Ортогональное преобразование простейшее

Глава 4 предоставила нам необходимый кинематический аппарат для исследования движения твердого тела. Углы Эйлера дают нам систему трех координат, которые, хотя и не вполне симметричны, однако удобны для использования их в качестве обобщенных координат, описывающих ориентацию твердого тела. Кроме того, метод ортогональных преобразований и связанная с ним матричная алгебра дают мощный и изящный аппарат для исследования характеристик движения твердого тела. Мы однажды уже применили этот аппарат при выводе уравнения (4.100), связывающего скорости изменения вектора в неподвижной системе координат и в системе, связанной с телом. Теперь мы применим этот аппарат для получения динамических уравнений движения твердого тела в их наиболее удобной форме. Получив эти уравнения, мы сможем рассмотреть несколько простых, но важных случаев движения твердого тела. [c.163]

Инвариантность формы уравнения относительно преобразований Лоренца не является единственной инвариантностью, накладываемой на законы физики. Ясно, например, что физическое содержание любого закона не должно изменяться при изменении ориентации выбранной системы координат. Следовательно, законы физики должны также быть инвариантными и относительно поворотов системы координат, т. е. относительно ортогональных преобразований пространства. Эта инвариантность является более простой и исследование ее сделает более ясным тот метод, которого следует придерживаться при исследовании инвариантности- относительно преобразований Лоренца. [c.218]

Из формул (7.50) и (7.51) формально следует, что любое выражение для Wg является инвариантным к ортогональному преобразованию координатной системы, так как Wg выражается через инварианты к этому преобразованию. Указанная инвариантность энергии совершенно очевидна и из простых физических соображений, а именно величина потенциальной энергии системы не должна зависеть от того, в какой из систем координат ее вычисляют. Количество удельной энергии в окрестности некоторой точки следует рассматривать как объективную реальность, не зависящую от субъективного подхода исследователя, выбираю-щего ту или иную систему координат. [c.510]

При преобразованиях координат, представляющих собой повороты прямоугольных систем координат, обратная матрица совпадает с транспонированной в силу известных свойств ортогональных преобразований [22, 38]. Поэтому матрица получается из матрицы Л, определяемой выражением (2.1), просто заменой строк столбцами, т. е. [c.16]

В случае, когда матрица не является ортогональной, ее детерминант, конечно, не обязательно имеет одно из этих простых значений. Можно показать, однако, что значение любого детерминанта инвариантно по отношению к подобным преобразованиям. Рассмотрим для этого формулу (4.41) для преобразован ной матрицы А и умножим ее справа на В. Тогда будем иметь [c.124]

Простейшим примером ортогональных матриц с действительными элементами являются матрицы взаимных преобразований вращения пространственных прямоугольных систем координат (см. гл. 6, п. 14 и гл. 25). [c.26]

Простейшим примером такого тензора является тензор преобразования координатных систем. Пусть одна система координат определяется тройкой взаимно ортогональных ковариантных векторов Xi, Xj, Xg, другая — тройкой взаимно ортогональных векторов контравариантных xj, х , Хд. Известно, что преобразование первой системы координат во вторую осуществляется по равенствам [c.58]

Для тел, ограниченных координатными поверхностями в какой-либо одной из ортогональных систем координат [8], с однотипными в пределах каждой отдельной координатной поверхности граничными условиями точное аналитическое решение линейной задачи можно получить методом разделения переменных (методом Фурье) [7] или математически эквивалентным ему, но более универсальным методом интегральных преобразований [10, 13, 20]. Основная идея этих методов связана с разложением искомого решения в ряд по собственным функциям соответствующей однородной задачи. Собственные функции и формулы интегральных преобразований для тел простой геометрической формы табулированы [13]. [c.43]

Точное аналитическое решение линейной или предварительно линеаризованной многомерной задачи нестационарной теплопроводности удается получить лишь для элементов конструкций сравнительно простой геометрической формы, ограниченных координатными поверхностями в какой-либо одной системе ортогональных координат. Для большинства таких тел известна и табулирована [42, 56] система собственных функций и спектр собственных значений соответствующей однородной задачи. Поэтому для подобных тел удобно использовать достаточно универсальный метод конечных интегральных преобразований. При однородных граничных условиях и одинаковой во всех точках тела начальной температуре решение многомерной задачи для тел простой формы удается представить в виде произведения решений соответствующих одномерных задач [42, 55]. [c.203]

