Свободные Уравнения в перемещениях

В таком деформированном состоянии находится бесконечный цилиндр, свободный от нагрузок на боковой поверхности и находящийся под действием массовых сил X = (Xi, Х2, 0), не зависящих от переменной х . К уравнениям в перемещениях (9), описывающим деформированное состояние цилиндра, следует добавить граничные условия. Эти условия принимают вид [c.307]

Свободные колебания с демпфированием можно рассматривать, используя вместо уравнений движения в усилиях уравнения в перемещениях. При указанном подходе дифференциальные уравнения принимают вид [c.237]

На свободно опертой балке (рис. А.4.2.6) закреплены три массы в точках, отстоящих друг от друга и от концов балки на четверть ее длины. Используя в качестве координат перемещений малые смещения у и г/з, определить собственные значения и собственные векторы для этой системы с помощью уравнений в перемещениях. Принять, что гпу= П12 тз т и что невесомая призматическая балка имеет жесткость при изгибе Е1. [c.256]

Если статически неопределимая система подвергается только изменению температуры, то свободными членами канонических уравнений будут 8, , представляющие собой обобщенные перемещения, соответствующие t-той лишней неизвестной обобщенной силе в основной системе от изменения температуры. При одновременном действии на систему нагрузки и изменения температуры свободные члены в канонических уравнениях представляются суммой 8,р+8 ,. [c.322]

Рассмотрим геометрическую картину волновых фронтов в области л О (рис. 52). Выражения и и У] — вклад от продольной волны Р с уравнением фронта г = т, а выражения 2 и Уг дает поперечная волна 5, которая содержит волну с круговым фронтом г = ту и головную поперечную волну с прямолинейным фронтом т — X — У 1у — 1 = = 0. Головная поперечная волна 5 порождается бегущей продольной волной Р при ее взаимодействии со свободной поверхностью. Фронт головной поперечной волны касается окружности г = ту в точке 9 = 0о, в которой соз 00 = У . Следовательно, головная поперечная волна существует при 0 < 00- Отметим, что вектор перемещения имеет особенности порядка —1/г на фронтах продольной (г = т) и поперечной (г = ту ) волн. При этом на фронте поперечной волны г — ту , идущей за головной поперечной волной (т. е. при 0 <С 0о), эта особенность появляется при подходе к фронту с любой стороны. Необходимо отметить также наличие особенности на свободной поверхности в точке х = т/р, бегущей со скоростью волн Релея. Эта особенность имеет порядок —1 и присутствует только на свободной поверхности. Ее появление связано с наличием нуля з = р в выражении Р(з) в знаменателях функций и и у. [c.482]

Потребуем также, чтобы функция xi ) имела вид aDt,, где D —постоянная. Подставляя ее в приведенные выше равенства (90) и (91), мы видим, что момент, определяемый уравнением (91), будет равен нулю только в том случае, если D—действительное число. Следовательно, D и нужно принять таким. Рассматривая уравнение для перемещений (86), находим, что упомянутая функция, так же как и функция (а), используемые в качестве тф (z) или x z), дают иоле перемещений, свободное от разрывов. [c.209]

Определение коэффициентов и свободных членов уравнений. Коэффициенты и свободные члены в системе канонических уравнений представляют собой перемещения, которые могут быть определены по формуле Мора (формулы (15.87) и (15.86) с использованием приема Верещагина. [c.561]

Определение коэффициентов и свободных членов в канонических уравнениях метода перемещений. Коэффициенты и свободные члены в уравнениях (16.33) определим, выведя специальные формулы для гц и / /р, используя теорему о взаимности работ. [c.594]

При рассмотрении задачи в перемещениях дифференциальные уравнения свободных колебаний будут [c.359]

Для определения коэффициентов при неизвестных и свободных слагаемых в канонических уравнениях строятся эпюры реактивных изгибающих моментов от единичных смещений по направлению выбранных неизвестных 2, 2 и эпюра изгибающих моментов от воздействия внешней нагрузки. Все перечисленные эпюры (рис. 4, 5, 6) строятся в основной системе с использованием таблиц реактивных усилий метода перемещений (см. прил. 1). [c.8]

Формулы (7.3.4) можно при желаний уточнить следующим образом. Возвратимся к силовым уравнениям равновесия моментной теории, т. е. возьмем вместо (7.1.1)—(7.1.3) первые два равенства (6.44.1), отбросим в них свободные члены в силу (7.3.5) и будем считать, что N N2 известны. Тогда, использовав дополнительное равенство (7.2.1), получим систему из четырех уравнений для определения Ti, S i, Si , Т , в которой роль свободных членов играют некоторые выражения, содержащие N i, N2. Так же как это делалось в 7.2 при определении перемещений, примем, что эта система имеет решение, порядок которого равен порядку свободных членов, и сохраним только такие решения. Тогда будет справедливо соотношение [c.102]

