Метод разложения случайных функци

Сущность метода разложения случайной функции Ф(р) (далее мы будем рассматривать ее как -мерный случайный вектор Ф(Фь Ф2,. .Ф )) по е. о. ф. состоит в ее представлении в виде суммы п слагаемых [c.48]

Для решения задач были разработаны на базе метода канонических разложений случайных функций общие методы определения оптимальных линейных систем для нестационарных входных сигналов, применяемые к системам с любым числом входов и выходов, а также решен ряд частных задач по определению оптимальных систем различного назначения. Кроме того, нри помощи теории канонических разложений был разработан общий метод нахождения оптимальных систем и оптимальных алгоритмов обработки информации но любым статистическим критериям качества. Этот метод, применимый к линейным и нелинейным системам с любым числом входов и выходов, позволил объединить одной общей теорией все задачи обнаружения сигналов в шумах и их оптимальной обработки, возникающие в теории информации, теории связи, радиотехнике, автоматике и других областях науки и техники. Было показано, как этот общий метод может быть применен для построения алгоритма обучающихся машин. [c.274]

Одним из важных достоинств схематизации на основе спектрального анализа является возможность восстановления исходного процесса после обработки, а также его компактного хранения (в виде корреляционной функции или спектральной плотности) практически без потери информации в статистическом смысле. Генерация исходного нагрузочного режима может быть осуществлена путем применения методов, основанных на каноническом разложении случайных функций, или с помощью формирующих фильтров. Восстановленный процесс может быть вновь схематизирован каким-либо способом. Это позволяет реализовать автоматизированный машинный способ формирования различным образом схематизированных нагрузочных режимов из исходного процесса, что особенно важно при расчете агрегатов, в которых нагрузочные режимы отдельных элементов требуют отличной друг от друга схематизации. [c.191]

Представление случайной функции в виде (4.29) принято называть каноническим разложением. Для нахождения канонических разложений случайных функций существуют различные методы [36]. [c.167]

В наиболее общем виде случайную функцию можно представить используя метод канонического разложения, разработанный В. С. Пугачевым [c.116]

Решение практических задач, связанных с применением преобразований случайных функций, встречает ряд математических трудностей. Поэтому во многих случаях удобно оперировать со случайными функциями, представленными в виде разложения с некоррелированными слагаемыми. Одним из таких представле- ний является метод канонического представления случайной функции, разработанный В. С. Пугачевым [51]. [c.208]

Применение разложений типа (40) по существу эквивалентно замене рассматриваемой системы системой со счетным числом степеней свободы. При практических расчетах ряд (40) усекают, т. е. распределенную систему заменяют дискретной с конечным числом степеней свободы. Количество учитываемых членов ряда определяется требуемой точностью вычислений, частотным диапазоном внешнего воздействия и т. д. Случайные функции времени Ua t) при этом можно интерпретировать как обобщенные координаты для соответствующей системы с конечным числом степеней свободы. Поэтому метод решения задач случайных колебаний распределенных систем, основанный на использовании выражений, аналогичных (40), называют методом обобщенных координат. [c.315]

Изложенные в п. 13 методы исследования случайных процессов в нелинейных системах являются приближенными, поэтому нуждаются в оценке точности полученных результатов. Пример 1 в п. 13 был решен приближенными методами, и результаты решения сравнивались с точным решением, полученным с использованием Марковских процессов, что дало возможность оценить точность приближенных решений. Такая возможность оценки точности приближенного решения нелинейных задач имеется очень редко, поэтому всегда при получении приближенных решений, использующих методы упрощения исходных уравнений (статистическая линеаризация, разложение в ряды и т. д.), остается сомнение в эквивалентности решения реальному процессу. О недостатках методов статистической линеаризации и мо-ментных функций говорилось в п. 12. Рассмотрим трудности, возникающие при исследовании нелинейных статистических задач на следующем примере. [c.97]

Метод линеаризации. Метод линеаризации состоит в том, что функция случайных аргументов рассматривается как непрерывная дифференцируемая функция в достаточно узких пределах изменения аргументов, которая может быть приближенно заменена линейной (линеаризована) разложением этой функции в ряд Тейлора 316 [c.316]

