Вернули теорема уравнение

Если мы хотим, чтобы при этом движение по-прежнему определялось из уравнений Лагранжа однозначно (по начальным данным), то мы не можем произвольным образом, без всяких ограничений, постулировать лагранжиан L как функцию q, q w t. Действительно, основная теорема лагранжева формализма была доказана в предположении, что кинетическая энергия, а значит и лагранжиан, имеет вполне определенную структуру. Если лагранжиан задается каким-либо иным образом и имеет другую структуру, основная теорема лагранжева формализма, вообще говоря, не выполняется. Следовательно, вообще говоря, уравнения Лагранжа, полученные при этой иной функции Лагранжа, могут оказаться неразрешимыми относительно старших производных, и для них уже не будет верна теорема о существовании и единственности решения при заданных начальных данных. Для того чтобы сохранить это важное свойство уравнений Лагранжа, надо ограничить выбор лагранжиана L при его аксиоматическом задании. Легко видеть, что это ограничение должно быть представлено в форме [c.165]

Доказательство теоремы моментов количеств движения или кинетических моментов. Вернемся к уравнениям (1). Умножим первое из них на —у, второе т х и сложим тогда получим [c.34]

Теорема Кастильяно. Вернемся к уравнению (20.16) и напишем его для случая упругой среды Гука [c.73]

Этот результат является непосредственным следствием уравнения (68.4). Поле вектора X вырождается в тех случаях, когда rot Я) = 0. когда м X v = О или когда векторы rot to и О) X V параллельны. В первых двух случаях поле вектора rot (О потенциально и применима предыдущая теорема Бернулли. Наконец, если векторы rot ад и (О X v параллельны, то из уравнения (68.4) непосредственно следует, что верна теорема Бернулли в ее классической формулировке, т. е. что функция Н постоянна на линиях, тока и вихревых линиях. [c.248]

Вернемся к уравнениям в перемещениях (4). Если предположить, что функция температуры принадлежит классу С то перемещения должны принадлежать классу С . Напряжения тогда принадлежат к классу в соответствии с требованием, принятым при доказательстве теоремы единственности. Для решения системы (4) с граничными условиями (5) и (6) можно воспользоваться аналогией массовых сил, описанной в 8.1. Формулируем теперь эту аналогию следующим образом. [c.481]

Качественные свойства. Очевидно, что гиперболическая система (7) является симметрической (см. 7). Поэтому для нее справедливы все выводы, полученные для уравнений одномерного движения в 15. В частности, верны теоремы единственности решения задач Коши и Гурса, а также некоторых смешанных задач. Теорема существования гладкого решения. [c.264]

Второй закон динамики и полученные из него выше уравнения и теоремы верны только для так называемого абсолютного движения точки т. е. движения по отношению к инерциальной ( неподвижной ) системе отсчета. [c.223]

С другой стороны, выпуская движение из точки a = (q, q ) в силу условия теоремы получаем, что обязательно существует такой конечный момент времени (, для которого d (/)/Л < О (здесь ( ) — значение энергии в движении Р ). Поэтому Е (t) а Е . Следовательно, значения энергии в движениях Р и в движении Р в момент времени t отличаются на конечную величину Е — Е ), несмотря на то, что начальные точки (<7 qs) и q, q ) этих движений сколь угодно близки, а это противоречит теореме о непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений от начальных данных. Уравнения же Лагранжа всегда алгебраически разрешимы относительно старших производных, и предполагается, что для них теорема эта верна. Мы пришли к противоречию, показывающему, что предположение >0 ошибочно. Теорема доказана. [c.232]

Удовольствуемся пока настоящей, простейшей трактовкой теоремы Карно для случая прямого удара двух тел. Теорема эта на самом деле имеет гораздо более общее значение в динамике систем материальных точек и твердых тел. К этому вопросу мы еще вернемся при описании применений общего уравнения динамики несвободной системы ( 156). [c.240]

Вернемся теперь к теореме об изменении кинетической энергии точки. Для консервативных сил уравнение (6, 107) на основании равенства (4, 108) может быть записано в виде [c.666]

В гл. 4 была рассмотрена в элементарном изложении теория устойчивости упругих стержней. Особенность этих задач состояла в том, что уравнения равновесия составлялись для деформированного состояния стержня, т. е. по существу речь шла о геометрически нелинейных задачах. Вариационные уравнения, описанные в 8.7, эквивалентны геометрически линейным уравнениям теории упругости, для которых доказана теорема единственности. Поэтому никакие задачи устойчивости с помощью этих вариационных уравнений решать нельзя. Здесь мы постараемся распространить вариационные уравнения на геометрически нелинейные задачи. Существо дела состоит в том, что уравнения статики должны составляться не в исходной системе координат, например декартовой, а в той криволинейной системе координат, в которую превращается исходная вследствие деформации. Прямой путь получения таких уравнений довольно сложен, поэтому нам будет удобно вернуться к выводу 7.4, где напряжения определялись по существу как обобщенные силы, для которых компоненты тензора деформации служили обобщенными неремещениями. Пусть тело, ограниченное поверхностью [c.390]

