Методы решения уравнения Шредингера

Многие приближенные методы решения уравнения Шредингера опираются на так называемый вариационный принцип. Сущность этого принципа мы рассмотрим в общих чертах на примере метода молекулярных орбиталей. [c.78]

Здесь уже отсутствует периодический потенциал, а появившаяся эффективная масса электрона может быть определена экспериментально. Данный метод решения уравнения Шредингера получил название метода эффективной массы. [c.237]

Методы решения уравнения Шредингера [c.173]

Общий принцип решения зонной задачи. Практически все методы решения уравнений Шредингера (1.5) вытекают пз одного подхода. А именно, выбирается некоторая совокупность пробных (исходных) функций Ф искомая функция к представляется в виде разложения по Фi с неизвестными коэффициентами Б , подлежащими определению, [c.11]

Точное решение уравнения Шредингера в большинстве случаев в аналитическом виде невозможно. Теория возмущений является важнейшим методом [c.231]

Многоэлектронные атомы. В многоэлектронных атомах валентный электрон взаимодействует не только с ядром, но и с другими электронами, вследствие чего в выражении для потенциальной энергии появляются дополнительные члены, отвечающие этому взаимодействию. Наличие таких членов не позволяет получить точного решения уравнения Шредингера. Поэтому прибегают к приближенным методам решения этого уравнения. [c.109]

Рис. 10.18. Зависимость вероятности ионизации основного состояния атома водорода в единицу времени от интенсивности излучения. Расчет работы [ 10.66] методом численного решения уравнения Шредингера для частоты поля и) = 0,65 а.е.

Существенным преимуществом представления (5) является возможность применения мощных методов теории КП для отыскания приближенных решений уравнения Шредингера. [c.382]

Поскольку точное решение КВ-уравнения Шредингера для многоатомной молекулы получить не удается, то приходится применять приближенные методы, рассмотренные в п. 2.1. Их применение дает возможность анализировать отдельные частотные диапазоны в КВ-спектре молекул при помощи эффективных операторов. Характерной особенностью такого оператора является то, что множество его собственных значений совпадает с каким-либо подмножеством собственных значений КВ-гамильтониана, а процедура решения уравнения Шредингера с эффективным оператором проще, чем с исходным КВ-гамильтонианом. [c.41]

В основе наших представлений о твердом теле лежат два ОСНОВНЫХ понятия представление о многочастичной системе и симметрия кристаллической решетки. Свойства симметрии суш,е-ственны для упрош,ения математического описания. Большая информация может быть получена при использовании всех свойств симметрии без количественного решения уравнения Шредингера. Поэтому мы используем вспомогательные методы теории групп. Этим методам посвящено Приложение Б. [c.17]

Такой метод решения уравнения Кортевега-де Вриза называется методом обратной задачи рассеяния, поскольку мы решаем задачу на собственные значения для уравнения Шредингера с потенциалом и 1, х), где I играет роль параметра. В квантовомеханическом урав- [c.401]

Рассмотрим для определенности изолированный атом серебра. Мы будем изучать электронные состояния с -симметрией, основываясь на методе самосогласованного поля. Таким образом, мы можем записать уравнение Шредингера для радиальной функции (2.51) при I = 2. Можно получить собственные состояния, интегрируя уравнение Шредингера при различных энергиях, исходя из начала координат и отыскивая такие решения и энергии, чтобы получающиеся волновые функции обращались в нуль на бесконечности, т. е. были бы нормируемыми. В атоме серебра двумя такими интересующими нас состояниями служат 3d- и 4( -состояния. Это изображено на фиг. 62, а вместе с суммой потенциала и центробежного слагаемого. Мы схематически изобразили также результат интегрирования уравнения Шредингера при энергии, лежащей между энергиями этих двух состояний. Получающаяся волновая функция на больших расстояниях нарастает экспоненциально. Мы изобразили, наконец, результат решения уравнения Шредингера при энергии, большей Eid (фактически большей энергии ионизации атома). Отвечающие положительным энергиям волновые функции на больших расстояниях осциллируют и имеют асимптотическую форму (2.50). Они отвечают состояниям рассеяния электронов, падающих на атом или ион серебра. [c.212]

В настоящем параграфе мы рассмотрим методом теории возмущений решение уравнения Шредингера ) [c.453]

Предыдущие рассуждения являются основой для прямого вариационного метода. Сужение класса функций до явно заданного и зависящего от параметра превращает решение уравнения Шредингера в задачу на отыскание минимума функционала. [c.119]

