Уравнение Шредингера для многих тел

В 5 было определено понятие четности частицы или системы частиц и на примере волновой функции, удовлетворяющей уравнению Шредингера, показано, что четность изолированной системы сохраняется. Длительное время закон сохранения четности считался столь же универсальным, как п закон сохранения энергии. Для электромагнитных и сильных ядерных взаимодействий закон сохранения четности был проверен экспериментально. Что касается слабых взаимодействий типа 3-распада, то казалось, что и здесь нет оснований сомневаться в его справедливости, так как теория р-распада, построенная в предположении выполнения закона сохранения четности, во многом подтверждается на опыте. [c.158]

Многие приближенные методы решения уравнения Шредингера опираются на так называемый вариационный принцип. Сущность этого принципа мы рассмотрим в общих чертах на примере метода молекулярных орбиталей. [c.78]

Уравнение Шредингера прекрасно работает при расчете свойств микрочастиц. Из него, в частности, довольно легко можно получить условие Бора (ИЗ) (детали расчета выводят за рамки пособия, они приведены во многих руководствах по квантовой механике, см., например, [89]). [c.172]

Если выражающий экспоненту ряд сходится, то (21.1) дает решение уравнения Шредингера, которое полезно для многих применений. Заметим, что в тех случаях, когда ряд не сходится, формула (24.1) может быть тем не менее использована для выработки приемов, с помощью которых может быть найдено приближенное решение. [c.153]

Уравнение Шредингера. Длина электромагнитной волны много больше размеров атома, и поэтому во всем объеме атома напряженность электрического поля волны может быть принята постоянной и равной [c.257]

Энергии стационарных состояний атомов со многими электронами могут быть вычислены с помощью приближенных квантовомеханических методов. В нашу задачу не входит подробное изложение этих методов, поэтому мы остановимся на них в этом и в следующем параграфе кратко, отсылая читателя для более основательного знакомства к специальной литературе [32,38] Квантовомеханическая постановка задачи о состоянии сложного атома была указана в 31. Обобщенное уравнение Шредингера имеет вид [c.194]

Активная среда, как правило, описывается с помощью аппарата квантовой теории, т. е. с помощью уравнения Шредингера или уравнения для матрицы плотности, поскольку классическая теория вещества во многих случаях недостаточна. Действительно, квантовый аспект теории начинается уже с самого представления об энергетических уровнях и дискретных значениях энергий, которыми обладают активные центры. Если излучение описывается классическими методами, а активная среда квантовыми, то соответствующая теория процессов в лазерах называется полу-классической если и вещество и излучение описываются квантовыми методами — квантовой теорией лазеров. [c.17]

Как это принято в квантовой механике, здесь термины симметричное состояние и антисимметричное состояние означают Соответствующие линейные комбинации, которые можно построить из решений задачи многих тел и которые также удовлетворяют уравнению Шредингера. Так, если Xi и Х2 суть координаты двух электронов, а и — волновые функции, соответствующие, скажем, различным квантовым числам, то решения (л г) и ф1 (жг) фг (а) в силу неразличимости двух электронов будут одинаково правильными. Поэтому линейные комбинации Ф1 (х,) фз ( 2) хг) Фг ( i) также будут правильными решениями. Первая из них (со знаком плюс) называется симметричной функцией (перестановка координат [c.57]

Для полного описания разрешенных электронных состояний в кристалле потребовалось бы решить уравнение Шредингера для очень большого числа частиц — ионов и свободных электронов. Другими словами, нужно найти квантовомеханическое реше-йие задачи многих тел. Эта проблема необычайно трудна и до настоящего времени не решена. Чтобы сделать ее разрешимой, принимаются некоторые допущения. Прежде всего, поскольку нас интересуют главным образом свободные электроны, мы можем принять, что ионы покоятся в своих положениях равновесия и что решетка идеальна, т. е. не содержит дефектов. Во-вторых, кристалл предполагается бесконечно большим, так что можно не учитывать никаких поверхностных эффектов. [c.65]

Заканчивая обсуждение модели эффекта интерференционной стабилизации процесса фотоионизации ридберговских атомов, отметим, что детальному теоретическому описанию этого эффекта посвящено много теоретических работ, в которых уравнение Шредингера решалось аналитически в различных приближениях, а также численно. Детальный обзор этих работ содержится в [10.38]. Из всех этих расчетов следует общий вывод — при F > Ес вероятность фотоионизации уменьшается по сравнению с величиной, предсказываемой золотым правилом Ферми. [c.273]

