Уравнения в конечных разностях

Одним из эффективных численных методов решения задач теории упругости и пластичности является метод конечных разностей. Идея этого метода состоит в замене основных дифференциальных уравнений задачи уравнениями в конечных разностях. При этом задача сводится к решению системы алгебраических уравнений. [c.144]

Следовательно, бигармоническое уравнение в конечных разностях будет иметь вид [c.147]

Из числа способов приближенного интегрирования уравнения (19-1) широко применяется способ непосредственного интегрирования, сущность которого заключается в том, что дифференциальное уравнение (19-1) заменяют уравнением в конечных разностях [c.188]

Особо следует упомянуть приближенные решения плоской задачи теории упругости способом замены дифференциальных уравнений метода сил или метода перемещений уравнениями в конечных разностях. В этом случае рассматриваемое тело заменяется соответствующей пространственной решеткой и для каждого телесного угла имеют место три уравнения в конечных разностях (см. главу IV). [c.66]

В матричной форме уравнения в конечных разностях могут быть представлены в форме [c.102]

Прежде чем перейти к иллюстрации метода решения задач в конечных разностях, представим уравнения (4.6.6) в матричном виде, приняв при этом равенство шагов сетки, которому соответствует значение а=1. Предположим, что дана прямоугольная область, имеющая г узлов на каждой горизонтали и 5 узлов на каждой вертикали. Тогда оказывается возможным систему уравнений в конечных разностях представить в виде [c.109]

Рассмотренные выше задачи о ламинарных установившихся течениях решались точными или приближенными аналитическими методами. Путем надлежащего использования граничных условий Б этих задачах удавалось упростить уравнения движения и привести их к интегрируемому виду. Существует немало других задач, решения которых получены тем же путем и находят важные технические приложения. Однако современное развитие инженерной практики требует решения и более сложных задач, в которых приходится учитывать все члены уравнений Навье—Стокса, что не позволяет их решить в квадратурах. Широкие возможности открывает использование ЭВМ и применение численных методов решения. Последние основаны на замене (аппроксимации) дифференциальных уравнений уравнениями в конечных разностях, которые решаются на ЭВМ как система алгебраических уравнений. Разработаны и успешно применены к различным гидродинамическим задачам несколько численных методов, причем в некоторых из них используются не только эйлеровы, но и лагранжевы переменные. [c.318]

Уравнения в конечных разностях 517 [c.575]

Дифференциальное уравнение теплопроводности заменяется на сетке разностной схемой или уравнением в конечных разностях. После того как и краевые условия тоже заменены разностными схемами, получаем систему алгебраических уравнений в конечных разностях с числом неизвестных (температур), равным числу узлов сетки (уравнений). [c.84]

Уравнение вида (6.1) называют уравнением Лапласа. Выведем соответствующее ему уравнение в конечных разностях (разностную схему). [c.85]

С учетом полученного соотношения (6.12), а также (6.2), (6.3) и (6.11) уравнение в конечных разностях для точки О имеет вид [c.94]

Для решения системы уравнений (У.35), (У.36) был применен метод сеток. При этом рассматриваемые дифференциальные уравнения приближенно заменялись уравнениями В конечных разностях, которые были получены заменой производных значениями функции в отдельных точках сетки. Решение этим методом наиболее удобно для программирования, так как состоит из большого числа однотипных операций. [c.100]

Исследование уравнений в конечных, разностях (305) при уело-ВИЯХ шарнирного закрепления концов. определит критическую на грузку Р. [c.380]

Сущность метода заключается в том, что в дифференциальном уравнении производные искомой функции заменяются приближенными соотношениями между конечными разностями в отдельных узловых точках температурного поля. В результате такой замены получаем уравнение в конечных разностях, решение которого сводится к выполнению простых алгебраических операций. Расчетное соотношение приводится к виду, где будущая температура в рассматриваемой узловой точке является функцией времени, настоящей температуры в рассматриваемой точке и настоящей температуры в соседних точках. Такие уравнения составляются для всех узловых точек рассматриваемой области, включая и граничные. В результате получаем замкнутую систему алгебраических уравнений. Ввиду однотипности вычислений при решении такой системы представляется широкая возможность для использования современной вычислительной техники. [c.107]

Такой подход не является более строгим, но он дает возможность решать задачи при разнообразных краевых условиях, оценить погрешность перехода от дифференциального уравнения к уравнению в конечных разностях и более просто провести анализ условий устойчивости и сходимости решения. [c.110]

Рассмотрим электрическую модель с сосредоточенными параметрами, осуществляемую в виде моделирующей электрической цепи. В этом случае исследуемая тепловая область делится на ряд элементарных объемов. Тем самым исходные дифференциальные уравнения и уравнения, описывающие условия однозначности, заменяются уравнениями в конечных разностях. Соответствующая моделирующая электрическая цепь представляется в виде отдельных электрических сопротивлений, имитирующих свойства элементов тепловой области. [c.121]