Эти результаты получены Лоджем [ ]. Приводимые ниже прямые доказательства просты, но обладают двумя новыми особенностями, отсутствовавшими до сих пор в нашем анализе. Будет использован как наиболее удобный базис, не ортонормальный или не ортогональный в некоторых состояниях, для которых компоненты напряжения не равны нулю. Кроме того, для получения результатов (7.37), (7.42) и (7.46) при решении интегрального уравнения мы будем пользоваться преобразованием Лапласа. [c.189]

В классической оптике давно существует способ, позволяющий составить интегральное преобразование произвольного распределения монохроматического поля на входе в оптическую систему в распределение на выходе он основан на использовании понятия о точечном эйконале. Первым воспользовался этим способом применительно к теории резонаторов, по-видимому, Коллинз [152]. В результате ему удалось установить весьма общие свойства резонаторов, имеющих две взаимно перпендикулярные осевые плоскости симметрии и относящихся, таким образом, к так называемым ортогональным оптическим системам (или системам с простым астигматизмом). [c.7]

Именно эти условия гарантируют, что преобразование является допустимым. Если мы потребуем также, чтобы после преобразования правая система координат оставалась правой, т. е. наше преобразование было бы также соответственным, то для этого / должен быть всюду положительным (например, для простейших преобразований между ортогональными декартовыми системами координат / = + 1). Далее мы регулярно будем использовать лишь несколько основных операторов преобразований они приведены ниже, причем символы со штрихами относятся к функциям в пространстве Z, а без штрихов — в X. [c.208]

Причина, по которой матрицы в Гз выглядят более простыми, чем матрицы в новом представлении (4.33), состоит частично в том, что все матрицы в Гз ортогональны. В общем случае можно выбрать преобразование подобия так, что все матрицы представления станут унитарными такое представление называется унитарным представлением. В наших приложениях теории представлений к молекулам мы будем всегда использовать унитарные представления. [c.57]

Формулы (7.14) выражают закон преобразования произведений компонент двух векторов при переходе от одной системы координат к другой. Однако кроме произведений компонент двух векторов существуют и другие таблицы величин с двумя индексами, которые при переходе от одной системы координат к другой преобразуются по формулам (7.14). В связи с этим вводят определение если в каждой прямолинейной ортогональной системе координат имеется совокупность девяти величин с и если при переходе от одной системы координат к другой эти величины преобразуются по формулам (7.14), то совокупность этих девяти величин определяет новую величину с — Цс,уг1 — аффинный ортогональный тензор второго ранга (или просто тензор второго ранга). [c.20]

Собственные функции, принадлежащие разным уровням спектра (кт, Vm, Тт) И (Я Vn, Тп), удовлетворяют условиям ортогональности, которые можно получить непосредственно из краевой задачи. Записывая уравнения (3.5), (3.6) для т-то и п-го уровней, умножая соответственно на (у , Г ) и (Vm, Тт) и интегрируя, получим после простых преобразований [c.24]

Криволинейные координаты. Во многих случаях является целесообразным заменить декартовы координаты криволинейными например, при наличии осевой и шаровой симметрии цилиндрические и сферические координаты являются наиболее подходящими при решении задач. Чтобы провести наиболее простым образом преобразование основных уравнений, выразим сначала составляющие тензора деформации непосредственно в криволинейных координатах (ограничиваясь случаем ортогональности их) далее, при помощи минимальных принципов сформулируем условия равновесия. [c.56]

Говорят, что в таком виде f (х) и g (со) представляют собой пару ) преобразований Фурье. Весьма просто показать, что выполняется соотношение ортогональности [c.231]

Преобразование приведенных выше результатов к выражениям, содержащим коэффициенты Ми, оказывается не очень простым. Так как 5i и 5г представлены в виде бесконечных рядов, то их квадраты i и /г имеют вид двойных бесконечных рядов. Однако после интегрирования по 0 большинство членов в двойных рядах обращается в нуль в силу условий ортогональности для Яп и т . Эти ряды исследовались Дебаем, к работе которого [c.152]

Для упрощения преобразований на некоторых этапах решения задач формообразования поверхностей деталей и профилирования режущего инструмента удобно от ортогональной системы декартовых координат перейти к криволинейным координатам в пространстве, а после решения задачи в криволинейных координатах совершить обратный переход к прямоугольным декартовым координатам. Возможность упрощения при этом формы записи уравнений очевидна из следующего простого примера. Если в декартовой [c.186]

