Условие начальные Коши

Требуется получить решение этого уравнения на всей оси (—оо < А < оо) при следующих начальных условиях (задача Коши) [c.112]

Разностная схема. Ошибка аппроксимации. Обычно при рассмотрении уравненнй эволюционного типа требуется определить решение в некоторой области G по условиям, заданным на определенных частях ее границы Г. Это могут быть начальные условия (задача Коши) или начальные и граничные условия (краевая задача). В процессе изложения будем формулировать различные краевые задачи как для уравнений (3.1), (3.2), так и для других простейших гиперболических и параболических уравнений. [c.75]

Проще всего численно решаются задачи с начальными условиями (задача Коши), к которым относятся, например, многие задачи динамики систем с конечным числом степеней свободы. Зная начальные условия — смещения и скорости всех точек в начальный момент времени, а также законы изменения возмущающих сил, можно определить и законы движения системы. [c.446]

Имеется большое количество разнообразных численных методов решения уравнений типа (9.2) [6, 13 и др.], из которых для реализации на ЭЦВМ наиболее удобен метод Рунге—Кутта. Отметим, что для распространенных ЭЦВМ обычно имеются стандартные программы решения систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, к которым уравнение (9.2) приводится обычным приемом [90]. Однако предварительно рассматриваемую краевую задачу необходимо свести к задаче с начальными условиями (задаче Коши). Этот во- [c.66]

Б. Аналогично в случае неограниченных сред ненулевые начальные условия (задачи Коши), заданные на конечной части пространства или плоскости, продолжаются по координатам с периодом и таким образом, чтобы волновые поля от продолженных начальных условий несущественно влияли на волновое поле в окрестности заданной части начальных условий. [c.26]

Конкретный вид этих функций определяется из дополнительных условий (начальных, краевых и др.) изучаемой задачи. В частности, для решения задачи Коши приходим к формуле Даламбера [c.108]

Задача сводится к интегрированию уравнения Лапласа при линейных гра-280 ничных и начальных условиях. И Коши, и Пуассон- подвергли детальному исследованию волны, вызываемые местным возмущением свободной поверхности бесконечно глубокого и неограниченного протяженного бассейна, позже были исследованы также некоторые случаи, соответствующие конечной глубине и наличию стенок (сосуда). Уже в XX в. было показано, что для сосуда конечных размеров математическая постановка задачи должна быть существенно изменена. Тем не менее теория Коши — Пуассона бесконечно малых волн имела и имеет большое значение при изучении волновых движений она достаточно хорошо оправдывается опытом, и с ее помощью были выявлены некоторые существенные черты волновых движений. [c.280]

Здесь р = Э//Э , q = Э//Э , а 5 — координата, отсчитываемая вдоль характеристик. Начальные условия типа Коши для системы уравнений (6.14) [c.18]

Зададим для определенности следующие начальные условия о( ) = f о( ) - T y /о(т ) - -о г, а > О, > 0. По физическому смыслу начальные условия типа Коши в таком виде представляют собой граничное условие для функции /, заданное в начальный момент времени г = О на поверхности исходной сосульки. В соответствии с принятым выражением для /о квадрат толщины жидкой пленки в начальный момент времени распределен по поверхности сосульки по линейному закону. Искомая функция f(t, f) при заданных условиях определяется выражением [c.19]

Известно (см., например, [12]), что для уравнений теории упругости, определенных во всем пространстве, существуют фундаментальные решения. С помощью последних можно записать решение задачи с начальными условиями (задачи Коши). Таким образом, вопрос о существовании решения может возникнуть лишь применительно к задаче с граничными условиями, причем этот вопрос сводится к следующему правильно ли поставлены граничные условия, т. е. не противоречивы ли они, нет ли среди них несовместных [c.155]

Ему соответствует известный закон —3 [130] для спектра энергии в двумерном турбулентном поТоке (спектральная плотность энергии равна Уг/А,-). Оба стационарных режима могут существовать одновременно, если возбуждение рассматриваемой системы—либо внешними силами, либо заданием начальных условий (задачи Коши)—осуществляется на некотором промежуточном- уровне / . Тогда при [c.213]

Пусть для системы уравнений (2.2) в некоторой области (при нашем предположении об аналитичности /(х) на всей прямой х этой областью является вся плоскость) выполнены условия теоремы Коши. Отсюда вытекает, что для рассматриваемой динамической системы прошедшее и будущее однозначно определяется настоящим, так как значение начальных условий однозначно определяет движение, или, иначе говоря, решение системы (2.2). [c.107]

Рассмотрим изображающую точку, двигающуюся по интегральной кривой, проходящей через особую точку, по направлению к особой точке. Скорость ее движения, как мы уже говорили, уменьшается и стремится к нулю при неограниченном приближении к состоянию равновесия. Спрашивается, может ли изображающая точка в конечное время достигнуть состояния равновесия или же она, как мы указали, может лишь асимптотически к нему приближаться, никогда его не достигая Предположим, что имеет место первый случай, т. е. что изображающая точка, двигаясь по закону x — x t), y=y t), находится вне состояния равновесия в момент времени t — и достигает состояния равновесия с координатами дг = дг , у=у в некоторый определенный момент времени t ), т. е. что х = х (ij), =у (ii). Но тогда мы получили бы два решения, удовлетворяющих одним и тем же начальным условиям при t = t х = х , у = —одно х = х , у=у , другое x — x t),y=y t). Последнее невозможно, так как в точке дг , у , как это только что отмечалось для системы уравнений (2.2), выполняются условия теоремы Коши. [c.108]