Если бы у меня была большая вычислительная машина, я,— пишет Вигнер,— по-видимому, использовал бы ее для решения уравнения Шредингера для каждого металла и получил бы величины энергии сцепления, параметры решетки и т. д. Не ясно, однако, многое ли это даст. Возможно, все результаты будут согласовываться с экспериментальными значениями, и расчет с познавательной точки зрения даст мало. Интересней было бы получить ясную картину поведения волновой функции, простое описание сущности сцепления атомов в металлах и понимание причин изменения сил сцепления при переходе от элемента к элементу. Следовательно, та цель, которая стоит перед нами, не является чисто научной она отчасти носит и учебный характер. Ее решение не может быть единственным существует возможность представить одну и ту же волновую функцию различными способами (так же, как, скажем, существует ряд способов построения кубической решетки с плотнейшей упаковкой), а одна и та же энергия может быть разложена разными способами на различные основные составные части. Следовательно, значение любого подхода к проблеме зависит от той цели, которая преследуется. С точки зрения настоящей статьи принципиальная цель точных расчетов должна состоять в том, чтобы подтвердить, что не было-пропущено ничего действительно существенного . [c.361]

Если бы имелась такая вычислительная машина, которая была бы в состоянии решить уравнение Шредингера для каждого металла и получить тем самым интересующие нас физические величины, такие как энергия связи, постоянная решетки и аналогичные параметры, то все же неясно, многого ли мы этим достигли бы. Вероятно, полученные результаты совпадали бы с экспериментально определенными величинами, и ничего особо [c.141]

Для любого фиксированного Ко из большого набора значений 2пп Ь, допускаемого периодическими граничными условиями для одно.мерной решетки длиной Ь, мы всегда можем найти волновую функцию (орбиталь), удовлетворяющую уравнению Шредингера, решая систему уравнений (9.18). Действительно, поскольку это система из бесконечного числа уравнений, то будет существовать бесконечно много различных значений энергии для любого данного Ко- Наиболее интересными для нас будут решения, отвечающие наинизшей энергии. [c.318]

Говоря об электронных состояниях, мы неявно предполагали, что можно рассматривать поведение некоторого индивидуального электрона, который движется в поле данного потенциала. Но такой подход является по необходимости приближенным, поскольку всегда имеется много электронов и они взаимодействуют друг с другом. Волновая функция системы зависит от координат всех присутствующих электронов, а благодаря взаимодействию между ними переменные в уравнении Шредингера не разделяются. Если бы мы смогли аппроксимировать взаимодействие данного электрона со всеми другими с помощью некоторого потенциала, зависящего лишь от координат данного электрона, то только в этом случае оказалось бы возможным представить гамильтониан в виде суммы членов, каждый из которых является функцией координат одного электрона, и только тогда можно было бы разделить переменные в уравнении и рассматривать электроны независимо. Такая аппроксимация называется приближением самосогласованного поля. Расчет должен быть самосогласованным, поскольку необходимо знать сами состояния, чтобы вычислить потенциал взаимодействия, который в свою очередь должен быть известен при определении состояний электрона. [c.84]

Произведем такое разложение волновых функций по OPW и подставим его в уравнение Шредингера. Мы снова увидим, что связаны между собой только OPW, у которых волновые векторы отличаются на вектор обратной решетки. Соответствующие матричные элементы можно найти, если известен потенциал и волновые функции внутренних оболочек. И снова мы получаем систему уравнений, но на этот раз матричные элементы, связывающие и убывают с ростом к — к значительно быстрее, и можно ограничиться гораздо меньшим числом уравнений. Как будет видно в дальнейшем, для многих применений достаточно только двух или трех OPW для полного расчета зонной структуры необходимо 25—30, а для очень точных расчетов — иногда 50 или 60 OPW. Использование OPW позволяет значительно сократить объем вычислений, необходимых для расчета энергетических зон. Подробнее о методе OPW мы будем говорить несколько позже при обсуждении псевдопотенциалов. [c.100]

