Уравнения в конечных разностях перемещениях

Особо следует упомянуть приближенные решения плоской задачи теории упругости способом замены дифференциальных уравнений метода сил или метода перемещений уравнениями в конечных разностях. В этом случае рассматриваемое тело заменяется соответствующей пространственной решеткой и для каждого телесного угла имеют место три уравнения в конечных разностях (см. главу IV). [c.66]

Применение уравнений в конечных разностях позволяет выразить вектор относительных ускорений точек системы в каждый текущий момент времени п через векторы относительных перемещений [c.546]

Рассмотрим еще один важный случай пространства кубических элементов, образованного функциями, у которых даже вторая производная непрерывна в узлах. Кусочно кубические функции с непрерывными вторыми производными называются кубическими сплайнами. Это пространство кубических сплайнов представляет собой подпространство эрмитовых кубических функций с новым ограничением в каждом из Л —1 внутренних узлов. Поэтому размерность подпространства сплайнов равна ЗЫ — 2(Л —]) = Л - -2. Это означает, что каждому узлу соответствует одно неизвестное, включая крайние точки Хо = О (где Уо = О, а наклон Vg можно считать свободным параметром) и л у+1 = л + /г (можно в качестве последнего параметра взять Во внутренних точках сетки неизвестными являются перемещения и , и уравнения метода конечных элементов будут опять выглядеть в точности как уравнения в конечных разностях. [c.77]

Для углового ребра необходимо дважды составлять дифференциальные уравнения один раз, полагая, что угловое ребро принадлежит одной грани, второй — другой грани, приравнивая левые части этих уравнений. Чтобы в уравнения не вовлекались перемещения углового фиктивного ребра, следует при вычислении производных в конечных разностях пользоваться формулами [c.356]

Подставляя зависимости (5.164) — (5.165) в уравнения движения (в дифференциальной форме или в форме принципа возможных перемещений) и используя метод конечных разностей, метод ко- [c.249]

Дифференциальные уравнения, записанные относительно двух компонент перемещений, заменяются разностными уравнениями, которые выводятся при помощи вариационного метода, основанного на минимизации полной потенциальной энергии. При этом граничные условия в напряжениях, обычно затрудняющие решение задачи, становятся естественными, они входят в выражение для энергии и автоматически удовлетворяются при ее минимизации. Полная потенциальная энергия тела равна сумме энергий для всех ячеек сеточной области. При этом можно считать, что все функции и их производные остаются постоянными в каждой ячейке. Сетка может быть как равномерной (регулярной), так и неравномерной. Конечно-разностные функции для ячеек имеют, кроме того, весовые коэффициенты для учета неполных ячеек, примыкающих к наклонной границе. Получающаяся система алгебраических уравнений относительно узловых значений перемещений оказывается симметричной и положительно определенной и имеет ленточную структуру. В работе [8] дополнительно к основной, сетке строится вспомогательная и перемещения определяются в точках пересечения этих сеток. В результате этого нормальные деформации и напряжения вычисляются в центре ячеек основной сетки только через центральные разности. [c.55]

Осесимметричное нагружение дисков рассмотрим как наиболее типичное при оценке статической прочности. В качестве расчетного метода использован метод конечных элементов (МКЭ). Это не единственный возможный метод расчета известно применение и других методов дискретизации пространственной задачи к расчету дисков (метод конечных разностей, вариационно-разностный [2, 43, 100]). МКЭ наиболее широко применяют в прикладных задачах 47]. Можно отметить простоту формулировок основных принципов, ясность физической интерпретации, свободу размещения узловых точек, симметрию матриц жесткости элементов и системы уравнений, облегчающую контроль расчетов. При выборе в качестве неизвестных узловых перемещений матрица разрешающей системы будет симметричной, положительно определенной (при исключении перемещения диска как жесткого целого) и иметь ленточную структуру. Это способствует быстрому решению системы разрешающих уравнений прямыми или итерационными методами. Методу конечных элементов посвящено большое число работ [3, 46, 53, 114, 119]. Приведенные в гл, 4 результаты получены ДЛЯ простейшего кольцевого элемента треугольного сечения, однако основные соображения, использованные в решении, имеют достаточно общий характер и применимы как для плоской задачи, так и при более сложных элементах в осесимметричном случае. [c.153]

Таким образом, для решения конкретной задачи необходимо выбрать значения Ф таким образом, чтобы = О во всех упруго-напряженных областях и Фр = О в пластической области. Частные дифференциалы определяются из конечных разностей, как указано выше. Перемещения должны быть получены из деформаций путем решения уравнений типа (199). Этот метод был использован для расчета распределения упруго-пластических деформаций в областях с надрезом и трещиной при плоской деформации и при плоском напряженном состоянии предсказанная форма зоны текучести в образце с трещиной в условиях плоско-напряженного состояния показана на рис. 39 [21 ]. [c.80]