Соотношение (8.8) называется уравнением Кеплера и вместе с равенством (8.7) определяет зависимость г от времени неявным образом. Заметим, что при вычислении интеграла (8.6) знак + соответствует изменению и от О до я, а знак - — от я до 2я. Угловая переменная w называется эксцентрической аномалией и имеет простой геометрический смысл (рис. 21). Построим на большой оси эллипса окружность радиусом а. Если прямая М МК ортогональна к ОР, то КМ КМ = Ь а (эллипс получается из окружности преобразованием сжатия по оси Оу в Ь/а раз). Площадь криволинейной фигуры SMP равна площади фигуры SM P, умноженной на коэффициент Ь/а. С другой стороны, по закону площадей [c.61]

В связи со сложностью турбулентных течений общего вида большую ценность для изучения многих вопросов представляет геометрически простейший пример турбулентного движения, а именно, случай так называемой однородной и изотропной турбулентности (впервые рассмотренный Дж. Тейлором в 1935 г.). Этот случай соответствует турбулентности в безграничном пространстве, у которой распределения вероятностей для значений гидродинамических полей в любой конечной группе пространственно-временных точек (a ft, д) (А = 1,. . ., п) инвариантны относительно всех ортогональных преобразований (параллельных переносов, вращений и отражений) системы пространственных координат (т. е., иначе говоря, не меняются при всех переносах, вращениях и отражениях выбранной группы точек). В силу указанных условий инвариантности структура статистических моментов (1.1) и вид уравнений Фридмана — Келлера для моментов (1.2) в случае однородной и изотропной турбулентности (которую для краткости далее мы называем просто изотропной) оказываются наиболее простыми (хотя уравнения для моментов все равно остаются незамкнутыми). Поэтому модель изотропной турбулентности наиболее удобна для отработки различных приближенных приемов замыкания уравнений турбулентного движения и изучения всевозможных следствий из той или иной точной или приближенной теории. В то же время оказывается, что идеализированная модель изотропной турбулентности является [c.480]

Обобщение предыдущих результатов. Мы вывели свойства симметрии колебательных собственных функций из свойств симметрии нормальных координат. В действительности, свойства симметрии собственных функций имеют значительно более общий характер и не зависят от предположения о гармоничности колебаний. Потенциальная энергия, даже если она и не является простой квадратичной функцией от составляющих смещений, как в (2,25), должна быть инвариантна по отношению ко всем операциям симметрии, образующим точечную группу, к которой принадлежит молекула. Поэтому уравнение Шредингера (2,40) инвариантно по отношению к этим операциям симметрии и, следовательно, собственная функция относительно этих операций симметрии может либо быть только симметричной, либо антисимметричной, если состояние является невырожденным либо может преобразоваться также и в линейную комбинацию взаимно вырожденных собственных функций, если состояние вырожденно (см. Молекулярные спектры 1, гл. V, 1). Можно показать, что последнему случаю соответствует ортогональное преобразование, при двукратном вырождении имеющее вид (2,75) или (2,76). [c.118]

Решение плоской задачи теории упругости зависит от двух координат и может быть выражено через две произвольные (с точки зрения выполнения уравнений равновесия и условий неразрывности) двухмерные гармонические функции, определяющиеся путем подчинения решения двум краевым условиям на плоском граничном контуре. То обстоятельство, что ортогональные преобразования координат на плоскости и теория двухмерных гармонических функций тесно связаны с теорией функций комплексного переменного, позволило разработать общий метод решения плоской задачи, основанный на аппарате теории аналитических функций (Г. В. Колосов [10], Н. И. Мусхелишвили [20] и его школа). Этот путь в принципе позволяет подойти к решению любой плоской задачи, но наиболее эффективен для односвязных и (в меньшей мере) для двухсвязных областей. Основная идея, которой при этом руководствуются, состоит в отображении рассматриваемой области на одну из канонических областей (на полуплоскость, круг единичного радиуса или круговое кольцо) с последующим использованием аппарата интегралов типа Коши для нахождения двух неизвестных функций по заданному краевому условию. Если ограничиться только односвязными областями (каковые по существу главным образом и рассматриваются [20], [27]), то можно обойтись и без аппарата интегралов типа Коши, оперируя лишь самыми элементарными представлениями теории аналитических фунщий. В нашей книге, носящей общий характер, мы даем только этот наиболее простой и в то же время достаточно эффективный способ, отсылая читателя за более полным и общим изло- [c.292]