Номер зоны п появляется в теореме Блоха из-за того, что при заданном к имеется много решений уравнения Шредингера. Это отмечалось нами при втором доказательстве теоремы Блоха, но видно также и из следующих рассуждений. [c.146]

Фактически для решения большинства задач статистической физики достаточно знать только операторы Р1 и Ра, а отнюдь не весь статистический оператор р. Естественно возникает вопрос нельзя ли определять Р1 и рз непосредственно, не вычисляя предварительно полный статистический оператор р (т. е., в частности, не решая уравнения Шредингера для системы многих взаимодействующих частиц) [c.21]

Если на каждом отрезке классической траектории укладывается много длин волн электрона, то мы вправе воспользоваться квазиклассическим приближением для решения уравнения Шредингера (см., например, [3.12]). В рамках разумных допущений относительно вида функции Г (К) можно показать (см. 3.4), что характерный размер топографических деталей (К) есть длина корреляции Ь. В типичной долине с энергетической глубиной Ж квазиклассическое приближение оправдано, когда Ь превосходит характерную длину волны де Бройля, %lY тЖ, т. е., если воспользоваться атомными единицами, когда выполняется неравенство [c.567]

Замечательным свойством многих изолированных квантово-механичесмих систем является сохранение четности. Чтобы доказать это свойство, предположим, что волновая функция системы ij) (х, у, Z, t) представляет собой решение временного уравнения Шредингера и в момент t является четной. Найдем четность этой функции в момент ( +т). Для этого разложим г1)( + т) по степеням т [c.90]

Уравнение (1.1.1) получено для возмущений типа двумерного волнового пакета (1.1.2), исходя из метода многих масштабов идеи Мандельштама - представление суммы гармонических волн в виде квазимонохроматической волны. Это позволило учесть растущие и взаимодействующие возмущения на разных масштабах. При определенных упрощениях ОНПУ приводится к уравнению Гинзбурга-Ландау, а для консервативных сисч вм физики плазмы и гидродинамики идеальной жидкости - к нелинейному уравнению Шредингера. Уравнение, подобное (1.1.1), широко применяется для исследования различных гидродинамических (9-131, физических [14] и химических процессов [6-8, 11]. [c.11]

Система уравнений (4.23) замечательна во многих отношениях. Например, будучи одной из форм уравнения Шредингера, она состоит из алгебраических, а не дифференциальных уравнений, что упрощает оперирование с ними. Но наиболее важная его особенность состоит в том, что она связывает коэффициенты С (к). В силу этого соотношения коэффициенты С (к) в волновой функции (4.10) не могут выступать самостоятельно, а обязательно зходят вместе со шлейфом коэффициентов С к ), аргументы которых различаются на g = 2лп/а. [c.59]

Это уравнение является уравнением движения в картине Гейзенберга. Оно эквивалентно уравнению Шредингера, но в нерелятивистской квантовой механике применяется реже. Однако в релятивистской квантовой теории поля более предгючтительна во многих случаях картина динамики Гейзенберга. [c.155]

Уравнение Шредингера описывает всю эволюцию состояния микрочастицы. Закон движения микрочастицы полностью определяется заданием функции F в каждый момент времени в каждой точке пространства. Потенциальная энергия и, входящая в уравнение Шредингера, являгтся в общем случае функцией координат и времени. Однако для многих практически важных задач U является функцией только координат и не зависит от времени Для таких задач волновую функцию Т (л, у, г, t) можно представить в виде произведения ij) (j , у, г) на <р (/) [c.97]

Нелинейное уравнение Шредингера (НУШ) (5.1.1) принадлежит к специальному классу уравнений, которые можно точно решить, испо зуя метод обратной задачи рассеяния (ОЗР). Этот метод был открыт Гарднером и др. [37]. Захаров и Шабат [34] использовали его для решения НУШ данный метод стал важным инструментом в математической физике [1-5]. Метод ОЗР по духу похож на метод преобразования Фурье, который обычно используют для решения нелинейных уравнений в частных производных. Этот подход состоит в определении подходящей задачи рассеяния, потенциал которой и есть искомое решение. Значение поля входного излучения (z = 0) используется для получения начальных данных рассеяния, динамика которых вдоль оси Z легко находится из решения линейной задачи рассеяния. Поскольку метод ОЗР в деталях изложен во многих книгах [1 -5], мы лишь кратко опишем, как он используется для решения уравнения (5.1.1). [c.111]

