Интеграл полный уравнения с частными

Чтобы найти общее решение системы канонических, уравнений динамики, достаточно найти функцию V как полный интеграл дифференциального уравнения с частными производными первого порядка уравнения Остроградского — Гамильтона — Якоби) и продифференцировать этот интеграл по обобщенным координатам и постоянным интегрирования а . Приравнивая частные производные от V по обобщенным координатам обобщенным импульсам р , получим первую группу интегралов канонической системы, а приравнивая постоянным интегрирования производные от V по а , найдем вторую группу интегралов. [c.358]

Найден полный интеграл дифференциального уравнения с частными производными первого порядка. В него входят постоянные интегрирования а, р, Л и аддитивная постоянная С. [c.376]

Гамильтон показал, что если известен общий интеграл уравнений движения, представленных в канонической форме, то из него можно вывести полный интеграл этого уравнения с частными производными. Якоби дополнил эту теорему, доказав, что, обратно, если известен какой-нибудь полный интеграл этого уравнения с частными производными, то из него можно получить общий интеграл уравнений, движения. Как мы только что говорили, это уравнение с частными производными, которое мы будем называть уравнением Як оби. подобрано таким образом, что уравнения движения (6) являются для него дифференциальными уравнениями характеристик согласно известному методу интегрирования уравнений с частными производными первого порядка. Мы не будем, однако, пользоваться этим методом. [c.473]

Метод Якоби нахождения полного интеграла. — Рассмотрим уравнение с частными производными, не содержащее неизвестной функции г, [c.246]

При доказательстве существенным образом будем опираться на метод интегрирования Гамильтона — Якоби, а именно на результат п. 35, согласно которому, чтобы иметь интеграл канонической системы (5) в конечном виде, достаточно получить полный интеграл V уравнения с частными производными [c.311]

Если в канонических уравнениях положить i = —t , то уравнения сохранят ту же форму, но р будут играть роль параметра g и наоборот. Сделать отсюда вывод, что для получения интегралов уравнений движения достаточно знать полный интеграл уравнения с частными производными [c.502]

Теорема основана на том, что канонические уравнения являются уравнениями характеристик некоторого уравнения с частными производными первого порядка. Она сводит интегрирование канонических уравнений к разысканию полного интеграла этого уравнения. Формулируется эта теорема следующим образом. [c.367]

Конформные преобразования в механике (по Гурса). Рассмотрим движение материальной точки в плоскости в случае существования силовой функции и (лг, у). Определение траекторий, соответствующих одному и то.му же значению А постоянной энергии, приводится к нахождению полного интеграла уравнения с частными производными [c.427]

Полный интеграл уравнения с частными производными. Характеристики. — Рассмотрим уравнение с частными производными, не содержащее неизвестной функции г и имеющее тот же вид, как и уравнение, изученное выше [c.241]

Уравнение ( ) и система уравнений (у) допускают, как известно, одну и ту же систему 2А—1 различных интегралов. Интегрирование уравнения ( ) и системы (у) представляет собой две эквивалентные проблемы, приводящиеся к определению этих интегралов. Мы рассмотрим более подробно два случая, очень важных для дальнейшего, в которых решение этой задачи сводится к определению полного интеграла уравнения с частными производными (а). [c.242]

Интегрирование уравнений характеристик. Теорема I. — Если постоянная произвольная, то знание полного интеграла уравнения с частными производными / 1 = 1 позволяет полностью проинтегрировать дифференциальные уравнения характеристик. Действительно, если известен полный интеграл [c.243]

Немного позже Якоби показал, что для достижения той же самой цели нет необходимости рассматривать совокупность двух уравнений с частными производными (53 ), (53") и еще менее необходимо определять главную функцию достаточно, как это было вполне выяснено в п. 35 предыдущей главы, обратиться только к одному из этих двух уравнений, например к первому, и найти для него какой-нибудь полный интеграл. [c.440]

