Тензоры деформаций по Коши и Грин

В линейной теории равновесия сплошной среды отпадает также необходимость в различении тензоров деформации Коши— Грина и Альманзи — Гамеля Ш. Как следует из (3.6.5) и (4.3.5) гл. II, тот и другой тензоры должны быть по (1.1.1) и [c.101]

Тензоры деформаций Коши — Грина и Пиола [c.34]

Тензоры деформаций Коши — Грина С, с и Пиола В, Ь не принадлежат этому семейству. [c.36]

Получить потенциальную функцию W(Е) с помощью связи тензоров деформаций Коши — Грина и Грина — Лагранжа (1.49) [c.79]

Эта модель гиперупругого материала используется только с TL-формулировкой уравнений. Рассмотрим три независимых инварианта правого тензора деформаций Коши — Грина дС (см. (1.44), (1.45))2 [c.199]

Пользуясь соотношениями (6.23), устанавливаем связь между инвариантами (6.19) правого тензора деформаций Коши — Грина и инвариантами (6.24) тензора деформаций Грина — Лагранжа [c.201]

Эти формулы можно записать в более компактной форме, если вместо компонент тензора деформаций Грина — Лагранжа использовать компоненты правого тензора деформаций Коши — Грина. Пользуясь (6.23), из (6.31) получаем [c.202]

Компоненты Eij тензора деформаций Коши-Грина Е находим по формулам [c.333]

Тензоры напряжений Пиола и Кирхгофа, с одной стороны, являются удобными вспомогательными тензорами, непосредственно не определяю-ш,ими реальное напряженное состояние. Определение последнего всегда требует возвращения к истинному тензору напряжений Коши. С другой стороны, тензоры Пиола и Кирхгофа играют важную роль в нелинейной теории упругости при построении определяющих соотношений, в частности, в представлении уравнений состояния для гиперупругих, т. е. имеющих упругий потенциал, сред, поскольку тензор Пиола сопряжен тензору градиента места, а тензор Кирхгофа — тензору деформации Коши-Грина. [c.20]

Использование представления упругого потенциала как скалярной функции тензора деформации Коши-Грина х = x(S) позволяет представить [c.20]

Представление упругого потенциала как скалярной функции тензора деформации Коши-Грина х = x(S) используется для определения тензора Кирхгофа К (энергетического тензора), поскольку он сопряжен тензору деформации Коши-Грина S. Закон состояния с использованием тензора Кирхгофа имеет вид [c.21]

Представление через алгебраические инварианты тензора деформации Коши. Часто закон состояния изотропной среды представляется в виде функции алгебраических инвариантов [54] — первых инвариантов степеней тензора деформации Коши-Грина S [c.22]

Материал Мурнагана. При исследовании задач для изотропных сред широко используется предложенное Мурнаганом представление упругого потенциала в виде кубической функции инвариантов тензора деформации Коши-Грина Ik = /f (S), к = 1, 2, 3) [191] [c.25]

Часто применяется представление потенциала Мурнагана в другой форме [74, 75] с заменой инвариантов тензора деформации Коши-Грина на его алгебраические инварианты [54] — первые инварианты его степеней [c.25]

Ряд исследователей в представлении функции потенциальной энергии также использует алгебраические инварианты тензора деформации Коши-Грина, но с другими константами, что приводит к несколько иному представлению потенциала Мурнагана — так называемому потенциалу типа Мурнагана [54, 55] [c.25]

В работе [85] используются также алгебраические инварианты тензора деформации Коши-Грина, но константы, в отличие от использованных [c.25]

Участвующий в представлениях (1.4.1)-(1.4.4)упругий потенциал в общем случае для анизотропных сред представляется в виде скалярной функции (1.4.5), которая зависит от компонент тензора градиента места, тензора меры деформации или тензора деформации Коши-Грина. Для изотропных сред используется представление через инварианты тензора одной из мер деформации или тензора деформации. [c.28]

По форме от представления (1.7.11) мало отличается закон состояния, выраженный через тензор деформации Коши-Грина [c.30]

Тензор xs является производной скалярной функции — термодинамического потенциала х = х (S), зависящей от тензора деформации Коши-Грина S, определяющей запасенную в процессе деформации энергию упругого тела. [c.36]

Здесь l — градиент деформации места, характеризующий НДК, S — тензор деформации Коши-Грина, х — упругий потенциал, который полагается дважды непрерывно дифференцируемой функцией своих переменных. Далее рассматриваются изотропные среды, имеющие упругий потенциал [c.44]

Здесь Bjf = Ii (S — алгебраические инварианты (в отличие от Ik - обычных инвариантов) тензора деформаций Коши-Грина (1.2.15) в НДК. В компонентном виде алгебраические инварианты имеют представление [c.44]

Симметрия тензора напряжений Коши = Т влечет за собой равенство С Р = Р С, где С = Г — правый тензор деформации Коши-Грина. [c.662]

