Коши изотропный

Задача теории упругости неоднородного тела формулируется и решается аналогично задаче теории упругости однородного изотропного или анизотропного тела. Различие между ними состоит лишь в том, что в физических уравнениях (законе упругости) механические характеристики являются заданными непрерывными функциями координат. Здесь необходимо еще раз подчеркнуть, что при этом деформации тела считаются малыми и предполагается выполнение обобщенного закона Гука. Очевидно, что в случае неоднородного тела остаются справедливыми общие уравнения механики сплошной среды соотношения Коши между деформациями и перемещениями и т. д. Подробное изложение теории напряжений и деформаций приводится в многочисленных книгах [11, 100, 138 и др.], поэтому ниже они даются без вывода в прямоугольной системе координат х, у, z) в объеме, необходимом для дальнейшего изложения. Эти же уравнения в других системах координат (цилиндрической, сферической) можно найти в указанных выше и других изданиях. [c.32]

Скорость изменения прогиба при интегрировании задачи Коши определяется поведением функции ехр (—P[c.59]

Зависимости предыдущего параграфа справедливы для любого упругого материала. Для изотропного же материала их можно упростить. Упругий материал следует считать функцией главных инвариантов тензора деформации Коши-Лагранжа (1.7). Из соотношений (1.3.12), (1.3.13) нетрудно вывести равенство [c.101]

В 1878 г. Сен-Венан подвел итоги экспериментальным данным тех, кто еще оставался стойкими сторонниками атомистической теории Пуассона — Коши, по которой коэффициент Пуассона для изотропных твердых тел должен был быть равен 1/4. После изучения того, как в экспериментах с одномерно напряженными анизотропными телами анизотропия приводит к зависимости от направления значений постоянных упругости, он указал, что вычисленные или непосредственно определенные значения коэффициента Пуассона могут изменяться в широких пределах. Сравнивая данные для медных стержней, опубликованные в январском выпуске 1878 г. Phi- [c.356]

Соотношения (а)—(d) образуют полную систему уравнений для решения задач упругости изотропных тел. Сам Коши пользуется [c.135]

В этой книге излагается общая теория криволинейных координат и ее применения в механике, в учении о теплоте и теории упругости разъясняется преобразование уравнений теории упругости к криволинейной системе координат и в качестве примера исследуется деформация сферической оболочки. В заключительных главах Ламе подвергает критическому анализу принципы, на основе которых строится вывод основных уравнений теории упругости. Теперь он уже не одобряет вывод уравнений по способу Навье (с привлечением гипотезы молекулярных сил), а отдает предпочтение методу Коши (в котором используется лишь статика твердого тела). Затем он принимает гипотезу Коши, согласно которой компоненты напряжения должны быть линейными функциями компонент деформации. Для изотропных материалов принятие этой гипотезы приводит к сокращению кисла необходимых упругих постоянных до двух, находимых из испытаний на простое растяжение и простое кручение. Таким путем все не- [c.144]

Представление о возможности полностью оценить упругие свойства изотропного тела одной постоянной (например, модулем упругости Е при растяжении) на ранних стадиях развития теории упругости пользовалось всеобщим признанием. Навье, Коши, Пуассон, Ламе, Клапейрон—все разделяли это мнение. [c.263]

К. Следует сказать, что вопрос о количестве независимых констант, характеризующих упругое поведение материала, был предметом длительной дискуссии в XIX веке. Вслед за С. Пуассоном все ведущие ученые французской школы механиков — Л. Навье, О. Коши, Д. Ламе, Б. Клапейрон и др. — считали, что упругие свойства изотропного тела определяются одной константой, а коэффициент Пуассона независимо от материала всегда равен 1/4. Английский ученый Джордж Грин (1793-1841), впервые в явной форме отказавшийся от молекулярного подхода и рассматривавший деформируемое тело как сплошную среду, пришел к выводу, что упругое поведение изотропного материала должно характеризоваться двумя независимыми константами. Дальнейшие многочисленные экспериментальные исследования, проводившиеся многими учеными, подтвердили точку зрения Д. Грина. [c.122]

Определяющим для последующего развития теории упругости и всей механики сплошной среды явился континуальный подход Коши, разработанный им в 20-х годах. Однако еще раньше толчок для развития теории упругости и гидродинамики вязкой жидкости дали два мемуара Навье, представленные им Парижской академии наук в 1821 и в 1822 гг. В них Навье, следуя П. С. Лапласу и используя феноменологическую молекулярную модель среды, впервые вывел уравнения теории упругости изотропного тела (в смещениях) и уравнения движения несжимаемой вязкой жидкости (так называемые уравнения Навье — Стокса). [c.48]