Но полученные в п. 86-88 теоремы динамики вытекали из уравнений (1). Следовательно, все сформулированные выше теоремы динамики будут верны и в неинерциальной системе отсчета, если к силам, приложенным к системе, добавить переносные и кориолисовы силы инерции для ее точек. При этом силы инерции следует формально относить к внешним силам. [c.171]

Обычно в теории колебаний уравнение (III.15) является частотным уравнением соответствующей колебательной системы, числа равны квадратам собственных частот, а числа определяют v-ю форму свободных колебаний. Однако (и это важно для дальнейшего) и в том случае, когда некоторые из корней уравнения (II 1.15) отрицательны и, стало быть, не равны квадратам собственных частот, сформулированная теорема также верна. [c.117]

Если верно предположение о справедливости теоремы 2 для неоднородного винтового потока, то интегрирование уравнения (1.13) вообще не может дать что-либо похожее на течение реальной жидкости даже вне пограничного слоя. [c.21]

Разрешите начать с максимально сжатого изложения сущности подхода к этой проблеме, разработанного еще Больцманом. Даже сегодня работа, выполненная в этой области Больцманом, остается основополагающей. Хорошо известно, что существенным элементом, определившим возможность доказательства Больцманом, Ж -теоремы, явилась замена им точных уравнений динамики (как они выражены уравнением Лиувилля, к которому я вернусь ниже) кинетическим уравнением, выражающим зависимость функции распределения / скоростей молекул [c.144]

Кроме того, мы встречаемся и с теоретическими затруднениями. Наиболее серьезным из них, по-видимому, является парадокс об обратимости, сформулированный Лошмидтом. Сущность этого парадокса сводится к следующему при обращении скоростей молекул система должна вернуться в исходное состояние. Ясно, что во время возвращения ее к начальному состоянию, Ж"-теорема Больцмана (уравнение (31)) [c.145]

Вернемся к оболочкам положительной кривизны. Если один из краев такой оболочки закреплен от тангенциальных смещений, то независимо от того, имеются ли другие края, и от того, как они закреплены, ее срединная поверхность не может иметь изгибаний. Этот факт известен. Он относится к любым поверхностям положительной кривизны и очевиден с точки зрения теории дифференциальных уравнений, так как построение изгибаний при таком закреплении края сводится к однородной задаче Коши. Из сказанного вытекает, что по теореме о возможных изгибаниях ( 15.21) решение полной краевой задачи безмоментной теории для оболочки, рассмотренной в предыдущем параграфе (один край свободен от тангенциальных закреплений, а второй — заделан в обоих тангенциальных направлениях), должно существовать и быть единственным. Однако это утверждение может оказаться и неверным, и чтобы разобраться в получающемся несоответствии, вернемся еще раз к задаче построения аналитической функции по условию (18.38.4). [c.269]

Теорема 10.2 показывает, что если уравнение (10,1) имеет замкнутую интегральную кривую, то его число вращения рационально. Оказывается, верно и обратное. [c.154]

Следствие 3. Требование положительной определенности матрицы К может быть заменено требованием неотрицательности (г, Кг) > О при любом г. В самом деле, утверждение теоремы верно, когда некоторые из собственных чисел матрицы К сколь угодно малы. В силу непрерывной зависимости корней характеристического уравнения от его коэффициентов утверждение теоремы верно и в пределе, т.е. для случая, когда некоторое количество собственных чисел матрицы К нулевые. [c.193]

Теорема единственности. Решение уравнений теории упругости [уравнений Ламе (14) или уравнений в напряжениях (12) гл. 1, (17)] для рассмотренных выше основных задач является единственным (с точностью до перемещений твердого тела). Эта теорема верна при не слишком больших нагрузках — пока можно не учитывать изменений в конфигурации тела при составлении уравнений равновесия. Для гибких тел возникновение новых форм равновесия при достаточной интенсивности нагрузок является весьма важным для решения вопросов прочности. [c.30]

