Метод пробных функций

Эффективность полученного решения зависит от того, насколько хорошо пробная функция аппроксимирует точное решение при значениях параметров а, р, у,..., полученных из условий (53.9). Общие особенности точного решения обычно удается выяснить исходя из общих особенностей задачи. Рассмотрим в качестве примера нахождение энергии и волновой функции основного состояния атома водорода вариационным методом. Пусть пробной функцией, учитывая сферическую симметрию задачи, будет [c.281]

Основные этапы применения метода конечных элементов для приближенного решения сформулированной вариационной задачи следующие. Вначале область решения разбивается на конечное число подобластей, называемых конечными элементами. Разбиение на элементы может быть выполнено множеством разных способов, так как выбор размеров и форм элементов в общем случае произволен. Элементы для плоского тела обычно -имеют треугольную или четырехугольную форму. Разбиение области решения на конечные элементы и условия непрерывности, накладываемые на пробные функции, позволяют записать функционал (23.25) в виде суммы [c.247]

Пределы, задаваемые неравенством (19), не слишком ограничительны. Они содержат лишь информацию о вероятности, с которой е принимает частные значения. (Для двухфазной среды это означает просто объемные доли.) Одна из целей статистической теории заключается в том, чтобы ввести в выражения для границ более полную информацию. Это делается путем выбора более удачных пробных функций ф и D . Как будет показано в разд. V, для того чтобы выражения для границ включали информацию о форме и упаковке компонентов, удобно использовать пробные функции, естественно возникающие при исследовании статистической задачи методом возмущений. [c.249]

Теперь мы кратко рассмотрим основные положения методов граничных элементов, применяемых в линейной теории упругости, которые основаны на интегральных уравнениях. Рассмотрим глобальную пробную функцию Uk (т. е. функцию, заданную для всего твердого тела) и глобальную весовую функцию о. Пусть уравнения совместности, а также зависимости между напряжениями и деформациями будут удовлетворяться априори, т. е. [c.203]

Вариационный метод решения уравнения (2-80) состоит в выборе пробных функций включающих некоторое число произвольных параметров и определяющихся соотношением [c.50]

Для нахождения коэффициентов разложения пробных функций необходимо найти экстремум функции g(h.k) при условии =0. Экстремум функции находится с помощью метода множителей Лагранжа [Л. 3]. С помощью уравнения (2-98) и уравнения [c.54]

Полученные величины затабулированы в зависимости от б в табл. 1 (третий столбец). Во втором столбце этой таблицы представлены результаты, найденные Виллисом путем численного решения уравнения (5.19). Следует отметить исключительное совпадение. Но можно увидеть нечто большее, а именно результаты, найденные при помощи вариационного метода, точнее результатов Виллиса. В самом деле, вариационный метод дает для завышенные значения. В то же время величины в третьем столбце нигде не больше соответствующих значений второго столбца. В четвертом столбце приведены результаты, найденные с использованием кубической пробной функции [c.231]

Другой метод основан на применении вариационного принципа, рассмотренного в конце разд. 6 гл. IV. Берется пробная функция Я, содержащая несколько параметров, которые подбираются так, чтобы минимизировать функционал /(Я) в (IV. 6.28) в результате получается аппроксимация для Я. Ценность метода повышается тем обстоятельством, что значение /(Я) при Н = к можно связать с коэффициентами переноса действительно, из (IV. 6.28) при Гг = к (так что Иг = д) находим [c.274]

Вариационный метод основан на существовании вариационного принципа, соответствующего данному уравнению. Вариационный принцип утверждает, что пробная функция Я, содержащая некоторое число неопределенных постоянных обращает вариацию функционала I (Я) в нуль тогда и только тогда, когда Н — Н, где /г — решение данного уравнения. Выражение / является функцией констант приравнивая нулю частные производные от этой функции по Си получаем систему уравнений, которая, согласно вариационному принципу, определяет наилучшие значения с Метод особенно ценен благодаря тому обстоятельству, что обычно суммарные величины, представляющие наибольший интерес, можно выразить через величину / при Н = 1г кроме того, если ошибка в определении к имеет порядок е, то ошибка в определении / имеет порядок [c.396]

Вариационные методы широко применялись к задачам переноса нейтронов. Здесь, конечно, уравнение линейно и метод работает вполне хорошо, хотя в тех случаях, когда доминируют захват или деление, выбор пробных функций — дело нетривиальное [22, 58—66]. [c.399]

Условия ортогональности позволяют применить вариационный метод для отыскания более высоких уровней спектра. Для этого необходимо при нахождении собственного решения некоторого уровня использовать пробные функции, не только удовлетворяющие дополнительным условиям (3.17), (3.18), но и ортогональные ко всем собственным функциям более низких уровней. [c.25]