Полученное решение весьма примечательно. Оно имеет в точности такую же форму, какая получается при решении задачи с помош ью теоремы Гамильтона — Якоби. Связь между двумя этими способами решения обусловлена тем, что К (gi, qz, h, а) есть полный интеграл модифицированного уравнения в частных производных (16.5.6). [c.455]

В теории дифференциальных уравнении с частными производными такое решение называется полным интегралом, и наша задача приводится теперь к нахождению полного интеграла уравнения (6.51) ). [c.311]

Теорема 13 установлена Якоби в 1837 г. Следует заметить, что обратная теорема о том, что решение уравнения с частными производными типа Гамильтона приводится к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений (дифференциальных уравнений характеристик), имеющей в рассматриваемом случае форму Гамильтона, высказана Пфаффом и Коши в развитие еще более ранних исследований Лагранжа и Монжа, еще до того как Гамильтон и Якоби начали заниматься вопросами динамики (Э. Уиттекер [57]). Наиболее эффективный прямой метод решения уравнения Гамильтона— Якоби — это метод разделения переменных полный интеграл есть сумма слагаемых, каждое из которых зависит только от одной из переменных Ж1,. .., ж , I. [c.77]

Мы не будем здесь входить в детали, связанные с интегрированием уравнений в частных производных, и предположим лишь, что каким-либо образом полный интеграл уравнения (132) определен, т. е. найдена функция S (q, а, t), удовлетворяющая условию (133) н обращающая уравнение (132) в тождество. Тогда, подставляя в формулы преобразования, порожденного функцией S - S, т. е. в формулы (126), новые гамильтоновы переменные (в силу выбора Я ---=0 это константы (130)), получаем формулы преобразования в следующем виде [c.324]

В полный интеграл дифференциального уравнения (11.367) войдет аддитивная постоянная, так как это уравнение не содержит функции W вне знаков частных производных. Аддитивная постоянная соответствует постоянной С в формуле (11.364). Предположим, что полный интеграл уравнения (И. 367) имеет следующий вид [c.371]

Математическая модель с распределенными параметрами содержит переменные, зависящие от пространственных координат, и представляет собой систему дифференциальных уравнений в частных производных или систему интегро-дифференциальных уравнений. Важной характеристикой дифференциальных уравнений является их порядок, т. е. порядок старшей производной, которая входит в эти уравнения. Порядок производной по времени в большинстве динамических моделей процессов химической технологии — первый. Производные по координатам могут быть как первого, так и более высоких порядков. Модели обычно получаются в предположении о полном вытеснении (поршневом режиме течения) фаз. Производные второго порядка по координатам появляются в тех математических моделях, где учитывается перемешивание фаз. [c.5]

Замечание. Общее решение уравнения в частных производных зависит от нескольких произвольных функций. Поэтому полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби отнюдь не является общим решением. Полный интеграл по сравнению с общим решением охватывает только небольшую горстку решений. Тем не менее по полному интегралу можно восстановить исходное уравнение (отсюда и название полный интеграл ). Действительно, дифференцируя полный интеграл, получаем [c.157]

Зависимость функции W от старых координат qi определяется уравнением (9.20), которое является дифференциальным уравнением в частных производных и подобно уравнению Гамильтона — Якоби (9.3). Полный интеграл его опять будет содержать п независимых постоянных, одна из которых опять будет аддитивной. Остальные постоянные 2,. .., п могут вместе с 1 быть приняты за новые постоянные импульсы. Полагая в первой половине уравнений (9.21) / = О, мы можем связать п постоянных а с начальными значениями Qi и р,-. Наконец, разрешая равенства (9.22Ь) относительно qu мы можем получить их как функции at, Pi и t, чем и заканчивается решение задачи. Следует заметить, что при i ф 1 уравнения (9.22Ь) не содержат времени. Поэтому они позволяют выразить все координаты qi [c.309]