Уравнения первого приближения (уравнения в вариациях) для исследования окрестности точек либрации L и б ограниченной эллиптической задачи трех тел составляют линейную систему с 2л-периодическими (относительно истинной аномалии возмущающих тел) функциями, поэтому даже в первом приближении вопрос об их устойчивости представляется весьма сложным. Для близкого к единице эксцентриситета орбит возмущающих масс точки либрации L и Ц неустойчивы в смысле Ляпунова [85]. Здесь же сформулирована теорема об устойчивости, которая оказывается верной лишь с точностью до первой степени эксцентриситета орбит возмущающих масс. Этот результат согласуется с результатами исследования Ляпунова [64]. В дальнейшем многие исследователи [86], [129], [130], [131] и др., пользуясь аналитическими или численными методами, строили области устойчивости и неустойчивости на плоскости параметров 1, е (ц — малая возмущающая масса, е — эксцентриситет ее орбиты) для линеаризованной системы уравнений (уравнений первого приближения). В нелинейной постановке при малых е [c.846]

Введя понятие центра масс механической системы, вернемся к теореме об изменении вектора импульса (9.10). Подставляя в указанное равенство новое определение импульса механической системы (10.3), получим уравнение [c.71]

Уравнение (10.20) есть интегральное уравнение задачи (7J если m отлично от характеристических значений (от частот собственных колебаний) задачи (D ), что мы предполагаем, как в 1, то согласно теореме 12 10 гл. VI уравнение (10.20) разрешимо и имеет единственное решение, которое строится по первой теореме Фредгольма. Нужно показать, что это решение является одновременно и решением функционального уравнения (10.192). Рассмотрим сначала случай трех измерений и допустим, что доказываемое предложение не верно тогда, введя обозначение [c.328]

Теорема 3. Если решение системы уравнений (5) в окрестности центра течения трижды непрерывно дифференцируемо, то для него верны равенства (13), а коэффициенты в представлении (12) таковы [c.293]

Значение функции ср, которая удовлетворяет всюду в замкнутом односвязном пространстве 5 уравнению = О, можно выразить как потенциал вещества, распределенного по поверхности 5. В некотором смысле это верно также и для класса функций, которыми мы теперь занимаемся и которые удовлетворяют уравнению у2<р- - 2<р = 0. Последующее доказательство принадлежит Гельмгольцу ). В силу теоремы Грина, если ср и обозначают какие-нибудь две функции X, у, г, то [c.145]

По теореме о единственности решений дифференциальных уравнений равенство (11) справедливо при всех t, если оно верно хотя бы при одном значении, например при i = 0. Поставим вопрос, имеет ли система (1) периодические решения для несколько измененных начальных значений а. [c.190]

Методы, позволяющие решать задачи теории колебаний распределенных систем, не прибегая к их замене дискретными системами, разработаны еще недостаточно. Наметн.м идею одного нз таких методов. Вернемся к уравнению (32). Допустим, что оператор L является линейным оператором по переменным х, у и z и линейным дифференциальным оператором по времени / при этом время t явно в выражение для оператора не входит. Предположим, что оператор I переводит любую функцию q с ограниченным квадратом в функцию w, квадрат которой также ограничен. Больше никаких ограничений иа оператор не накладывается. Пусть, далее, нагрузка q является эргодической стационарной случайной функцией от вр емени t и произвольной случайной функцией с ограниченным средним квадрато.м от координат х, у, г. По теореме Хинчина [c.536]

Аналогичная теорема верна для уравнений с комплексным временем, только V и А являются областями в С и С соопгвет-ственно (а—-комплексная размерность пространства параметров), а вектор-функция V голоморфна в области, принадлежа-]щей прямому произведению Сх1/хЛ. [c.22]

В обш ем случае система уравнений (8.30) имеет несколько решений. При наличии принятой по условию баротропии изменение всех характеристик движения вдоль линий тока непрерывно (условием о баротропии появление скачков уплотнения исключается). В некоторых случаях, в частности, при больших сверхзвуковых скоростях обтекания, предположение о баротропии слишком сильно, так как в рамках теории идеального газа нельзя построить теоретически непрерывных обтеканий в этих случаях теорема Жуковского не верна, и поэтому мы ограничиваемся только непрерывными баротропными и, в частности, адиабатическими движениями в указанной выше области. [c.86]

Пфаффова форма р,. dq — Н dt. Вернемся к теореме об эквивалентности ( 16.3). Мы видели, что уравнение Пфаффа [c.301]

Если по приведенной общей теореме из двух интегралов найден третий, то из этого последнего и одного из прежних находится четвертый и т. д. пока не вернемся к одному из данных. Существуют интегралы, которые при этой операции исчерпывают всю систему интегральных уравнений, в то время как для других цикл замыкается раньше. Смысл этой основной теоремы, известной уже в течение 30 лет, был в супщости скрыт. Она была открыта Пуассоном и была также известна Лагранжу, который пользовался ею как вспомогательной теоремой во второй части Аналитической механики появившейся только после его смерти. ) Но этой теореме придавалось всегда совершенно иное значение она должна была только показывать, что в некотором разложении известные члены не зависят от времени, и увидеть в ней ее теперешнее значение было не так легко. В этой теореме заложен в то же время фундамент для интегрирования дифференциальных уравпетшн в частных производных первого порядка. [c.8]