Метод конечных разностей Шмидта. В случае необходимости решения задач нестационарной теплопроводности в практических расчетах часто применяется метод конечных разностей, от метод основан на допущении возможности замены непрерывного процесса скачкообразным как в пространстве, так и во времени. При этом дифференциальное уравнение теплопроводности (7-1) заменяется уравнением в конечных разностях, которое для одномерного поля имеет вид [c.234]

Это. уравнение в конечных разностях можно записать в [c.80]

Ав и разделив все члены на 6, мы получим три следующих уравнения в конечных разностях [c.469]

В связи с этим процесс воспроизведения непрерывного температурного поля с помощью гидравлической (электрической) цепи с сосредоточенными параметрами представляет собой переход от решения дифференциальных уравнений к решению уравнений в конечных разностях. [c.102]

Далее излагаются элементы теории дифференциальных уравнений и уравнений в конечных разностях в объеме, необходимом для того, чтобы в дальнейшем не отсылать читателя к многочисленным источникам, сообщающим эти сведения в различном духе и с использованием различных обозначений. Здесь основное внимание уделяется вопросам решения уравнений с периодическими коэффициентами и уравнений в конечных разностях (глава 2). [c.8]

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И УРАВНЕНИЙ В КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ [c.44]

УРАВНЕНИЯ В КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ 69 [c.69]

Обыкновенные линейные уравнения в конечных разностях. Уравнением в конечных разностях называют уравнение вида [c.69]

Уравнение (2.45) называется линейным уравнением в конечных разностях. Если в уравнении правая часть х = 0, то уравнение называется линейным однородным уравнением в конечных разностях. Если, кроме того. [c.69]

Мы видели, что задачи теории упругости обычно сводятся к решению уравнений в частных производных с заданными граничными условиями. Эти уравнения допускают точное решение лишь для границ простой юрмы. Очень часто мы не можем получить точного решения и вынуждены обрагдаться к приближенным методам. В качестве одного из этих методов рассмотрим численный метод, основанный на замене дифференциальных уравнений соответствуюш,ими уравнениями в конечных разностях ). [c.517]

Выведем теперь соответствующее уравнение в конечных разностях. Для этой цели заменим мембрану квадрагной сеткой из [c.524]

Одно из таких решений — применение уравнения Бернулли, т. е. замена дифференциального уравнения движения уравнением в конечных разностях. Этот способ впервые был предложен В. И. Чарномским (1914 г.). Аналогичное решение было предложено Хестедом в 1924 г. Рассматриваемый способ иногда называют способом Хестеда. [c.68]

К достоинствам метода относятся простота электрической схемы и способа измерения искомых напряжений, а также большая точ ность полученных результатов. Исследования показали [100], что ошибка в определении температуры по этому методу практическ возникает только при аппроксимации дифференциального уравне ния теплопроводности уравнением в конечных разностях и резуль таты, полученные при численном решении, совпадают с экспери ментальными результатами. Более подробно с методом электриче ской аналогии можно ознакомиться в специальной литературе [37] [c.102]

Численные методы решения, которые находят все большее применение в связи с развитием и широким использованием вычислительной техники. По отношению к рассматриваемой системе дифференциальных уравнений наиболее универсальными являются конечно-разностные методы, в соответствии с которыми дифференциальные уравнения заменяются уравнениями в конечных разностях. Область, в которой производится расчет температурного поля (область О, см. 39), представляется множеством отдельных точек (сеткой) с заданным шагом по осям Ох и Оу. Для каждой такой точки уравнения в конечных разностях образуют систему аглебраиче-ских уравнений, в которые входят и значения искомых функций в соседних точках. В результате решения алгебраических уравнений получают значения искомых функций в узлах сетки, например, таблицу значений температуры в рассматриваемой области О. Важно, чтобы разностная схема задачи была устойчивой — при измельчении шага сетки последовательно получаемые таблицы решений должны сходиться к точному решению задачи (т. е. образовывать сходящуюся последовательность). При применении численных методов значительно расширяется круг решаемых задач конвективного теплообмена и появляется возможность осуществления [c.327]

Очевидно, остаточный член (os — s,) 8 в уравнении (3-120) будет стремиться к нулю при стремлении к нулю 8 . Следовательно, чем более мелкие интервалы выбраны для сетки узловых точек, тем меньше ошибка перехода от дифференциальногб уравнения к уравнению в конечных разностях. Ошибки ei и еа можно оценить, воспользовавшись разложением функции t в ряд Тейлора. , [c.112]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...