Случай максвелловских молекул

Случай максвелловских молекул [c.94]

В 3 было указано, что степенные потенциалы очень трудны для строгого математического анализа. Единственный достаточна общий результат (неравенство (3.13)) можно получить как следствие первой теоремы 4, применимой также и в случае потенциалов с бесконечным радиусом взаимодействия, если предположить существование (/г, L/г), а не (/г, vA) (последнее в этом случае не имеет смысла). Помимо этого простого и интересного результата, сведения об операторе столкновений при потенциалах с бесконечным радиусом взаимодействия неполны исключение представляет случай максвелловских молекул, для которого можно явно вычислить и собственные значения, и собственные функции. [c.94]

Случай максвелловских молекул 95 [c.95]

Случай максвелловских молекул 97 [c.97]

Вычисление постоянной 3 оказывается сложным, за исключением случая максвелловских молекул, для которых [c.415]

Для приложений важна оценка скорости установления равновесного состояния О). При достаточно общих начальных условиях такие оценки есть сейчас только для случая максвелловских молекул 0[2], [3]). [c.298]

Следует различать два случая или v( ) — постоянная (как для максвелловских молекул с обрезанием по углу), и тогда уравнение (6.14) дает К = —V, т. е. спектр сводится к одной точке, или же v(g) не является постоянной и >. + v( ) может равняться нулю не более чем в одной точке (по крайней мере, если 1) монотонна, как в случае степенных потенциалов и твердых сфер, рассмотренном в разд. 5), и тогда уравнение [c.209]

Однако стоит подчеркнуть, что такое отождествление возможно лишь потому, что рассматривается очень специальная функция распределения падающих молекул, представляющая собой предельный случай максвелловского распределения при 5-> оо (с фиксированной К), т. е. дельта-функцию. Что касается то сопоставление с (7.29) дает [c.302]

Маслова Н. Б., О решении уравнения Больцмана для случая пространственно-однородного газа из максвелловских молекул. Вестник ЛГУ, № 13, 88—95 (1968). [c.433]

В [3-5] использованы различные подходы к решению задачи о переносе пара к сфере, находящейся в смеси пара с неконденсирующимся газом при этом уточнены результаты [6] и предшествующих работ. Массовый поток на черную сферу определен в [7] на основе метода моментов решения уравнения Больцмана в случае конденсации из смеси паров с инертным газом, состоящей из максвелловских молекул. Для случая отсутствия инертного газа [c.188]

В качестве особенно наглядного примера вычисления Цр рассмотрим опять случай СОг-лазера, На рис. 3,25 представлены результаты численного расчета для двух газовых смесей СО2 N2 Не = 1 2 3 и 1 0,25 3. На рисунке представлена доля полной мощности накачки, идущей в различные каналы возбуждения, как функция отношения S р. Кривые / представляют мощность накачки, затрачиваемой на упругие столкновения, на возбуждение вращательных уровней основного состояния молекул N2 и СО2, а также на возбуждение нижних колебательных уровней СО2. Кривые III к IV определяют мощность, идущую соответственно на электронное возбуждение и ионизацию, а кривые II — мощность накачки соответственно верхнего (001) лазерного уровня молекулы СО2 и первых пяти колебательных уровней молекулы N2, Если передача энергии между молекулами N2 и СО2 происходит с достаточной эффективностью, то всю эту мощность накачки можно рассматривать как полезную. Таким образом, кривая II дает КПД накачки rip. Заметим, что, как упоминалось выше при рассмотрении электронной температуры (которая в данном случае не имеет смысла, поскольку распределение электронов далеко не максвелловское), существует оптимальное значение Sjp. При слишком малых р мощность накачки в большой степени теряется на упругие столкновения и возбуждение нижних колебательных [c.152]

Выведем основное линеаризованное уравнение Больцмана для течения Пуазейля в канале произвольного поперечного сечения (включая плоский канал как частный случай). Предположим, что стенки отражают молекулы с максвелловской функцией распределения /о, с постоянной температурой и неизвестной плотностью р = р ( ) —координата, параллельная потоку). Если длина канала много больше других характерных длин (длины среднего свободного пробега, расстояния между стенками), то можно провести линеаризацию около максвелловского распределения /о, в действительности р %) меняется слабо и /о будет решением в случае, когда р — константа. Таким образом, [c.186]

