности, будет, если представление D G, V) конечномерно], можно ввести набор операторов i(X ) = dT(a)/dai j, i = 1,..., п, наз, г е н е р а- [c.103]

СПЕКТР ОПЕРАТОРА — обобщение на бесконечномерный случай понятия множества собственных значений матрицы линейного преобразования в конечномерном векторном пространстве. [c.605]

Аналогично одномерному случаю разностным функциям, которые мы будем считать принадлежащими некоторому конечномерному пространству Н , с помощью оператора восстановления Rh будут ставиться в соответствие непрерывные функции, принадлежащие некоторому функциональному пространству Н. Многомерные операторы сдвига и разностных производных будут помечаться индексами соответствующей переменной. Так, например, [c.165]

Как связаны между собой матрицы и линейные операторы, действующие в конечномерных линейных пространствах [c.47]

При дискретизации континуальной задачи теории оболочек методом конечных разностей дифференциальные уравнения сводятся к системам алгебраических уравнений, где значения сеточных функций fij в узлах k(i, j) конечно-разностной сетки неизвестны. Предельная для /i,, функция f (ж, х ) при стремлении к нулю длины 6х сторон ячеек сетки будет решением рассматриваемой задачи, если разностный оператор аппроксимирует дифференциальные уравнения задачи. Аппроксимация континуальной задачи конечномерной моделью, определяемой приближенным решением fi, j, неоднозначна и зависит от способа представления частных производных дифференциального оператора L([) в точке х, xj) через значения аппроксимирующей функции fi+p,,+(, в соседних точках (i + p, /Ч-о) разностной сетки. [c.172]

С Х—>-У — линейный вполне непрерывный оператор. Если оператор А = В- -С обратим и — предельно плотная в X последовательность конечномерных подпространств, то, начиная с некоторого h = ho, система (1.19) имеет единственное решение aj . u последовательность Uh , порождаемая с помош ью (1.17) этими решениями, сильно сходится к решению и уравнения (1.1), причем [c.197]

N 4 где V— константа, I — тождественный оператор, а Кхя отображает любую функцию на конечномерное подпространство, натянутое на фд (/ > 7У ). В частности, взяв проекции уравнения на это подпространство и его ортогональное дополнение, можно показать, что собственные функции являются линейными комбинациями по г н и, следовательно, полиномами (в случае модели, определяемой равенством (2.10), собственные функции равны, очевидно, фд). [c.107]

Заметим, что можно записать в виде == Кк — где — постоянная, / — единичный оператор и / v отображает любую функцию в конечномерное пространство с базисом а М). Если написать уравнение (6.8) для собственных значений оператора и взять его проекции в, и в его ортогональное дополнение, то окажется, что эти два уравнения не связаны тогда легко показать, что спектр состоит из /V собственных значений между —Viv и О (с собственными функциями в виде полиномов в частности, для модели, определяемой (9.8)) и собственного значения —Viv бесконечной кратности. [c.234]

Операторы с дискретным спектром. Рассмотрим неограниченный замкнутый оператор L в со всюду плотной областью определения D(L). Такой оператор называют оператором с дискретным спектром, или оператором со вполне непрерывной резольвентой, если резольвента Ri( i) = L — и-/) существует и является вполне непрерывным оператором хотя бы при одном г = Iq. Доказывается (см., например, [8], гл. III, 6), что тогда спектр 2(L) состоит из не более чем счетного множества собственных значений с единственной возможной предельной точкой оо (а не О, как у вполне непрерывного оператора) каждому собственному значению отвечает конечномерное корневое подпространство й(р,) = ( х) резольвента Ri(n) вполне непрерывна при p,s2(L). [c.303]

Бесконечномерные группы Ли являются обобщением ГЛ. Элементы таких Г. характеризуются заданием бесконечного набора числовых параметров (или нек-рого количества ф-ций). В физике используют в осн. Г. линейных операторов в бесконечномерных линейных пространствах, Г. диффеоморфизмов гладких многообразий и Г. калибровочных преобразований. Теория таких Г. разработана в гораздо меньшей степени, чем теория обычных (конечномерных) ГЛ. Большинство результатов здесь носит отрицат. характер эти Г. не являются локально компактными, на них не существует инвариантного интеграла, они могут не иметь полпой системы унитарных представлений. [c.542]

