Принцип виртуальных потенциальной энергии

Для рассматриваемой задачи виртуальная работа нагрузки имеет заданное значение С. Поэтому принцип минимума потенциальной энергии становится принципом минимума энергии деформаций. Применительно к проекту с, этот принцип приводит к неравенству [c.21]

В теории конечных деформаций упругого тела принцип виртуальной работы приводит к установлению принципа стационарности потенциальной энергии при условии, что существуют функция энергии деформации материала тела и функции потенциалов внешних сил. Как только принцип стационарности потенциальной энергии установлен, он может быть обобщен с использованием множителей Лагранжа. [c.19]

В настоящей главе обсуждаются вариационные принципы теории упругости при малых перемещениях. В этом параграфе принцип минимума потенциальной энергии будет выведен из принципа виртуальной работы, установленного в 1.4. [c.49]

В предположении, что существуют функция потенциальной энергии деформации А и две потенциальные функции Ф и , принцип виртуальной работы (3.49) сводится к принципу стационарности потенциальной энергии [c.94]

Рассмотрим задачу о кручении стержня, жестко заделанного на одном конце (г = 0) и нагруженного крутящим моментом М на другом конце (г = I), как показано на рнс. 6.12. Предполагается, что сечение стержня имеет две оси симметрии. Следуя статье Рейсснера [4] и используя принцип виртуальной работы или принцип минимума потенциальной энергии, получите следующие результаты. [c.180]

Используя уравнение (7.86), принцип виртуальной работы (7.82) можно преобразовать в принцип стационарности потенциальной энергии, функционал которого имеет вид [c.197]

Докажите, что принцип виртуальной работы (8.62) приводит к принципу стационарности потенциальной энергии среди всех допустимых функций и, v uw, удовлетворяющих условиям (8.28а, Ь, с, d), действительное решение сообщает функционалу [c.251]

Использование соотношений (9.90) для практических целей можно считать оправданным, если вспомнить предположения, на которых основана рассматриваемая теория тонких оболочек. Однако соотношения (9.88) используются для теоретических построений, поскольку этот выбор согласуется с результатами, полученными из принципа виртуальной работы или принципа минимума потенциальной энергии. [c.276]

Оказалось, что принцип виртуальной работы и связанные с ним вариационные принципы являются очень эффективными для анализа таких упрощенных конструкций. Подход, основанный на принципе минимума потенциальной энергии, обычно называется методом перемещений, а подход, использующий принцип минимума дополнительной энергии, называется методом сил ). Эти два метода являются главными методами анализа конструкций. Из-за недостатка места мы в основном остановимся на анализе ферм и рам, выдвигая на первый план вариационные формулировки. Для более подробного ознакомления с численными примерами и другими видами конструкций читатель отсылается к работам П—14], [c.290]

Таким образом, мы вывели принцип минимума дополнительной энергии из принципа минимума потенциальной энергии. Однако очевидно, что принцип минимума дополнительной энергии можно вывести другим способом с использованием принципа дополнительной виртуальной работы [c.294]

Заканчивая эту главу, сделаем два замечания. Первое замечание касается метода Галеркина. Как указано во введении к части А, приближенный метод решения, основанный на принципе виртуальной работы и называемый методом Галеркина, может рассматриваться как вариант метода взвешенных невязок. В задачах линейной статической теории упругости этот метод приводит к конечно-элементной формулировке, эквивалентной формулировке, получаемой при помощи принципа минимума потенциальной энергии. Однако в задачах, более сложных, чем задачи линейной теории упругости, предпочтительнее использовать принцип виртуальной работы или его эквивалент. Можно провести аналогичные рассуждения, связанные с методами конечных элементов, основанными на принципе дополнительной виртуальной работы, модифицированном принципе виртуальной работы и модифицированном принципе дополнительной виртуальной работы. [c.358]

Заканчивая обзор основных положений линейной статики стержней, обратимся к вариационным принципам. Лежащий в основе нелинейной теории принцип виртуальной работы остается справедливым и в линейном приближении. Он переходит в принцип минимума потенциальной энергии системы [c.154]

Чтобы убедиться в справедливости высказанного утверждения, можно провести те же рассуждения, что н в разд. 6.4 при доказательстве принципа минимума потенциальной энергии. В нашем случае виртуальные перемещения следует заменить на виртуальное поле напряжений, накладываемое на действительное поле перемещений. Замечая, что граничные условия для напряжений должны удовлетворяться и при выбранном виртуальном поле напряжений, приходим к (6.69), т. е. к соотношению 0Пс=0, где дополнительная энергия равна [c.187]