Решение уравнения в частных производных методом разделения переменных. У нас нет какого-либо общего метода решения уравнений в частных производных. Однако при некоторых особых условиях оказывается возможным найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби. Этот специальный класс задач сыграл важную роль в развитии, теоретической физики, так как оказалось, что ряд основных задач теории атома Бора принадлежит к этому классу. В таких задачах одно уравнение в частных производных с п переменными может быть заменено п обыкновенными дифференциальными уравнениями с одной независимой переменной, которые полностью интегрируются. Такие задачи называются задачами с разделяющимися переменными . [c.275]

Из уравнений (8.3.6) видно, что для систем с разделяющими переменными полный интеграл уравнения в частных производных Гамильтона — Якоби можно получить в квадратурах. Возникает такая необычная ситуация, что сопряженные переменные qk,Pk в каждой паре связаны непосредственно друг с другом без участия остальных переменных. Механическая система с п степенями свободы может рассматриваться как суперпозиция п систем с одной степенью свободы. Однако истинные уравнения движения такие [c.278]

Роль дифференциального уравнения в частных производных в теориях Гамильтона и Якоби. В предыдущей главе (гл. VII, п. 9) отмечалось, что впервые в аналитической механике фундаментальное уравнение в частных производных открыл Гамильтон. Он также первый выдвинул идею о фундаментальной функции, из которой можно было бы получить при помощи простых дифференцирований и исключения переменных все механические траектории. Однако первоначальная схема Гамильтона была практически неприменима. Более того, главная функция Гамильтона удовлетворяла двум уравнениям в частных производных. Второе уравнение с точки зрения теории интегрирования является ненужным усложнением. С другой стороны, в теории Якоби требуется найти лишь один полный интеграл основного дифференциального уравнения. В случае систем с разделяющимися переменными такой интеграл может быть найден. Поэтому при поверхностном подходе создается впечатление, что Якоби освободил теорию Гамильтона от ненужного усложнения, приведя ее к схеме, применимой на практике, [c.291]

Все сказанное придает новый смысл функции S, определенной как произвольное частное решение уравнения Гамильтона — Якоби, Полный интеграл этого уравнения был интерпретирован с помощью абстрактных математических понятий он представлял собой производящую функцию определенного канонического преобразования. Однако S-функция в виде частного решения имеет гораздо более непосредственный физический смысл. Оптическим эквивалентом функции S является функция ф, определяющая время, необходимое свету для прохождения от одного волнового фронта до другого. Это время может быть определено с по- [c.311]

Итак, с помощью любого полного интеграла дифференциального уравнения Гамильтона в частных производных можно получить полное решение задачи Гамильтона, т. е. интегралы гамильтоновых уравнений движения. Дифференциальное уравнение для функции S впервые было получено Гамильтоном в 1834 г., а доказательство всей теоремы было дано Якоби в 1837 г. ). [c.286]

Разделение переменных. Некоторые механические системы, описываемые определенной системой лагранжевых координат, допускают разделение переменных. Иными словами, написанное для такой системы модифицированное уравнение в частных производных (16.5.4) имеет полный интеграл в виде суммы п функций, каждая из которых зависит от одной из п координат. Подобные системы обладают рядом важных и интересных свойств, изучение которых составит предмет этой главы. Возможность разделения переменных зависит как от самой изучаемой системы, так и от выбранной для ее описания системы координат. Естественно, возникает вопрос каковы условия, при которых возможно разделение переменных, и каковы свойства систем, допускающих это разделение Б дальнейшем мы ограничимся рассмотрением натуральных систем с п степенями свободы, для описания которых используются п лагранжевых координат. [c.303]

Можно заметить, что если функция V не входит явно в уравнение в частных производных, то наряду с решением V t, q, ..., qt ) будет существовать решение V t, qu. .., qh) +С этого уравнения в частных производных, где С — произвольная постоянная, поэтому можно искать полный интеграл, содержащий одну из произвольных постоянных аддитивно. [c.483]