Идея обобщения энергетических методов связана с обобщением утверждения, которое лежит в основе доказательства энергетических теорем потенциальная энергия системы (дополнительная работа), подсчитанная для упругого состояния, представляющего собой разность допустимого и истинного состояний, должна быть положительна. На языке функционального анализа это означает, что соответствующим образом определенное (в энергетической норме) расстояние между пробной функцией, отвечающей допустимому состоянию, и решением должно быть положительно. Соответственно отыскание среди множества кинематически (статически) допустимых пробных функций такой, для которой это расстояния равно нулю, означает, что найдено решение, доставляющее минимум функционалу потенциальной энергии системы (дополнительной работы). [c.97]

Полученные здесь вариационные принципы могут быть использованы для нахождения приближенных решений уравнения Больцмана с помощью методов, развитых в задачах 28.4 и 28.5. Однако выбор подходящей пробной функции в общем случае гораздо более сложен. [c.631]

Трудности решения этого уравнения заключаются пре де всего в том, что искомые решения фу входят в р в члене взаимоде -ствия. Для решения в этом случае используется процесс итерации. Пробная функция фу подставляется в р, после чего в качестве решения уравнения получается лучшее значение фу, которое вновь подставляется в р, и т. д. (метод самосогласованного поля). [c.27]

В двух посдадуюпщх цримерах приведены сравнения цриближен-иых решений с точными решениями по методу пробных функций /23/, когда поверхность полости отлична от сферической. [c.75]

В своей предыдущей монографии ) по методу конечных элементов авторы нспользовалн принцип от общего к частному . Вначале были даны формулировки физических задач, нх классификация и метод приближенного решения с применением пробнь1х функций. Затем было показано, что метод конечных элементов является частным случаем метода пробных функций, и развиты его основные положения. В последующих главах более детально рассматривались различные аспекты метода конечных элементов и демонстрировались приложения к широкому кругу физических задач. [c.6]

Первое численное решение уравнений в частных производных для задач гидродинамики вязкой жидкости было дано Томом в 1933 г. В 1938 г. Шортли и Уэллер разработали метод, являвшийся, по существу, более сложным варианнтом метода Либмана. Они предложили блочную релаксацию, метод пробной функции, релаксацию погрешности, методы измельчения сетки и экстраполяцию погрешности. Они также впервые точно определили и исследовали скорость сходимости. [c.18]

Главным достоинством вариационного метода является то, что в этом случае коэффициенты и Lj 2 постоянны и имеют вид (14.23). Именно эти коэффициенты требуются для расчета проводимостей они более важны, чем функции с. Таким образом, если взята пробная функция с,, имеющая некоторые подгоночные параметры, и эти параметры выбраны так, что величина ( С(, с,) максимальна при условии (S- ,, f) = jf, с,), то такое значение (tp, с,) отличается от требуемого только членами порядка (6с, ос), где ос= с—с,. Соответственно если взят другой класс пробных функций и если предыдущая операция дает большее значение (ср, с,), то эта новая величина является лучшим приближением. С другой стороны, успех метода пока зависит от выбора пробной функции. Семейство пробных функций образует подпространство в гильбертовом пространстве, составленном из функций с. Требуемое решение имеет компоненту ос, ортогональную к этому подпространству ошибка в величине (9, с) второго порядка малости относительно ос, но если eMeii TBO пробных функций выбрано плохо, то 8с может быть еще достаточно большим, чтобы эти члены второго порядка были значительными. [c.264]

Метод Ритца. В качестве пробной функции берется линейная комбинация функций ф , которые наиболее естественным образом соответствуют условиям задачи [c.282]

Сушесгвуюг и другие методы введения вариа[щонных параметров в пробные функции. Суть их та же самая, и мы не будем на них останавливаться, Отметим лишь, что во многих случаях с помощью этих методов можно получить удовлетворительное решение задачи для сложных атомов. [c.282]

Возвращаясь к соотношению (63), выберем теперь пробную функцию Ели которая позволит нам учесть в выводе границ статистическую информацию [3]. Возьмем в качестве такой пробной функции взвешенную сумму решений уравнения (30), полученных при помощи метода возмущений Ei = df jdxi). Положим [c.268]

Формулировка метода конечных элементов. Основные соотношения МКЭ для задач статики и динамики конструкций могут быть получены как обобщения известных вариационных методов Галеркина, Ритца и других, например коллокации, наименьших квадратов, на пространство кусочно-непрерывных базисных или пробных функций специального вида [47]. Для построения этого пространства исходная расчетная область D (конструкция или ее отдельные элементы) покрывается сеткой, составленной из совокупности М достаточно простых непересекающихся подобластей - конечных элементов Д , связанных между собой в отдель- [c.104]