Хотя метод, основанный на принципе стационарности потенциальной энергии (метод виртуальных перемещений), является преобладающим подходом при формулировке соотношений между силами и перемещениями для элемента, он все же не самый удобный. Во многих случаях на практике трудно выбрать поле внутри элемента, которое бы отвечало всем условиям согласованности при переходе через границу, которые вытекают из характера соединения соседних элементов. Примером этому служат изгибаемые элементы, для которых на границе элементов должны быть непрерывны не только поля, но и производные от функций, задающих эти поля (угловые смещения). Не существует полей перемещений простого вида, которые отвечали бы этим требованиям. [c.198]

Если, как в рассматриваемом примере, силы потенциальные, т. е. каждой из них соответствует потенциальная энергия, то этот принцип эквивалентен условию минимума потенциальной энергии равновесной системы. Под виртуальными перемещениями понимаются произвольные изменения координат, не меняющие, однако, заданных условиями связей в системе (ср. 6). Возможно, например, вращать коромысло, меняя угол 0, но невозможно растягивать его (21 фиксировано). Итак, па систему, показанную на рис. 3, действуют три силы тяжести и ее потенциальная энергия [c.105]

Обратимся к рассмотренному ранее примеру с рычажными весами. Формула равновесия весов (11.8) была получена с использованием условия (11.4) экстремальной функции t/(0). Но следствием принципа виртуальных перемещений является не просто экстремальность, а именно минимальность потенциальной энергии системы. Для выяснения вида стационарной точки на кривой t/(0) надо, как известно, исследовать поведение производных этой функции более высокого порядка, чем первый. Иначе говоря, необходимое условие (11.7) надо дополнить условием, достаточным для устойчивого равновесия fsW>Q, или (52[//<302)а,(>О, т. е. [c.114]

Действие этого постулата не ограничивается областью статики. Он приложим также и к динамике, где принцип виртуальных перемещений соответствующим образом обобщается принципом Даламбера. Так как все основные вариационные принципы механики — принципы Эйлера, Лагранжа, Якоби, Гамильтона — являются всего лишь другими математическими формулировками принципа Даламбера, постулат А есть в сущности единственный постулат аналитической механики и поэтому играет фундаментальную роль Принцип виртуальных перемещений приобретает особое значение в важном частном случае, когда приложенная сила Fi моногенная, т. е. когда она получается из одной скалярной функции — силовой. В этом случае виртуальная работа равна вариации силовой функции LJ qi,. .., ( ). Так как силовая функция равна потенциальной энергии, взятой с обратным знаком, то можно сказать, что состояние равновесия механической системы характеризуется стационарностью потенциальной энергии, т. е. условием [c.100]

Резюме. Принцип виртуальных перемещений требует, чтобы в состоянии равновесия равнялась нулю работа приложенных сил при любой бесконечно малой вариации конфигурации системы, при которой не нарушаются наложенные кинематические связи. Для моно-генных сил это приводит к следующему условию в состоянии равновесия потенциальная энергия должна иметь стационарное значение по отношению ко всем кинематически возможным вариациям. [c.100]

Резюме. При помощи интегрирования по времени виртуальная работа сил инерции может быть преобразована в истинную вариацию. Таким образом, принцип Даламбера может быть математически переформулирован в принцип Гамильтона последний требует стационарности определенного интеграла, взятого по времени, от функции Лагранжа L, где L — разность между кинетической и потенциальной энергиями. Варьирование должно производиться при фиксированных граничных положениях системы (н фиксированном интервале времени). [c.140]

Изложенное свидетельствует о том, что принцип минимума кинетической энергии, определяющий единственно возможное значение радиуса Xi, при условии, что n(x,) - неизвестная величина, является следствием теоремы 7 и принципа виртуальных перемещений классической механики. Его доказательство совершенно не зависит от того, является поле скоростей в потоке вихревым или потенциальным, и он будет справедлив как в том, так и в другом случае, лишь бы для потока удовлетворялось условие 3 теоремы 7. Теорема 7 является как обоснованием принципа минимума кинетической энергии, так и его ограничением. [c.99]