В том же томе своих Математических упражнений Коши пытался построить уравнения для анизотропного упругого тела, используя молекулярную модель. Путем более сложных, но не более строгих рассуждений, уступающих в ясности краткому мемуару Навье, он получил уравнения для анизотропного тела с девятью упругими постоянными (здесь же не вполне последовательно и без должного обоснования он получил из молекулярной модели и классические уравнения для изотропного тела с двумя упругими постоянными). [c.50]

Видное место в истории механики сплошной среды занимает Дж. Г. Стокс, давший в 1845 г. вывод уравнений теории упругости, опирающийся на строго континуальный подход (Эйлера — Коши) и естественную гипотезу о линейной зависимости компонент напряжения от компонент деформации. В результате для изотропного тела он получил две упругие постоянные и привел ряд веских соображений в пользу того, что они не могут быть сведены к од- [c.52]

Таким образом, еще в конце 20-х годов были получены две системы уравнений теории упругости, характеризовавшие изотропное тело одной (Навье) и двумя (Коши) упругими постоянными. Впрочем, все французские авторы, включая и самого Коши, считали вначале, что реальное изотропное тело характеризуется одной константой. Обе системы были в конце 30-х годов обобщены на анизотропные тела с введением соответственно 15 (Пуассон) и 21 (Грин) константы. [c.53]

Представление через алгебраические инварианты тензора деформации Коши. Часто закон состояния изотропной среды представляется в виде функции алгебраических инвариантов [54] — первых инвариантов степеней тензора деформации Коши-Грина S [c.22]

Материал Мурнагана. При исследовании задач для изотропных сред широко используется предложенное Мурнаганом представление упругого потенциала в виде кубической функции инвариантов тензора деформации Коши-Грина Ik = /f (S), к = 1, 2, 3) [191] [c.25]

Участвующий в представлениях (1.4.1)-(1.4.4)упругий потенциал в общем случае для анизотропных сред представляется в виде скалярной функции (1.4.5), которая зависит от компонент тензора градиента места, тензора меры деформации или тензора деформации Коши-Грина. Для изотропных сред используется представление через инварианты тензора одной из мер деформации или тензора деформации. [c.28]

Здесь l — градиент деформации места, характеризующий НДК, S — тензор деформации Коши-Грина, х — упругий потенциал, который полагается дважды непрерывно дифференцируемой функцией своих переменных. Далее рассматриваются изотропные среды, имеющие упругий потенциал [c.44]

Непрерывные жидкости, удовлетворяющие гипотезе Эйлера, называются невязкими ). Как показал Коши, напряжение в невязкой жидкости должно быть одинаковым во всех направлениях (изотропным) получающаяся скалярная функция р , t) может быть названа давлением. Далее, закон сохранения количества движения эквивалентен следующему векторному уравнению в частных производных [c.19]

Гораздо сложнее дело обстоит, когда определяющие соотношения связывают между собой тензоры второго ранга. Ведь даже для изотропного случая тензор напряжений Коши (23) связан с тензором Коши-Грина (7) с помощью упругого потенциала [c.650]

Это свидетельствует, по Ламе, что тело обладает упругостью, постоянной или равной во всех направлениях относительно точки М, или, по Коши, что тело является изотропным. [c.60]

Основы теории упругости были разработаны почти одновременно Навье (1821), Коши (1822), Пуассоном (1829). Независимо друг от друга они получили по существу все основные уравнения этой теории. Особо выделялись работы Коши. В отличие от Навье и Пуассона, привлекавших гипотезу молекулярных сил, Коши, опираясь на метод, в котором используется статика твердого тела, ввел понятия деформации и нагфяжения, установил дифференциальные уравнения равновесия, граничные условия, зависимости между деформациями и перемещениями, а также соотношения между напряжениями и деформациями для изотропного тела, первоначально содержавшие две упругие постоянные. В эти же годы появились исследования М. В. Остроградского о распространении волн в упругом теле при возмущении в его малой области. На эти исследования ссылается в своих работах Пуассон, впервые (1830) доказавший существование в однородной изотропной среде двух типов волн (волны расширения и искажения). [c.5]

