Коши число

Начальные условия указанного вида, в которых в начальный момент времени задаются значения искомой функции и ее производных по времени, называются начальными условиями Коши. Число этих условий равно порядку старшей производной по времени, содержащейся в уравнении. [c.122]

Так что, если говорить о форме, уравнений сплошности шесть. Если же о сути, которая определяется недостающим для интегрирования зависимостей Коши числом связей, то здесь их только три. И в этом смысле варианты (3.6) и (3.6) тождественны. [c.63]

Согласно одной из теорем Коши число нулей полинома /(г) внутри замкнутого контура равно половине избытка числа нулей дроби Р/С на контуре при обходе его в положительном направлении ) с переменой знака плюс на минус над числом нулей с переменой знака минус на плюс. [c.451]

Действительно, если силы, стоящие в правых частях уравнений (2), не зависят от ускорений точек, то система, представленная в форме (2), разрешена относительно старших производных. Для систем такого рода (систем типа Коши) в теории дифференциальных уравнений установлены теоремы существования и единственности решения при заданных начальных данных. Эти теоремы утверждают, что при некоторых нестеснительных для механики ограничениях, наложенных на правые части дифференциальных уравнений, существует решение этих уравнений, причем задание начальных данных — координат qj и скоростей qj, число которых соответствует порядку системы, — полностью определяет это решение, т. е. в нашем случае — последующее движение. [c.136]

Основная сложность при решении уравнений заключается в том, что задачи статики стержней относятся к двухточечным краевым задачам, когда решение должно удовлетворять определенным условиям в начале и в конце интервала интегрирования, в отличие от одноточечных краевых задач — задач Коши, когда все условия, которым должно удовлетворять решение, известны в начале интервала интегрирования. Поэтому хорошо разработанные методы решения систем дифференциальных линейных (и нелинейных) уравнений для одноточечных задач использовать для решения двухточечных задач в общем случае нельзя. В настоящее время имеется ряд методов численного решения линейных двухточечных задач (имея в виду стержни), которые получили распространение в расчетной практике метод начальных параметров, метод прогонки [2], метод конечных элементов [15]. Точное аналитическое решение линейных уравнений равновесия стержня, например (1.112) — (1.115), возможно только для случая, когда элементы матрицы Ах— постоянные числа [этот случай будет рассмотрен в 5.2, где изложены теория и методы расчета винтовых стержней (цилиндрических пружин)]. Для уравнений с переменными коэффициентами возможны только численные или приближенные методы решения. [c.61]

Шесть соотношений (3.23) между и вц вместе о тремя дифференциальными уравнениями равновесия (2.26) и шестью дифференциальными зависимостями Коши (1.40) составляют замкнутую систему уравнений теории упругости, число которых равно числу неизвестных функций ui, e,j, Otj. [c.55]

Из предыдущего известно, что из-за отсутствия свободной поверхности числа Фруда и Вебера не влияют на характер движения, а значит, и на искомую зависимость. Так как жидкость несжимаема, на нее не влияет также и число Коши. Из геометрических параметров для труб с гладкими стенками можем указать только два длину I участка и диаметр d трубы. Считаем известным, что при движении заданной жидкости (параметры р и х) по трубе фиксированного диаметра устанавливается однозначное соответствие между характерной скоростью v и падением давления Др на участке длиной I. При этом, разумеется, устанавливается и определенное значение касательного напряжения т, но оно вполне определяется перепадом Ар и потому не может служить независимым параметром. С учетом этих соображений к параметрам, определяющим явление, отнесем I, d, V, р, Др, ц. Из этих шести размерных параметров можно составить всего три я-параметра [c.130]

Из предыдущего нам известно, что ввиду отсутствия свободной поверхности числа Фруда и Вебера не могут влиять на характер движения, а значит, и на искомую зависимость. Ввиду несжимаемости выпадает также число Коши. Из геометрических параметров для труб с гладкими стенками мы можем указать только два длину участка I и диаметр трубы д. Считаем известным, что при движении заданной жидкости (параметры р и р) по трубе фиксированного диаметра устанавливается однозначное соответствие между характерной скоростью V и падением давления Ар на заданном участке I. При этом, разумеется, устанавливается и определенное значение касательного напряжения т, но эта величина вполне определяется значением перепада Ар и потому не может служить независимым параметром. С учетом этих соображений в список параметров, определяющих явление, мы включим величины I, й, V, р. Ар, р. Согласно (5-97) из этих шести параметров мы можем составить всего три я-параметра [c.141]

