Фурье-анализ интеграл

Чтобы взять интеграл в формуле (6.3.7), мы по теореме Парсеваля из фурье-анализа вычислим площадь кривой произведения фурье-образов функций Я(т) и у( ) - На основании автокорреляционной теоремы из фурье-анализа получаем [c.262]

Анализ вибрации и распространения волн в вязкоупругих композитах проведен в [1]. Причем основное внимание уделено расчету поведения при стационарном гармоническом нагружении. Хорошо известно, что, используя свойство интеграла Фурье, решения для стационарного случая можно применить для расчета поведения при нестационарных воздействиях произвольного вида. Обсудим вкратце этот подход с точки зрения применения к решению задачи алгоритма FFT [20]. В динамическом анализе композитов используются и другие методы, например преобразование Лапласа [1] и метод характеристик [21]. Однако есть основания полагать, что точность и вычислительная эффективность алгоритма РТТ плюс легкость получения стационарного поведения при помощи упругих решений делают этот подход наиболее привлекательным. Здесь представляет интерес также удобство применения численных или очень общих аналитических представлений комплексных модулей (податливостей). [c.196]

Наша первая задача заключается в отыскании собственных функций и, для чего необходимо найти общий интеграл уравнения (1.28). Методы его определения рассматриваются в курсах высшего анализа и некоторые из них дают его в виде, удобном для практических приложений. Очень часто пользуются методом частных решений уравнения Фурье, Это уравнение преобразуем, умножив обе его части на Lg [c.34]

Эта система представляет собой стохастический аналог уравнений устойчивости панели в потоке газа, описывающих явления флаттера и дивергенции. Для анализа воспользуемся спектральным методом. Стационарный случайный процесс v (t) допускает представление в виде обобщенного интеграла Фурье [c.163]

Основным назначением любого канала (системы) связи является получение и воспроизведение информации, и фундаментальным параметром, который наиболее полно характеризует такую систему служит информационная емкость. Независимо от природы системы будь то электрическая, оптическая или электрооптическая система она предназначена для обработки информационного сигнала, кото рый может быть либо полностью детерминированным, либо стати стическим. В детерминированном случае сигнал обычно задается в виде ряда или интеграла Фурье, т. е. он является периодической или затухающей волной, величина которой точно определена для всех значений переменной (время или пространство). С другой стороны, статистические сигналы для любых значений независимой переменной (время или пространство) не принимают определенных значений, а нам известны лишь их вероятности. Анализ и синтез информационного содержания этих статистических сигналов, обычно называемых случайными , проводят статистическими или вероятностными методами. В сущности случайные сигналы в бесконечных пределах не имеют фурье-образов, и приходится обращаться к статистическому анализу. Статистические методы можно применять и к детерминированным сигналам, однако наиболее широкое применение они нашли в анализе случайных процессов. В оптике такие методы используются как основной аппарат в построении классической теории частичной когерентности, при анализе шумов зернистости фотографических материалов и исследовании когерентных оптических шумов, называемых спеклами . [c.83]

Эта формула определяет физическую тень на бесконечности от предмета, расположенного в плоскости z = Zq и освещенного пучком, сформированным системой с аберрациями четвертого порядка. Очевидно, что она может быть распространена на аберрации любого порядка. Она является эквивалентом формулы преобразования (14) для освещения точечным источником, но ее нельзя записать в форме интеграла по плоскости предмета, так как интегрирование по углам нельзя здесь выполнить в трансцендентных функциях, обычно используемых в анализе. С другой стороны, этот интеграл можно без труда свести к двойному интегралу по переменным углам с помощью фурье-образа Т I, л) функции t x, у), который равен [c.249]

Рассмотрим вариационно-разностный метод решения некоторых интегральных и интегро-дифференциальных уравнений, возникающих, в частности, при анализе смешанных задач теории упругости, предложенный в [62]. Опишем метод на примере ИУ (1.11) и (1.14). Пользуясь преобразованием Фурье по ж = х, Х2) с параметром I— ( ь 2), удобно для [c.199]

Содержание книги достаточно полно отражено оглавлением. Несколько больше внимания, чем обычно, уделено статистическим свойствам света и спектральному представлению. Дифракция изложена в рамках интеграла Кирхгофа. На материале геометрической оптики и интерференции в тонких пленках показана эффективность матричных методов. Дифракционная теория формирования изображений, пространственная фильтрация изображений, голография и другие аналогичные вопросы представлены единообразно в рамках Фурье-оптики. Анализ частичной когерентности и частичной поляризации проводится в рамках первой корреляционной функции. [c.9]