Условно материал данной главы можно разбить на две части. В первой из них рассмотрены задачи по сопротивлению материалов, для решения которых требуются методы математического анализа и высшей алгебры вычисление геометрических характеристик сложных областей, определение перемещений сечений балок переменного сечения, нахождение главных напряжений и главных площадок и т. д. Вторая часть главы посвящена определению упругих линий балок, в том числе лежащих на упругом основании, интегрированию уравнений продольно-поперечного изгиба, которые сводятся к краевым задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Для решения краевых задач ОДУ используется метод конечных разностей (МКР) [20], основы которого приведены в справочном виде. [c.482]

Таким образом, и для изотропных компаундных, и для анизотропных обмоточных слоев имеются общие выражения для радиальных, окружных и осевых напряжений, а также для радиальных перемещений и суммарных осевых усилий в зависимости от разности температур АГ между конечной и начальной температурами. При этом в выражения для указанных величин от каждого цилиндрического слоя (изоляции или заливаемых элементов) входят три постоянные А, В и С. Постоянные С, обозначающие осевую деформацию, будем считать одинаковыми для любого слоя, т. е. предполагаем, что любое поперечное сечение залитого элемента остается в процессе деформирования плоским и перпендикулярным оси изделия. Тогда, если число всех слоев равно п, число неизвестных постоянных равно 2п+1. Для их отыскания необходимо 2п+1 уравнений. Такое количество уравнений получим, если приравняем перемещения и радиальные напряжения на границах между слоями, положим равными нулю, напряжения на внутренней и внешней поверхностях, а также приравняем нулю сумму всех осевых усилий в слоях. Решение систем уравнений даже для простейшей трехслойной конструкции (рис. 75, а) в общем виде практически невозможно. При большем числе слоев (рис. 75, б) задача требует применения вычислительных машин. [c.116]

Несмотря на то, что выписанные уравнения известны более 50 лет, точные методы решения их почти не разработаны. Поэтому в практических случаях для решения задач чаще всего пользуются началом возможных перемещений, применяя его к полному выражению потенциальной энергии пластины или мембраны. Иногда для интегрирования этих уравнений можно с успехом применить метод Бубнова—Галеркина или метод конечных разностей. [c.29]

Уравнение (27) по виду одинаково с уравнением (25) и также показывает, что в пределах допустимых деформаций угловое перемещение свободного конца трубчатой пружины прямо пропорционально разности давлений. При этом, конечно, жесткость С пружины считается величиной постоянной. В действительности же эта величина изменяется с течением- времени и, кроме того, зависит от температурных условий [c.71]

Усилия и перемещения в сечениях балок. Нагрузка статическая или динамическая механические параметры балки постоянны. Вводится аналогия между распределением токов, потенциалов и электрической энергии в электрической цепи и условиями равновесия, деформациями и потенциальной и кинетической энергиями в деформируемой системе. Электрическая модель составляется из активных и реактивных сопротивлений и трансформаторов по участкам балки в соответствии с тем, что дифференциальное уравнение изгиба балки четвертого порядка может быть заменено уравнениями в конечных разностях по сечениям х . 1, X I, х , X I,. .. В элек- [c.600]

За последние годы методы расчета, основанные на уравнениях в конечных разностях, были заменены методами конечных элементов (см., например, работу Дагдэйла и Ритца [22]). Суть этих методов состоит в том, что тело, которое до сих пор мы рассматривали как сплошную среду, подчиняющуюся определенным соотношениям напряжение — деформация, заменяется каркасом, состоящим из элементов обычно треугольной или трапецеидальной формы, что связано с двумерностью деформации. Совокупность элементов образует законченную решетку, внешняя форма которой соответствует форме непрерывного тела. Распределение напряжений в теле рассчитывают, рассматривая равновесие сил в общих точках или узлах решетки, а распределение деформаций — принимая во внимание перемещения этих узлов. [c.80]

Обе формулы (86) и (87) и являются основою приближенного способа, который состоит в том, что вместо шарнирной цепи с 6e KvjHe4Ho большим числом бесконечно малых отдельных звеньев, заменяюь,ей непрерывный стержень, мы должны взять шарнирную цепь с небольшим числом звеньев. Вследствие этого диференциальные уравнения для непрерывной балки перейдут в уравнения в конечных разностях для шарнирной цепи. В остальных отношениях ход вычислений для определения критической нагрузки остается такой же, какой мы применили в первои параграфе этой главы. Как и там, мы сообщим шарнирной цепи, находящейся в равновесии, бесконечно малые возможные перемещения, совместные с граничными условиями, и напишем условия равновесия для [c.355]

