Ортогональность собственных форм

Рассмотрим простой пример, в котором свойство ортогональности собственных форм принимает наглядный смысл и введение главных координат становится естественным. Изображенная на рис. 6.3.1 рама несет груз на конце. Матрица коэффициентов влияния в этом случае будет такой [c.183]

Ортогональность собственных форм колебаний нужно понимать в этом случае буквально как ортогональность соответствующих векторов. [c.183]

Равенство (13.2.4) выражает свойство ортогональности собственных форм колебаний, установленных для элементарной теории стержневых систем в 6.2. Из условия ортогональности следует, в частности, что частоты Шл всегда действительны. Чтобы доказать это, предположим противное, а именно, допустим, что toi = = а + г . Уравнение для нахождения собственных частот будет обязательно иметь еще один комплексно сопряженный корень (02 = а — ф. Соответствующие собственные формы будут также комплексно сопряженными [c.434]

Соотношения (13.2.5) выражают условия нормирования и одновременно повторяют условия ортогональности собственных форм. [c.434]

Остальные собственные формы расчетной модели определяются по формулам (14.44)—(14.46). Если в матрице Q модели (13.10) имеется элемент со, кратности > собственным значением кратности /4 — 1 этой модели. Соответствующие этому собственному значению ортогональные собственные формы можно построить следующим образом [28] [c.238]

Бесконечные суммы в правых частях исчезли вследствие свойства ортогональности собственных форм. Из выражений (11.217) следуют формулы для постоянных и Вп- [c.125]

Дальнейшие упрощения вытекают из свойств ортогональности собственных форм колебаний. Умножим первое уравнение (IV.86) на Нц, а второе — на а , сложив затем полученные уравнения, найдем [c.252]

Подставив (1.70) и (1.71) в (1.69) и учтя условие ортогональности собственных форм [c.47]

Более точен метод, учитывающий ортогональность собственных форм, на основании которого работа масс до и после переноса на перемещениях по устраняемой 3 п/р. Фролова [c.65]

Ортогональность собственных форм колебаний [c.360]

Оно показывает, что формы колебаний ортогональны друг другу относительно матрицы масс, и называется поэтому условием ортогональности собственных форм. [c.361]

Далее выражение (5.17) подставляется в (5.11) и проводится замена (5.19). После этого умножение к-го уравнения на S ki ( = = 1,2, 3,4), суммирование по /г и использование свойства ортогональности собственных форм [c.242]

Метод аппроксимаций Ильюшина Ортогональность собственных форм [c.406]

Мы видели, что собственные формы колебаний системы образуют последовательность, причем каждая форма отличается от всех остальных. На языке математики говорят, что каждая собственная форма ортогональна ко всем остальным формам, причем условие ортогональности может быть записано в виде математического соотношения. Это условие играет важную роль в теоретических исследованиях, и поэтому весьма существенно, что условие ортогональности собственных форм колебаний системы без демпфирования оказывается гораздо проще соответствующего условия для собственных форм, наблюдаемых при наличии демпфирования. [c.51]

Возникшая ситуация с особыми случаями волнового движения в-волноводе допускает довольно простую физическую интерпретацию. По исходным свойствам такой колебательной системы, как волновод с колеблющимися стенками, ясно, что в ней имеется бесконечная последовательность собственных частот. Соответствующие собственные формы колебаний отвечают некоторым толщинным движениям, когда в поле имеется только составляющая скорости При этом любое внешнее воздействие в виде такого распределения колебательной скорости, которое не вызывает изменения объема области под колеблющимися стенками, оказывается ортогональным собственной форме и резонансных явлений в колебательной системе не возникает. Если же во внешнем воздействии имеется составляющая, связанная с изменением объема, то при вынужденных колебаниях возникают обычные резонансные явления, обусловливающие обращения в бесконечность амплитуд колебаний на частотах со = (/ = 1, 2,...). [c.25]

Как средняя скорость потока, так и величины подъемной силы и момента в приведенных выше выражениях являются функциями х. В таком случае больше неприменимы соотношения об ортогональности собственных форм колебаний [как это делалось, например, в выражении (6.82)], и выражения для преобразованных с учетом этого передаточных функций становятся еще более сложными. Однако связанные с этим вычисления могут быть проведены на ЭВМ. [c.196]

Дальнейшие упрощения вытекают из свойств ортогональности собственных форм колебаний. Умножим первое из уравнений (132) на А , а [c.132]