Настоящая статья Т. Кармана Сверхзвуковая аэродинамика представляет собой доклад на десятом чтении в честь братьев Райт в апреле 1947 г. Доклад посвящен главным образом линейной теории крыла конечного размаха в сверхзвуковом потоке. Наибольший интерес представляет анализ влияния стреловидности на подъемную силу и на волновое сопротивление крыла при сверхзвуковых скоростях и применение интеграла Фурье к решению задачи о крыле конечного размаха. [c.4]

Если функции /1 и /2, как это часто имеет место в структурном анализе, периодические, то их трансформанты не равны нулю только при целочисленных значениях X = /г/а (а — период функций Д, /2). Другими словами, трансформантой их является не интеграл Фурье, а ряд, и коэффициенты Фурье произведения запи- [c.32]

Анализ Фурье кривой интенсивности рассеяния сравнительно недавно начал применяться к исследованию строения жидких сплавов — жидкости, состоящей из атомов двух сортов. В этом случае полная радиальная функция распределения состоит из набора функций р1,ь Ркг, рз.ь Р2.2, где первый индекс обозначает сорт центрального атома. Атомный фактор рассеяния уже нельзя просто вынести за знак интеграла, как это сделано в уравнении (2.7). Существует несколько способов избежать эту математическую трудность. [c.54]

Анализ процесса теплопередачи в измерительной среде методом интеграла Фурье использует возможность представления.воздействия и свойств исследуемой среды в виде суммы простых гармонических колебаний различной амплитуды и фазы, частоты которых изменяются непрерывно от м = О до со = оо. [c.12]

Экспериментальные данные показывают, что суммарная интенсивность когерентного и некогерентного рассеяния на одноатомной жидкости, отнесенная к одному атому, при увеличении приближается к интенсивности рассеяния на один атом, характерной для разреженного газа. При больших 5 интенсивность излучения, рассеянного в жидкости, осциллирует с постепенно уменьшающейся амплитудой около значения, соответствующего изолированному атому. На этом явлении был основан один из способов нормировки данных по интенсивности — переход от произвольной системы единиц к классическим электронным единицам, описанным выше. (1Иы вернемся к этому вопросу в 8 и 10, п.3.) Этим фактом можно воспользоваться и иначе. Так как при анализе дифракционной картины с помощью интеграла Фурье непременно приходится иметь дело [c.16]

Определив вид F z) при помощи рядов Фурье методом, описанным выше, можно либо получить вид h n) путем вычисления значения интеграла в уравнении (78) при изменении л от - -со до —оо, либо по- строить кривую h(n) методом разложения F z) в ряд Фурье. В последнем случае коэффициенты разложения и представляют собой значения h n) для различных п. Специальный анализ функции h n) показывает, что из нее можно получить значение среднего размера частиц D, [c.738]

Уравнение распространения электромагнитных волн. Электромагнитное поле в кристалле не обязано обладать трансляционной инвариантностью с периодичностью решетки, и поэтому вектор напряженности электрического поля, исходя из общего подхода, основанного на анализе Фурье, естественно представить не в виде суммы типа (А.2), а в виде интеграла Фурье [c.718]

Эта функция от / и со представляет собой двойное преобразование Фурье искомого решения Ыг( . г, I), поэтому необходимо каким-то образом выполнить интегрирование по / и со. Ограничимся анализом численного интегрирования на ЭВМ полученных приближенных результатов. В связи с этим рассмотрим следующие три аспекта необходимость замены интеграла суммой при I и 0, взятых с шагом Д/ и Д соответственно необходимость ограничения области суммирования конечными пределами по I и о необходимость обойти сингулярности, имеющиеся в Уг Ь, I, о>). [c.180]

В линейной теории суперпозиция не вносит каких-либо трудностей и весь процесс можно изучать при помощи точного решения в виде интеграла Фурье. Хотя в нелинейном случае этот процесс трудно проследить аналитически, качественно поведение кажется вполне доступным анализу. По-видимому, в области наложения понадобится что-то вроде многофазового решения, упоминавшегося в 14.9, но исследование переходного процесса является трудной задачей. [c.501]