Реализация метода пробных решений ничем не отличается от описываемого выше, число итераций не больше Z-5. Искомые значения вычисляются из значений параметров (4) или (5), удовлетворяющих условию (i). Как и при поиске функций A(TJ, />с (т/ точность метода зависит от уровня диснретности исходных данных (вели- [c.343]

Приведенный алгоритм основан на методе Релея-Ритца. Его иде заключается в том, что бесконечномерная задача заменяется п-мерной, то есть введением п пробных функций v= V ,v= V ,..., о = V. В классе всевозможных линейных комбинаций +. .. + вычисляется такая частная комбинация w = u V +. .. + + uV, которая минимизирует П(У). [c.22]

Предположим, что можно задать как пробную, так и весовую функции таким образом, что они удовлетворят дифференциальному уравнению точно. В результате погрешность по области будет точно равна нулю. Теперь остается лишь удовлетворить граничным условиям некоторым образом по взвешенным невязкам. Отсюда следует, что в некоторых задачах необходимо лишь дискретизировать границу области. Подобые методы называются методами граничных элементов. Для задач линейной теории упругости известны два метода, которые были изучены достаточно подробно метод интегральных уравнений [57, 58] и метод краевых функций [59]. В первом из них в качестве весовых функций выбираются сингулярные решения определяющего дифференциального уравнения, в то время как во втором весовые функции удовлетворяют однородным дифференциальным уравнениям. [c.203]

Еще один гранично-элементный подход к исследованию трещин в трехмерных телах основывается на методе краевых функций [69, 70]. При этом подходе в качестве пробных функций перемещений используются асимптотические решения уравнений Навье, для удовлетворения граничных условий в среднем используется метод граничных взвешенных невязок. В случае эллиптической трещины асимптотические решения, полученные за счет использования гармонического потенциала Сегедина [71], складываются с другими асимптотическими решениями с целью формирования заданного решения. Этот метод ограничен случаем, когда форму трещины можно представить математическими средствами, и не нашел широкого применения. [c.208]

Для решения плоских задач механики разрушения, а также сквозных трещин в толстых пластинах, подвергнутых растягивающим и изгибающим нагрузкам, был использован еще один вариант описанной выше концепции суперпозиции [76—78]. В рамках этого подхода, который аналогичен глобально-локальной формулировке метода конечных элементов [79], пробные функции перемещений, используемые в гфинципе виртуальной работы, состоят из двух частей (1) из множества обычных (несингулярных) конечно-элементных базисных функций, которые, если их рассматривать в качестве глобальных функций формы, соответствующих единичному перемещению на каждом узле, будут иметь ненулевые значения только на элементах, содержащих рассматриваемый узел в качестве общего (т. е. имеют локальный носитель) (2) из аналитического решения, которое включает в себя изменения напряжения типа l/ /r и О (г), причем это решение справедливо глобально. [c.210]

С математической точки зрения МКЭ представляет собой обобщение метода Рэлея—Ритца—Галеркина, обеспечивающего минимизацию функционала потенциальной энергии путем отыскания линейной комбинации пробных функций [c.8]

В связи с вышесказанным в последнее время чаще используют так называемые полузмпирические методь [83, 84]. Полузмпирические методы отличаются от вьппеописанных более тщательным выбором пробных функций. [c.54]

Различают несколько вариантов метода МО в зависимости от выбора пробных функций Ч . Наиболее авторитетным является метод Хартри—Фока (ХФ, англ.— HF), в котором отыскиваются оптимальные одноэлектронные функции Т,, приводящие к. минимальной энергии системы в однодетерминантном приближении. Эти функции подчиняются весьма сложным нелинейным уравнениям Хартри— Фока, которые решают методом самосогласованного поля (ССП, англ.— S F). Отсюда название рассматриваемого варианта метода МО есть МО—GGIT—ХФ (англ.— МО—SGF—HF). Нелинейность уравнений Хартри —Фока возникает из-за того, что Ч- , играя роль собственных функций, входят в кулоновские и обменные операторы. Поэтому при решении этих уравнений прибегают к итерационной процедуре сначала задают пробные функции Т , которые позволяют вычислить новые, функции первого приближения затем, используя функции определяют функции второго при- [c.135]

Применимость вариационного метода, как разъяснялось выше, до некоторой степени ограничивается двумя обстоятельствами нам нуяшо выбрать подходящую функцию распределения и к тому я е удовлетворяющую заданным граничным условиям. В такой ситуации мы моя ем либо сделать плохой выбор, либо найти очень сложные пробные функции. Преимущества вариационного метода намного увеличиваются, если мы используем его для модельного кинетического уравнения, записанного в интегральной форме. Действительно, если используются модельные кинетические уравнения, записанные в интегральной форме, то выбор конечного числа моментов предполагает выбор функции распределения. [c.226]

Первый метод является обобщением метода пробных частиц и основывается на итерационном процессе. В этом случае принимаются во внимание также столкновения пробных частиц с полевыми. На первом шаге функция распределения полевых частиц задается из априоргп тх соображений, а на каждом еле- [c.400]