G1.3. Решения уравнений движения. В этом пункте мы рассмотрим решения уравнения Шредингера (G1.2-2, G1.2-S), во основные методы применимы также и к (G1.2-3) и т. п. [c.220]

В настоящей главе (как и в гл. 8—10) потенциал С/ (г) считается заданной функцией. Это означает, что либо мы проводим первую стадию итерационной процедуры, либо нам настолько хорошо удалось угадать вид потенциала V (г), что он с самого начала является в достаточной мере самосогласованным. Надежность описываемых ниже методов ограничена не только точностью вычисления решений уравнения (11.1), которая может быть чрезвычайно высокой, но и точностью, с которой мы можем определить потенциал С/ (г). Получающиеся в результате значения 8 (к), к сожалению, довольно чувствительны к ошибкам в построении потенциала, поэтому часто оказывается, что в конечном счете точность рассчитанной зонной структуры ограничена не трудностями решения уравнения Шредингера (11.1) для заданного II, а проблемой нахождения потенциала. Это хорошо видно из фиг. 11.1. [c.196]

Метод ППВ есть попытка аппроксимировать точное решение уравнения Шредингера (11.1) для кристалла линейной комбинацией ППВ с одинаковой энергией. Поскольку для любого вектора К обратной решетки ППВ [c.204]

Как и в разложении (10.31), символом Ь здесь обозначена пара квантовых чисел момента количества движения I, т). Теперь надо решить уравнение (10.70) относительно функции 1 )-Но по существу это не более чем задача о решении уравнения Шредингера для радиальных функций (10.32). Используя различные тождества, которым удовлетворяет -матрица, мы можем установить связь разложения (10.72) с выражением (10.35), возникающим в методе парциальных волн для матричных элементов в представлении орбитальных квантовых чисел [c.489]

Эффект насыщения можно также изучать методами квантовой теории на основании решения уравнения Шредингера для двухуровневой системы с учетом ее взаимодействия с полем излучения [c.197]

Эта идея лежит в основе метода Рэлея—Шредингера —метода Получения приближенного стационарного решения уравнения Шредингера, при котором раскладывается не только волновая функция, но также и энергетический уровень (Шредингер [1926]). Эту же идею применил Стокер [ 1957] при исследовании волн конеч- [c.67]

Применим методы квантовой механики к решению задачи о дейтроне, считая для простоты исследования,, что ядерные силы, действующие между пир, имеют центральный характер, т. е. потенциальная энергия взаимодействия V (г) зависит от расстояния между нуклонами. Уравнение Шредингера для системы р—п запишется [c.154]

Зная, что решение невозмущенного уравнения Шредингера имеет вид функций Блоха, и пользуясь методами теории возмущений, можно найти собственное значение энергии и собственные волновые функции уравнения (7.104). [c.236]

Итак, мы получили возмущенное уравнение Шредингера в энергетическом представлении. Фактически (10.1.9) есть не одно уравнение, а система уравнений. Подчеркнем, что эта система удобнее, нежели уравнение (10.1.3), поскольку, решая ее, мы сразу определяем амплитуды переходов а п,. Весьма существенно, что в процессе решения системы (10.1.9) можно обычно пользоваться методом возмущений. [c.243]

Решение. Перейдем от (3/ — 3) координат ( 2, 2, Z2. .. Zi) к (3/ — 3) координатам (I2, S2, , С/)- Поскольку все координаты декартовы, заменим их непосредственно в уравнении Шредингера (т. е. по методу I). [c.138]

Более глубокая аналогия существует между методом отбора решений уравнения Лиувилля с помощью бесконечно малого источника и методом, который применяется в квантовой теории рассеяния для формулировки граничных условий к уравнению Шредингера [83]. [c.119]

Хотя к решению уравнения Шредингера косвенным методом вынуждает пас практическая необходимость, это естественный путь к пониманию решений. Суть состоит в том, что в процессе выбора приближений используется много понятий, проливающих свет на природу поведения ядер и электронов в молекуле. Некоторыми из таких наиболее важных понятий являются электронное состояние, молекулярная орбиталь, поверхность потепциаль-1юй энергии, равновесная конфигурация ядер и функция диполь-ного момента. Когда мы говорим, что понимаем решение, мы имеем в виду, что можем предсказать схему уровней энергии и вид волновых функций данной молекулы без решения уравнения [c.130]

