Метод сферических функций

Метод сферических функций применим также для решения уравнения [c.174]

Широко используется также при решении задач теории - переноса излучения метод сферических гармоник, т. е. метод разложения интенсивности излучения по полиномам Лежандра. При этом уравнение переноса сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений относительно весовых функций разложения. [c.143]

СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ (сферические гармоники)— спец. функции, возникающие, напр., при отыскании ограниченных решений ур-ния Лапласа Ди = 0 в сферич. координатах (г, 0, <р) методом разделения переменных. Введены в кон. 18 в. А. Лежандром и П. Лапласом. Полагая = (г, 9, (p) = JJ(r) У(0, ф), после разделения переменных для К(0, Ф) получаем ур-ние [c.37]

Таким образом, показано, что статические и геометрические уравнения безмоментной теории оболочек, имеющих форму поверхностей второго порядка, приводятся к виду (13.6.6) и (13.6.9) соответственно. Они аналогичны преобразованным уравнениям (13.2.7) и (13.2.9) безмоментной теории сферической оболочки, и, следовательно, показана возможность применить методы теории функций комплексного переменного и к расчету безмоментной оболочки, очерченной по любой поверхности второго порядка положительной кривизны [29, 43]. Не останавливаясь на подробностях, сформулируем связанные с этим обобщения результатов 13.4. [c.191]

Предположим, чю, как и при отсутствии вращения, возвышение поверх ности может быть представлено зональной сферической функцией второго порядка. Формулы (3) 215 подсказывают при применении этого метода исходить из следующего типа [c.423]

Р. Н. Кауфман (1958) рассмотрела задачу об упругом слое, содержащем шаровую полость метод ее решения состоит в переносе начала координат сферической системы и введении формул переноса для сферических функций в другой статье Кауфман (1964) решила тем же методом [c.22]

В этой фундаментальной главе была дана простая, но полная теория аберраций аксиально-симметричных фокусирующих систем, включая геометрические аберрации третьего порядка, хроматическую аберрацию и другие источники ошибок. Вначале был введен метод характеристических функций, который образует основу теории. Уравнения (5.65) — (5.67) определяют геометрические аберрации третьего порядка. Значительное внимание уделено сферической аберрации. Разный вид ее коэффициентов дается формулами (5.111), (5.121) и (5.132). Уравнения (5.79) и (5.82) определяют диск сферической аберрации. Уравнение [c.353]

Определение степени подвижности для ряда механизмов — трудная задача. Для ее решения нужно сначала составить уравнения связи между параметрами относительного движения звеньев, используя методы определения функций положения (см. п. 5.1). Напомним, что для пары звеньев, соединенных кинематической парой, число параметров в относительном движении зависит от класса кинематической пары. Так, при соединений двух звеньев сферической парой относительное движение определяется тремя параметрами — углами поворота ф , Ч>2 и фз вокруг трех осей. [c.21]

Таким образом, задача о разложении заданной на сфере Q функции /(0, X) в ряд сферических функций есть задача о наилучшем приближении к заданной совокупности ее значений на сфере путем комбинации осциллирующих функций. А это, по существу самого метода, совершенно соответствует задаче о разложении функции одной переменной в тригонометрический ряд Фурье. [c.192]

В настоящем разделе рассмотрена с помощью метода сферических гармоник задача о плоском изотропном источнике в бесконечной среде, В рамках этого метода угловая зависимость потока учитывается с помощью разложения в ряд по полной системе элементарных функций. В общем случае естественным выбором являются сферические гармоники, но для плоской и сферической геометрий они сводятся к полиномам Лежандра. [c.67]

Из свойств полиномов Лежандра известно, что функции Рл (м-) имеют точно N нулей в интервале—1 1. Это позволяет выполнить сформулированные требования. Для четных N имеется четное число направлений и четное число уравнений (5.5), соответствующих уравнениям метода сферических гармоник нечетного порядка. Таким образом, N = 2 в методе дискретных ординат соответствует Рх-приближению в методе сферических гармоник. [c.172]

Этот же результат может быть получен классическим методом разложения решений волнового уравнения по сферическим функциям путем гораздо более громоздких выкладок.) [c.248]

Все величины в правой части уравнения (3.18) рассматриваются как решения невозмущенной системы (3.16). Используя результаты, полученные В. Томсоном, применившим метод решения линейной системы (3.18) в сферических функциях, и учитывая малость диссипативных сил, представим ее решение в виде [c.299]

Первое уравнение преобразованной системы полезно сопоставить с аналогичным уравнением в теории сферического маятника ( 3.12). Сходство этих уравнений обусловливает сходство методов исследования движения. Закон u t) определяется свойствами функции /(и). [c.480]