Соответственно условию ортогональности собственных форм все остальные слагаемые, входящие в правые части этих равенств, обращаются в нуль. Теперь из равенств (236) легко найти А и В для любого номера г. [c.210]

Вследствие ортогональности собственных форм все интегралы от произведений, где индексы сомножителей различны, равны нулю, поэтому [c.222]

Н Теорема об ортогональности собственных форм. Если [c.131]

Коэффициенты а вычисляются с помощью теоремы об ортогональности собственных форм. Запишем разложения (3.84) в сокращенном виде [c.136]

Рациональные решения многообразных задач динамики машинных агрегатов базируются на использовании собственных спектров линеаризованных динамических моделей исследуемых систем. Под собственным спектром динамической модели понимается совокупность ее собственных значений (корней характеристического полинома) и соответствующих им ортогональных собственных форм. Сложность и трудоемкость решения полной проблемы собственных спектров определяется размерностью (числом учитываемых степеней свободы) и классом (цепная или с направленными связями) расчетной динамической модели 128, 34]. Кроме того, при автоматизированных расчетах, выполняемых на современных цифровых ЭВМ, от размерности модели существенно зависит точность реализуемых вычислительных процедур. Это приводит к необходимости при расчетах на ЭВМ многомерных моделей использовать вычисления с удвоенной точностью, что обусловливает дополнительные затраты оперативной памяти и снижение эффективности вычислительных процедур. Следует отметить, что при динамических расчетах, выполняемых при помощи новейших средств вычислительной техникн, последние обстоятельства не являются определяющими. [c.226]

Приведен способ получения соотношения ортогональности собственных форм колебаний одного класса механических систем, которые описываются дифференциальным уравнением, содержащим комплексный параметр в виде полинома степени п, и граничными условиями, в которые этот параметр входит линейно. Соотношение ортогональности получается в виде равенства нулю скалярного произведения л-мерных векторов. Таким способом может быть установлена ортогональность нормальных волн в некоторых твердых волноводах, резонансных форм движущихся струн и стержней со специальными условиями опираиня на концах. [c.109]

Ортогональность собственных форм колебаний. При колебаниях системы по первой собственной форме наибольшие отклонения равны Пц и а21, этим отклонениям соответствуют силы инерции тхПцр и Аналогично при колебаниях по второй [c.91]

Форд Р., Фурд К. Анализ флаттера в вентиляторах авиационных двигателей с использованием пары идентичных взаимно ортогональных собственных форм колебании.—Энергетические машины и установки, 1980, т. 102, jV 2, с. 115—122. [c.221]

Решение уравнений изгиба гибкого ротора. Балансировка гибкого ротора должна осуществляться с учетом формы его изгиба, а также соотношений между балаиси-ровочиой, рабочей и критически.ми скоростями и собственных форм, соответствующих Этим скоростям. Для этого приходится решать дифференциальные уравнения колебаний гибкого ротора с Дисбалансом или корректирующими массами, распределенными по его длине по тому или ииому закону. Решение этой задачи существенно облегчается благодаря свойству ортогональности собственных форм (см. справочник, т. 1). Распределенную неуравновешенность можно разложить в ряд по собственным формам, каждая из составляющих вызывает колебания только по своей форме, Балансировку гибкого ротора можио проводить раздельно по каждой из со- [c.62]

Вернеиоя к уравнению вынузпенных колебаний (18.2). Его решение будем строить в форме разложения по системе ортогональных собственных форм [c.85]

Свойство (18.6) ортогональности собственных форм приводит к диф -ференциальнш уравнениям для определения коэф шщентов (t). [c.86]

Подставляя это выргижение в (9.4) и используя свойство ортогональности собственных форм, приходим к шести независимым уравнениям относительно собственных функций rnni (для [c.490]

Далее выражение (16) подставляется в (10) и проводится замена (18). После этого умножение к-го уравнения на бткг ( = 1 2, 3,4), суммирование по к и использование свойства ортогональности собственных форм [c.268]

Известно свойство ортогональности собственных форм, выражающееся в нашем случае в том, что интеграл от произведения двух форм а(5)сргД5) различных номеров по промежутку (0,1) обращается в нуль. Можно так выбрать множитель, с точностью до которого определяется собственная форма, чтобы интеграл от 9 (5) по указанному промежутку стал равным единице. Итак, по (7) [c.487]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...