Значительно удобнее метод присоединенных плоских волн, идея которого основана на том, что внутриостовная часть плотности валентных электронов обладает сферической симметрией. Поэтому целесообразно разделить потенциал на две части вну-триостовную атомную — сферически симметричную, для которой известно точное решение уравнения Шредингера, и между-остовную, для которой можно использовать приближение плоских волн. Затем следует надлежащим образом непрерывно сшить оба решения. Этот метод понижает порядок соответствующего векового уравнения с 10 до 20. Известен ряд других способов нахождения псевдопотенциала (метод ортогонали-зованных плоских волн, метод ячеек, метод рассеяния и др.), позволяющих определить псевдопотенциал примерно с одинаковой степенью. [c.58]

Теоретические методы изучения взаимодействия электромагнитного излучения с атомами основаны на тех или иных приближениях для решения уравнения Шредингера для системы атом + поле излучения . Так как поле электромагнитного излучения включается и выключается, то нестационарное уравнение Шредингера с начальным условием, соответствующим отсутствию электромагнитного поля, представляет собой задачу Когии (т.е., задачу нахождения решения уравнения, удовлетворяющего определенным начальным условиям). Ее решение раскладывается по невозмущенным собственным волновым функциям системы после выключения поля, и определяются вероятности различных переходов. При этом поле электромагнитного излучения предполагается классическим, что соответствует реальной постановке экспериментов по взаимодействию лазерного излучения с атомарными системами. [c.27]

Рассматривая простые металлы, мы требовали, чтобы состояния сердцевины были собственными состояниями гамильтониана в металле. Для металлов, подобных меди, мы не можем включить атомные d-состояния в число состояний сердцевины , так как они не являются решениями уравнения Шредингера в металле, и в то же время состояния d-типа достаточно сильно локализованы, так что их разложения по плоским волнам сходятся довольно медленно. Таким образом существенное преимущество метода псевдопотенциалов при конструировании состояний d-типа теряется. С точки зрения разложения по переполненной системе функций кажется естественным попытаться описать переходные металлы, используя переполненную систему, включающую не только плоские волны и волновые функции сердцевины , но также и атомные d-функции. Хотя атомные d-состояния и не являются собственными состояниями гамильтониана в металле, но вполне возможно, что они как раз дадут дополнительные члены, которые необходимы для получения быстро-сходящихся разложений волновых функций d-типа. Действительно такой метод был с успехом использован Диганом и Твоузом 1501, которые обобщили метод OPW применительно к расчету зонных структур переходных металлов. [c.226]

В настояш ее время развиваются различные способы для устранения погрешностей самого МТ-приближенпя, например, [247—249] и ссылки в [249]. Но даже есдп такой НМТ-потенциал построен, то решение уравнения Шредингера для него представляет собой трудную задачу. На эту тему выполнен ряд интересных работ. В частности, проведено [250, 251] обобщение метода фазовых функций на случай сферически-несимметричных потенциалов. Имеется серия работ [252—258], основанных на идее [259] замены орбитальных квантовых чисел I, т для сферически-симметричного рассеивателя на новые квантовые числа, в представлении которых матрица фазовых сдвигов снова становится диагональной. (Так как для несферического рассеивателя орбитальный момент количества движения перестает быть интегралом движения, то матрица фазовых сдвигов в представлении орбитальных чисел I не может быть диагональной.) Однако все эти методы весьма сложны и не получили широкого распространения. [c.120]

Основная идея этой аппроксимации заключается в следующем. Как известно, метод квазиклассической квантовой механики (Вентцель—Бриллюен—Крамере, ВБК) дает возможность отыскания приближенных решений уравнения Шредингера в случае больших мвантовых чисел. Применяя общую идею этого метода, можно искать решение для уравнения Бесселя [c.113]

Метод разложения, описанный в этом пункте, называется методом Рэлея—Шредингера. Он был развит Шредингером [1926] для исследования стационарных решений уравнения Шредингера. За большей библиографией и более полным изложением мы отсылаем читателя к книге под редакцией Уилкокса [1966] и к статье Хиршфельдера [1969]. [c.84]

Маккелви [L955] выразил асимптотические решения задачи с точкой возврата второго порядка (т. е. при а = 2) через функции Уиттекера. Задача с точкой возврата второго порядка возникает при рассмотрении дифракции на эллиптических цилиндрах с почти единичным эксцентриситетом (Гудрич и Казаринов [1963]) и при решении уравнения Шредингера (Фосс [1933]). Первое исследование задачи с точкой возврата второго порядка провел Голдстейн [1931] с помощью метода сращивания асимптотических разложений, как это сделано в п. 7.3.1. [c.370]