Точно так же, как в этом простом примере, случай, когда все молекулы в газе имеют в точности одинаковые и одинаково направленные скорости, ни на волос не менее вероятен, чем случай, при котором скорость и направление скорости каждой молекулы точно такие, какие она имеет в действительности в определенный момент в газе. Если, однако, сравнивать первую из этих случайностей с той, при которой в газе господствует максвелловское распределение скоростей, то мы найдем снова, что в пользу последней случайности говорит значительно больше равновозможных случаев. [c.64]

То, что Н теперь возрастает, также не противоречит законам вероятностей действительно, из этих законов вытекает лишь малая вероятность, но не невозможность увеличения Н. Даже напротив, из них неизбежно вытекает, что любое, даже и такое невероятное распределение состояний имеет хотя и малую, но все же отличную от нуля вероятность. Даже тогда, когда имеет место максвелловское распределение скоростей, случай, когда первая молекула имеет как раз ту скорость, которую она на самом деле имеет в этот момент, аналогично вторая и т. д., ничуть не более вероятен, чем случай, когда все молекулы имеют одну и ту же скорость. [c.68]

Максвелловская функция распределения скоростей. Большое значение имеет случай равновесного распределения скоростей, при котором в результате столкновений в каждом заданном элементе объема d х не изменяется число молекул каждого класса. При этом функция распределения не зависит от t, а уравнение Больцмана (3.22) сводится к виду [c.606]

Приведенный метод вычисления (Д ) может быть распространен практически без изменений на более общие и важные случаи. Выделим, например, малую часть (подсистему) изотропной среды (жидкости или газа), находящуюся в статистическом равновесии со всей средой, температура Т которой поддерживается постоянной. По отношению к выделенной подсистеме окружающая среда играет роль термостата. Из-за обмена энергией между термостатом и подсистемой энергия последней будет непрерывно флуктуировать. Беспорядочные изменения энергии подсистемы подчиняются статистическому закону, вполне аналогичному максвелловскому закону распределения кинетической энергии между молекулами. Поэтому среднее значение энергии подсистемы будет выражаться прежней формулой (97.13), где а имеет прежнее значение, а интегрирование в выражении (97.12) производится по многомерному пространству координат и импульсов подсистемы. В этом единственное отличие рассматриваемого случая от предыдущего. Но оно совсем не отражается на последующих выкладках. Поэтому окончательный результат (97.15) применим к рассматриваемой подсистеме без всяких изменений. [c.595]

Рассмотрим теперь обилий случай молекул с центральным законом взаимодействия. Как мы видели выше, для степенны к законов обрезание по углу рассеяния приводит к результатам, аналогичным тем, которые имеют место для твердых сфер. Результат Кундера и Уильямса не обобндался на этот случай, однако кажется правдоподобным, что он может быть обобщен таким образом. Если же не вводить обрезание по углу, то для безграничных потенциалов положение существенно усложняется единственным случаем, который анализируется просто, оказывается рассмотренный выше случай максвелловских молекул. Интересно, что спектр при этом получается точно таким, как можно ожидать при непосредственном предельном переходе в результате с обрезанием по углу действительно, при удалении — о в —оо из рис. 19 получается рис. 18. Заманчиво предположить, что аналогичное положение имеет место для степенных законов с /г 5 это приведет к чисто дискретному спектру. Недавно Пао [53] дал строгое доказательство справедливости этого предположения. [c.211]

Указанная схема применима липть к случаю максвелловских молекул. Однако небольпюе обобщение разложения (9.5) позволяет получать столкновительные модели, соответствующие любым линеаризованным операторам столкновений [37]. Действительно, ничто не мептает использовать разложение (9.4) даже в том случае, когда (собственные функции максвелловского оператора столкновений) не являются собственными функциями рассматриваемого оператора. Применение Ь к обеим частям (9.4) дает [c.234]

Ниже для иллюстрации влияния изменения сечения столкновения в зависимости от относительной скорости рассмотрим два предельных случая жестких молекул с о— onst и мягких молекул с 0, обратно пропорциональным относительной скорости молекул. Последний случай соответствует максвелловскому газу. [c.392]

Значения коэффициентов Л] и Л2 приведены в диапазоне Кп = 0,01-100. В [9] для решения стационарного линеаризованного уравнения Больцмана в задаче о стоке на черную сферу пара из максвелловских молекул использовано разложение по ортогональным барнеттовским функциям и приведение уравнения Больцмана к системе связанных обыкновенных дифференциальных уравнений для коэффициентов разложения. Для случая малого отличия параметров насыщения от параметров пара на бесконечности получено [9] [c.188]