Здесь следует обратить внимание на аналогию между такой интерпретацией статистической механики и интерпретацией обьга г ной квантовомеханической теории. Квантовая механика также утверждает, что теоретически предсказуемы только средние значения наблюдаемых. Однако статистический характер квантовой теории определяется совершенно иными физическими причинами. Этот немаловажный факт можно понять, если опять о15ратиться к уже рассматривавшемуся простому эксперименту с потоком тепла, но дать ему на сей раз квантовомеханическую интерпретацию. Пусть теперь металл характеризуется микроскопически некоторой определенной волновой функцией, удовлетворяющей уравнению Шредингера. Для данного состояния можно вычислить квантовомеханическое среднее значение энергии и проследить эволюцию во времени этого значения. Однако волновая функция системы многих тел чрезвычайно сложна. Если в нулевой момент времени заданы лишь макроскопические условия (например, градиент температуры), то в нашем распоряжении имеется огромное число возможных волновых функций данной системы, совместимых с заданными макроскопическими условиями. Каждой из этих разрешенных функций, т.-е. состояний, соответствует вполне определенное квантовомеханическое среднее значение энергии эти значения обычно отличаются одно от другого. Следовательно, мы оказываемся в том же положении, как и в классическом случае. Рассуждая далее по аналогии, припишем соответствующ ша образом подобранные веса каждому возможному состоянию системы. Определим теперь наблюдаемое значение энергии как усредненное по ансамблю значение квантовомеханических средних величин микроскопической энергии. Таким образом, ясно, что описание квантовостатистической системы подразумевает два последовательных процесса усреднения первое усреднение связано с принципом неопределенности Гейзенберга, а второе — с неопределенностью начального состояния системы многих тел. [c.51]

Хотя к решению уравнения Шредингера косвенным методом вынуждает пас практическая необходимость, это естественный путь к пониманию решений. Суть состоит в том, что в процессе выбора приближений используется много понятий, проливающих свет на природу поведения ядер и электронов в молекуле. Некоторыми из таких наиболее важных понятий являются электронное состояние, молекулярная орбиталь, поверхность потепциаль-1юй энергии, равновесная конфигурация ядер и функция диполь-ного момента. Когда мы говорим, что понимаем решение, мы имеем в виду, что можем предсказать схему уровней энергии и вид волновых функций данной молекулы без решения уравнения [c.130]

Оба метода приводят к одному и тому же уравнению Шредингера, но часто, когда гамильтониан зависит от многих криволинейных координат, метод II гораздо быстрее приводит к цели. Заметим, что метод I применялся в гл. 6, когда мы перещли от координат (Xi, Y , Z ,. .., X/, Yz, Zi) к координатам (Xo, Yo, Zo,. 2, Yi, Za,. .., Xi, Yi, Zi), чтобы выделить трансляционную часть гамильтониана [см. формулы (6.2) — (6.18)]. [c.132]

Важным подтверждением применимости результатов работы [1.14] для атомов явилось обнаружение процесса туннельной ионизации атомов инфракрасным лазерным излучением (ш ос 0,01 ) при F< FaH7< lB работе [1.15]. Наконец, относительно недавно результаты нескольких теоретических и экспериментальных работ с достаточно высокой точностью показали, что соотношение для параметра адиабатичностн (1.5) соответствует границе между много фотонной и туннельной ионизацией атомов. Теоретически это было выяснено путем численного решения уравнения Шредингера для атома водорода (см., например, [ 1Л 6]), а экспериментально путем наблюдения критического значения интенсивности излучения (при фиксированной его частоте), соответствующего исчезновению резонансных максимумов в выходе ионов, обусловленных возникновением промежуточных резонансов (см., например, [1.17]). Действительно, в процессе туннельной ионизации резонансы не возникают, так как электрон в процессе туннелирования через потенциальный барьер не оказывается в той области энергий, где расположены его связанные возбужденные состояния. Рис. 1.4 иллюстрирует результаты эксперимента [1.17" [c.18]