Для определения алгебры Ли пользуются матричной реа.тнзацпей (линейным представлением) Г. пусть каждый элемент g группы G представляет собой матрицу (или, что то же, линейный оператор в конечномерной линейном пространстве). Элемент g характеризуется набором числовых параметров (координат на Г.), g = = g(x , х"). Условимся выбирать эти параметры так, чтобы единице Г. соответствовали нулевые значения параметров, e = g(0,. .., 0). Тогда и н ф и н и т е-зймальным оператором (генератором) Г. G наз. производная от ф-ции g по одному из параметров, взятая в единице Г. = [c.543]

Неприводимые представления Л. г. (точнее, её подгруппы L+) полностью характеризуются собств. значениями /I, ii операторов j, g. Для конечномерных представлений удобнее трёхмерная реализация (2) алгебры Ли. Вследствие её расщепления представление jjOk h) д г. строится как прямое произведение пред- [c.607]

Q ная классификация неприводимых представлений Л. г. описывается в терминах параметров jg, v, связанных с собств. значениями операторов Казимира ф-лаии ] = 2(jo+v —1), 2=4jjov параметр — положит, целое или полуцелое число, v — любое комплексное число. Представление конечномерно, когда — целое или полуцелое и v =(7o+k) где п — целое. Представление унитарно, когда 1) v—мнимое 2) ] = 0, v—вещественно и v s l. Представление Л. г. однозначно при целом и двузиачно при полуцелом д. [c.608]

Развитие О. з. р. м. позволило по-новому взглянуть на теорию конечномерных интегрируемых систем. В О. 3. р. м. можно включить почти все известные системы такого рода. О. а. р. м. стимулировал исследования в разл. областях математики (спектральная теория дифференц. операторов, классич. алгебраич. геометрия). Результаты эти.х исследований используются в теории элементарных частиц (релятивистские струны). [c.389]

Размерность пространства V обычно ваз. р а з-иервостью представления, dim Z)(G, К>, П. г. наз. вещественным (комплексным), если пространство П. г. V — вещественное (комплексное). Если D(G, V) конечномерно, то, выбрав в V базис е,, е, ..., вп, можно задать операторы Tfg) матрицами п-го порядка где элементы матрицы определяются соотно- [c.101]

Если> в качестве базиса в пространстве У вполнн приводимого конечномерного П. г, взять совонунньстъ базисных. векторов пространств подпредставлений, то матрицы, соответствующие операторам этого П. г., имеют хваандиагональный вид [c.101]

Для линейного оператора А множество всех С. в., отвечающих одному и тому же собств. значению Я, образует линейное подпространство, к-рое наз. собств. подпространством А. Если пространство Я конечномерно (га-мерно), а матрица преобразования А эрмитова, то у неё имеется ровно п различных С. в., отвечающих вещественным собств. значениям. [c.569]

В конечномерных пространствах, наоборот, у всякой Я Мерной матрицы А имеется хотя бы один С. в., отвечающий, вообще говоря, комплексному собств. значению Я, а если к тому же матрица А яевырождеиа, (1е1Л yi о, то у такой матрицы найдутся ровно п разл. комплексных С. в. Это справедливо, в частности, для унитарных конечномерных матриц А Л - = А -). В физ. приложениях часто возникает необходимость разложить произвольный вектор в сумму по С. в. заданной эрмитовой матрицы А [вапр., привести к диагональному виду симметричную квадратичную форму (хАх)]. Эта задача решается переходом с помощью унитарного преобразования к базису, составленному из С. в. матрицы А. В этом базисе действие оператора А сводится к умножению каждого базисного вектора на соответствующее ему собств. значение Я. В бесконечномерном Случае аналогом этой процедуры диагонализа-ции является т. н. спектральное разложение. [c.569]

Для эрмитовых Af проекторы также эрмитовы, X вещественны, а собств. подпространства ортогональны друг другу. При к, pi ki матрица kJ — М имеет обратную. Вообще, в конечномерном случае есть две возможности лябо (I) X — регулярная точка и резольвента (X/ — Af)- существует как оператор на всём векторном пространстве, либо (II) к, — точка спектра и резольвента не существует, [c.605]