Общие математические проблемы, связанные с применимостью интегральных преобразований (Фурье-Лапласа) к этим ядрам и решениям динамических задач, возникающих при использовании в их постановке уравнений состояния, содержащих такие ядра, бьши рассмотрены в [48]. В дальнейшем мы будем считать, что все необходимые условия, требующиеся для вьшолнения тех или иных математических операций или преобразований при решении рассматриваемых задач, выполнены, и сосредоточимся на получении конструктивных результатов и анализе их физического смысла. Сразу можно сказать, что функции, входящие в определения интегральных ядер уравнений (в интегро-дифференциальном представлении), построенных в предыдущей главе, удовлетворяют всем необходимым условиям, и некоторые из них встречались ранее в научной литературе, посвященной феноменологическому описанию механики наследственно-упругих тел. [c.153]

Линия передач без потерь при расчете переходных процессов выполняет роль линии задержки, при расчете частотных характеристик она представляет собой безынерционное звено. Для линии передач с потерями аналитически рассчитывается комплексный коэффициент передачи линии. Анализ переходных процессов производится с помощью интеграла свертки с импульсной характеристикой линии, которая вычисляется как преобразование Фурье коэффициента передачи (что требует очень больших затрат времени). [c.197]

Все приведенные выше формулы, относящиеся к Фурье-анализу, получены в предположении непрерывности исходных функций. Однако при цифровой обработке изображений исходную информацию снимают в дискретном ряду точек, т. е. функция р(г) известна в точках с координатами r rird, где —yV Пг М,а d — шаг дискретизации. Интеграл в правой части уравнений (222) необходимо вычислить для всех значений R, но ввиду дискретности исходных данных его можно заменить римановской интегральной суммой, взятой в точках отсчета [c.236]

Для широкого класса сигналов, которые не являются ни периодическими, ни переходными, производить классическое разложение в ряд Фурье невозможно. Нельзя также использовать представление в виде интеграла Фурье. Часто причины этих флуктуаций не совсем ясны. Такие функции называются случайными функциями или случайными процессами. Анализ этих случайных сигналов основан на том, что их можно рассматрпвать статистически и, следовательно, описывать в соответствии с положениями теории вероятностей. С помощью обобщенного гармонического анализа статистическое описание случайного процесса можно связать с его спектром. [c.12]

Соответствующие значения коэффициентов тп МОЖНО НйИТИ е помощью процедуры гармонического анализа. Это определяется тем обстоятельством, что члены такого ряда по синусам ( i также некоторых других рядов, таких, как аналогичные ряды по косинусам, ряды с комбинацией синусов и косинусов или ряды Фурье и т. д.) ортогональны или нормальны друг др5ггу на интервале от х = 0 до х = 1. Это означает, что интеграл по этому интервалу от произведения двух различных членов ряда равен вулю. С другой стороны, квадрат любого члена равен в этом случае среднему значению ординаты, равному точно 1/2, так что интеграл от О до i равен 1/2. [c.72]

Распределение интенсивности в этом случае описывается только одним параметром — расстоянием в обратном пространстве от начала координат. При анализе аморфных тел в качестве аргумента функции интенсивности принято пользоваться величиной S = 2я8 — 4л8тйД. Сферически симметричное распределение I S) преобразуется с помощью интеграла Фурье (8) в Q r). Эта функция в силу взаимности свойств трансформант Фурье также является сферически симметричной (т. е. зависит лишь от / — длины вектора г), и ее трансформанта Фурье равна I S). [c.174]

Настоящий параграф будет посвящен важному вопросу о приложении к случайным процессам и полям методов гармонического анализа, т. е. о разложениях Фурье таких случайных функций. Известно, что представление исследуемых функций в виде рядов или интегралов Фурье очень широко (и с большой пользой) используется во многих задачах математической физики. При этом, однако, приходится иметь в виду, что представление в виде ряда Фурье возможно лишь для периодических функций, а в виде интеграла Фурье — лишь для функций, достаточно быстро убывающих на бесконечности. Между тем в приложениях часто встречаются и непериодические незатухающие на бесконечности функции, которые, строго говоря, нельзя разложить ни в ряд, ни в интеграл Фурье. Отметим, что в физической литературе, тем не менее, и для таких функций довольно часто формально выписываются Фурье-представления, использование которых во многих случаях явно приводит к правильным результатам, несмотря на их очевидную математическую нестрогость. Объяснением этого факта может служить то обстоятельство, что в приложениях непериодические и незатухающие на бесконечности нерегулярные функции одной или нескольких переменных очень часто естественно считать реализациями некоторого стационарного случайного процесса или однородного случайного поля (для которых, очевидно, не может быть никакого затухания на бесконечности), а для этих типов случайных функций на самом деле всегда возможно разложение Фурье (иначе — спектральное разложение) специального вида, имеющее простой физический смысл. [c.207]