Пусть нам даны начальные условия х = х при t = to, или, иначе, пусть на плоскости Ь, х дана точка с координатами ( о, дго). Если для уравнения (4.1) выполнены условия теоремы Коши ) (например, если функция f(x ) является аналитической на некотором интервале, X [c.241]

Рассмотрим пример, имеющий физический интерес, когда условия теоремы Коши не выполнены. Именно, рассмотрим равноускоренное падение тела массы т с ускорением g в случае, когда начальная скорость равна нулю (рис. 158). [c.242]

Условия теоремы Коши о существовании и единственности решения системы дифференциальных уравнений (см. Дополнение 1) для уравнений (5.1), очевидно, выполнены, и поэтому существует единственная система функций x = x t), y=y t), удовлетворяющая уравнениям (5.1) и заданным начальным условиям x = Xq, у=уц при t = Так как решение зависит от начальных условий, то иногда, для того чтобы подчеркнуть это обстоятельство, мы будем записывать такое решение в следующем виде [c.289]

Перейдем к анализу задачи Коши для полного локализованного уравнения (10.76), выбрав в качестве дополнительных условий начальное распределение концентраций и начальную производную по времени, найденную из усредненного интегро-дифференциального уравнения (10.72) при =0, [c.243]

Когда начальные условия для соответствующей задачи Коши совпадут, то совпадут и решения. Другими словами, ес.ни удельная сила, действующая на элемент материальной нити, выражается как градиент функции V. то кривая, по которой располагается нить, тождественна с траекторией движения свободной материальной точки в поле силы, имеющей силовую функцию [c.372]

Отвечающее этим начальным условиям решение системы есть характеристика задачи Коши для уравнения Гамильтона-Якоби. Выберем значение <1 настолько близким к чтобы характеристики, выходящие из близких друг к другу точек qo, не пересекались при 0 < < < 1. Значения q([c.648]

Задача построения решения системы дифференциальных уравнений движения материальной точки, удовлетворяющей определенным начальным условиям, называется задачей Коши.Это одна из простейших проблем теории интегрирования дифференциальных уравнений. Известно, что эта задача решается при довольно широких предположениях относительно аналитических свойств правых частей уравнений (IV.2) ). [c.323]

Найти решение задачи Коши для уравнения Г—Я с начальными условиями 5(х, 0)=So(x). [c.272]

Основная сложность при решении уравнений заключается в том, что задачи статики стержней относятся к двухточечным краевым задачам, когда решение должно удовлетворять определенным условиям в начале и в конце интервала интегрирования, в отличие от одноточечных краевых задач — задач Коши, когда все условия, которым должно удовлетворять решение, известны в начале интервала интегрирования. Поэтому хорошо разработанные методы решения систем дифференциальных линейных (и нелинейных) уравнений для одноточечных задач использовать для решения двухточечных задач в общем случае нельзя. В настоящее время имеется ряд методов численного решения линейных двухточечных задач (имея в виду стержни), которые получили распространение в расчетной практике метод начальных параметров, метод прогонки [2], метод конечных элементов [15]. Точное аналитическое решение линейных уравнений равновесия стержня, например (1.112) — (1.115), возможно только для случая, когда элементы матрицы Ах— постоянные числа [этот случай будет рассмотрен в 5.2, где изложены теория и методы расчета винтовых стержней (цилиндрических пружин)]. Для уравнений с переменными коэффициентами возможны только численные или приближенные методы решения. [c.61]

В естественных задачах динамики начальные условия одпо-значно определяют решения задачи Коши для уравнений движения. [c.94]

Задача Коши (3.2) для уравнения (3.1) имеет единственное решение, если функция / непрерывна по всем своим аргументам в некоторой замкнутой области D, содержащей значения (3.2), соответствуюш,ие начальным условиям, и удовлетворяет в D условию Липшица относительно аргументов у, у, . .., y - [c.97]

Отметим, что условие (3.3) выполняется, если функция / имеет в D непрерывные частные производные по у, у, . .., / . Таким образом, существование и единственность решения задачи Коши обусловливается достаточной гладкостью функции / в окрестности начальных условий. [c.97]

Начальные условия указанного вида, в которых в начальный момент времени задаются значения искомой функции и ее производных по времени, называются начальными условиями Коши. Число этих условий равно порядку старшей производной по времени, содержащейся в уравнении. [c.122]

Существенно, к решению какой задачи будем применять преобразование (6.2) к задаче Коши или к краевой задаче. Будем ориентироваться на задачу Коши, когда задаются начальные условия при t = 0 [c.195]