В газовом разряде электроны могут получать энергию, ускоряясь в электрическом поле, и от возбужденных молекул при ударах второго рода. Эта энергия расходуется при упругих и неупругих столкновениях с атомами и молекулами. В зависимости от соотношения между направленным действием электрического поля и хаотизи-рующими движение упругими взаимодействиями могут установиться различные распределения скоростей электронов от строго направленного до совершенно хаотического. Распределение скоростей электронов можно найти, решая кинетическое уравнение. Однако из-за математических трудностей, связанных с необходимостью учета неупругих и кулоновских столкновений, это решение удается получить строго лишь в ряде простых частных случаев. Стационарное распределение скоростей электронов Ve получено лишь для случая постоянного слабого электрического поля Е при малой концентрации электронов. При = 0 распределение электронов является максвелловским с температурой и средней тепло- [c.79]

Линеаризованные модели для случая молекул, отличных от максвелловских, и нелинейные модели, рассмотренные выше, были предложены Сировичем [7]. [c.107]

Гидродинамическая теория структуры вязкого скачка уплотнения теряет смысл в случае ударных волн большой амплитуды, когда ширина скачка уплотнения достигает порядка длины пробега молекул. Сильный скачок уплотнения необходимо рассматривать на основе молекулярно-кинетической теории газов, т. е. на основе кинетического уравнения Больцмана. И. Е. Тамм (1965) ) и независимо Г. М. Мот-Смит (Phys. Rev., 1951, 82 6, 885—892) построили приближенное решение кинетического уравнения для этого случая. Решение основано на представлении функции распределения в виде суперпозиции двух максвелловских распределений, соответствующих параметрам начального и конечного состояний, причем коэффициенты, определяющие вес той и другой функций, меняются вдоль координаты от О до 1. Они отыскиваются в ходе решения. Ширина скачка при неограниченном возрастании амплитуды волны pjp стремится к определенному пределу и имеет, как и следовало ожидать из физических соображений, порядок длины пробега молекул. [c.213]

В связи с изложенным находится следующее замечание, уже давно сделанное Лошмидтом. Предположим, газ окружен совершенно гладкими упругими стенками. Пусть сначала имеет место какое-то невероятное, но молекулярнонеупорядоченное распределение состояний, например пусть все молекулы имеют одинаковую скорость с. По прошествии некоторого времени t устанавливается распределение скоростей, близкое к максвелловскому. Представим себе теперь, что в момент t направление скорости каждой молекулы изменится как раз на противоположное, без изменения ее величины. Газ пройдет тогда снова через те же состояния в обратном направлении. Мы имеем здесь, следовательно, случай, когда более вероятное распределение скоростей под влиянием столкновений переходит во всё менее вероятные распределения, т. е. когда величина Н благодаря столкновениям увеличивается. Это никоим образом не противоречит доказанному в 5. В самом деле, сделанное [c.67]

Сделаем несколько заключительных замечаний, резю-мируюш,их изложенную в настоящей работе теорию. Нелинейные свойства, присущие электронам и ионам, находящимся в атомах, молекулах и конденсированных средах, можно связать с макроскопическими свойствами максвелловских полей в нелинейных диэлектриках. Это позволяет в свою очередь дать подробное описание процессов когерентного нелинейного рассеяния с помощью макроскопических нелинейных восприимчивостей. Рассмотрение взаимодействия между когерентными световыми волнами приводит к решению, которое указывает на возможность полного преобразования мощности одной частоты в другие в рассмотренных здесь идеализированных случаях. Это решение получено путем обобщения теории параметрического усиления. Оно может использоваться при анализе случая большой мощности сигнала и холостого излучения, либо большой мощности одного холостого излучения и учитывает уменьшение в обоих случаях мощности накачки. Весьма общим способом выведены соотношения Мэнли — Роу. В связи с тем, что нелинейные материальные соотношения [c.327]

Возвращаясь к аналогии с газом, напомним, что каждая точка потока газа характеризуется систематической (массовой) скоростью в то же время индивидуальные молекулы в окрестностях этой точки имеют остаточные скорости, подчиняющиеся максвелловскому распределению в соответствии с кинетической теорией газов. В звездной кинематике обычным законом распределения является шварцшильдовский эллипсоидальный закон, частным случаем которого является максвелловское распределение. [c.486]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...