Для доказательства зададим некоторое достаточно большое число А и рассмотрим интеграл Коши [c.29]

С увеличением п приходим к значению нормальной производной, равному нулю, что соответствует решению, тождественно равному нулю. Из вида выражения (16.1) следует, что для любого п можно подобрать такие значения у, что решение будет больше любого наперед заданного числа. Отсюда следует, что предел решения (по параметру п) не будет стремиться к решению для предельных краевых условий, а, значит, решение задачи Коши для уравнения Лапласа с несколько измененными краевыми условиями может привести к решениям, существенно различающимся между собой. [c.190]

Рассмотрим разностные многошаговые методы, свободные от этого недостатка. Вновь рассмотрим задачу Коши (1.30). Пусть Xi, Xi-u. .. — узлы такие, что Xi—Xi- = h, и решение известно в некотором числе узлов xi, xi-, . .., xi-h. Запишем уравнение [c.19]

Она характеризует скорость распространения возмущений (волн), вызванных упругими свойствами материала трубопровода или любого обтекаемого тела. Поэтому при моделировании действия упругих свойств материала на поток жидкости обычно требуется соблюдение одинаковости числа Коши (Са), равного отношению скорости потока к указанной выше величине, т. е. [c.126]

Предположим, что жидкость сжимаема, в связи с чем на нее действуют силы упругости. Будем считать, что каких-либо других сил, действующих на жидкость, нет. Рассуждая, как и выше, можно показать, что динамическое подобие для модели и натуры получится в том случае, если при наличии кинематического подобия так называемые числа Коши для модели и для натуры будут одинаковыми. [c.290]

Как видно, для достижения динамического подобия между моделью и натурой каждая система сил, действующих на жидкость, требует равенства некоторых своих чисел (чисел Фруда, чисел Рейнольдса и т. д.) для модели и натуры. Указанные безразмерные числа Фруда, Рейнольдса, Коши и т. д., равенство которых для модели и натуры указывает на наличие динамического подобия между ними, называются критериями подобия. [c.290]

Рассуждая, как и выше, можно показать, что динамическое подобие для модели и натуры получится в том случае, если при наличии кинематического подобия так называемые числа Коши в сходственных точках модели и натуры будут одинаковыми. [c.530]

Эти безразмерные числа (Фруда, Рейнольдса, Коши и т. д.), равенство которых в сходственных точках модели и натуры указывает на наличие динамического подобия между моделью и натурой, называются критериями подобия. [c.530]

Проще всего численно решаются задачи с начальными условиями (задача Коши), к которым относятся, например, многие задачи динамики систем с конечным числом степеней свободы. Зная начальные условия — смещения и скорости всех точек в начальный момент времени, а также законы изменения возмущающих сил, можно определить и законы движения системы. [c.446]

Необходимый и достаточный признак сходимости Коши. Ряд сходится в том и только в том случае, если при любом наперёд заданном е, сколь бы мало оно ни было, можно найти такое число л, что при произвольном т будет иметь место неравенство [c.150]

Числом Коши первого рода называют величину, пропорциональную отношению сил инерции к силам упругости первого рода v - [c.393]

Числом Коши второго рода [c.393]

Теоретическая область возможных значений от —со до +оо. Параметров закона два а, Ь. Моментов (в том числе и среднего значения M U и дисперсии D l ) распределение по закону Коши не имеет, так как соответствующие интегралы расходятся. Основными вероятностными характеристиками являются поэтому медиана и вероятное отклонение. [c.122]

Число а наз. показателем устойчивого распределения. У.р.с показателем а — 2 — Гаусса распределение, пример У. р. с показателем = I —Коши распределение. [c.261]

Для описания несингулярных магнитных монополей следует перейти к статическому пределу в построенных в III. 1 общих решениях уравнений (4.3) и обеспечить конечность энергетического функционала (4.11) путем наложения соответствующих граничных условий. При этом решения, определяемые необходимым для постановки задачи Коши числом произвольных функций г+, переходят в параметрические, в полной аналогии с соответствующей инстантонной задачей (более подробно см. IV, 1, п. 6). [c.138]

