Потенциальная функция энергия

Величина, равная работе, которую произведёт сила, действующая на материальную точку, находящуюся в потенциальном силовом поле, при перемещении этой точки из данного положения в положение, для которого значение потенциальной энергии условно считается равным нулю (то же, что и потенциальная функция, силовой потенциал). [c.67]

Иногда удобно называть величину Е= К + U, т. е. сумму кинетической и потенциальной энергии, функцией энергии. Кинетическая энергия К равна Mv J2. Потенциальная энергия зависит от действующей силы. Потенциальная энергия обладает [c.153]

Используя далее выражения для потенциальной энергии, подставляя в него напряжения, определенные через узловые перемещения, одновременно переходя к соответствующему выражению перемещений через узловые смещения, получим энергию как квадратичную функцию узловых смещений. Минимизируя далее функцию энергии, т. е. беря частные производные от энергии по соответствующим узловым перемещениям, придем к системе алгебраических линейных уравнений, определяющих искомые перемещения узлов, что и приводит к решению поставленной задачи. [c.118]

Выражение(л ) К (л ) есть потенциальная функция, пропорциональная потенциальной энергии системы величина представляет кинетическую энергию, отнесенную к единичной массе. Поэтому соотношение [c.16]

Таким образом, с точностью до высших степеней мы получили в качестве уравнений фазовых траекторий вблизи положения равновесия, соответствующего минимуму потенциальной функции (а следовательно, и потенциальной энергии), уравнения эллипсов. Эти эллипсы различаются между собой величиной полуосей, определяемой значением /г —Л/. Выбирая различные значения к, мы получаем различные эллипсы, которые по мере приближения Л к Л уменьшаются, стягиваясь в точку (аг,-, 0) при [c.19]

Наличие на фазовой плоскости замкнутых фазовых траекторий (например, эллипсов в окрестностях рассмотренной особой точки) указывает на существование периодических движений. Из нашего анализа следует, что в окрестностях особой точки, отвечающей минимуму потенциальной энергии, происходят периодические движения с эллиптическими фазовыми траекториями, соответствующими гармоническим колебаниям. Реальное движение тем ближе к гармоническому, чем меньше превышение запаса энергии системы над запасом энергии в точке равновесия, т. е. чем меньше величина Л —Л . В системах, в которых потенциальная функция [c.19]

Весьма плодотворную роль в термодинамических процессах простых тел имеет функция состояния, которую называют энтальпией, и которая определяется как сумма внутренней энергии (П) и потенциальной функции (рУ) [c.19]

Именно, когда только часть действующих сил имеет потенциал, а остальные силы его не имеют, можно написать в правой части уравнений (34.8а) только те Q/g, которые соответствуют силам, не имеющим потенциала потенциальную же энергию остальной части сил можно в уравнении (34.8а) объединить с кинетической энергией Т в функцию Лагранжа L. [c.251]

Сделаем по поводу полученных результатов два замечания. Во-первых, устойчивость по первому приближению еще не означает устойчивости при рассмотрении точных уравнений (гл. XIX). Кроме того, в этом случае мы лишены возможности вывести суждение об устойчивости из интеграла энергии, как это мы делали в теории малых колебаний (гл. IX). Во-вторых, если система устойчива при рассмотрении точных уравнений, а также в первом приближении, то это связано с влиянием линейных членов Ti в выражении для L. Благодаря им в уравнениях движения появляются гироскопические члены. При отсутствии слагаемых мы имели бы задачу о движении в поле консервативных сил, а для такого поля потенциальная функция в точках Ni и имеет максимум, и эти точки являются положениями неустойчивого равновесия. [c.570]

Если система склерономна и существует потенциальная функция V (ср. (29.9)), то уравнение (45.3) приводит к уравнению энергии или к интегралу энергии [c.121]

Если силы голономной системы имеют потенциальную функцию, т. е. имеют место уравнения (29.9) (другими словами, система имеет потенциальную энергию) или если существует обобщенная потенциальная функция вида [c.124]

Уравнения движения для каждой обобщенной i-й координаты можно получить по Лагранжу из дифференцирования кинетической Т и потенциальной П энергии и диссипативной функции Ф по Релею [c.23]

Для описания работы датчика выразим кинетическую 7 и потенциальную 6/ энергии измерительной системы, а также ее диссипативную функцию / через обобщенные координаты и 62 и обобщенные скорости 61 и с учетом (2) [c.137]

Для описания работы датчика выразим кинетическую Т и потенциальную U энергии и диссипативную функцию R измерительной системы через обобщенную координату 6 и обобщенную скорость 6 [c.153]

В теории конечных деформаций упругого тела принцип виртуальной работы приводит к установлению принципа стационарности потенциальной энергии при условии, что существуют функция энергии деформации материала тела и функции потенциалов внешних сил. Как только принцип стационарности потенциальной энергии установлен, он может быть обобщен с использованием множителей Лагранжа. [c.19]