Более широкому применению этого простого алгоритма препятствует тот факт, что линейные алгебраические системы, полученные непосредственной заменой дифференциальных уравнений (394) конечно-разностными, весьма плохо решаются методом Гаусса. Часто получаются удовлетворительные результаты по перемещениям ы и ш и резко колеблющиеся от точки к точке значения функции гидростатического давления s. В литературе [56], [77] можно найти и другие методы решения получаемой системы линейных и алгебраических уравнений. Д. А. Дирба [28 ] решила задачу сжатия длинного амортизатора прямоугольного поперечного сечения, составляя уравнения в конечных разностях и применяя для решения линейной системы метод дробных шагов. Применялась сетка с 750 точками для четверти амортизатора. Машинное время при 20 итерациях составило 6 мин на GE-400. Однако использование метода дробных шагов для решения других задач не всегда приводит к успеху, потому этот алгоритм рекомендовать как универсальный пока нельзя. [c.198]

Излагается вывод геометрически нелинейных дифференциальных уравнений в перемещениях для конической оболочки в рамках теории, базирующейся на гипотезах Кирхгофа—Лява. Вариационным методом Власова—Канторовича система нелинейных дифс )еренциальных уравнений в частных производных сводится к обыкновенным. Далее обыкновенные нелинейные дифференциальные уравнения методом конечных разностей сводятся к системе алгебраических нелинейных уравнений. Приводятся результаты численных расчетов для напряжений, перемещений и нагрузок нри некоторых типах граничных условий. Ил. 7, список лит. 3 назв. [c.328]

При методе конечных разностей ([5], гл. XXVIII) заданную систему с помощью сеток разделяют на отдельные элементы, составляют конечно-разностные уравнения и определяют значение искомой функции (перемещения, функции напряжений и т. д.) в узлах сетки. [c.15]

В дискретном методе (гл. 9), предложенном Л. П. Винокуровым, искомые функции (перемещения, напряжения) представляют в дискретной конечно-разностой форме для всех переменных, кроме одной, в отношении которой функции определяют в аналитической форме из системы дифференциальных уравнений. Рассматриваемый метод дает вовможносгь дифференциальные уравнения в частных производных заменить системой обыкновенных дифференциальных уравнений, имеющей форму общего решения, при которой можно удовлетворить различным краевым условиям. [c.14]

Вариацнонно-разностый метод расчета элементов конструкций ВВЭР. Разностные уравнения выводятся как физические уравнения для конечного элемента сетки [6, 7]. Решение задачи в перемещениях существенно облегчает выполнение граничных условий, поставленных как для перемещений, так и для напряжений, оно естественно при анализе многосвязных областей, так как дает возможность обойти вопросы единственности и однозначности. [c.55]

Предлагаемая вниманию читателей книга освещает различные методы решения задач механики деформируемого твердого тела. Для иллюстрации возможностей методов выбраны задачи статики, динамики и устойчивости стержневых и пластинчатых систем, т.е. задачи сопротивления материалов, строительной механики и теории упругости, имеющих важное практическое и методологическое значения. Каждая задача механики деформируемого твердого тела содержит в себе три стороны 1. Статическая - рассматривает равновесие тела или конструкпди 2. Геометрическая - рассматривает связь между перемещениями и деформациями точек тела 3. Физическая -описывает связь между деформациями и напряжениями. Объединение этих сторон позволяет составить дифференциальное уравнение задачи. Далее нужно применить методы математики, которые разделяются на аналитические и численные. Большим преимуществом аналитических методов является то, что мы имеем точный и достоверный результат решения задачи. Применение численных методов приводит к получению просто результата и нужно еще доказывать его достоверность и оценивать величину погрепшости. К сожалению, до настоящего времени получено весьма мало точных аналитических решений задач механики деформируемого твердого тела и других наук. Поэтому приходится применять численные методы. Наличие весьма мощной компьютерной техники и развитого программного обеспечения практически обеспечивает решение любой задачи любой науки. В этой связи большую популярность и распространение приобрел универсальный численный метод конечных элементов (МКЭ). Применительно к стержневым системам алгоритм МКЭ в форме метода перемещений представлен во 2, 3 и 4 главах книги. Больпшми возможностями обладает также универсальный численный метод конечных разностей (МКР), который начал развиваться раньше МКЭ. Оба этих метода по праву занимают ведущие места в арсенале исследований. Большой опыт их применения выявил как преимущества, так и очевидные недостатки. Например, МКР обладает недостаточной устойчивостью численных операций, что сказывается на точности результатов при некоторых краевых условиях. МКЭ хуже, чем хотелось бы, решает задачи на определение спектров частот собственных колебаний и критических сил потери устойчивости. Эти и другие недостатки различных методов способствовали созданию и бурному развитию принццпиально нового метода решения дифференциальных уравнений задач механики и других наук. Метод получил название метод граничных элементов (МГЭ). В отличии от МКР, где используется конечно-разностная аппроксимация дифференциальных операторов, в МГЭ основой являются интегральное уравнение задачи и его фундаментальные решения. В отличие от МКЭ, где вся область объекта разбивается на конечные элементы, в МГЭ дискретизации подлежит лишь граница объекта. На границе объекта из системы линейных алгебраических уравнений определяются необходимые параметры, а состояние во [c.6]