Пусть срединная поверхность оболочки представляет собой полную (замкнутую) сферу и поверхностная нагрузка отсутствует (Xj = Xj = Z = = 0). Из теоремы единственности ( 5.32) вытекает, что для такой оболочки моментные уравнения будут иметь лишь тривиальные (нулевые) решения. Это утверждение остается верным (хотя и не таким очевидным) и для безмо-ментных статических уравнений. Действительно, решение последних в рассматриваемом случае определяется комплексной функцией напряжения г (Z), которая ( 13.4) должна быть аналитической во всей плоскости и иметь нули в точках t = О, = оо. По теореме Лиувилля она тождественно равняется нулю, что согласно формулам (13.4.2) и означает обращение в нуль напряженного состояния оболочки. [c.230]

В случае газа мы можем конкретизировать зависимость энер-1 ии состояния от определяющих это состояние переменных величин. Принимаем Г и F за независимые переменные и сначала докагкем, что энергия является функцией температуры Г и не зависит от объема. Подобно лшогим другим свойствам газов это свойство лишь приближенно верно для реальных газов. Предполагается, что точно оно выполняется для идеальных газов. В разделе 14, исходя из второго закона термодинамики, мы сделаем вывод, что энергия любого тела, подчиняющаяся уравнению состояния идеального газа (7), не должна зависеть от объема V. Сейчас, однако, мы приведем экспериментальное доказательство этой теоремы для газа зксперименты были выполнены Джоулем. [c.25]

Вернемся к динамике твердого тела. Теорема С. В. Ковалевской о мероморфных общих решениях была существенно усилена А. М. Ляпуновым [42] и Г. Г. Аппельротом [43], доказавшим, что общее решение уравнений движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки представляется однозначными (е частности, мероморфными) функциями времени только в классических случаях Эйлера, Лагранжа и Ковалевской. В этих случаях дополнительные интегралы, как и классические интегралы, являются многочленами, т. е. рассматриваемые как функции многих комплексных переменных, они однозначны в прямом произведении комплексных плоскостей. Эти результаты указывают на целесообразность расширения задачи Пенлеве какова связь между существованием новых однозначных интегралов и однозначностью общего решения [c.128]

Проблема точного интегрирования уравнений динамики — одна из самых популярных тем исследования, начиная со знаменитых Математических начал натуральной философии Ньютона. Руководящей идеей в этом круге вопросов является общая идея симметрии. При решении задачи о центральном движении Ньютон уже использовал соображения симметрии факторизуя орбиты группы вращений, он свел эту задачу к изучению движения по прямой в потенциальном поле. Впоследствии Лагранж и Якоби заметили, что классические интегралы задачи многих гравитирующих тел связаны с инвариантностью уравнений движения относительно группы преобразований Галилея. Это фундаментальное наблюдение обобщено Эмми Нётер каждой группе преобразований, сохраняющих действие по Гамильтону, отвечает интеграл уравнений движения. Верно и обратное фазовый поток уравнений Гамильтона, в которых гамильтонианом служит известный интеграл, переводит решения исходных уравнений движения в решения тех же уравнений. На этой идее основано доказательство известной теоремы Лиувилля о полной интегрируемости уравнений Гамильтона фазовые потоки инволютивных интегралов попарно коммутируют и порождают абелеву группу симметрий максимально возможной размерности на многообразиях их совместных уровней. [c.6]

Существуют определенные ситуации, когда неравенство из теоремы 8.3.1 становится равенством. Один из примеров — растягивающие отображения окружности (см. следствие 3.2.4). Это верно и для произвольных растягивающих отображений компактного многообразия (см. упражнение 8.3.2). Другой пример — отображение /(z) = z , рассмотренное в п. 8.2 в, как и всякое отображение вида /(z) = z" для любого п. Значительно более общая ситуация включает произвольные рациональные отображения римановой сферы, т. е. отображения вида /(z) = где Р и Q — взаимно простые полиномы, хотя здесь мы можем докайть лишь одно неравенство. Такие отображения характеризуются как голоморфные отображения римановой сферы в себя. Так как эти отображения сохраняют ориентацию, их степень равна числу прообразов регулярной точки, т. е. числу решений уравнения [c.324]

Аналогичные теоремы верны для дифференциальных уравнений на торе. Они следуют из предыдущих теорем и замеча- [c.49]

Эта теорема легко доказывается, подобно обычной лемме Морса, гомотопическим методом. Единственным новым ингредиентом является построение эквивариантного решения гомотопического уравнения усреднением по компактной группе. Детали доказательств теорем 1 и 2 изложены в [1]. Обе теоремы верны в голоморфном, аналитическом и гладком случаях. [c.77]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...