ИЗ п различных материалов, а функция энергии деформации г-го материала обозначена через At, то принцип минимума потенциальной энергии можно переформулировать, заменив j Л dV на [c.61]

В предположении, что существуют функция потенциальной энергии деформации А и две потенциальные функции Ф и , принцип виртуальной работы (3.49) сводится к принципу стационарности потенциальной энергии [c.94]

Если существование двух потенциальных функций, определяемых (3.66), также гарантируется, мы получим функционал для принципа стационарности потенциальной энергии, который обобщается с применением множителей Лагранжа. Здесь мы запишем только выражение для Hi [c.129]

В-третьих, предположим, что существуют две потенциальные. функции Ф ( ) и Y ( ), определенные соотношениями (3.36). Тогда функционал принципа стационарности потенциальной энергии для задачи с начальными деформациями примет вид [c.134]

Во всех предыдущих параграфах данной главы мы рассматривали движение системы в потенциальном поле, но не требовали, чтобы поле это было стационарным. Именно поэтому мы предполагали, что лагранжиан, гамильтониан и иные функции, встречавшиеся нам по ходу изложения, могут зависеть явно от времени. В этом смысле изложенный выше материал охватывал движения в нестационарных потенциальных полях и, в частности, движение в потенциальном поле системы, имеющей механические реономпые связи. Для случая, когда система натуральна, связи склерономны и поле стационарно, т. е. когда потенциальная функция не зависит явно от времени, выше было установлено лишь то, что гамильтониан совпадает с полной энергией системы. Отправляясь от этого факта, мы ввели понятие обобщенно консервативной системы как такой гамильтоновой системы, в которой гамильтониан не зависит явно от времени, а сам гамиль- [c.325]

В случае потенциального силового поля наряду с силовой функцией можно ввести другую функцию, характеризующую запас энергии о данной точке поля, — потенциальну о энергию в этой точке (рис. 76), или потенциальную энергию материальной точки в рассматриваемой точке силового поля. [c.335]

В общем случае полученное выражение для Т будет функцией а, и а. , так что для нелинейной системы имеет место зависимость периода колебаний от общего запаса энергии или размаха совершаемых колебаний кеизохронность колебаний в нелинейных системах). Л ишь для линейной системы, когда потенциальная функция представляет собой квадратичную функцию координат Р (х)--= йСС Л + для колебаний вокруг положения равновесия имеем Т 2л/У2а = пУ 2/У а , т. е. период равен величине, не зазисящеа от амплитуды совершаемых колебаний. В этом случае колебания становятся изохронными, и период свободных колебаний в линейной системе не зависит от сообщенного ей начального запаса энергии. [c.20]

Таким образом величина Я не есть удельная потенциальная энергия жидкости (находящейся, например, в некотором сосуде см. рис. 2-13), подсчитанная относительно принятой плоскости сравнения 00 в предположении, что на жидкость действуют только силы тяжести. Величина Я представляет собой отнесенную к единице веса жидкости потенциальную функцию, описывающую суммарное векторное силовое поле, образованное силами тяжести и еще архимедовыми силами (точнее говоря, силами, выражаемыми градиентами давления см. выше). [c.51]

История этого термина довольно курьезна. По-видимому, он был сначала введен (и ошибочно) Вебером в классической электродинамике, где постулируются силы, зависящие от скорости. Немецкий математик Е. Шеринг был, видимо, первый, кто серьезно пытался ввести такие силы в механику (см. Gott. Abh. 18, 3, 1873). Так, например, в первом издании Уиттекера, Аналитическая динамика, 1904, есть ссылка на потенциал в смысле потенциальной функции Шеринга . Однако этот термин, по-видимому, не вошел в употребление, так как в последующих изданиях он был исключен. Мы отдаем предпочтение термину обобщенный потенциал , включая в это понятие также и обычную потенциальную энергию, являющуюся функцией только положения. [c.31]

Пример 5.2В. Центральная орбита. Выберем центр притяжения за начало координат, а в качестве лагранжевых координат возьмем полярные координаты точки г, 0. Силовыми линиями здесь будут радиусы, а эквипотенциальными линиями (ортогональными семейству силовых линий) — окружности г = onst. Потенциальная функция будет зависеть поэтому только от г обозначим ее через m S (г), так что 9S будет потенциальной энергией единицы массы. Сила притяжения md ldr также будет зависеть только от г. Если мы имеем поле сил притяжения к точке О, то 93 (г) является монотонно возрастающей функцией от г. [c.67]