Взаимосвязь регистрируемого (вторичного) сигнала и контролируемого процесса устанавливается двумя основными методами методом спектрального анализа (методом интеграла Фурье) и методом решения дифференциальных уравнений, описывающих нестационарную теплопроводность в измерительной среде. Выбор метода определяется степенью обозримости контролируемых особенностей исследуемого процесса. [c.11]

В 8 рассматривались ошибки, вызванные обрезанием интеграла Фурье как на верхнем, так и на нижнем пределах интегрирования. Этот вопрос подробно рассмотрен Васером и Шомакером [90, выполнившими детальное математическое исследование, и Каплоу и др. [45], осуществившими практический анализ. При обработке экспе- [c.47]

Мы предполагаем у читателя предварительное знакомство с материалом на нескольких уровнях. Прежде всего, мы без оговорок используем, предполагая хорошую осведомленность, результаты линейной алгебры (включая жордановы нормальные формы), дифференциальное и интегральное исчисление для функций многих переменных, основы теории обыкновенных дифференциальных уравнений (включая системы), элементарный комплексный анализ, основы теории множеств, элементарную теорию интеграла Лебега, основы теории групп и рядов Фурье. Необходимые сведения следующего, более высокого уровня рассматриваются в приложении. Большая часть материала приложения включает материал такого типа, а именно, в приложении содержатся сведения из стандартной теории топологических, метрических и банаховых пространств, элементарная теория гомотопий, основы теории дифференцируемых многообразий, включая векторные поля, расслоения и дифференциальные формы, и определение и основные свойства римановых многообразий. Некоторые темы используются лишь в отдельных случаях. Последний уровень необходимых знаний включает основания топологии и геометрии поверхностей, общую теорию меры, ст-алгебры и пространства Лебега, теорию гомологий, теорию групп Ли и симметрических пространств, кривизну и связности на многообразиях, трансверсальность и нормальные семейства комплексных функций. Большая часть этого материала, хотя и не весь он, также рассматривается в приложении, обычно в менее подробном виде. Такой материал может быть принят на веру без ущерба для понимания содержания книги, или же соответствующая часть текста может быть без большого ущерба пропущена. [c.15]

При анализе нестационарной дифракции привлечение разложений на гармонические волны (разложение в ряд или интеграл Фурье) не только не является необходимым, но иногда вообще нецелесообразно. Напротив, иногда решение хтационарной задачи целесообразно представить с помощью решения нестационарной задачи [15], поскольку нестационарная картина часто более проста и для ее описания (и определения) не требуется сведений о стационарных состояниях. [c.207]

Основное место в настоящей главе будет занимать вопрос о при-нении к случайным функциям одного или нескольких переменных е. к случайным процессам и случайным полям) методов гармони-ского анализа. Известно, что гармонический анализ, т. е. пред-1вление исследуемых функций в виде рядов или интегралов Фурье, ень широко используется в математической физике. При этом, нако, приходится иметь в виду, что представление в виде ряда фье возможно лишь для периодических функций, а в виде инте-ала Фурье лишь для функций, достаточно быстро убывающих на сконечности. Между тем в приложениях часто встречаются и периодические, незатухающие на бесконечности функции, которые, эого говоря, нельзя разложить ни в ряд, ни в интеграл Фурье, этой точки зрения случайные функции оказываются даже имеющими ределенные преимущества перед обычными (не случайными) функ-ями. Дело в том, что для любых стационарных случайных оцессов и однородных случайных полей, для которых по саму их определению никакого затухания на бесконечности быть не [c.7]

Ренорм-групповой анализ. Перейдем в выражении (15.42) к континуальному пределу, заменив дискретную переменную К на непрерывную X, и разложим 0(х) в интеграл Фурье [c.171]

В общем случае форма напряжения зву кового сигнала не является периодической функцией времени и ее можно представить с помощью интеграла Фурье, являющегося распространением ряда Фурье на бесконечно большой период повторения функции Для звуковых сигналов интервал между часто тами гармоник стремится к нулю, и пре рывистый спектр сигнала превращается в сплошной А это значит, что напряжение зву кового сигнала имеет непрерывный спектр На практике при анализе и испытаниях усилителен 34 в установившемся режиме часто используют в качестве входного сигнала напряжение синусоидальной формы что яв [c.13]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...