Первые исследованию, посвященные туннельному эффекту, были вы полнены в 1928 году. Это — работы Г. Гамова, а также Р. Генри и Е. Кон дона по теоретическому описанию эффекта -радиоактивности атомных ядер за счет туннелирования а-частиц через потенциальный барьер на гра нице ядра, а также работа М.А. Леонтовича и Л.И. Мандельштама [9.2], в которой обсуждается процесс распространения волновой функции за по тенциальный барьер путем решения уравнения Шредингера. В дальнейшем туннельный эффект был детально исследован экспериментально и теоре тически для многих конкретных ситуаций, в том числе, и для случая тун нельной ионизации атомов. [c.227]

Обобщая формулировку уравнения Шредингера с тем, чтобы включить в рассмотрение возбужденные состояния рассеивающих атомов, подобно тому как это сделано в выражении (12.31), Йошио-ка [390] показал, что влияние неупругого рассеяния на амплитуды упругого рассеяния можно учесть добавлением мнимых компонентов в потенциал рассеяния, а следовательно, в структурные амплитуды для центросимметричных кристаллов. Впоследствии вклады в эти мнимые компоненты поглощения, связанные с различными процессами рассеяния, были оценены или получены многими авторами. [c.281]

Это и есть волновое уравнение Шредингера для свободной чa т[iцы в скалярном потенциальном поле. Поскольку оно не зависит от времени, его можно интерпретировать как уравнение, описывающее стационарное (например, периодическое) движение частицы в силовом поле. Однако это уравнение можно использовагь и в случае стационарных пучков, с которыми обычно имеют дело в электронной оптике, когда рассматривают много частиц, появляющихся одна за другой, но находящихся в одинаковы.х условиях. Как в первом, так и во втором случаях разумно предположить в соответствии со статисгической интерпретацией Борна, что квадрат модуля Р = пропорционален плотности частиц в точке х, у, г, измеренной за длительный промежуток времени, либо, что в данном случае совпадает с этой плотностью, пропорционален вероятности нахождения частицы в данной области пространства в любой момент времени. [c.685]

Если потенциал в окрестности начала координат более сингулярен, чем г , но положителен, то, как мы уже видели, регулярное решение радиального уравнения Шредингера существует и оно удовлетворяет трехмерному уравнению.Тем не менее обычный метод построения этого решения становится несостоятельным кроме того решение теряет многие свои прежние свойства. Например, интегральное уравнение (12.4), хотя и сохраняется в рассматриваемом случае, но оказывается теперь бесполезным. Его нельзя решить методом итераций, даже если оно фредгольмовского типа. Свойства решения, функции Иоста и элементов S-матрицы (как функций от к) совершенно меняются. Кроме того, граничные условия начинают зависеть от потенциала. В предыдущем пункте было показано, что два решения радиального уравнения в окрестности начала координат имеют вид [c.366]

Исследуем многоканальную задачу с точки зрения системы радиальных уравнений Шредингера (16.75) или (16.75а). Поскольку структура системы этих уравнений сходна со структурой системы уравнений (15.92), то метод ее решения во многом аналогичен методу, изложенному в гл. 15, 2, п. 2. В задачах о рассеянии без перестройки основная трудность состоит в том, что в них оказываются связанными состояния с различными орбитальными угловыми моментами. Данная трудность имеется и в многоканальных задачах, так как при столкновении, вообш,е говоря, возможно возбуждение внутренних энергетических уровней с различными угловыми моментами (т. е. различных спинов фрагментов). Однако во многих практических случаях, когда спины фрагментов в действительности представляют собой их внутренние орбитальные угловые моменты, указанная трудность не очень серьезна. [c.467]

Новая жизнь солитона — одного из самых привлекательных объектов современной физики — в значительной степени связала с построением точных решении многих уравнений нелинейной теории волн. При их построении большую роль сыграл так называемый метод обратной задачи рассеяния [11]. Этот метод берет начало от работы Гарднера, Грина, Крускала и Миуры [21], которые в 1967 г. установили связь между уравнениями Кортевега-де Вриза и Шредингера. Поясним кратко суть этой связи. Как известно [14], уравнение Шредингера дх - -- - и х) - -е]Ф = О в случае, когда потенциал U x) положительно определен и спадает до пуля при х оо, имеет финитные решения, стремящиеся вместе со своими производными к нулю на бесконечности, а спектр собственных значений дискретен. Рассмотрим уравнение Шредингера [c.400]