Задача в постановке (3.6)—(3.8) является аналогичной тем, к которым приводят принципы виртуальной работы или минимума полной потенциальной энергии исключение составляет лишь то обстоятельство, что пробные функции перемещений и априори не удовлетворяют граничным условиям по перемещениям. В результате полная потенциальная энергия трещинного элемента увеличивается за счет члена, накладывающего условие (3.7). Принимая материал линейно-упругим, расширенный функционал получаем в таком виде [c.191]

В предыдущем параграфе обсуждались условия существования функции потенциальной энергии деформации. Если функция потенциальной энергии деформации существует, принцип виртуальной работы (3.49) может быть записан в виде ) [c.94]

Уравнение (2.17) выражает собой принцип возможных перемещений (принцип виртуальных работ) применительно к упругому телу, согласно которому работа внешних сил на возможных перемещениях равна вариации потенциальной энергии деформации. [c.38]

В этом выражении Z)= /i /12(l—fi )—цилиндрическая жесткость пластинки, а w—прогиб ее срединной поверхности. Чтобы получить дифференциальное уравнение изгиба, Кирхгофф пользуется принципом виртуальной работы, согласно которому работа, произведенная нагрузкой q, распределенной по пластинке, на всяком возможном перемещении, равна приращению потенциальной энергии пластинки, т. е. [c.306]

Из принципа виртуальных перемещений следует, что эта работа должна быть равна приращению потенциальной энергии (d), обусловленному приращением Ьот п - На этом основании [c.382]

На наличие потенциальной энергии деформации указывал еще Я. Риккати 1750). Фактически упругий потенциал мы находим уже в мемуаре Навье 1821 г. при выводе им уравнений теории упругости с помощью виртуальных перемещений. Существование упругого потенциала было постулировано Грином в 1837 г. и доказано, на основе принципов термодинамики, В. Томсоном . [c.61]

Условия стационарности потенциальной энергии определяются известным принципом виртуальной работы. — Прим. ред. [c.21]

Обращаясь вновь к принципу виртуальной работы (6.1), видим, что, согласно (6.41), б /-ЬбУ=бПр=0, откуда первая вариация должным образом записанной потенциальной энергии Пр равна нулю, т. е. Ир стационарна в точке, соответствующей решению. [c.171]

Как было показано, формулы для матриц элементов в линейных задачах теории упругости совпадают, если их получать на основе принципов соответственно виртуальной работы и минимума потенциальной энергии. Принцип виртуальной работы является более фундаментальным и его обобщения позволяют построить конечноэлементные представления не только для задач расчета конструкций. Поэтому многие предпочитают использовать именно этот принцип. С другой стороны, выражения для энергии деформации либо хорошо известны, либо легко выписываются во многих задачах расчета конструкций. Кроме того, энергетический подход делает наглядными экстремальные свойства решения и позволяет построить, как мы увидим в гл. 7, альтернативные алгоритмы, основанные на этих свойствах. [c.172]

Разрешающие уравнения метода перемещений получены в гл 5. на основе начала виртуальных перемещений или принципа стационарности полной потенциальной энергии системы. Разрешающие уравнения метода сил можно получить из начала виртуальных усилий или принципа стационарности дополнительной энергии. Действительно, используя начало виртуальных усилий (5.24), подставим в него статически допустимую вариацию вектора узловых усилий [c.159]

Выражение в левой части (1.27) называется потенциальной энергией упругой конструкции, находящейся под действием заданных нагрузок Р , для кинематически допустимых смещений р и соответствующих деформаций q. Она получается путем вычитания из энергии деформаций для деформаций q виртуальной работы нагрузок на смещениях р. Неравенство (1.27) показывает, что смещения и деформации, дающие реще-ние нашей задачи для конструкции, минимизируют потенциальную энергию принцип минимума потенциальной энергии). [c.16]

Вариационные методы наиболее плодотворно применяются в теории малых деформаций упругого тела. В случае когда существует функция энергии деформации и при вариациях перемещений внешние силы остаются неизменными, принцип виртуальной работы приводит к установлению принципа минимума потенциальной энергии. Этот вариационный принцип с помощью введения множителей Лагранжа дает семейство вариационных принципов, включающее принцип Хеллингера — Рейсснера, принцип минимума дополнительной энергии и т. д. [c.18]