В работах Пуассона (1828) и Стокса (1849) четко установлена возможность существования в неограниченной изотропной упругой среде двух типов волн, распространяющихся с различной скоростью. Одна из них характеризуется безвихревым изменением объема (безвихревая продольная волна), другая связана с искажением формы (эквиволюмиальная поперечная волна). Открытие этих типов волн способствовало появлению трудностей в толковании исходной гипотезы Френеля. Особенно сильно эти трудности проявились при рассмотрении задачи об отражении и преломлении плоских волн на границе раздела двух упругих сред. В работах Коши (1830— 1836) и Грина (1839) установлено, что для выполнения шести граничных условий, выражающих непрерывность смещений и напряжений на границе раздела, необходимо учитывать как поперечные, так и продольные волны. Однако продольные световые волны в экспериментах не были обнаружены. Интересно, что открытые Рентгеном (1895) новые лучи вначале отождествлялись рядом физиков (в том числе и автором открытия) с продольными световыми волнами. [c.9]

Гиперупругнй материал называется изотропным, если существует такая отсчетная конфигурация, относительно которой удельная потенциальная энергия деформации W является изотропной функцией меры деформации Коши —Грина Л. Эта от- [c.45]

В то же время решения задачи о простом сдвиге для тел из идеального упругопластического материала и упругопластического материала с изотропным упрочнением показывают правильную картину деформирования (без осцилляций компонент тензора напряжений Коши при монотонном возрастании сдвига) при использовании определяющего соотношения (2.18) [118]. Осцилляции появляются в том случае, если применяется кинематический (анизотропный) закон упрочнения материала упругопластического тела. Таким образом, для первых двух моделей упругопластического материала в качестве скорости тензора напряжений можно использовать производную Яуманна тензора напряжений Коши S , что значительно упрощает задачу определения скорости изменения тензора напряжений Коши по сравнению с использованием производной Грина — Макиннеса В первом случае компоненты производной определяются непосредственно с использованием компонент тензора вихря w, а во втором слу- [c.76]

Определяющие соотношения гиперупругих материалов при больших деформациях используются в основном для моделирования поведения резиновых тел. Рассмотрим некоторые модели изотропных материалов, описывающие деформации таких тел. Вследствие изотропии материала потенциальная функция W должна зависеть только от главных инвариантов тензора деформаций Грина — Лагранжа /г(Е), /2(E), /з(Е) (см. (1.1)). В определяющих соотношениях (2.14) потенциальную функцию W I, I2, /3) прямо использовать нельзя вследствие того, что материал резины предполагается несжимаемым (J = detF = 1), так что справедливы равенства (1.46). Условие несжимаемости формулируем с помощью правого тензора деформаций Коши — Грина С, связанного с тензором деформаций Грина — Лагранжа Е первой формулой (1.49) [c.79]

Предполагается, что потенциальная функция W e) имеет непрерывные первые и, по крайней мере, кусочно-непрерывные вторые производные от своих аргументов. Эта функция параметрически зависит от компонент тензора напряжений Коши и от параметров, содержащих всю историю деформирования. Обоснование необходимости записи определяющих соотношений упругопластического материала в потенциальном виде (2.57) представлено в [19, 23, 25] (следствие принципа макродетерминизма). Таким образом, возможность представления определяющих соотношений упругопластического материала в виде (2.57) дает критерий отбора феноменологических теорий пластичности. Например, определяющие соотношения деформационной теории пластичности, сформулированные относительно скоростей, не допускают записи в виде (2.57). Но если игнорировать условие разгрузки по упругому закону то рассматриваемые далее соотношения деформационной теории пластичности для материала с изотропным упрочнением записываются в виде (2.57). Если функциональные зависимости <т(ё) известны и допускают запись в виде (2.57), то по теореме Эйлера об однородных функциях можно получить явный вид потенциальной функции [c.87]

Следующим важным шагом в построении определяющих соотношений является корректный выбор индифферентной производной тензора напряжений Коши. Остановим свой выбор на производной Яуманна в силу преимуществ коротационных производных по сравнению с другими конвективными производными (см. 1.2.7) и из-за простоты определения производной Яуманна, которую можно использовать для построения модели упругопластического материала с изотропным упрочнением (см. 2.1.1). Как отмечалось в 1.2.7, если при абсолютно жестких движениях окрестности материальной точки (d = 0) из определяющих соотношений следует = О, то в силу (1.40) получаем [c.102]