В 10 гл. I было показано, что решение задачи Дирихле для шара может быть получено методом разделения переменных с привлечением присоединенных сферических функций. Если же вспомнить, что в 5 гл. III было установлено, что решение пер вой основной задачи теории упругости для шара может быть сведено к трем задачам Дирихле, то появляется возможность непосредственно реализовать метод разделения переменных и для решения задач теории упругости (рассуждения в случае второй основной задачи аналогичны, но более громоздки). Применим метод разделения переменных с использованием представлений Папковича — Нейбера при решении задачи для шара. Первоначально найдем решение осесимметричной задачи, которое позволит построить функцию Грина уже для произвольного случая нагружения. [c.333]

Математические трудности, возникающие при решении ин-тегродифференциальных уравнений, привели к появлению ряда приближенных методов решения уравнения переноса излучения. В приближениях оптически тонкого и оптически толстого слоев (последнее называется также диффузионным приближением, или приближением Росселанда) используются упрощения, вытекающие из предельного значения толщины среды. В приближениях Эддингтона и Шустера — Шварцшильда упрощения связаны с введением допущений об угловом распределении интенсивности излучения. В методе экспоненциальной аппроксимации ядра интегроэкспоненциальные функции в формальном решении заменяются экспонентами. Метод сферических гармоник, метод моментов и метод дискретных ординат — наиболее разработанные методы, позволяющие получить приближения более высоких порядков. [c.340]

Предложенный выше метод определения функции дополнительного смещения на базе модельных представлений о микрорельефе поверхности позволяет получить эту функцию расчётным путём. На рис. 1.17 приведены функции дополнительного смещения, рассчитанные для трёхуровневой системы сферических инденторов, расположенных в узлах гексагональной решётки с шагом I/R = 1 и характеризуемых относительными разницами высот уровней (ho — hi)/R = 0,01, ho - h2)/R = 0,015 (кривая 1) и для одноуровневой системы сферических инденторов, расположенных в узлах гексагональной решётки, с шагом //Л = 1 (кривая 2) и //Л = 0,5 (кривая 3). Расчёты проведены по формуле (1.47), где функции pi[x,y) получены из решения интегральных уравнений (1.17) и (1.23)-(1.25). Расчёты показывают, что с увеличением номинального давления и, следовательно, с рос- [c.61]

Существенного успеха по сравнению с тем, что было достигнуто геометрическими методами, впервые добился Лежандр в мемуаре Исследования о прйтяжении однородных эллипсоидов , представленном Парижской академии в 1785 г. несомненно, работа была закончена на год или два года раньше. Лежандр справедливо указывает, что хотя Лагранж рассмотрел задачу о притяжении во всей общности, но фактически провести интегрирование ему удалось только в тех случа ях, которые были уже исследованы Маклоре-ном. Лежандр доказывает новую важную теорему если известна сила притяжения телом вращения любой внешней точки на продолжении оси тела, то она известна для любого положения внешней точки. Это позволяет ему обобщить теорему Маклорена о софокусных эллипсоидах вращения (обобщение теоремы на случаи трехосных софокусных эллипсоидов позже удалось Лапласу). Лежандр впервые вводит в этом мемуаре разложение в ряд по полиномам, названным его именем (по сферическим функциям), и здесь же впервые появляется силовая (или потенциальная) функция, но с указанием, что эта идея принадлежит Лапласу. По оценке Тодхантера, ни один мемуар в истории рассматриваемого вопроса не может соперничать с этим мемуаром Лежандра. В течение сорока лет средства анализа, даже в руках Даламбера, Лагранжа и Лапласа, не продвинули теорию притяжения эллипсоидов дальше того рубежа, на который вышла геометрия Маклорена.... Лежандр обобщил главный результат этой геометрии... Введение и применение круговых функций начинает новую эру в математической физике. [c.152]

Если применить метод инверсии i) к указанной выше конфигураши источников, то можно показать, что объемная сферическая функция [c.138]

Если на поверхность шара действуют силы, удовлетворяющие условиям равновесия шара как абсолютно твёрдого тела, то, предполагая их развёртывающимися в ряд сферических функций, получим, что задача о деформации шара может быть решена точно. Решение принадлежит Виллиаму Томсону, применившему метод решения в сферических функциях. [c.140]

В случае простейших объектов (пластинки, круговой цилиндрической и сферической оболочек) алгоритм степенного ряда может быть доведен до ИЗЯШ.НЫХ формул символического метода А, И. Лурье (1942, 1955) или до метода начальных функций В. 3. Власова (1955). Символический метод применен также для вывода упрош,енных уравнений динамики с малыми показателями изменяемости (У. К. Нигул, 1963) однако краевые условия к уравнениям равновесия толстых пластинок получены с использованием вариационной формулировки задачи (В. К. Прокопов, 1965). [c.262]