Замечания. Следует обратить внимание, что включение в компоненты вектор-столбца обобщенных перемещений X (5.42) средних углов поперечного сдвига грь грг (а не углов поворота сечений 0ь 0г) возможно только для граничных условий свободного опирания. В этом случае разрешающие системы алгебраических уравнений не содержат особенностей при переходе к тонким оболочкам и дают результаты, соответствующие гипотезам Кирхгофа—Лява. При выборе обобщенных перемещений [c.237]

Рассмотрим систему неоднородных тел вращения с общей осью в цилиндрической системе координат rzQ, взаимодействующих посредством контакта. Контакт между отдельными телами осуществляется только по поверхностям вращения, занимая произвольную область поверхности. Между телами может быть установлен зазор или натяг по произвольному закону. Так как деформации и перемещения предполагаются малыми, то отклонениями тел от цилиндрической формы вследствие меняющихся в окружном направлении зазоров или натягов пренебрегаем. На части свободной поверхности могут быть заданы компоненты внешней нагрузки, имеющие размерность напряжений, на остальной — перемещения или смешанные граничные условия. Кроме того, конструкция может быть нагружена объемными силами и неравномерным температурным полем. Решение задачи осуществляется в перемещениях с использованием вариационного уравнения Лагранжа [c.157]

Колебания. Представим перемещение пластинки в случае свободных колебаний в виде ш os Тогда дифференциальное уравнение движения относительно амплитуды перемещений W имеет вид [c.196]

В работах [3] и [4] эффективность метода была затем улучшена путем выбора функций, линейно меняющихся на каждом граничном элементе. Неизвестные величины при этом соответствуют концам или вершинам углов элементов.- Записывая интегральные уравнения в этих точках, можно получить систему алгебраических уравнений. Интегрирование производится аналитически, при этом должное внимание следует уделить определению главных значений интегралов по Коши. Коэффициент при свободном члене более не обязан быть равным /гбг для трехмерной задачи свободный член вычисляется в явном виде в работе [4], для чего рассматривается перемещение твердого те.ла как целого. [c.112]

В предыдущей главе мы показали, что из принципа виртуальных перемещений можно получить все уравнения статики точно так же из общего уравнения динамики можно получить все уравнения динамики. Действительно, применим принцип освобождаемости, отбросим все связи, приложив к точкам системы реакции этих связей, и сообщим системе, которая теперь стала свободной, виртуальное поступательное перемещение вдоль оси Ох на величину бл мы получим тогда из (14.1) [c.389]

Следует подчеркнуть, что задача является статически неопределимой, граничные условия формулируются как в напряжениях, так и в перемещениях (скоростях перемещений). Условие несжимаемости приводит к тому, что объем выпучившегося материала равен объему внедренной части жесткого тела. Однако это интегральное соотношение вовсе не определяет границы выпучивания. Для определения границы выпучившегося материала следует использовать предположения о раснределении на ней поверхностных усилий (чаще всего поверхность выпучившегося материала свободна от поверхностных нагрузок), о характере взаимодействия тела и среды (тело может быть гладким, шероховатым и т. п.). Таким образом, ряд граничных условий в напряжениях формулируется на неизвестной границе, положение которой определяется кинематикой и статикой деформирования. Для решения задачи необходимо последовательное рассмотрение процесса вдавливания с использованием всей системы уравнений, связанной достаточно сложной совокупностью граничных условий. [c.358]

Как было отмечено ранее, всякое свободное тело в пространстве имеет возможность совершать шесть независимых перемещений. И если тело находится в покое под действием пространственной системы сил, то эта активная система сил должна удовлетворять шести уравнениям равновесия, т. е. не может быть произвольной. [c.39]

Свободно опертая балка (рис. А.3.3.6) имеет установленные в точках, отстоящих от концов и друг от друга на треть длины балки, сосредоточенные массы Шх и т.2. Предполагается, что призматическая балка имеет при изгибе жесткость /. Используя г/1 и г/2 в качестве координат перемещения, определить коэффициенты податливости и записать в матричной форме уравнения движения в перемещениях. [c.207]