Здесь Q —кососимметричная часть Vu , — сопутствующий Q вектор. Это позволяет представить выражения тензоров деформации Коши—Грина и Альманзи в виде [c.24]

Такие отображения ф называются деформациями. Геометрические свойства деформаций и составляют предмет исследования настоящей главы, где, в частности, показано, что изменения объёмов, площадей и длин, вызванные деформацией ф, определяются соответственно скалярной величиной det Тф ( 1.5), матрицей of Тф ( 1.7, теорема 1.7-1) и правым тензором деформации Коши—Грина С = Тф Тф ( 1.8). Кроме того, как установлено в теоремах 1.8-1 и 1.8-2, тензор деформации Грина—Сен-Венана Е — С — I), отвечающий деформации ф, определяет меру отклонения ф от жёсткой деформации (для которой С = 1). Тензоры деформации С и Е принадлежат к числу основных понятий, на которые опирается изложение в последующих главах. [c.38]

С другой стороны, можно рассмотреть следующий симметрический тензор, называемый левым тензором деформации Коши — Грина [c.77]

Деформированное состояние рассматриваемого тела будет определяться тензором конечной деформации Коши — Грина [c.302]

Первый тензор конечной деформации. Замена в выражении первой меры деформации вектор-радиуса R точки V-объема его значением через вектор перемещения и вводит в рассмотрение симметричный тензор второго ранга, называемый первым тензором конечной деформации (Коши — Грина) и обозначаемый далее [c.75]

Утверждение. Определяющие соотношения для любых материалов (упругих и неупругих), справедливые при геометрически линейном деформировании тела, обобщаются на случай геометрически нелинейного деформирования при условии малости деформаций прямой заменой тензора напряжений Коши а, тензора деформаций Коши е и их скоростей , к соответственно вторым тензором напряжений Пиола — Кирхгофа S, тензором деформаций Грина — Лагранжа Е и их материальными производными S, Е. При такой деформации тензоры S и Е имеют простую механическую интерпретацию компоненты этил тензоров приближенно равны компонентам тензоров и ё, полученных из тензоров а и е операцией поворота, осуществляемой ортогональным тензором R. Такие же приближенные равенства справедливы для материальных производных компонент-зтих тензоров, т. е. S w сг, Е 6, S сг, Ё 6. [c.78]

Тензоры С и с назьгоаются соответственно правым и левым тензорами деформаций Коши — Грина, а В и Ь — правым и левым тензорами деформаций Пиола [63] . Для них справедливы следующие формулы связи [c.35]

Определяющие соотношения гиперупругих материалов при больших деформациях используются в основном для моделирования поведения резиновых тел. Рассмотрим некоторые модели изотропных материалов, описывающие деформации таких тел. Вследствие изотропии материала потенциальная функция W должна зависеть только от главных инвариантов тензора деформаций Грина — Лагранжа /г(Е), /2(E), /з(Е) (см. (1.1)). В определяющих соотношениях (2.14) потенциальную функцию W I, I2, /3) прямо использовать нельзя вследствие того, что материал резины предполагается несжимаемым (J = detF = 1), так что справедливы равенства (1.46). Условие несжимаемости формулируем с помощью правого тензора деформаций Коши — Грина С, связанного с тензором деформаций Грина — Лагранжа Е первой формулой (1.49) [c.79]

Таким образом, потенциальную функцию для несжимаемого гиперупругого материала следует формулировать в терминах независимых инвариантов Л (С), /2( ) тензора деформаций Коши — Грина при выполнении условия (2.28). Обозначим эту потенциальную функцию через W. Для несжимаемого гиперупругого материала, Муни — Ривлина [36, 46] потенциальная функция W постулируется в виде [c.79]

Для того, чтобы избежать путаницы в обозначениях пргшого тензора деформаций Коши — Грина и матрицы определяющих соотношений, в настоящем параграфе этот тензор деформаций отмечаем чертой сверху. [c.199]

Компоненты правого тензора деформаций Коши — Грина If ij выражаются через компоненты тензора деформаций Грина — Лагранжа qEjj с помощью первой формулы (1.49). В декартовой системе координат получаем [c.200]

Представление удельной потенциальной энергии деформации полиномом по степеням компонент тензора деформации Коши — Грина с постоянными коэффициентами, подлежащими экспериментальному определению, было использовано в многочисленных исследованиях Мурнагана (F. D. Murnaghan), содержание которых воспроизведено в его монографии 1954 г. [c.154]

С = Уф Уфе5> — правый тензор деформации Коши —Грина ( 1.8). [c.28]

Здесь г — радиус-вектор лагранжевых координат, дуль упругости, V — коэффициент Пуассона, 6, — символ Кро некера, Ёу (г) — компоненты тензора вынужденной деформации, Ёц (г) — компоненты тензора конечных деформаций Коши — Грина в базисе начального состояния, (г) — компоненты тензора напряжения Коши в базисе актуального состояния. [c.296]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...