Для числового регпения ОДУ при заданных начальных условиях (задача Коши) разработано большое количество численных методов, причем многие из эффективных методов получили развитие под влиянием потребностей автоматизированного проектирования. Специфика алгебраизацни производных по времени и обусловливает [c.44]

Пользуясь начальными условиями (5.8) и (5.9), принадлежащими к условиям типа Коши, уравнения характеристик (5.7) можно построить хорошо известным способом (см., например, книгу Прагера и Ходжа [36]). На рис. 5.1 показано лишь небольшое число кривых, принадлежапшх к каждому семейству характеристик. Характеристики GA и GE, проходящие [c.50]

Наиболее известные из имеющихся результатов отйосятся к изучению бесконечного пространства с начальными условиями (задача Коши), краевых задач для полупространства и некоторых специальных областей, допускающих разделение переменных. [c.312]

Для численного интегрирования дифференциальных уравнений используем представление решения в виде спдайна [17]. Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка с начальным условием (задача Коши) [c.424]

Как ранее указано (12), она имеет 2 интеграла и[х, 2/. г) = С, v(x, у, г) = С . Тогда общее решение ур-ия (13) примет вид и = = /(м), где /—произвольная ф-ия. Т. о. об1цее решение Д. у. с частными производными зависит от произвольной ф-ии. Для ее определения д. б. даны начальные условия (задача Коши) при X = Хд, 2 должна обращаться в данную ф-ию <р(у), а именно г = qJ(y]. [c.455]

Исследова-нию задачи о действии на улругое тело мгновенного импульса посвящены работы многих авторов. Здесь прежде всего следует указать на работы 30-х годов В. И. Смирнова и С. Л. Соболева [101, 102, 108], определившие в Советском Союзе направление исследований по динамической теории упругости на многие годы. В этих работах на -основе функционально-инвариантных решений волнового уравнения дано полное решение плоской задачи Лэмба, задачи о действии внутреннего источника колебаний для полуплоскости и общей задачи Коши для по--луплоскости при произвольных краевых условиях, начальных данных и массовых силах. [c.315]

Найдем решение этого уравнения, соответствующее начальным условиям t = to, х = Хо- Нетрудно видеть, что при этом значении х функция f x) = 2g x — Хо) неголоморфна, так как производная / х) обращается в бесконечность при х = Хо и, следовательно, в этой точке не существует разложения в ряд Тейлора. Таким образом, на плоскости t, X вдоль прямой х = Хо условия теоремы Коши не соблюдены. Отсюда мы можем заключить, что в точках этой прямой возможны, случаи неединственности решений, случаи несуществования и т. -д. [c.242]

Уравнения движения материальной точки удовлетворяют принципу детерминированности Ньютона, что эквивалентно выполнению условий существования и единственности решений задачи Кошй для соответствующей системы дифференциальных уравнений. Поэтому каждой совокупности начальных условий отвечает одно движение. [c.172]

Замечание 8.12.1. Использование принципа Гамильтона приводит к необходимости решать краевую задачу, то есть задачу о поиске решения системы дифференциальных уравнений движения, удовлетворяющего заданным краевым условиям q(системы дифференциальных уравнений определяется по начальным условиям q(to), Задача Коши в силу принципа [c.613]

Для решения задачи Коши для системы (5.7) с начальными условиями, определяемыми из систем (5.8) — (5.9) существует много методов, доведенных до стандартных программ отметим, что экономичные методы решения данной задачи строятся по аналогии со способами, применяемыми в различных вариантах метода сеток. Формулировку метода для параболических уравнений можно найти в книге Стрэнга и Фикса [33]. [c.214]

Полученное решение не единственно тем же начальным условиям и дифференциальному уравнению (19) можно удовлетворить, полагая х 5= 0. В обсуждение этого на первый взгляд парадоксального для задач динамики результата мы подробнее вдаваться не будем, укажем лишь, что полученный результат не противоречит сказанному в 87 об единственности решеглш задачи тина Коши. Точка t = О, х = О является особой точкой, так как в ней обращается в нуль коэффициент при старшей производной в уравнении (19). В этой точке ускорение неопределенно нетривиальному решению х = gf l6 при t = О соответствует, как легко убедиться, ускорение д о -= g/3, в то время как решение л = О дает Ха = 0. [c.114]

Если же в рассматриваемой задаче граничные условия отсутствуют, а начальные — имеют вид условий Коши, то соответствующую задачу математической физики называют задачей Коши. Например, згдача о ргспространении тепла в бесконечном пространстве, которая сводится к отысканию решения уравнения [c.126]

Задачи (4.16), (4.17) и (4.18) показывают, что применительно к уравнению Лапласа ставятся краевые задачи. Задачу Коши для уравнения Лапласа избегают ставить, поскольку она может оказаться неустойчивой [34]. Задачей Коши применительно к процессам или состояниям, не зависящим от времени, называют з- дачу, в которой на некоторой незамкнутой поверхности S задаются значения искомой функции и ее производных по нормали к поверхности S. Это согласуется с геометрической интерпретацией нестационарной зздачи Коши, областью определения которой является полупространство / > О, а задание начальных условий [c.127]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...