Ограничение содержания аналитической динамики изучением непрерывных групп преобразований, по отношению к которым известные динамические показатели движения механической системы являются инвариантными показателями. Эта тенденция вызывается тем, что с помощью бесконечно малых преобразований, оставляющих действие по Гамильтону инвариантным до дивергенции, можно получить первые интегралы канонических уравнений, используя теорему Нетер. А канонические преобразования с заданным гамильтонианом преобразованной системы, как уже было отмечено, позволяют составить уравнения в частных производных, полный интеграл которых определяет искомые первые интегралы. Усилению этой тенденции способствует еще и возможность интерпретации самого движения механической системы как последовательность бесконечно малых преобразований координат и импульсов системы. [c.43]

Таким образом, если надо приближенно найти полный интеграл уравнения этого вида, то можно составить уравнения Гамильтона с функцией Я(р, q, О и применить численное интегрирование. В общей теории уравнений в частных производных интегральные кривые соответствующих уравнений Г амильтона называются характеристиками. [c.341]

Вернемся к разд. 8.2, где было дано определение полного интеграла уравнения в частных производных первого порядка с п независимыми переменными и принято для этого интеграла обозначение [c.73]

В силу постоянства левых частей равенств функции г 5ь 1152,. .., 1156, зависящие от координат движущейся точки, проекций скорости и, вообще говоря, времени, обладают тем свойством, что при движении точки сохраняют свои значения неизменными. Они называются первыми интегралами движения и выражают законы сохранения некоторых величин С. Равенства (6.11) показывают, что существует шесть независимых первых интегралов. Любая функция первых интегралов также будет (зависимым) интегралом движения. Если все шесть первых интегралов известны, то из них можно (без интегрирования) получить полное решение второй задачи динамики точки. В самом деле, решая уравнения (6.11) относительно х, у, г, х, у, г, получим кинематические уравнения типа х = х(Сь Сг,. .., Се, О, что при заданных Сь Сг,. .., Се дает частные решения, а при произвольных — общий интеграл исходных уравнений. [c.86]

Решение задач методом Гамильтона — Якоби опирается на разделение переменных в левой части уравнения Гамильтона —Якоби, что позволяет записать полный интеграл при помощи квадратур. Якоби, решая задачу о движении планеты вокруг Солнца (задачу Кеплера), ввел сферические координаты и применил метод разбиения уравнений в частных производных на несколько уравнений, каждое из которых содержит только одну независимую переменную и производную искомого полного интеграла по этой переменной ([38], двадцать четвертая лекция). Далее Якоби распространил метод разбиения на любое число переменных. Вслед за Якоби методы разделения переменных развивали многие авторы, с чем можно познакомиться в [19], т. II, ч. 2, [37]. Однако метод разбиения Якоби является и до настоящего времени основным для интегрирования уравнений в частных производных первого порядка. [c.331]

Эти уравнения можно рассматривать как полное решение поставленной задачи, которая, следовательно, будет разрешена, если достичь определения характеристической функции V V, как и S, удовлетворяет частному дифференциальному уравнению, единственного полного интеграла которого достаточно для решения задачи. Но для исследования этого уравнения мы отошлем читателя к мемуару Якоби, который подробно проанализировал случай свободной системы что касается случая системы с любыми связями, то он не представит никаких затруднений для лиц, которые усвоили аналогичные предложения, изложенные выше применительно к функции S., [c.566]

Здесь имеется частный случай, когда один этот первый интеграл достаточен для полного определения движения, — это случай, когда эллипсоид инерции относительно неподвижной точки О сводится к шару (А = В = С), благодаря чему уравнения (4) оказываются равносильными одному векторному уравнению [c.83]

Однородное поле. Рассмотрим теперь приложения теоремы Гамильтона — Якоби к решению конкретных задач. Начнем с исследования трех простых примеров, для которых в 15.9 мы нашли явный вид главной функции. Эта функция сама представляет полный интеграл уравнения Гамильтона в частных производных, но те полные интегралы, которые мы получим для каждого из рассматриваемых случаев, фактически не будут главными функциями. [c.291]