G6. Два примера. Лагранжевы уравнения (65.6) связывают наиболее часто встречающиеся динамические системы и излагаем абстрактную теорию. Эта теория приложима ко всем физическим системам, которые ведут себя согласно уравнениям (65.6), независимо от того, действительно ли эта система динамическая или нет. Ср1стема может состоять из электрических контуров с обобщенными скоростями, соответствующими токам. В чисто динамической области благодаря (46.18) настоящая теория приложима ко всем голономным системам, для которых обобщенные силы можно получить дифференцированием потенциальной функции или обобщенной потенциальной функцию. В таких системах кинетическая энергия всегда выражается через квадраты обобщенных скоростей и таким же является лагранжиан L = Т — F), когда [c.217]

Как видно из равенств (18.38), силовая функция, а следовательно, и потенциальная фу нкция определяются с точностью до произвольного постоянного слагаемого. Потенциальная функция с фиксированной константой носит название потенциала. Однозначная потенциальная функция иначе цазываехся потенциальной энергией частицы. Сила, удовлетворяющая условию (18.38), называется потенциальной силой. Введя потенциальную энергию, можно уравнение (18.41) -переписать [c.165]

ЛАГРАНЖА ФУНКЦИЯ (кинетический потенциал) — характеристич. фуню(ия L (q,-, q,-, f) механнч. системы, выраженная через обобщенные координаты обобщённые скорости qi и время t. В простейшем случае < -сервативной системы Л. ф. равна разности между кинетической Т и потенциальной П энергиями системы, выраженными через д,- и д/, т. е. L= Т q,-, qi, t) — П (g,). Зная Л. ф., можно с помощью наименьшего действия принципа составить дифференциальные ур-ния движения механич, системы. Понятие о Л. ф. распространяется и на др. физ. системы (см. Лагранжиан, Лагранжа уравнения механики 2-го рода, Лагранжев формализм). [c.543]

Для существования этой функции, называемой потенциальной функцией, необходимо и достаточно выполнение соотношений dPJda = dP ldag, (s, j= 1,, ,,, к). Из равенства (65) следует, что уравнения для определения порождающих параметров а = aj- совпадают с условиями стационарности фуикции D нетрудно показать также, что условия строгого минимума функции D, основанные на анализе членов второго порядка в разложении этой функции вблизи стационарной точки, совпадают с условиями устойчивости периодических решений (соответствующие минимумы назовем грубыми). Иными словами, в задаче о существовании и устойчивости периодических движений функцня D играет так ю же роль, как и потенциальная энергия в задаче о положениях равновесия консервативной системы, т. е. при существовании функции D результаты, приведенные выше, являются аналогами известных теорем Лагранжа—Дирихле и А. М Ляпунова [35, 37] [c.61]

Вариационные методы наиболее плодотворно применяются в теории малых деформаций упругого тела. В случае когда существует функция энергии деформации и при вариациях перемещений внешние силы остаются неизменными, принцип виртуальной работы приводит к установлению принципа минимума потенциальной энергии. Этот вариационный принцип с помощью введения множителей Лагранжа дает семейство вариационных принципов, включающее принцип Хеллингера — Рейсснера, принцип минимума дополнительной энергии и т. д. [c.18]

Из-за авторского предпочтения приближенные уравнения задачи теории упругости будут часто выводиться из принципа виртуальной работы, поскольку он остается справедливым независимо от соотношений напряжения — деформации и суш,ество-вания потенциальных функций. Приближенный метод решения, использующий принцип виртуальной работы, будет называться обобш.енным методом Галеркина ). Для консервативных задач теории упругости результаты, получаемые с помощью сочетания принципа виртуальной работы и обобщенного метода Галеркина, эквивалентны результатам, получаемым с помощью сочетания принципа стационарности потенциальной энергии и метода Ре-лея—Ритца. [c.21]

В этом параграфе будут рас смотрены обобщения принципа ми нимума потенциальной энергии Сначала напомним рассуждения которые привели к выводу прин ципа минимума потенциальной энергии из принципа виртуальной работы. Мы предполагали (1) можно вывести положительно определенную функцию состояния Л (е, ty, Уху) из соотношений между деформациями и напряжениями (2) компоненты деформаций удовлетворяют уравнениям совместности, т. е. их можно вычислить по формулам (1,5) из и, V, w (3) компоненты перемещений ы, v, w определены так, чтобы удовлетворялись геометрические граничные условия (1.14) (4) объемные и поверхностные нагрузки должны выводиться из потенциальных функций Ф и Ч по формулам (2.10) и (2.11). Если принять эти предположения, то, согласно принципу минимума потенциальной энергии, действительные деформации могут быть получены из условий минимума функционала П, определенного по формуле (2.12). [c.54]

Следуя рассуждениям 3.7 и помня, что распределение температур задано, находим, что функция энергии деформациц в термоупругой задаче существует для каждого элемента упругого тела и равна свободной энергии Гельмгольца, определяемой уравнением (3.63). Требуется предположить только существование двух функций состояния Ф и Y для установления принципа стационарности потенциальной энергии, функционал которого имеет вид [c.136]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...