Аффинные ортогональные тензоры

Совокупность девяти величин рпт называют аффинным ортогональным тензором второго ранга. [c.9]

Произведя свертывание аффинного ортогонального тензора ртп по индексам тип, получим инвариант [c.11]

Аффинные ортогональные тензоры — [c.567]

В дальнейшем рассматриваются так называемые аффинные ортогональные тензоры, называемые просто тензорами Тензором Тго порядка (валентности, ранга) называется вся яя совокупность трех величин aj, а.,, преобразую щихся в величины а,,, а ,,, о,, при пере.ходе от одной системы координат Х)1 к другой системе х ,, по формулам [c.234]

Аффинные ортогональные тензоры — см. Тензоры [c.547]

Формулы (7.14) выражают закон преобразования произведений компонент двух векторов при переходе от одной системы координат к другой. Однако кроме произведений компонент двух векторов существуют и другие таблицы величин с двумя индексами, которые при переходе от одной системы координат к другой преобразуются по формулам (7.14). В связи с этим вводят определение если в каждой прямолинейной ортогональной системе координат имеется совокупность девяти величин с и если при переходе от одной системы координат к другой эти величины преобразуются по формулам (7.14), то совокупность этих девяти величин определяет новую величину с — Цс,уг1 — аффинный ортогональный тензор второго ранга (или просто тензор второго ранга). [c.20]

Примечание. В теории аффинных ортогональных тензоров использовались прямолинейные ортогональные координаты и их преобразование опять в прямолинейные ортогональные координаты. Эти линейные ортогональные преобразования определялись таблицей направляющих косинусов. Можно рассматривать и неортогональные линейные преобразования. [c.25]

Таблица (8.17) определяет аффинный ортогональный тензор второго ранга. Действительно, вектор V — тензор первого ранга. до. [c.29]

Формула (9.5)—формула преобразования компонент тензора второго ранга при переходе от одной системы координат к другой. Следовательно, таблица ег/г есть аффинный ортогональный тензор второго ранга — тензор скоростей деформаций. [c.30]

По аналогии с этим определением введем определение аффинного ортогонального тензора тензором л называется тройка векторов р1, Рг. рз , определенных в любой декартовой системе координат таким образом, что при переходе от одной системы координат к другой векторы р преобразуются по формулам [c.612]

От читателя требуется также знание основ векторного анализа в объёме первой и второй глав книги Н. Е. Кочина Векторное исчисление н начала тензорного исчисления (ОНТИ, ГТТИ, 1934) и знакомство с понятием аффинного ортогонального тензора, излагаемым в третьей главе этой книги, к которой следует обратиться, если изложение в 3 покажется малодоступным. [c.68]

В настоящем курсе свойства аффинного ортогонального симметричного тензора второго ранга анализируются на примере напряжения в точке (см. главу V), а затем принимаются во внимание во всех случаях, в которых имеем дело с такими тензорами. [c.772]

Всякий вектор в пространстве есть тензор 1-го порядка, причем можно рассматривать как один вектор, так и поле векторов (компоненты суть функции координат точки). В настоящем разделе рассматриваются только аффинные ортогональные т е н- [c.68]

Вообще говоря, матрицы и не обязательно совпадают (совпадение имеет место для ортогональных преобразований), поэтому законы преобразования компонент градиента скалярной функции и компонент вектора г различны. В связи с этим в общей теории тензоров оказывается необходимым различать два вида векторов и тензоров — контравариантные и ковариант-ные. Не приводя полного определения, дадим часто употребляемое. Говорят, что контравариантный вектор — это такой вектор, компоненты которого Л,- преобразуются при переходе к другой системе координат, как компоненты вектора г. Аналогично величины /4,- определяют ковариантный вектор, если прй переходе от одной системы координат к другой эти компоненты преобразуются как компоненты градиента функции, т. е. как частные производные по координатам. Для аффинных ортогональных векторов понятия ковариантного и контравариантного векторов являются совпадающими. В общей теории тензоров рассматриваются не только неортогональные, но и нелинейные преобразования координат. [c.25]

Преобразование (95) может быть истолковано как ортогональное аффинное преобразование координат в четырехмерном пространстве (так называемом проективном пространстве), определяемое оператором или тензором (см. гл. 8) с соответствующей матрицей 4-го порядка (см. гл. 4). [c.47]

Свертыванием ортогональных аффинных тензоров по двум каким-нибудь индексам (индексы свертывания) называется следующая операция из компонентов тензора некоторого порядка, например <2,7 ., составляются суммы [c.236]

Понятие аффиниого ортогонального тензора. Известно, что многие физические или геометрические объекты принадлежат либо к скалярам, либо к векторам. Примером первых являются объем тела, площадь фигуры ко вторым относятся сила, скорость, ускорение, перемещение и т. и. Наряду с упомянутыми категориями объектов существуют и более сложные, в частности, тензоры второго ранга. [c.768]

Следует отметить, что верзор является аффинным ортогональным тензором второго ранга (см. гл. 8). [c.74]

На каждой координатной площадке три состав1Ляющих образуют вектор полного напряжения на плои1адке с нормалью. v — вектор Рх, на площадке с нормалью у Ри и на площадке с нормалью г — р,. Совокупность трех векторов Рх, Рь ч Рг- определяемых девятью со ставляющими, которые при перемене координатных осей преобразуются по формуле (1,4), называется аффинным ортогональным тензором второго ранга Тензором первого ранга является вектор В дальнейшем изложении сокращенно будем называть его просто тензором, а девять составляющих компонентами тензора. [c.21]

Будем исходить из формулы Кошн (3.7). Докажем, что таблица (3.8) является аффинным ортогональным тензором второго ранга. Для этого надо найти формулы преобразования Т(й при переходе от одной системы координат х, у, г к другой х, у, г Обозначим орты координатных осей соответственно через 1 к и V,, к. Вспомним таблицу (7.1) гл. I для направляющих косинусов и будем пользоваться формулой Коши, выбирая за п последовательно к. Получим [c.52]

Комбинация операций умножения и свертывания называется скалярным (внутренним) умножением. Операция скалярного умножения двух тензоров сводится сначала к их умножению, а затем к свертыванию результирующего тензора по верхнему индексу одного тензора и нижнему индексу другого. Пусть нам даны два тензора А "" и Bft, свертывая четырьмя способами их тензорное произведение, получим скалярное произведение, а именно А " A " BU, а "Bn, А" BU- Скалярное произведение контравариантно-го вектора и ковариантного вектора дает инвариант Л 5п, который можно, очевидно, назвать скалярным произведением векторов Л и Вп- В случае аффинных ортогональных векторов и Ьт, получим скалярное произведение этих векторов а-Ь = апЬп. [c.11]

В дальнейшем рассматриваются так называемые аффинные ортогональные /пензоуоы, называемые просто тензорами. [c.234]

Преобразование (5) может быть истолковано как ортогональное аффинное преобразование координат в четырехмерном эвклидовом пространстве, определяемое тензором второго ранга, который может быть представлен квадратной матрицей 4-го порядка [c.153]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...