Выше были обсуждены четыре способа исследования движений частного вида системы со многими степенями свободы (см. рис. 4.1, а) при наличии движения основания. Если использовать уравнения движения в усилиях, с помощью выражения (4.81) можно определить эквивалентные нагрузки для заданных перемещений, а с помощью выражения (4.86) те же нагрузки для заданных ускорений. Последняя процедура легче первой, однако при этом вычисляются динамические перемещения относительно движущегося основания. С другой стороны, когда записываются уравнения движения в перемещениях, зависящие от времени, свободные координаты перемещений, обусловленных перемещениями основания, определяются из выражения (4.88), а когда задаются ускорения перемещений, эти координаты определяются из выражения (4.93). Сравнивая оба выражения, видим, что первое удобнее второго. Более того, выражение (4.88) также проще, чем выражения (4.81) или (4.86), используемые в подходах с применением уравнений движения в усилиях. Следовательно, в том случае, когда заданы перемещения основания и не трудно определить податливости системы, предпочтительнее подход, основанный на использовании уравнений движения в перемещениях. Это, безусловно, справедливо и для показанной на рис. 4.1, а статически определимой системы, в которой возникают перемещения как абсолютно жесткого тела при движениях основания. Однако для статически неопределимых систем, как правило, удобнее методы, в которых используются уравнения движения в усилиях. [c.282]

Для того чтобы решить эту задачу с использованием уравнений движения в перемещениях, найдем из выражения (4.88) переносы свободных координат перемещения, обусловленные заданием основанию перемещения в виде ступенчатой функции [c.283]

Еще одна из систем, для которых уравнение движения имеет форму одномерного волнового уравнения, показана на рис.5.10, а. Система представляет собой предварительно растянутую, не обладающую жесткостью при изгибе нить, которая может свободно колебаться в поперечном направлении. Предполагается, что растягивающая сила S в нити остается постоянной при малых колебаниях в плоскости ху. Обозначим через у поперечное перемещение произвольной точки нити, отстоящей на расстоянии х от левого конца. На рис. 5.10, б показаны силы, действующие на малый элемент нити длиной dx, при этом основной интерес представляют проекции этих сил на ось у. При колебаниях сила инерции уравновешивается растягивающими силами, приложенными к концам малого элемента нити. При малых углах наклона из условий динамического равновесия следует [c.366]

Только четыре из этих уравнений могут быть удовлетворены четырьмя системами величин С, и Поэтому требованием равенства нулю осевого перемещения и как наименее существенным, в дальнейшем будем пренебрегать. Физический смысл этого состоит в том, что оболочка на свободно опертом конце остается круглой, но может свободно двигаться в осевом направлении. [c.366]

Рассмотрим еще один важный случай пространства кубических элементов, образованного функциями, у которых даже вторая производная непрерывна в узлах. Кусочно кубические функции с непрерывными вторыми производными называются кубическими сплайнами. Это пространство кубических сплайнов представляет собой подпространство эрмитовых кубических функций с новым ограничением в каждом из Л —1 внутренних узлов. Поэтому размерность подпространства сплайнов равна ЗЫ — 2(Л —]) = Л - -2. Это означает, что каждому узлу соответствует одно неизвестное, включая крайние точки Хо = О (где Уо = О, а наклон Vg можно считать свободным параметром) и л у+1 = л + /г (можно в качестве последнего параметра взять Во внутренних точках сетки неизвестными являются перемещения и , и уравнения метода конечных элементов будут опять выглядеть в точности как уравнения в конечных разностях. [c.77]

Рассмотрим теперь процесс остановки машинных агрегатов с механизмом свободного хода. В обычных машинных агрегатах (механизмах подъема, перемещения, поворота, изменения вылета кранов и др.) тормозное устройство, как правило, устанавливается на скоростном валу двигателя. В машинных агрегатах с обгонным механизмом тормоз должен устанавливаться на одном из валов ведомой системы. Это вносит некоторое изменение в исследование процессов торможения по сравнению с обычными механизмами. При исследовании будем полагать, что ведущая система не имеет своего тормозного устройства. Вся кинетическая энергия ее будет полностью поглощаться тормозом, установленным на ведомой системе торможение осуществляется механическим тормозом с постоянным мгновенно приложенным моментом торможения = = onst. Поэтому в соответствии с принятой схемой (рис. 117. — пунктирные стрелки), составляем уравнения движения [c.216]