С Другой стороны, принцип дополнительной виртуальной работы приводит к установлению принципа минимума дополнительной энергии в случае, когда соотношения напряжения — деформации таковы, что существует функция дополнительной энергии и предполагается, что при вариации напряжений граничные условия в перемещениях остаются неизменными. Принцип минимума дополнительной энергии с помощью введения множителей Лагранжа приводит к принципу Хеллингера — Рейсснера, принципу минимума потенциальной энергии и т. д. Показано, что в рамках теории малых деформаций упругого тела эти два подхода к формулированию вариационных принципов являются взаимными и эквивалентными друг другу. [c.19]

Из-за авторского предпочтения приближенные уравнения задачи теории упругости будут часто выводиться из принципа виртуальной работы, поскольку он остается справедливым независимо от соотношений напряжения — деформации и суш,ество-вания потенциальных функций. Приближенный метод решения, использующий принцип виртуальной работы, будет называться обобш.енным методом Галеркина ). Для консервативных задач теории упругости результаты, получаемые с помощью сочетания принципа виртуальной работы и обобщенного метода Галеркина, эквивалентны результатам, получаемым с помощью сочетания принципа стационарности потенциальной энергии и метода Ре-лея—Ритца. [c.21]

В этом параграфе будут рас смотрены обобщения принципа ми нимума потенциальной энергии Сначала напомним рассуждения которые привели к выводу прин ципа минимума потенциальной энергии из принципа виртуальной работы. Мы предполагали (1) можно вывести положительно определенную функцию состояния Л (е, ty, Уху) из соотношений между деформациями и напряжениями (2) компоненты деформаций удовлетворяют уравнениям совместности, т. е. их можно вычислить по формулам (1,5) из и, V, w (3) компоненты перемещений ы, v, w определены так, чтобы удовлетворялись геометрические граничные условия (1.14) (4) объемные и поверхностные нагрузки должны выводиться из потенциальных функций Ф и Ч по формулам (2.10) и (2.11). Если принять эти предположения, то, согласно принципу минимума потенциальной энергии, действительные деформации могут быть получены из условий минимума функционала П, определенного по формуле (2.12). [c.54]

Таким образом, было показано, что поскольку принцип минимума потенциальной энергии выводится из принципа виртуальной работы, он может быть обобщен путем введения множителей Лагранжа и дает ряд вариационных принципов-, включающих принцип Хеллингера — Рейсснера, принцип минимума дополнительной энергии и т. п. Это показано в виде диаграммы на табл. 2.1. [c.59]

Принцип минимума дополнительной энергии был выведен в 2.2 из принципа Дополнительной виртуальной работы. Легко проверить, что принцип минимума потенциальной энергии можно вывести из принципа минимума дополнительной энергии, проводя в обратном порядке рассуждения этого и предыдущего параграфов. Эквивалентноегь этих двух подходов очевидна, так как речь идет о теории упругости при малых перемещениях. Однако особо отметим тот путь, который ведет от принципа виртуальной работы к принципу минимума потенциальной энергии и другим связанным с ним вариационным принципам, потому что этот метод имеет больше преимуществ при систематическом решении задач в механике твердого тела. [c.59]

Как стержневой, так и треугольный элемент с линейным распределением перемещений дает неправильное представление об особенностях построения конечных элементов с использованием принципа минимума потенциальной энергии (или виртуальной работы). Это происходит из-за характера предполагаемых полей перемещений, которые соответствуют полям напряжений, удовлетворяющим дифференциальным уравнениям равновесия. Например, для треугольного элемента оказывается, что дифференциальное уравнение равновесия дах/дх+дхху1ду=0 тождественно удовлетворяется, если в него подставить выражение (5.7а) для напряжений [c.174]

Лагранж (1736—1813). Достижения Лагранжа, этого величайшего математика XVIII века, во многих отношениях параллельны работам Эйлера. Лагранж вполне независимо от Эйлера получил решение изопериметрических задач, сделав это совершенно новыми методами. Он разработал для этой цели новое, вариационное исчисление. Он также понял преимущество вариационных принципов в связи с той свободой, которую мы получаем, описывая положение механической системы при помощи выбираемой по нашему усмотре-ншо совокупности параметров ( обобщенные координаты ). Если принцип виртуальных перемещений и принцип Далам-бера позволили рассматривать механическую систему как нечто целое, не разбивая ее на изолированные частицы, то уравнения Лагранжа добавили еще одно, чрезвычайно важное свойство — инвариантность относительно произвольных преобразований координат Это позволило выбирать системы координат, удобные для данной конкретной задачи. В своей Аналитической механике (1788) Лагранж создал новое, необычайно мощное оружие для решения любых механических задач при помощи чистых вычислений, без каких бы то ни было физических или геометрических соображений, при условии, что кинетическая и потенциальная энергии заданы в абстрактной аналитической форме. Относясь к этому выдающемуся результату со своей обычной скромностью. Лагранж писал в предисловии к своей книге Читатель не найдет в этой книге рисунков. Развитые мною методы не требуют ни каких бы то ни было построений, ни геометрических или механических аргументов — одни только алгебраические операции в соответствии с последовательными едиными правилами . Лагранж таким образом создал программу и основания аналитической механики. [c.390]