Большую роль в создании современной теории мелкомасштабных турбулентных движений сыграла также работа Тэйлора (1935а), в которой было введено понятие об однородной й изотропной турбулентности. Такая турбулентность определяется тем условием, что для нее все конечномерные распределения вероятностей значений гидродинамических полей в конечном числе точек пространства — времени инвариантны относительно любых ортогональных преобразований (параллельных переносов, вращений и отражений) системы пространственных координат. Однородная и изотропная турбулентность является тем частным случаем турбулентных течений, для которого структура статистических моментов гидродинамических полей и вид соответствующих уравнений Фридмана — Келлера оказываются наиболее простыми. Правда, и в этом простейшем случае все принципиальные трудности, связанные с проблемой замыкания уравнений Фридмана — Келлера, остаются в силе. Однако соответствующие уравнения оказались все же гораздо более доступными для математического анализа, чем общие уравнения, отвечающие произвольной турбулентности, и с их помощью удалось получить целый ряд результатов, разъясняющих отдельные закономерности турбулентных течений. [c.22]

Метод интегральных преобразований применяют при расчете распределения потенциала в бесконечно протяженных областях, ограниченнь х координатными поверхностями какой-либо ортогональной системы координат (в простейшем случае двумя взаимно-перпендикулярными плоскостями или одной плоскостью). [c.43]

Когда точки освещения и наблюдения расположены достаточно близко к объекту, так что в выражении (12) углы значительно меняются при сканировании объекта взглядом, расшифровка голограммы становится трудным делом. В такой ситуации существует простой способ расшифровки положения полос он состоит в том, что выражение (12) рассматривается как уравнение эллипса, в фокусах которого расположены точки освещения и наблюдения. Это преобразование описывается в виде голодиаграммы [2—4], состоящей из групп эллипсоидов и ортогональных им гиперболических функций, выделяющих области пространства, в которых данные компоненты движения объекта дают одинаковые интерференционные картины. Попросту говоря, любая компонента движения вдоль эллипса, фокусы которого представляют собой точки наблюдения и освещения, не изменяет картины полос, тогда как [c.541]

При всех других отражениях и поворотах вокруг оси второго порядка вырожденное колебание не должно обязательно оставаться без изменения или менять только знак, а поэтому применимо преобразование (2,76), поскольку оно также удовлетворяет и тому требованию, что при двух последовательных отражениях и поворотах получаются первоначальные нормальные координаты. Преобразование (2,75) этим свойством не обладает, за исключением случаев р = 0 и iS=180° J. В двух частных случаях, fi = 0 11 =180°, преобразование (2,76) приводит к простому результату, а именно, что -а = —Ito, = + и = 5ia. ib = — kb соответственно, т. е. при этих значениях угла Э одна составляющая данной вырожденной пары колебаний является симметричной относительно отражения или поворота вокруг оси второго порядка, другая — антисимметричной. Существенным теперь является следующее если две взаимно вырожденных нормальных координаты и не являются симметричными или антисимметричными относительно отражения или поворота вокруг оси симметрии второго порядка то из них всегда могут быть составлены две взаимно ортогональные линейные комби, нации tia и 1/ь. одна симметричная, другая антисимметричная. В этом можно сразу же убедиться, если учесть, что (2,76) представляет совокупность операций поворота на угол р в плоскости ib и инверсии. Поэтому, выполняя для нормальных координат и поворот в противоположном направлении путем преобразования (2,75), мы должны по.тучить такие нормальные координаты и которые преобразуются согласно (2,76) при р = 0 или 180° следовательно, одна из них будет симметричной относительно искомого преобразования, другая — антисимметричной. Хорошей иллюстрацией данного случая является колебание vj молекулы типа Xj, отраженное в плоскости, проходящей через атом TVj (см. выше и фиг. 32). [c.112]

Рассмотрим случай простого кубического кристалла. Тогда в качестве векторов й2, з из (4.1) можно взять тройку взаимно ортогональных векторов равной длины, так чтоа,-а/ = = 026,7 и а, = а. Далее, рассматривая матрицу преобразования ф в декартовых координатах, запишем ее матричные элементы в виде (ф),7 = ф(/. Требование ортогональности ф следующее из (3.4), приводит к ограничениям, накладываемым на транспонированную матрицу ф с элементами (ф) / = ф,/ [c.32]

Функциональные программы пакета ГРАФАЛ выполняют процедуры управление режимом устройства и организующие процедуры построение простых геометрических форм нанесение надписей вычерчивание линий, линейных и нелинейных шкал, координатных сеток, вычерчивание графиков функций с табличной и аналитической формами представления в декартовых и полярных координатах, определение объемов и габаритов объектов аффинные, конформные и функциональные преобразования экранирование маркирование, выделение и объединение объектов формирование библиотея графических объектов формирование трехмерных объектов и кривых линий, их аффинные и функциональные преобразования, ортогональное, косоугольное, центральное и функциональное проецирование. [c.787]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...