Пользуясь начальными условиями (5.8) и (5.9), принадлежащими к условиям типа Коши, уравнения характеристик (5.7) можно построить хорошо известным способом (см., например, книгу Прагера и Ходжа [36]). На рис. 5.1 показано лишь небольшое число кривых, принадлежапшх к каждому семейству характеристик. Характеристики GA и GE, проходящие [c.50]

В связи с бурным развитием техники в XIX в. возникает большое число инженерных задач, которые требуют немедленного решения. Движение воды начинают изучать опытным путем, и накапливается большое число эмпирических данных. Зарождается техническое (прикладное) направление гидравлики. В этот период появляется много работ А. Пито — изобретатель прибора Пито А. Шези сформулировал параметры подобия потоков Ш. Кулон, Г. Хаген, Б. Сен-Венан, Ж- Пуазёйль, А. Дарси, Вейсбах, Ж. Буссинеск составили формулы расчета гидравлических сопротивлений Г. Хаген, О. Рейнольдс открыли два режима движения жидкости О. Коши, Риич, Фруд, Г. Гельмгольц, [c.259]

Таким образом, при расчете течения в эллиптической области целесообразно применять разностную сетку с переменным шагом. Использование больших шагов разностной сетки в областях с малыми градиентами приводит к тому, что рост погрешностей округления при численном решении задачи Коши для эллиптических уравнений оказывается практически незаметным и не влияет на устойчивость счета. Для проверки этих соображений были проведены специальные расчеты, в которых рассматривалось различное расположение точек на слое. При использовании разностной сетки с постоянным, но мелким шагом рост погрешностей округления в области / приводил к тому, что после небольшого числа шагов в направлении по нормали к линии тока счет становился неустойчивым. При использовании разностной сетки с постоянным, но большим шагом, таким, что рост погрешностей округления в области / был практически неощутим, погрешности аппроксимации в областях II и IV становились настолько значительными, что по-прежнему счет быстро становил- [c.189]

В последующем задаче об изгибе балки уделяли много внимания крупные ученые, в числе которых были Мариотт, Лейбниц, Варньон, Яков Бернулли, Кулон и др.. Пишь в 1826 г. с выходом в свет лекций по строительной механике Навье был завершен сложный путь исканий решения задачи об изгибе балки, затянувшийся во времени почти на двести лет. Навье дал правильное решение этой задачи, им впервые введено понятие напряжения. Им же сделан существенный шаг в направлении упрощения составления уравнений равновесия, состоявший в том, что Навье отметил малость перемещений и возможность относить уравнения равновесия к начальному недеформированному состоянию. Это очень широко используемое положение иногда называют принципом неиз жнности начальных размеров. В истории развития механики деформируемого твердого тела важную роль сыграли такие крупные ученые, как Лагранж, Коши, Пуассон, Сен-Венан. Особо следует отметить заслуги Эйлера, впервые определившего критическое значение сжимающей продольной силы, приложенной к прямолинейному стержню (1744). Решение этой задачи во всей полноте тоже заняло по времени почти двести лет Дело в том, что решение Эйлера было ограничено предположением о линейно-упругом поведении материала, что накладывает ограничение на область применимости полученной Эйлером формулы. Применение эюй формулы за границами ее достоверности и естественное в этом случае несоответствие ее экспериментальным данным на долгое время отвлекло интерес инженеров от этой формулы и лишь в 1889 г. Энгессером была предпринята попытка получить теоретическое решение задачи об устойчивости за пределом пропорциональности. Он предложил 1аменить в формуле Эйлера модуль упругости касательным модулем i = da/di. Однако обоснования этому своему предложению не дал. В 1894 г. природу потери устойчивости при неизменной продольной силе правильно объяснил русский ученый Ясинский и лишь в 1910 г. к аналогичному выводу пришел Карман. Поэтому исторически более справедливо назвать его решением Ясинского —Кармана, предполагая, что Карман выполнил это исследование независимо от Ясинского. [c.7]