Квазистатическая задача А теории малых упруго-пластичест ких деформаций трансверсально изотропной однородной среды заключается в решении уравнений равновесия (3.49) при выпол-, нении граничных условий (3.50). При этом следует воспользоваться соотношениями Коши (3.51) и иметь в виду, что в (3.49) инварианты напряжений связаны с инвариантами деформаций функциями (3.31), которые в упругой области имеют вид (3.43). В случае разгрузки эти функции приобретают вид [c.242]

Хотя к моменту проведения Вертгеймом обсуждавшихся работ прошло уже 20 лет после вклада Коши и Пуассона в теорию, сделанного в конце 20-х гг. XIX века, теоретики и экспериментаторы одинаково принимали идею о том, что на основании рассмотрения центральных сил можно успешно объединить атомистическую структуру твердых тел и линейную континуальную теорию упругости. Э а атомистическая теория, описывающая свойства упругих тел в общем случае анизотропности, снижающая число упругих постоянных с 21 до 15, могла быть рассмотрена экспериментаторами середины XIX века только для частного случая — для изотропных материалов. Рассмотрение экспериментаторами анизотроп- [c.324]

Анри Виктор Рено (Regnault [1842, 1], [1847, 1]), изучая поведение резервуаров в своих исследованиях сжимаемости воды, отметил, что его результаты, по-видимому, не согласуются с теорией Пуассона — Коши. Он предложил Вертгейму более детально рассмотреть эту проблему. Первый эксперимент Вертгейма в связи с этим был проведен с резиновым стержнем квадратного поперечного сечения, достаточно большого для того, чтобы измерения можно было осуш,ествить с помош,ью штангенциркуля (Wertheim [1848, 1]). Его деформации достигали 200%, т. е. значения, при котором, как указывал позже Джеймс Клерк Максвелл, он не мог ожидать применимости элементарной теории упругости. Отметив, что остаточная деформация была минимальной, особенно в области малых деформаций, Вертгейм сравнил свои одновременно измеренные значения продольных удлинений и поперечных сужений со значениями коэффициента Пуассона v=l/4, v=l/3 и v=l/2, обнаружив при этом, как видно из рис. 3.28 (на котором изображен график, построенный по его данным), что в области малых деформаций данные, несомненно, не позволяют получить значение 1/4, предсказанное для изотропных тел. [c.326]

Вертгейм опубликовал одну дополнительную работу по своему экспериментальному изучению теории Пуассона— Коши. Она служит интересным комментарием к тому, как числовое совпадение в наблюдаемом, но не понятном поведении в совокупности с теоретически ожидаемым, но пока экспериментально не обнаруженным подобным поведением может быть причиной фундаментальной ошибки, которая затем широко распространяется. Инфинитезимальная линейная теория упругости предсказывает существование в изотропных телах дилатационных и сдвиговых волн, различие в скоростях которых зависит от коэффициента Пуассона. Многие экспериментаторы отмечали, что продольные колебания сопровождались звучанием, получившим название глубокого тона, слышимость которого менялась пока продолжался процесс колебаний ). Савар (Savart [1837,1]) отождествлял источник глубокого тона с поперечными колебаниями, происходящими с частотой, которая почти точно на октаву была ниже частоты продольных колебаний, независимо от того, рассматривалась ли частота колебаний первая, или вторая, или третья. Звук глубокого тона характеризовался как резкий и воспринимался только прерывисто. При его возникновении заметно ослабевал тон продольных колебаний. Это явление, которое Вертгейм охарактеризовал в 1851 г., как известное каждому, кто имеет дело с экспериментами этого типа, обычно было причиной разрушения стеклянных и хрустальных образцов во время испытаний на продольные колебания . [c.338]

Тот факт, что для бронзовых цилиндров получены другие значения, он объяснял тем, что они были отлиты вертикально и, поскольку они были также и охлаждены в этом положении, приобрели tpyKTypy, обеспечившую различие упругих свойств в вертикальном и поперечном направлениях, т. е. приобрели анизотропию, имеющую, как он полагал, ту же природу, что и анизотропия цилиндров Вертгейма, полученных на волочильной машине. Вследствие всего этого Амага, считая сталь изотропной, сделал вывод, что, поскольку его результаты сопоставимы с результатами Корню, теория Пуассона — Коши и в самом деле может рассматриваться как подтвержденная экспериментально ). Что касается металлов, то относительно них Амага в действительности лишь поднял несколько вопросов, касающихся изотропии литой бронзы. [c.366]