Здесь представим только общие соображения по расчету нелинейных систем, поскольку эта тема выходит за рамки данной работы. Нелинейные задачи деформирования стержней, пластин и оболочек весьма разнообразны и каждая задача требует индивидуального подхода. Однако, если нелинейные модули образуют целостную систему, то для узловых точек (линий) всегда будут справедливы уравнения равновесия между статическими параметрами и уравнения совместности перемещений между кинематическими параметрами. Это значит, что топологическая матрица С в алгоритме МГЭ для нелинейных систем будет формироваться из анализа матриц X ж Y точно так же, как для упругих систем. Основные же трудности решения нелинейных задач заключаются в определении внутреннего содержания матриц А В, т.к. построить фундаментальные функции нелинейных дифференциальных уравнений за небольшим исключением не удается. В этой связи получили развитие различные подходы к решению нелинейных краевых задач [83]. К первому направлению относятся проекционные и вариационные методы типа методов Бубнова и Ритца, методы конечных разностей и конечных элементов. Этими методами нелинейные краевые задачи сводятся к системам нелинейных [c.512]

В разд. 1.2 описаны исходные допущения модели и дана постановка задачи. Б разд. 1.3 дан вывод основных уравнений, исходя из принципа возможных перемещений Лагранжа, а также сформулированы граничные условия задачи. Указан способ преобразования исходной системы уравнений к разрешающей системе, основанный на введении функций напряжений с помощью соотношения (1.21). Такой анализ несколько отличается, судя по литературе, от наиболее распространенных подходов и, в частности, от подхода, изложенного в статье [8]. В разд. 1.4 решается задача для пластины с двумя ребрами и различными граничными условиями. Даны численные расчеты. В разд. 1.5 содержится решение системы разрешающих уравнений для случая, когда число ребер произвольное. Использован известный способ решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений, приспособленный к специфике данной системы. В разд. 1.6 рассмотрены частные случаи пластин с пятью и шестью ребрами. Приведены подробные численные расчеты и дан анализ влияния параметров пластины и ребер иа характер напряжений. В разд. 1.7 рассмотрена задача оптимального подкрепления пласти-пы произвольным числом ребер переменного сечения. Закон изменения сечения ребер по их длине определяется из условия, что напряжения в ребрах не меняются по длине каждого ребра. В разд. 1.8 и 1.9 описан метод конечных разностей Лля приближенного расчета напряжений в пластине с ребрами, сечение которых лроизвольно изменяется по длине. Точность метода иллюстрируется а примере. В последнем разделе излагается способ приближенного учета поперечной сжимаемости пластины между ребрами, который улучшает картину напряжений в окрестности угловых точек пластины. [c.7]

Райс указывает, что обычные численные методы (конечные разности или конечные элементы) не позволяют вычислить напряжения и перемещения с требуемой точностью у вершины трещины. Граничные условия вблизи вершины удовлетворяются с трудом, особенно в случае крупной сетки конечных разностей, требуемой для бигармонического уравнения (см. раздел 16 в гл. III). Во многих случаях только один из узлов помещается у вершины трещины, так что вариации смещений, существующие там, подсчитать невозможно. Поэтому в области веера весьма удобным является модифицированный четырехсторонний конечный элемент, ограниченный линиями г = onst, 0 = onst и дающий требуемую зависимость сдвиговой деформации Mr. Два узла элемента у вершины трещины расположены в одной физической точке, но позволяют получать разные смещения в зависимости от выбранной радиальной линии движения к трещине. [c.86]

Если бы при выводе диференциального уравнения (5) мы учитывали силовую функцию и, т. е. принимали во внимание, что при больших пространственных размерах исследуемой области движения плотность зависит также и от силового поля, то тогда величииа с была бы не посгояиной, а функцией места. Но особенно подчеркнем еще раз, что уравнение (5) следует рассматривать только как приближение для очень малых скоростей, что при обыкновенно малых периодах колебаний означает всегда и малые перемещенил частиц, приходящих в движение. Для волн же с конечным I амплитудами (какие получаются при взрывах) эго уравнение недействительно, так как здесь могут возникать разности давлений порядка многих атмосфер, а скорости в несколько раз превышать скорость звука. В Ка 65, Ь мы еще вернемся к таким явлениям. [c.118]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...