Анализ уравнений и эксперименты показывают [25], что сила N увеличивает или уменьшает частоту свободных колебаний в зависимости от значений Hq/D и т. Следовательно, одна и та же пружина может иметь амплитудно-частотные характеристики, соответствующие жесткой и мягкой нелинейным системам соударение витков в процессе продольных колебаний предшествует развитию больших перемещений (5 0,2 Н), поэтому нелинейные срывы амплитуд не успевают развиться при достаточном отдалении от ш,,. Одно из колебаний под действием другого делается параметрическим и описывается уравнением Хилла. [c.53]

Дифференциальные уравнения и граничные условия. Различные варианты уравнений динамики оболочек приведены в гл. VIII. Для свободных колебаний (qj = 0) уравнения движения оболочек в перемещениях после выделения гармонического временного множителя могут быть записаны в форме [c.218]

Как уже говорилось, линеаризованные уравнений xarat возмоякность определить только форму потери устойчивости, а для определения зависимости нагрузка —перемещение при нагрузках, больше чем критические, необходимо решать задачу в нелинейной постановке. Приближенное решение такой задачи можно получить методом, изложенным в 7.4 для стержня. Из этого решения следует, что свободное кольцо на ранней закрити-ческой стадпи деформирования ведет себя так же, как стержень со свободно смещающимся в осевом направлении торцом (см. рис. 7.20, а), т. е. малейшее превышение критического значения нагрузки вызывает резкий рост перемещений. [c.220]

Подставляя выражение для w в условия на краях у— О и у = Ъ, получим четыре уравнения, из которых можно исключить постоянные А, А, В,. В (одна из этих постоянных — произвольная, что отражает тот факт, что критические напрАжения не зависят от величины перемещения), и записать, таким образом, уравнение относительно аир, откуда можно определить критические напряжения. Это уравнение совпадает с тем, что получается из определителя матрицы, соЬтавленной из коэффициентов четырех уравнений. В качестве простого примера возьмем случай, когда все четыре стороны пластины свободно оперты и, следовательно, краевые условия таковы при у = 0 ти у = Ъ w = d w/dy + + vd w/dx = 0 они удовлетворяются тождественно, если А = А = = В = О, sin рЬ =0. Отсюда следует, что р = гя/Ь приравняв эту [c.253]

Реакция обрыва цепи. Как было пэказано выше, при термоокислении в полимере количество пероксидных радикалов значительно больше, чем алкильных, поэтому существенное влияние на скорость окисления оказывает рекомбинация пероксидных радикалов по реакции (5), которая приводит к обрыву цепи. Гибель свободных радикалов в полимерах, облученных при температуре 77 К, особенно заметна в интервале размораживания подвижности макрорадикалов. Уменьшение концентрации радикалов ниже температуры стеклования полимера обычно имеет ступенчатый характер, т, е. при любой заданной температуре вплоть до температуры стеклования гибнет только часть радикалов. Выше температуры стеклования гибель свободных радикалов хорошо описывается уравнением второго порядка. Перемещение свободной валентности в полимере, приводящее к гибели свободных радикалов, может происходить в результате сегментальной подвижности цепи полимера, диффузии низкомолекулярных свободных радикалов, продуктов деструкции макромолекул или отрыва подвижного атома водорода у соседнего мономерного звена (эстафетное перемещение валентности R -f-RiH -i- RH + Ri), Эффективная энергия активации реакции рекомбинации пероксидных радикалов в полимере составляет 40. .. 130 кДж/моль (табл. 33.7), что заметно отличается от значений k , характерных для жидкой фазы (10. .. 30 кДж/моль) (3, 4]. [c.258]

Благодаря тому что лента касается ролика только одной (тыльной) стороной, она подвергается несимметричному сдвигу относительно оси X. При этом от действия сил прояв, яегся анизотропность свойств ленты, вызванная отсут> гвием ее свободного перемещения в зоне контактирования с роликом Такая зависимость выражена последним уравнением. В нем нормаль- [c.61]

Уравнения равновесия (1.2.17) и граничные условия (2.2.3) уже представлены в напряжениях. Деформации при заданном температурном поле определяются через напряжения с помощью соотношений (1.5.23). Для полной формулировки задачи термоупругостн в напряжениях необходимо из соотношений (1.2.2) по известным компонентам тензора деформации гц определить компоненты вектора перемещения u . Эти соотношения образуют систему шести неоднородных уравнений в частных производных относительно трех неизвестных функций их свободные члены ец являются однозначными функциями координат х , имеющими непрерывные производные до второго порядка. [c.41]