Задача об определении напряжений и деформаций в упругом твердом теле под действием данных массовых сил и при заданных поверхностных силах, или при условии, что под действием этих последних поверхность тела принимает заданную форму, приводится к аналитической задаче об определении функций, выражающих проекции смещения. Эти функции должны удовлетворять всем диференциальным уравнениям равновесия в каждой точке внутри тела, а также некоторым условиям на его поверхности. Методы, предложенные для интегрирования этих уравнений, распадаются на два класса. Методы одного из этих дбух классов состоят в том, что сначала разыскиваются частные решения для того чтобы удовлетворить граничным условиям, решение представляют в виде конечного или бесконечного ряда, состоящего из частных решений. Частные решения обычно могут быть выражены через гармонические функции. Этот метод решения можно рассматривать, как обобщение разложения по сферическим функциям или обобщение тригонометрических рядов. Методы второго класса состоят в том, что искомую величину выражают в виде определенного интеграла, элементы которого имеют особые точки, распределенные по поверхности или объему, тот тип решения является обобщением методов, которые Грин ввел в теорию потенциала. К моменту открытия общих уравнений теории упругости, метод рядов был уже применен к астрономическим, акустический проблемам и к проблемам теплопроводности ), а метод решений, имеющих особые точки, еще не был изобретен ). Ламе и Клапейрон ) первые применили метод разложения в ряд к проблемам равновесия упругих твердых тел. Они рассматривали случай тела, ограниченного бесконечной плоскбстЬю и находящегося под давлением, распределенным по какому-либо вакону. Позже Ламе °) рассматривал проблему тела, ограниченного сферической поверхностью и деформируемого данными повер ностными силами. Задача а распределении напряжений в полупространстве, ограниченном плоскостью, в основном совпадает с проблемой передачи внутрь тела действия силы, при- [c.28]

Плоская деформация в круговом цилиндре ). Метод, вполне аналогичный развитому в 183 и 185, может быть применен и к задаче о плоской деформаций в круговом цилиндре. Пусть будут г, в полярные координаты на плоскости (х, у), в которой происходят смещения. В качестве гармонического полинома целого порядка служит выражение г" (а, os я9-f--j-sin л6), где а и — постоянные коэфициетт при г" аналогичен поверхностной сферической функции решение, кото юе здесь играет такую же роль, как (38) 183, будет [c.282]

Точную траекторию движения ИСЗ можно определить одним из методов численного интегрирования. Например, методом Адамса Рунге — Кутта и др. Шаг интегрирования обычно выбирают в диапазоне 10—60 с. Поле притяжения Земли описывают зональными тессеральными и секториальными гармониками до 8-го порядка включительно в разложении потенциала поля по сферическим функциям. Если высота орбиты меньше 1000 км, то возмущения от Луны и Солнца можно не учитывать. Для более высоких орбит уже необходимо учитывать эти возмущения. Плотность атмосферы на высотах до 1500 км задают в соответствии с динамической модзлью верхней атмосферы с поправкой на текущий индекс солнечной активности [10]. [c.403]

Прежде всего интервал изменения угловых переменных строго фиксирован и угловая зависимость нейтронного потока внутри этого интервала в зн ачитель ной мере одинакова в различных задачах. Зависимость же потока от энергии и пространственной переменной совершенно различна, например, в небольшом реакторе на быстрых нейтронах и большом реакторе на тепловых. Тем не менее для ограниченного числа типов реакторов можно аппроксимировать энергетическую зависимость потока несколькими, возможно одним или двумя, членами разложения [4]. Кроме того, для систем с большими (в единицах средней длины свободного пробега) простыми зонами, таких, как голый гомогенный реактор, пространственное распределение нейтронов можно также аппроксимировать одной или двумя гармониками. Именно для таких систем пригодна асимптотическая теория реакторов. Хотя разложение нейтронного потока по простым энергетическим или пространственным функциям может оказаться приемлемым для некоторых специальных случаев, однако этот метод неприменим для изучения большого числа систем, для которых решение можно получить многогрупповым методом сферических гармоник. [c.135]

В настояш ее время развиваются различные способы для устранения погрешностей самого МТ-приближенпя, например, [247—249] и ссылки в [249]. Но даже есдп такой НМТ-потенциал построен, то решение уравнения Шредингера для него представляет собой трудную задачу. На эту тему выполнен ряд интересных работ. В частности, проведено [250, 251] обобщение метода фазовых функций на случай сферически-несимметричных потенциалов. Имеется серия работ [252—258], основанных на идее [259] замены орбитальных квантовых чисел I, т для сферически-симметричного рассеивателя на новые квантовые числа, в представлении которых матрица фазовых сдвигов снова становится диагональной. (Так как для несферического рассеивателя орбитальный момент количества движения перестает быть интегралом движения, то матрица фазовых сдвигов в представлении орбитальных чисел I не может быть диагональной.) Однако все эти методы весьма сложны и не получили широкого распространения. [c.120]

В двух посдадуюпщх цримерах приведены сравнения цриближен-иых решений с точными решениями по методу пробных функций /23/, когда поверхность полости отлична от сферической. [c.75]

Общий метод решения этой задачи состоит в том, что мы составляем волновое уравнение в сферических координатах и находим его общее решение, выраженное рядом по сферическим функциям. Зател мы находим радиальную скорость как [c.329]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...