Зонная теория [13, 14]. Трудно ожидать, что представление о свободных электронах будет одинаково хорошим приближением для всех металлов. Соотношение (8.6), определяющее уровни энергии, справедливо лишь для частицы в поле с постоянным потенциалом, тогда как на самом деле потенциальная энергия электрона в металле не постоянна, а зависит как от строения иоиной решетки, так и от состояний других электронов. Определение ее точного вида приводх1т к задаче самосогласованного поля, подобной рассмотренной Хартри. Решение Зоммерфельда, исходившего из предположения о постоянстве потенциала, является, по сути дела, первым приближением к решению такой задачи. Второе приближение можно построить, предполагая, что потенциал, обусловленный самими электронами, постоянеп, и учитывая в уравнении Шредингера лишь иоле положительных ионов решетки. Для приближенного решения соответствующего уравнения Шредингера были предложены различные методы, позволяющие провести хотя бы качественное обсуждение поведения электронов в реальных металлах. [c.324]

Нелинейное уравнение Шредингера (НУШ) (5.1.1) принадлежит к специальному классу уравнений, которые можно точно решить, испо зуя метод обратной задачи рассеяния (ОЗР). Этот метод был открыт Гарднером и др. [37]. Захаров и Шабат [34] использовали его для решения НУШ данный метод стал важным инструментом в математической физике [1-5]. Метод ОЗР по духу похож на метод преобразования Фурье, который обычно используют для решения нелинейных уравнений в частных производных. Этот подход состоит в определении подходящей задачи рассеяния, потенциал которой и есть искомое решение. Значение поля входного излучения (z = 0) используется для получения начальных данных рассеяния, динамика которых вдоль оси Z легко находится из решения линейной задачи рассеяния. Поскольку метод ОЗР в деталях изложен во многих книгах [1 -5], мы лишь кратко опишем, как он используется для решения уравнения (5.1.1). [c.111]

Кроме статистически усредненной обменно-корреляционной поправки, метод Ха использует еш е приближение самосогласованного потенциала, впервые введенного при расчете энергетических зон кристалла и называемого потенциалом muffin—tin (дословно — противень с углублениями для выпечки сдобы). В этом приближении каждый атом окружают сферой, принимая потенциал внутри нее равным среднему из значений истинного потенциала на сфере. Вне атомных сфер потенциал полагают постоянным. Всю молекулу по-меш ают внутрь ограничивающей сферы, за которой потенциал полагают сферически симметричным и плавно понижающимся. Уравнение Шредингера для молекулы решают с помощью так называемого кластерного метода многократного рассеяния (отсюда сокращение SW в названии метода). Он сводится к решению сферически симметричных уравнений Шредингера для атомных и молекулярной сфер и сшиванию полученных функций на границах сфер с плоскими волновыми функциями, описывающими движение электронов в пространстве между атомными сферами. Хотя расчеты кажутся сложными, метод S F — Ха — SW хорошо запрограммирован, и это позволяет ускорить вычисления по сравнению с методом МО LGAO в 100— 1000 раз. [c.141]

Выражения для Т, 71 и 71 через углы Эйлера зависят от выбора соответствия осей а, Ь и с осям х, у и z на рис. 7.1. Независимо от используемого соответствия путь решения вращательного уравнения Шредингера заключается в составлении матрицы гамильтониана на базисе волновых функций симметричного волчка и ее приведении к диагональному виду для получения энергий и волновых функций. Волновые функции получаются в виде линейной комбинации волновых функций симметричного волчка с коэффицентами, зависящими от Ле, Be и Се. Продемонстрируем этот метод, пользуясь соответствием Г, а результаты, получаемые при использовании соответствия ИК, кратко обсудим в конце этого раздела. Для соответствия I гамильтониан асимметричного волчка равен [c.204]

Не будем останавливаться на вопросе о том, когда и при каких опытах аналогичное предположение правильно и должно быть сделано. Отметим лишь, что суш ествуюш ая в указанном смысле промежуточная область, лежащая между квантовой и классической областями, не может быть рассмотрена суиде-ствуюпдими полуклассическими методами. Последние являются методами приближенного решения уравнения Шредингсра, и дают лишь следствия этого уравнения. Для рассматриваемой же промежуточной области характерно именно отклонение от выводов из уравнения Шредингера. [c.167]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...