Если и, v,w — истинные перемещения, а е , Ву,. .., г х — истинные деформации, то они удовлетворяют соотношения м Коши (5.17) и, следовательно, для истинного состояния бФ = 0. Наоборот, в силу того, что вариации напряжений 6a.v, бсту, ба ., бт у, бту , бт независимы, а объем V произволен, в том числе и достаточно мал, то из условия бФ = О следуют соотношения Коши, так как условие бФ = О может быть выполнено при произвольных и отличных от нуля вариациях напряжении лишь при равенстве нулю содержимого каждой круглой скобки подынтегрального выражения. Таким образом, условие бФ = О эквивалентно выполнению условий совместности деформаций. Принцип возможных изменений напряженного состояния (принцип Кастильяио) состоит в том, что работа статически возможных напряжений на истинных деформациях и [c.201]

Расчет нестационарного теплового режима по моделям с сосредо-ш киными параметрами сводится к решению систем уравнений теплового баланса вида (1.2), (1.3) с начальными условиями (1.6), 7, е. к решению задачи Коши для систем обыкновенных дифференци-a.ibiu.ix уравнений первого порядка. В случае линейных уравнений решение удается представить в аналитическом виде при числе уравнений /V < 4. Для нелинейных задач и в случае /V > 4 точное решение в аналитическом виде получить не удается, за исключением некоторых частных случаев. Поэтому при расчетах нестационарных тепловых режимов систем тел широко применяют численные методы, которые мы сначала рассмотрим применительно к одному уравнению вида [c.27]

Программное обеспечение решения систем уравнений. Для численного решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений и систем таких уравнений имеется достаточно большое число стандартных подпрограмм, реализующих различные одношаговые и многошаговые методы [15]. При применении этих подпрограмм гюльзователь должен составить подпрограмму, в которой производится вычисление правых частей конкретной системы уравнений, а также организовать вывод результатов — значений искомых функций u i при интересующих значениях аргумента Xj. Особенности использования стандартных подпрограмм разберем на примере подпрограммы R KGS из математического обеспечения ЕС ЭВМ, которая реализует схему Рунге—Кутта четвертого порядка для системы N обыкновенных дифференциальных уравнений с автоматическим выбором шага интегрирования. Пример применения этой подпрограммы приведен в следующем параграфе для решения задачи расчета нестационарного теплового режима системы тел. [c.41]

При расчете методом начальных параметров двухточечная краевая задача для элемента или конструкции из последовательно сопряженных элементов сводится к задаче Коши [2]. Начальные данные для нее определяются из системы алгебраических уравнений, порядок которой совпадает с порядком исходной системы дифференциальных уравнений и не зависит от числа элементов в конструкции. Хотя при относительно большой длине оболочек здесь также накапливается погрешность, однако структура метода начальных параметров позволяет, во-первых, анализировать скорость ее накопления и, во-вторых, указать удобный способ снижения этой погрешности до требуемой величины. Анализ численной процедуры метода показьшает, что начальный вектор для задачи Коши всегда получается с машинной точностью. Решение задачи Коши проводится путем последовательного перемножения матриц перехода для элементов конструкции на начальный вектор с получением нового начального вектора. Накопление погрешности происходит на этом этапе расчета конструкции при большой ее длине. Для сохранения требуемой точности расчет конструкции проводится последовательными участками, частично налегающими друг на друга. Длина каждого участка должна не более чем вдвое превышать длину, при которой в мантиссе машинного числа сохраняется достаточное число верных значащих цифр. Расчеты, выполненные на ЭВМ с различной разрядностью чисел, показьшают, что эта длина более чем на порядок превышает интервал которым оценивается качественное различие между короткой и длинной оболочками. При расчете каждого последующего участка используются начальные данные, полученные в расчете предьщущего участка. [c.46]

В статьях С. Л, Каменомостской [15, 16] рассмотрена задача Стефана в самой общей постановке многомерный случай, произвольное число заранее неизвестных поверхностей раздела фаз, зависимость тепловых коэффициентов от температуры. Введено определение обобщенного решения, показано, что классическое решение является обобщенным, доказана его единственность. При помощи метода конечных разностей доказано существование решения краевой задачи и задачи Коши. [c.211]

Всё, что было сказано до сих пор о простейшем случае вариационного исчисления, можно распространить на самый общий случай, в котором под знаком интеграла стоит функция, содержащая произвольно большое число переменных у, з, и, зависящих от одной переменной х, и сверх того еще производные до какого угодно высокого порядка от этих переменных. Когда такая задача сведена к дифференциальному уравнению первого порядка с двумя переменными, то последнее интегрирование также может быть выполнено. Но, чтобы получить этот результат, необходимо привести некоторые теоремы относительно выражений, которые встречаются при решении линейных уравнений и которые названы Лапласом результантами, Гаус-..лом — определителями и Коши — альтернативными функциями. [c.74]