Метод Остроградского — Якобн позволяет свести задачу об отыскании 2s первых интегралов дифференциальных уравнений кано-иической системы (132.5) к задаче определения полного интеграла некоторого уравнения с частных производных первого порядка. [c.382]

Интегрирование уравнения Гамильтоиа-Якоби. Вообще говоря, интегрирование нелинейных уравнений с частными производными первого порядка представляет очень трудную и сложную задачу. Поэтому интегрировать уравнение Гамильтона-Якоби почти никогда не удается, Только в некоторых наиболее простых случаях оказывается возможным получить полный интеграл каким-нибудь искусственным способом. Эти случаи в небесной механике немногочисленны, и характерно то, что эти же случаи могут быть исследованы и непосредственно, не прибегая к помощи теоремы Гамильтона-Якоби. Неизвестно пока ни одного случая, который допускал бы разрешение только этим методом, так что эффективность его весьма невелика. Однако с теоретической стороны он представляет большой интерес, и не исключена возможность, что в будущем метод Гамильтона-Якоби позволит решать такие задачи, которые не поддаются разрешению никакими другими методами. [c.405]

Аргументы t, <71, <72,. .., ( ы — независимые переменные, входящие в уравнение (11.350). Переменные Qu Q2, QN можно рассматривать как постоянные интегрирования. Действительно, функция У, определенная равенством (П.351Ь), должна удовлетворять уравнению (II. 350) при произвольных значениях переменных Q , С 2, , так же, как полный интеграл уравнения в частных производных удовлетворяет этому уравнению при произвольных значениях постоянных интегрирования. [c.357]

Итак, основные этапы развития аналитической динамики таковы первым шагом явилось установление лагранжевой формы уравнений движения, затем лагранжев метод вариации произвольных постоянных и аналогичная теория Пуассона и связанные с нею проблемы интегрирования затем Гамильтон представил интегральные уравнения посредством единственной характеристической функции, определяемой а posteriori посредством интегральных уравнений, предполагаемых известными, или из того условия, что она должна одновременно удовлетворять двум дифференциальным уравнениям в частных производных Гамильтон же нашел новую форму уравнений движения Якоби свел интегрирование дифференциальных уравнений динамики к нахождению полного интеграла единственного дифференциального уравнения в частных производных он же развил теорию последнего множителя системы дифференциальных уравнений движения Остроградский рассмотрел проблему интегрирования уравнений динамики Раус нашел новую форму дифференциальных уравнений движений Пуанкаре развил теорию интегральных инвариантов наконец, [c.848]

Если невозмущенная система с функцией Гамильтона 5 о 1) невырождена, и вековое множество полной системы имеет предельные точки внутри интервала (/, I"), то согласно теореме 2 пониженная система канонических уравнений с гамильтонианом (3.8) не имеет аналитического и аналитически зависящего от параметра /х первого интеграла, 2тг-пе-риодического по переменным <р, t. Другими словами, в этом случае исходная автономная система с функцией Гамильтона (1.1) не имеет частного аналитического интеграла при фиксированном значении постоянной энергии h. Невырожденность невозмущенной системы d S o/dP 0) означает геометрически, что линия уровня 7 G С Жо 1) = h не есть прямая. [c.29]

В полном соответствии с предьщущим анализом решения уравнения Пуассона объемный интеграл в (2.18) есть частное решение неоднородного волнового уравнения. С физической точки зрения объемный интеграл представляет часть обтцего решения волнового уравнения (2.12), обусловленную всеми акустическими источниками, расположенными внутри V, а поверхностный интеграл представляет собой общее решение однородного волнового уравнения и физически соответствует изменению состояния жидкости, обусловленному всеми акустическими особенностями, расположенными за пределами поверхности S, охватывающей область V, т.е. Ф(х, I) = ф(х, i)k + ф(х, t)s. [c.48]

Общим интегралом уравнения в частных производных первого порядка с п независимыми переменными называется решение этого уравнения, содержащее некоторую произвольную функцию от — 1 переменных. Общий интеграл м.ожно найти из полного интеграла следующим образом. [c.73]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...