Вместо того чтобы пользоваться принципом виртуальных перемещений при вычислении коэффициентов в выражении (а) для прогибов, мы можем достигнуть того же результата из рассмотрения полной энергии системы. Если система находится в состоянии устойчивого равновесия, то полная энергия ее принимает минимальное из всех возможных значений. Прилагая этот принцип к исследованию изгиба пластинки, заметим, что полная энергия в подобных случаях состоит из двух частей, а именно из энергии деформации изгиба, данной выражением (Ь), и из потенциальной энергии нагрузки, распределенной по пластинке. Если положение элемента qdxdy нагрузки определять вертикальными его расстояниями w от горизонтальной плоскости лгу, то соответствующая ему потенциальная энергия может быть принята равной —wqdxdy, и потенциальная энергия всей нагрузки будет [c.382]

Обычная процедура нахождения матриц жесткости для отдельных элементов, на которые разделена конструкция, основана на предположении, что перемещения можно представить в виде степенных рядов (по координатам). В этом случае деформации находятся путем дифференцирования, а матрица жесткости получается из условия равенства виртуальных работ для внутренних и внешних сил. Если используют принцип минимума полной потенциальной энергии, то приходят к известному методу перемещений. Другой известный метод — метод сил — основан на принципе минимума дополнительной энергии. В каждом из этих подходов могут возникать трудности, связанные с возможным появлением разрывов исследуемых величин в узловых точках. Нагрузка от распределенного по поверхности элемента давления должна быть сведена к сосредоточенным силам, приложенным в узлах при этом вычисление внутренней энергии элементов может быть сложным. Если с большой математической строгостью подойти к вопросам обобщения метода, проверки его основных положений, исследования сходимости и т. д., то его еще не сразу можно применить к расчетам реальных консг-рукций. [c.106]

Сразу же заметим, что это не вывод , поскольку в условиях принципа Даламбера-Лагранжа виртуальные перемещения рассматриваются при фиксированном состоянии и времени и никаких изменений скоростей не допускается, так что кинетическая и потенциальная энергии при виртуальных перемещениях должны оставаться неизменными. А что же тогда варьируется Согласно Э. и Ф. Коссера [48], ары руется действие, в котором плотностями являются функции Т и П (см. уравнение (21)) — действие движения и действие деформации соответственно. Это не единственный случай, когда одна и та же функция играет различные смысловые роли (см. ниже о двух ролях функции Гамильтона). [c.31]

Этот способ варьирования (варьирование по Гриффитсу) 17] использовался тогда, когда к телам с трещинами применяли энергетический подход, ссылаясь, однако, в большинстве случаев не на принцип виртуальных перемещений, а на соотношения энергетического баланса. Для однопараметри-ческих задач при наличии потенциальной энергии системы оба подхода эквивалентны. Принцип виртуальных перемещений позволяет распространить теорию на многопараметрическне задачи и непотенциальные системы. [c.162]

Главная проблема акустики состоит в исследовании колебаний системы около положения устойчивого равновесия однако удобнее будет начать со статической части предмета. Еспи мы отсчитываем координаты от конфи1урации равновесия, то согласно принципу виртуальных скоростей потенциальная энергия какой-нибудь другой конфигурации, при условии, что перемещение системы достаточно мало, будет однородной квадратичной [c.111]

Принцип виртуальной работы лежит в основе следующих вариг ционных принципов, описываемых ниже классических принципо стационарности потенциальной и дополнительной энергии, а такж менее известных смешанных принципов. Принцип виртуальной рг боты, по сути дела, служит независимым подходом к построению сс отношений метода конечных элементов. Используются две форм) общего принципа принцип виртуальных перемещений и принци виртуальных сил соответственно. Они приводят к общеизвестны принципам стационарности потенциальной и дополнительной энер [c.152]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...