Wertheim [1844, 1]), ему не нужно было считать число колебаний в секунду быстро колеблющегося образца, а он смог следить за амплитудой как функцией времени в каждом отдельном колебании. Однако модификации Купфера сделали для него невозможным определить из выполнявшихся им опытов значения модулей, которые он хотел найти. Он, кроме того, упорствовал в использовании теории Пуассона — Коши и отвергал работу Вертгейма, небрежно и бездоказательно заявляя, что она основана на отстаивании экспериментов в действительности не вполне удовлетворительных (Кир fer [1852, 1],стр. 193). Это довольно неправдоподобно, но Купфер далее утверждал, что, так как коэффициент Пуассона изотропного твердого тела может принимать значения от О до 0,5, среднее значение 0,250 приобретает дополнительную важность, независимо от того факта, что v, равное 0,25, есть требуемое численное значение коэффициента Пуассона. [c.392]

Коши дает, сверх того, и соотношения между шестью ком-ионентами напряжения и шестью компонентами деформации для изотропного тела. Допуская, что главные направления деформации совпадают с направлениями главных напряжений и что < оставляющне напряжений являются линейными функциями компонент деформации, он пишет уравнения [c.135]

В 1852 г. вышла из печати книга Ламе по теории упругости (упомянутая выше). В эту книгу были включены результаты мемуара, написанного им совместно с Клапейроном, но уравнениям была придана эдесь несколько иная форма, поскольку Ламе пришел к выводу, что для определения упругих свойств изотропного материала требуются две упругие постоянные. Это, как мы знаем (см. 26), было установлено Коши. Ламе вводит задачи, относящиеся к упругим колебаниям, и исследует, в частности, колебания струн, мембран и стрежней. Разбирается им также вопрос [c.143]

В своём выводе основных уравнений теории упругости Навье (см. стр. 129) исходил из предположения, что идеально упругое тело состоит из молекул, между которыми при его деформировании возникают силы взаимодействия. При этом принималось, что силы эти пропорциональны изменениям расстояний между молекулами и действуют по направлениям соединяющих их прямых линий. Таким путем Навье удалось установить соотношения между деформациями и упругими силами для изотропных тел с введением лишь одной упругой константы. Коши (см. стр. 135) первоначально ввел две константы в зависимости между напряжением и деформацией в случае изотропии. В самом же общем случае анизотропного тела Пуассон и Коши допускали, что каждая из шести компонент напряжения может быть представлена однородной линейной функцией шести компонент деформации (обобщенный закон Гука). В эти функции входило 36 постоянных. Положив в основу физического истолкования явления упомянутую выше молекулярнуро теорию, они снизили число постоянных для общего случая до 15. Они показали, что изотропия допускает дальнейшее снижение этого числа, так что окончательно для записи соотношений между компонентами напряжения и деформации необходима лишь одна постоянная, которую и ввел Навье. [c.262]

Возможен также другой путь получения определяющих уравнений. Пользуясь принципами термодинамики, можно написать дифференциальные уравнения для базисных инвариантов тензора напряжений, рассматриваемых/Как функции базисных инвариантов тензора деформации и температуры. Экспериментальное получение условий Коши для таких уравнений проще, чем в случае дифференциальных уравнений для-термодинамических потенциалов. Вместе с тем в упомянутой работе показано, что если известны зависимости базисных инвариантов тензора напряжений от инвариантов тензора деформации и температуры, то в случае изотропных сред могут быть автоматически написаны определяющие уравнения, связывающие тензор напряжений тензор деформации и тёмпературу. Этот метод может быть обобщен и на случай анизотропных сред. [c.57]

По старой теории Коши, основанной на рассмотрении молекулярных сил, число упругих постоянных в самом общем случае равно не 21, а 15 в случае же изотропного тела, по теории Коши, мы должны иметь всего-одну упругую постоянную ). К тому же результату пришел Пуассон. Однако это не подтвердилось на опыте. Не надо, впрочем, думать, что к неправильному результату привела молекулярная теория и что, исходя из нее, нельзя получить должного числа постоянных. Дело только в том, что Коши и Пуассон применяли молекулярную теорию в слишком упрощенном виде. Основываясь на современных взглядах на строение материи, можно подучить полный результат, т. е. все 21 постоянную. Это-и было сделано сравнительно недавно Борном (М. Born) ). [c.60]

В первом из упомянутых выше мемуаров, где Коши не базируется на молекулярной теории, он лолучае две достоянные для изотропного тела. [c.60]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...