Последующие этапы разработки методик поверки одинаковы для поверки при выпуске средств измерений из производства и для периодической поверки. Третий этап заключается в установлении количества и значений точек диапазона измерений средств измерений ( поверяемых точек ), в которых должны контролироваться МХ, выбранные для контроля. Этот вопрос, применительно к основной погрешности, подробно рассмотрен в литературе. Не останавливаясь на разных известных методах решения этой задачи, отметим только, что все они основаны на анализе функций изменения характеристик основной погрешности в диапазоне измерений средства измерений. Различия методов решения данной задачи связаны с разными предположениями о виде анализируемой функции и разными способами ее описания. Например, в [69] рассматриваются такие измерительные приборы, для которых функция погрешности в диапазоне измерений считается периодической. Поверяемые точки здесь выбираются на основе разложения данной функции в ряд Фурье. В других работах функции погрешности в диапазоне измерений описываются полиномами определенной степени. Имеются работы, где функции погрешности в диапазоне измерений средств измерений рассматриваются как случайные и характеризуются своими автокорреляционными функциями [43]. При решении данной задачи для АЦП и ЦИП некоторых видов учитывается, что у них функция погрешности — разрывная, имеющая определенные критические точки, где погрешность максимальна [76]. [c.162]

Рассмотрим метод приближенного разложения в ряд. Любая случайная функция д (/) может быть представлена следующим рядом [36, 186] [c.421]

Метод спектральных разложений для процессов, удовлетворяющих условиям стационарности, позволяет довольно просто находить вероятностные характеристики производных случайного процесса. Например, по известным взаимным спектральным плотностям (а) находят взаимные корреляционные функции обобщенных скоростей и ускорений [c.292]

Предположим, что нелинейные функции в уравнениях случайных колебаний являются аналитическими и допускают разложение в степенные ряды с ограниченным числом членов. Тогда для вывода моментных соотношений и приближенного исследования стационарных процессов может быть применен метод спектральных представлений в виде стохастических интегралов Фурье. [c.91]

Метод интегральных спектральных представлений случайных полей дает удовлетворительное описание процессов потери устойчивости и закритического деформирования неидеальных оболочек при определенных ограничениях. К этим ограничениям относится, прежде всего, предположение о слабом влиянии краевых условий на поведение цилиндрических оболочек средней длины, панелей, опирающихся на жесткий контур, и других тонкостенных конструкций с различными способами закрепления. Решение соответствующих задач строят обычно в форме разложения по некоторой системе базисных функций, удовлетворяющих условиям на кромках, с удерживанием конечного не слишком большого числа членов. Упругую оболочку заменяют таким образом дискретной системой, свойства которой характеризуются коэффициентами разложения функций прогибов, напряжений, деформаций. [c.210]

Известные методы решения [62, 172, 296] стохастической краевой задачи (4.9) основаны на разложении коэффициентов ,jf /(r) и искомого поля перемещений и, (г) на осредненные и пульсационные составляющие. При этом, нулевым приближением для поля является осредненное решение (и,(г)). В работе [62] и других было показано, что корреляционные функции упругих свойств матричных композитов имеют область отрицательных значений. Существование области отрицательных значений установлено и для корреляционных функций квазипериодических композитов. Наличие области отрицательных значений есть признак присутствия периодических составляющих в соответствующих случайных полях [32]. Поэтому ниже на примере решения задачи (4.9) рассмотрим метод периодических составляющих, основанный на выделении из коэффициентов Qj/ei(r) и искомого [c.72]

Основные соотношения. Известные методы решения [10, 25, 39 краевой задачи (2.45) основаны на разложении коэффициентов С(г), Л(г), е(г), /9(г), 7г(г) и искомых полей перемеш ений и(г) и потенциала электрического поля нулевым приближением для полей и(г) и ( (г) являются осредненные решения <и(г)> и < (г)>. Как показано в работах [10, 33], корреляционные функции структуры матричных композитов имеют область отрицательных значений, что иллюстрируется, например, на рис. 2.4. Наличие области отрицательных значений есть признак присутствия периодических составляющих в соответствующих случайных полях. [c.62]

Методы второго направления базируются на приближении случайного возмущения отрезком его так называемого канонического разложения, т. е. на представлении в виде линейной комбинации конечного числа детерминированных функций времени с коэффициентами, являющимися независимыми случайными величинами. При таком подходе проблема сводится к построению решений детерминированных задач, зависящих от набора случайных параметров. При этом открываются возможности использования современных вычислительных машин. [c.113]

Преимущество такого представления, в отличие от других методов, связано с тем, что оно не обусловливается заранее заданной функцией разложения, а эта функция определяется статистически из фактических особенностей исследуемого метеорологического поля. Кроме того разложение любого случайного поля по е. о. ф. по сравнению с разложением его по любой системе орто-нормированных функций (например, по ортогональным полиномам Чебышева, тригонометрическим функциям, полиномам Лежандра и т. д.) дает наиболее быстрое убывание дисперсии от одной составляющей к другой. Поэтому оно может быть описано не всеми членами разложения, а только первыми (главными), что позволяет выделить из большого числа данных о поле наиболее существенные и устойчивые особенности и исключить мелкие детали. [c.47]

При использовании численных методов исследования систем управления КА случайные возмущения представляются в виде случайных величин или детерминированных функций времени ог случайных величин. В каноническом разложении сл>чайная функция является суммой произведений случайных величин н координатных функций, т е [c.177]