Если статически неопределимая система подвергается только изменению температуры, то свободными членами канонических уравнений будут 6,7, представляющие собой обобщенные перемещения, соответствующие г-той лишней неизвестной обобщенной силе в оснозной системе от изменения температуры. При одновременно.м действии на систему нагрузки и изменения температуры свободные члены в канонических уравнениях представляются суммой б,р + б/,. Учет влияния неточности изготовления элементов системы при ее монтаже производят введением в свободные члены канонических уравнений величины б,д, выражающей обобщенные перемещения, соответствующие г-той лишней неизвестной обобщенной силе в основной системе от неточности А изготовления элементов. Положительные или отрицательные значения и 6jA берут в зависимости от того, совпадают или противоположны направления этих перемещений с принятым направлением X,-. [c.263]

Неединственность решения статической линейной задачи может быть обусловлена тем, что равновесие тела нейтрально (неустойчиво). Это может случиться, например, при действии цепных сил (напряжений, входящих в качестве параметров в уравнения (3.2), которые оказываются линейными относительно дополнительных перемещений и напряжений, если цепные силы не зависят от искомых функций). При этом решение соответствующих динамических задач единственно. Действительно, если равновесие неустойчиво, то в отношении некоторых (низших) форм отклонения однородные уравнения допускают решения вида % (х, у, z) ехр (ant), Rea O или tVfi (х, у, г) (нейтральное равновесие). Предположим теперь, что уравнениям задачи с определенными начальными и граничными условиями удовлетворяют два решения, и рассмотрим их разность и (/, х, у, г), которая в силу линейности задачи удовлетворяет нулевым начальным и однородным граничным условиям. Предположим, кроме того, что степень неустойчивости (Rean) равномерно ограничена, т. е. Rea М, где М не зависит от п. Например, при изгибе стержня, свободно опертого в точках л = О, л и сжатого силой Q, уравнение [c.158]

W. Wallis h 12.212] (1956) исследовал влияние деформаций поперечного сдвига на свободные поперечные колебания пластин. Вводится поправочный коэффициент сдвига, характеризующий деформации сдвига компоненты вектора перемещений представляются в виде рядов по полиномам Бернулли. Задача приводится к решению бесконечной системы дифференциальных уравнений в частных производных. Для круговой пластины при малых относительных толщинах /г/г определены асимптотические значения собственных частот. [c.165]

Л. Е. Stoneking и А. Р. Вогез 3. 159] (1970) вывели в перемещениях уравнения свободных неосеаимметричных колебаний ортотропных оболо Чбк вращения с учетом эффектов поперечных сдвигов и инерции вращения. Ортотропия соответствует продольному или поперечному армированию оболочки волокнами. Авторы исходили из аппроксимаций компонент вектора перемещений полиномами, причем тангенциальные компоненты и и V изменяются по толщине по линейному закону, а поперечная W—по параболе [c.197]

В статьях Л. Е. Огеепзроп а [3.95—3.98] (1958) в постановке трехмерной теории упругости исследуются изгибные неосесимметричные колебания цилиндрической оболочки конечной длины при следующих граничных условиях на торцах О22 = иг=ие=0 и на внешней и внутренней поверхностях Ог0=аг0=0г2 = Р. Такие условия соответствуют случаю, когда края свободны для продольных перемещений и шарнирно закреплены относительно изгибных перемещений. Решения по 0 и 2 выбираются в виде произведения тригонометрических функций так, чтобы граничные условия на торцах удовлетворялись. Условия же на поверхностях приводят к частотному уравнению. Показано, что с увеличением относительной толщины область применимости классической теории смещается все дальше и дальше в сторону длинных волн. Теория типа Тимошенко редуцируется к точным решениям по частотам соответствующим выбором коэффициента сдвига. Необходимо отметить, что наличие коэффициента сдвига является недостатком теории, так как лишает возможности сделать какие-либо оценки. Кроме того, по фазовым скоростям нельзя судить об аппроксимации деформированного и напряженного состояния. Например, в работе [3.96] для толстой оболочки /г// =0.7 построено распределение перемещений и напряжений по толщине. Видно сильное отклонение от предположений теории оболочек о линейном распределении перемещений и напряжений и сггг=0- [c.203]

Ра зрушение льда. В результате действия вертикальной силы в ледяном покрове могут развиваться радиальные трещины. Из уравнения изгиба упругой пластины, лежащей на поверхности воды, следует, что в качестве естественной единицы длины можно взять X = [ /(12(1 - v )p )] / , где Ь - толщина льда V - коэффициент Пуассона р - плотность воды g - ускорение свободного падения, а перемещение можно представить в виде и =Ри/(р ), где о зависит лишь от длины радиальных трещин, отнесенной к X (обозначим ее через Ь), [c.18]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...