Часто приходится иметь дело с "законами распределения различных функций случайных величин, образованных по схеме суммы большого числа слагаемых. Из законов распределений этого вида можно отметить распределение Коши, которое применяется для описания случайной величины, являющейся тангенсом или котангенсом другой величины, подчиненной закону, равной вероятности (см. п. 4.1) логарифмически — нормальное распределение, т. е. распределение случайной величины X, логарифм которой Ig X подчинен закону Гаусса (см. п. 4.3) распределение частного двух независимых случайных величин, следующих закону Гаусса с нулевым математическим ожиданием (см. п. 4.4) распределение проиждения двух независимых случайных величин (см. п. 4.4) и т. д. [c.118]

В цлтированной выше работе А. А. Соколова указан метод применения теоремы Коши о числе корней аналитической функции в замкнутой области для решения задачи Гурвица путем непосредственного вычисления интеграла от логариц мической произв дной левой части уравнения по полуокружности, лежащей в правой полуплоскости изменения корней и указан прием определения радиуса этой полуокружности, вне ко юрой уравнение не может име1ь корней с положительной вещественной частью. [c.129]

Квантовые граиитац. эффекты приводят также к кардинальной перестройке внутр. строения вращающихся или электрически заряженных ЧД под их горизонтом событий (при этом исчезают т. п. Коши горами-ты), к запрету на образование белых дыр во Вселенной и к существованию нижнего предела массы у ЧД (в том числе у первичных ЧД) М>гПр . Возможно, (fi) что при возникают объекты, промежуточные [c.298]

Большое разнообразие встречающихся в физике Н, у. м. ф. затрудняет развитие общих матем. методов их исследования. Лишь для сравнительно немногих Н. у. м. ф. доказаны теоремы существования и единственности, к таким относятся ур-ния Янга — Миллса, ур-ния Навье — Стокса в двумерном случае, ур-ния газовой динамики. Для ур-ний Навье — Стокса в трёхмерном случае теорема единственности решения задачи Коши до сих пор не доказана. Затруднена даже проблема классификации Н. у. м. ф. Часть их попадает под классич. разделение на эллиптич., гиперболич. и параболич. ур-ния, но значит, число важных Н. у. м. ф. (среди них Кортевега — де Фриса ур-ыие, Кадомцева — Петвиашвили ур-ние) не могут быть отнесены ни к одному из этих типов. Нек-рую классификацию Н. у. м. ф. можно осуществить на основе физ. соображений. Прежде всего это разделение на стационарные и ЭВО.ТЮЦ. ур-ния. Большинство стационарных ур-ний относится к эллиптич. типу. Среди эволюц. ур-ний, явно содержащих производные по времени, можно выделить консервативные Н. у. м. ф., сохраняющие интеграл энергии, и диссипативные Н. у. м. ф., описывающие открытые системы , обменивающиеся энергией с внешним миром . Одним из интересных достижений теории Н. у. м. ф. было обнаружение того факта, что консервативные Н. у. м. ф., как правило, являются гамильтоновыми системами, хотя явное введение кано-иич. переменных зачастую оказывается трудной задачей. Установлена гамильтонова природа большинства консервативных обобщений ур-ний Эйлера и даже системы ур-ний Власова, описывающих плазму без столкновений. Для гамильтоновых систем, близких к линейным, развиты методы теории возмущений, позволяющие учитывать нелинейные эффекты и производить статистич. описание решений. Все перечисленные выше универсальные Н. у. м. ф., за исключением Бюргерса ур-ния и Хохлова — Заболотской ур-ния, являются гамильтоновыми. [c.315]

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ — отображение, сопоставляющее каждой паре ег, векторов к,-л. век-торноео пространства Ь нек-рое число (сх, 2)1 причём выполняются след, условия а) (е , ех) = (сх, е ) ( означает комплексное сопряжение) б) (сх, к е - -4- 1 е ) — Х (е1, е ) -4 Х"(сх, е") в) (е, е) > 0, (е, е) = = о лишь при е = 0. Из этих аксиом следуют неравен ство Коши — Буняковского — Шварца [c.536]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...