Обобщенные соотношения Стефана-Максвелла (учитывающие термодиффузию и влияние внешних массовых сил) методами кинетической теории одноатомных газов были получены в книге Гиршфельдер и др., 1961) в рамках учета первого приближения теории Чепмена-Энскога для многокомпонентных коэффициентов диффузии J и второго приближения для коэффициентов термодиффузии (т.е. когда в вариационном представлении интегральных уравнений, определяющих первую итерацию Чепмена-Энскога, использовалась пробная функция, содержащая единственный полином Сонина-Лаггера) в виде [c.98]

Экономическая эффективность использования САУ автоматической перенастройкой по точностным параметрам. Проведенные экспериментальные исследования автоматической размерной пере- астройки гидрокопировальных токарных и фрезерных станков с использованием разработанных систем автоматического управления показали достаточно высокую эффективность предлагаемого способа. Так, при обработке различных типоразмеров деталей типа валов на гидрокопировальных полуавтоматах 1722 точность стабилизации размера динамической настройки не превышает 0,005—0,008 мм, а точность стабилизации размера статической настройки составляет 0,004—0,005 мм. Это позволило производить обработку деталей различных типоразмеров за один проход с точностью 0-,04—0,05 мм в партии при колебании припуска от 1 до 4 мм. При обычной обработке (без использования САУ) точность обработки ниже в 3—5 раз. Точность перенастройки системы СПИД с обработки одного типоразмера детали на другой, оцениваемая средними величинами размеров деталей, составляет 0,006 мм. Значительно сокращается время на настройку и перенастройку системы СПИД. Так, при обычной обработке переход на новый типоразмер детали требует 20—30 мин, причем основная доля этого времени уходит на размерную настройку методом пробных проходов с использованием 2—3 пробных деталей. При использовании САУ время на перенастройку не превышает 5 мин, причем основная его часть затрачивается на смену программоносителя, режущего инструмента, а размерная настройка составляет несколько секунд. При этом не требуется производить пробных проходов, использовать пробные детали. Оптимальная партия деталей практически может состоять из одной детали. Наладчик исключается из технологического процесса, его функции выполняют САУ. При автоматизации смены программоносителя и режущего инструмента общее время на перенастройку гидрокопировальных полуавтоматов не превышает 1 мин. [c.624]

Из формул (6), (7), (7а), (8) и (8а) видно, что если известны значения Ух, Л1тр ц.п., 2Я(, Рц , то величину Хх в конечном и явном виде найти нельзя. Уравнение (8) относительно не разрешается в элементарных функциях. Поэтому при расчетах вписывания экипажей в кривые широкое распространение получил метод пробных [c.405]

Если яма (35.15) достаточно глубока, то в ней возможны и другие дискретные уровни электрона. Они могли бы проявиться при фотопереходах из основного 15-состояния г )о, так как в результате большой массы ионов фотопереходы происходят без изменения положения ионов — принцип Франка — Кондона. Дипольные фотопереходы из основного Ь-состояния возможны только в р-состояния. Энергия и волновая функция нижайшего р-состояния при фиксированной поляризации (35.14), соответствующей 15-со-стоянию, могут быть найдены прямым вариационным методом с помощью функционала (35.6), в котором значение Р выбирается равным (35.14). В качестве простейшей пробной функции можно взять функцию [c.251]

В качестве пробных функций ((Г() выбираем атомные орбитали, которые линейно комбинируем (линейная комбинация атомных орбиталей, ЬСАО-метод) [c.16]

И в этом случае можио исходить из любого приближенного метода МО плп УВ. Однако нрежде чем рассматривать этот вопрос, расширим множество пробных функций, добавив к атомным орбиталям так называемые гибридные функции. В основе того, что до сих пор в качестве пробных функции использовались атомные орбитали, лежали физические соображения. В иринциие пет фундаментальных доводов против использования любой другой функции координат электрона. Одной из возможностей было бы, например, использование в (1.6)-н (1,8) вместо отдельных атомных орбиталей линейной комбинации атомных орбиталей одного атома с выбираемыми позже коэффициентами. В случае двухатомной молекулы для этого не было никаких побуждающих причин. Если же рассматривать одновременно связи атома со всеми его блияхайшими соседями, то в качестве следующего аспекта, который необходимо учесть, выступает пространственная симметрия упорядочения. В этом сл5 чае удобно использовать в пробной функции комбинации атомных орбиталей, которые согласуются с симметрией упорядоченпя ближайших соседей относительно определенного атома. Наиболее известным примером являются р -гибридные функции атома углерода в решетке алмаза. Из 2 -орбитали и трех 2р-орбиталей строятся следующие четыре линейные комбинации [c.21]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...