В связи с этим обстоятельством в ряде случаев целесообразно использовать другие подходы к оценке точности результатов, полученных методами статистической линеаризации. В работе [85] предложен метод обобщенной статистической эквивалентной передаточной функции, основанный на разложении в ряд по ортогональным полиномам Чебышева—Эрмита случайных функций и позволяющий определить (в общем случае приближенно) высшие моменты этих функций в нелинейной системе. В этом методе искомые коэффициенты линеаризации вычисляются с помощью дополнительных коэффициентов, характеризующих разложение произвольных законов распределения вероятностей в ортонормиро-ванный ряд. В первом приближении закон распределения сигнала на входе нелинейного элемента предполагается нормальным. Исходя из принятой гипотезы вычисляют моментные характеристики нелинейного преобразования и пересчитывают их для входа нелинейного элемента. По этим моментам восстанавливают плотность вероятностей входного сигнала нелинейного элемента. Если плотность вероятностей отлична от нормальной, то расчет повторяют уже с учетом того, что закон распределения не является нормальным. Вычисления продолжают до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность. [c.157]

В ряде работ, посвященных изучению пульсаций температур [7, 10,11, 35, 50], успешно использовался метод канонических разложений [33]. Метод основан на достаточно удобном аналитическом представлении случайных функций, что дает возможность применять традиционные способы решения линейных уравнений, описывающих процесс, а также проводипьисследования и нели- [c.16]

Подход к формированию широкополосной нагрузки, имитирующей эксплуатационную вибрацию, в виде суммы зависимых случайных процессов [9] основан на разложении корреляционной функции моделирующего процесса в ряд по ортонормированной или биортонормированной системам функций. Эти системы строятся на основе специально выбираемых базисов. При этом учитывается реальная форма спектральных плотностей суммируемых зависимых процессов. По сравнению с традиционными методами повышается точность формирования энергетического спектра и уменьшается (примерно в 10 раз) число выделяющих фильтров. Полученные результаты являются методологической основой для построения цифровых и гибридных звеньев в системах формирования широкополосных случайных вибраций. [c.365]

Несмотря на то что конечные цели равновесной и неравновесной теории различаются весьма сильно, математические методы, используемые в обеих областях, удивительно похожи. Мы старались подчеркнуть это сходство при нашем изложении, поскольку оно представляет собой общее специфическое свойство, придающее статистической механике в целом ее своеобразное неповторимое очарование. Для примера такого сходства назовем методы разложения в ряды, диаграммную технику, а также метод ренормировки и частичного суммирования. Несмотря на то что эти методы применялись к различным объектам, они обладают существенным структурным сходством. Именно по этим соображениям мы сначала решали большинство задач (точно или приближенно) для равновесного случая, а затем как бы повторяли эти решения (в соответствующих приближениях) для неравновесных случаев. Это было сделано, разумеется, далеко не случайно. В сущности, если говорить об основах, и равновесные, и неравновесные задачи сводятся к исследованию гамильтониана системы. Просто эта функция играет различную роль в двух теориях она определяет функцию распределения при равновесии, но она же порождает движение из состояния равновесия. [c.352]

Спектр МОЩНОСТИ. Большинство случайных процессов стационарны по времени, т. е. их общий характер с течением времени не изменяется. Это означает, что функции, описывающие эти процессы, не имеют оЬраза Фурье, поскольку они не абсолютно интегрируемы (функция не стре- мится к нулю при г со), Следовательно, применить обычные методь и понятия спектрального анализа к этим функциям нельзя. Да это и нецелесообразно, поскольку в случайных процессах интересны лишь среДние характеристию , а фазовые соотношения между гармоническими составляющими в спектральном разложении не имеют значения. Кроме того, полностью не известна функциональная зависимость случайных функций от времени. Поэтому в Фурье-анализе случайных процессов используются более подходящие для этих целей величины и понятия, [c.82]

В данной работе для количественного описания крупномаспЕтабных структур использован метод ортогонального разложения поля турбулентных пульсаций скорости. Описание этого метода можно найти в [3, 4]. Для исследования турбулентных течений он был предложен Ламли [5]. Идея ортогональных разложений естественна и вводилась для разных целей многими авторами (см., например, обзор в [5]). Идея метода заключается в представлении поля скорости в виде комбинации стандартных возмущений (колебаний) со случайными и некоррелированными коэффициентами. В однородной турбулентности таким представлением является разложение мгновенного поля скорости в интеграл Фурье по системе гармонических функций ехр(гкг). Коэффициенты разложения (амплитуды гармоник) оказываются некоррелированными случайными функциями волнового вектора к. В неоднородной турбулентности разложения скорости по гармоническим функциям также возможно, однако коэффициенты разложения коррелиро-ваны между собой. [c.431]