Менее традиционные применения связаны с вычислением коротковолнового приближения для собственных значений и собственных функций операторов Шредингера, Лапласа и Бельтрами — Лапласа [91]. Дальше для определенности будем говорить об операторе Шредингера. Формулы коротковолнового приближения позволяют по решениям уравнений движения классической механической системы строить приближенные решения уравнения Шредингера, описывающего поведение соответствующей квантовой системы. В частности, если классическая система имеет в фазовом пространстве инвариантный тор, удовлетворяющий арифметическим условиям квантования, то формулы коротковолнового приближения позволяют построить по этому тору асимптотику собственного значения оператора Шрёдингера и соответствующей почти-собственной функции . В близкой к интегрируемой системе есть много инвариантных торов, причем они образуют гладкое семейство (п. 2.2). Соответственно, вообще говоря, есть много торов, удовлетворяющих условиям квантования. Это позволяет приблизить большую часть спектра соответствующего оператора Шрёдингера. [c.213]

Во избежание недоразумений заметим следующее. При Т=0 можно найти такой оператор (зависящий от п), что С1Фо = Ф и, следовательно, 7(Х, Х Е) имеет дельтаобразную особенность (это есть просто определение оператора С . Однако нахождение таких операторов эквивалентно точному решению уравнения Шредингера для рассматриваемой системы многих тел и практически невыполнимо (в сколько-нибудь интересных случаях). Можно лишь с уверенностью утверждать, что (используемые в дальнейшем) простые комбинации типа С = а или — аа указанным свойством отнюдь не обладают и соответствующие функции К (х, х ) не осциллируют. а затухают со временем. Соответственно и особенности спектральных функций /(Х, X Е) имеют более сложный характер и. как правило, не сводятся просто к полюсам. При Т Ф О положение усложняется. Действительно, в этом случае усреднение производится не по основному состоянию, а по смешанному ансамблю. Поэтому в правой части (2.5) должна фигурировать вся совокупность матричных элементов (Ф , СгФ ) и функции К (х, х ) лишь в исключительных случаях могут оказаться осциллирующими. Например, так обстоит дело для идеальных бозе- и ферми-газов (в отсутствие внешнего поля) при С =а(р, 5), где а(р, ) — оператор порождения частицы с заданным импульсом р и спином 5. Действительно, состояния идеального газа свободно движущихся частиц полностью определяются заданием чисел заполнения п (/ , 5 ) одночастичных состояний с данными импульсами и спинами. Индексы п, п при этом обозначают всю совокупность чисел п (/ , 5), а собственные функции Ф суть [c.27]

Подчеркнем еще раз, что орбиталь является состоянием в одночастичной задаче, а не состоянием всей системы N взаимодействующих частиц, поскольну орбиталь описывается решением уравнения Шредингера для одной частицы. Если взаимодействие между частицами существенно, то построение /У-частичного состояния путем наложения N орбиталей (по одной для каждой частицы) не будет хорошим приближением. Но для многих задач такое приближение оказывается превосходным. Более общая формулировка принципа Паули, которая применима к точной многочастичной волновой функции, обсуждается в книгах по квантовой механике мы упомянем о ней в гл, 10. [c.119]

В системе взаимодействующих частиц двин ение частиц, вообще говоря, взаимно коррелировано сложным образом. В частности, волновая ф-ция системы не распадается на произведение волновых ф-ций отдельных частиц. Нельзя считать, что кажда г частица находится в своем определенном состоянии или, в классич. механике, — на своей определенной орбите, на к-рой ее движение происходит независимо от мгно-веппого иоложения др. частиц. Однако во многих случаях (электроны в атоме и т. п.) подобное представление может быть приближенно справедливо, — действие на данную частицу всех остальных частиц системы можно приближенно заменить их действием, усредненным по движению этих частиц. Согласно методу С. п., для каждой частицы подбирается своя отдельная волновая ф-ция так, что для данной частицы она является правильным состоянием — правильным решением Шредингера уравнения — в поле всех остальных частиц, усредненном по их состояниям движения. Очевидно, что для разных состояний системы (1 п., действующее на данную частицу, будет, вообще говоря, различным. В. А. Фок показал, что этот подход можно улучшить посредством учета симметрии волновых функций, что физически означает учет той части корреляции движения частиц, к-рая обусловлена не их силовым взаимодействием, а тождественностью частиц. Л, Фейнберг, [c.464]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...