ЭРМЙТОВ ОПЕРАТОР—линейный оператор А в гильбертовом пространстве Я с плотной областью определения D A) и такой, что < Ах, у) = (х, Ау для любых x,yeD A). Это условие эквивалентно тому, что I) D(A)< D(A% 2) Ах = А-х для всех xeD(A), где А — оператор, сопряжённый с А, т. е. что А<=А. Ограниченный Э. о. либо определён на всём Я, либо по непрерывности расширяется до такого, и при этом А А, т. е. А—самосопряжённый оператор. Неограниченный Э. о. может как иметь, так и не иметь самосопряжённые расширения. Иногда эрмитовым наз. самосопряжённый оператор, сохраняя для оператора, эрмитова в указанном выше смысле, название симметрический. В конечномерном пространстве Э. о. описывается эрмитовой матрицей. [c.637]

Характеристические показатели линейной системы с постоянными параметрами совпадают с собственными значениями линейного оператора этой системы. Если дискретизация системы выполнена на уровне выбора расчетной схемы или она оказалась результатом применении какого-либо метода к распределенной системе (например, метода конечных элементов, граничных элементов, конечных разностей, Бубнова -Галеркина и др.), то оператор системы будет конечномерным. В принятом базисе этому оператору соответствует некоторая матрица (см. уравнение (7.2.3)]. Свойства этой матрицы зависят от характера внещних воздействий. Напри- [c.486]

В предыдущем параграфе были рассмотрены итерационные процессы для решения (2.1), в которых для получения m -Н 1. приближения нужно было знать только т-е приближение. Можно рассмотреть более общий случай. Так как в конечномерном пространстве всякий оператор, переводящий вектор в вектор, оп-peдeляeт if матрицей, то мы будем назьшать матрицы типа L также операторами. Рассмотрим операторы Л , А [c.215]

Построение линейного оператора, действующего из рд-ното конечномерного линейного пространства в другое, производится с применением матрицы. Матричное изложение основных зависимостей механики сплошных сред и аппарата вычислительных методов сочетает наглядность алгоритмов с возможностью щ эффективной практической реализации на ЭВМ Особый интерес для приложений представляют с йиагоналиным преобладанием, диагональные элементы которых значительно больше по модулю боковых компонент, а так е ленточные матрицы. [c.16]

Легко видеть, что оператор определен на всех функциях из /,2(Г). Значения его принадлежат конечномерному пространству Xh— линейной оболочке совокупности функций 0ь. .., 0м- Так как A fteL2(r), то оператор (2.2) действует в Х=12(Г). Оператор Ph ограничен. Действительно, в силу неравенства Гёльдера [c.201]

В это м разделе мы бегло опишем некоторые из зтих моделей и придадим смешанным задачам математической физики фазовую трактовку, при которой уравнения являются операторами измепения фазового состояния. Такая трактовка позволяет с единой точки зрения рассматривать дискретные и распределенные динамические системы, так как изменения фазового состояния происходят и в тех, и в других, только в первом случае фазовое состояние описывается точкой конечномерного пространства, а во втором — точкой бесконечномерного пространства. [c.27]

Пусть Л —вполне непрерывный (другое название компактный) оператор. Известно (см., например, [2], гл. V), что тогда 2 (Л) состоит из О и не более чем счетного множества собственных значений, которые могут скапливаться только к 0. Каждому собственному значению Я =/= О отвечает конечномерное корневое подпространство 2 (Я) = %), состоящее из всех таких векторов f, что (Л — /) f = 0 при каком-нибудь натуральном т. Если f =7 = О, то наименьшее m = m(f) называется порядком вектора f. Корневые векторы порядка 1 — это собственные векторы, порядка больше 1 — присоединенные векторы. Если О — собственное значение, то мы будем предполагать, что отвечающие ему корневые векторы образуют конечномерное подпространство ). Размерность d (Я) = dim й (Я) называется алгебраической кратностью собственного значения Я. Если она больше 1, то либо 2 (Я) состоит из О и собственных векторов, либо там имеются также и присоединенные векторы. Положим еще m( ) = maxm(f) по всем f =7 О из Й(Я) это наибольший из размеров жордановых клеток матрицы оператора Л в (Я). [c.302]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...