Настоящий параграф будет посвящен важному вопросу о приложении к случайным процессам и полям методов гармонического анализа, т. е. о разложениях Фурье таких случайных функций. Известно, что представление исследуемых функций в виде рядов или интегралов Фурье очень широко (и с большой пользой) используется во многих задачах математической физики. При этом, однако, приходится иметь в виду, что представление в виде ряда Фурье возможно лишь для периодических функций, а в виде интеграла Фурье — лишь для функций, достаточно быстро убывающих на бесконечности. Между тем в приложениях часто встречаются и непериодические незатухающие на бесконечности функции, которые, строго говоря, нельзя разложить ни в ряд, ни в интеграл Фурье. Отметим, что в физической литературе, тем не менее, и для таких функций довольно часто формально выписываются Фурье-представления, использование которых во многих случаях явно приводит к правильным результатам, несмотря на их очевидную математическую нестрогость. Объяснением этого факта может служить то обстоятельство, что в приложениях непериодические и незатухающие на бесконечности нерегулярные функции одной или нескольких переменных очень часто естественно считать реализациями некоторого стационарного случайного процесса или однородного случайного поля (для которых, очевидно, не может быть никакого затухания на бесконечности), а для этих типов случайных функций на самом деле всегда возможно разложение Фурье (иначе — спектральное разложение) специального вида, имеющее простой физический смысл. [c.207]

Кроме описанного метода широко применяется определение спектральной плотности с помощью анализатора, использующего разложение Фурье (4.24). Случайная функция x(t) подается на гармонический анализатор 1 (рис 4.16), который является узкополосным фильтром с фиксированной частотой со1. На выходе анализатора выделяется гармоника с 1. Выходной сигнал из фильтра возводится в квадрат с помощью квадратора (2) и подается на измерительный прибор 3, который осредняет сигнал на интервала 27 . На выходе получается спектральная плотность при частоте со = = 0)1. Меняя настройку анализатора на другие частоты, определяюг ряд 5ж(сог-) и строят график 5ж((о). [c.172]

Наш способ вычисления электронной функции (5Д.39) аналогичен хорошо известному методу ку-мулянтных разложений в теории случайных процессов (см., например, [ПО]). Значительно более громоздкая процедура, основанная на частичном суммировании бесконечного ряда членов в разложении функции (5Д.39), приводит к точно такому же результату [107]. [c.421]

Задача нахождения плотности вероятности р (/г Я, Т) числа пересечений п (Я, Т) принципиально может решаться в неасимптотической постановке на основе использования различных приближенных методов. Хорошо известно, например, что многие функции р (л ) можно представить в впде разложения в ряд по ортогональным полиномам. Следовательно, зная асимптотические свойства распределения случайной величины п (Я, Т) и выбрав [c.121]

Феноменологические допущения, сделанные при выводе формулы (7.66), легко подвергнуть сомнению, предложив взамен альтернативные гипотезы в надежде получить лучшие результаты [31]. Сверх того, задача об исключенном объеме решалась всеми методами, известными в теории переходов от порядка к беспорядку. Использовались и вириальное разложение ( 5.10 и 6.5) по степеням силы взаимодействия, ответственного за исключенный объем [32], и диаграммное суммирование ( 5.10) производящей функции для случайных блужданий с учетом взаимодействия [33], и группа перенормировки ( 5.12) на предмет расчета критических индексов в зависимости от размерности системы [34], и другие сложные алгебраические приемы (см., например, [35]). Что удивляет, однако [5.65, 36], так это точность, с которой наилучшие аналитические приближения и численные расчеты, выполненные как методом Монте-Карло, так и другими прямыми способами, согласуются с простой формулой Флори (7.66). Обнадеживают и результаты экспериментов по вязкости и рассеянию света ( 7.4), которые согласуются с показателем степени в выражении (7.67) [9, 28]. [c.317]

В современной науке и технике имеется большая потребность исследования нестационарных и нелинейных случайных процессов. Такие дисциплины, как защита от сейсмической, волновой и ветровой нагрузок, нелинейная стохастическая механика, вибродиагностика, распознание речи и многие другие, нуждаются в надежном и гибком инструменте для разложения и анализа экспериментальных данных, который помог бы создавать модели сложных нестационарных и нелинейных явлений, "не выбрасывая младенца вместе с водой". Другими словами, необходим метод анализа данных, исходящий скорее из физических, чем математических, соображений. Доступные в настоящее время методы в основном пригодны для анализа стационарных во времени процессов. В этой группе - классическое преобразование Фурье, метод спектрограмм, вейвлет-анализ, распределение Вигнера-Вилля, эволюционный спектр и эмпирическое ортогональное разложение функции, оценка тренда методом наименьших квадратов, метод авторегрессии - скользящего среднего и др. [c.3]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...