Пространство конфигураций и времени

Если в системе есть нестационарные связи, то некоторые авторы рассматривают пространство конфигураций и времени . В этом пространстве в фиксированный момент времени положение системы изображается положением одной точки. Необходимость введения такого пространства отпадает, если ввести дополнительную координату, связанную с временем, т. е. рассматривать пространственно-временной континуум [c.153]

При выполнении условий (II. 62) векторы ta являются частными производными от радиуса-вектора точки в пространстве конфигураций и времени по координатам х . [c.156]

Рассмотрим теперь пример системы, связи которой, а следовательно, вообще, и совокупность возможных ее положений зависят от времени. В этом случае можно лишь говорить о пространстве конфигураций системы в данный момент времени или о пространстве конфигураций и времени, которое представляет собою объединение набора пространств, соответствующих всем моментам времени. [c.17]

Прежде чем перейти к их изложению, уточним смысл фразы движение системы за конечный промежуток времени . В каждый данный момент времени конфигурация системы определяется значениями обобщенных координат q, . .., q-n, и если рассматривать эти числа как декартовы координаты в /г-мер-ном пространстве, то каждой конфигурации системы будет соответствовать определенная точка этого пространства. Такое -мерное пространство мы будем называть пространством конфигураций. С течением времени состояние системы изменяется, и точка, изображающая эту систему, описывает в пространстве конфигурации некоторую кривую. Мы будем называть эту кривую траекторией движения системы . Тогда движение системы можно будет рассматривать как движение изображающей точки вдоль этой траектории (в пространстве конфигураций). Время i можно при этом рассматривать как параметр. Тогда каждой точке траектории будет соответствовать одно или несколько значений t. Следует подчеркнуть, что пространство конфигураций, вообще говоря, не является трехмерным пространством, в котором происходит движение системы (подобно тому, как обобщенные координаты не всегда являются обычными координатами, определяющими положение точки). Траектория движения в пространстве конфигураций, конечно, не будет иметь сходства с истинной траекторией какой-либо точки рассматриваемой системы каждая точка траектории в пространстве кон- [c.42]

На первый взгляд может показаться, что отождествление SRa с dRk возможно всегда, потому что среди кинематически возможных перемеш,ений обязательно должно быть и действительное перемещение. Однако этот почти очевидный аргумент не всегда безупречен. Он справедлив для свободных частиц, но не всегда правилен в случае механической системы со связями. Конечно, положение С-точки в пространстве конфигураций можно изменять произвольно, и мы всегда можем отождествить bqi с dqi. Это, однако, не всегда означает, что вариации 6R положений частиц совпадают с действительными перемещениями dR,-. Следует иметь в виду, что вариации накладываются мгновенно, в определенный момент времени, что означает возникновение бесконечных скоростей, в то время как реальное движение происходит с конечными скоростями. Сравнив уравнения (1.2.8) с уравнениями (1.8.3), мы увидим, что в первом случае отождествление bqi с dqi приводит к равенству 6R,- = dRi, а во втором случае — нет. Уравнения первого типа выпол- [c.119]

Иногда оказывается чрезвычайно выгодным превратить время t в механическую переменную. Вместо того чтобы считать позиционные координаты qi функциями времени t, координаты qi и время t рассматриваются как функции некоторого произвольного параметра т. Лагранж в подобных случаях считал, что пространство конфигураций для одной частицы превращается из пространства трех в пространство четырех измерений. В релятивистской механике этот переход абсолютно необходим, так как пространство и время объединяются там в один четырехмерный континуум Эйнштейна—Минковского. [c.216]

В свете всего сказанного о параметрических системах формулировка принципа наименьшего действия для консервативных систем, данная Эйлером и Лагранжем, получает новый смысл. Напомним, что этот принцип требует минимизации интеграла по времени от величины 2Т при условии, что для движущейся точки выполняется энергетическое уравнение Т + V = . При переходе от пространства конфигураций к фазовому пространству принцип Эйлера — Лагранжа принимает следующую форму. Требуется найти условия стационарности интеграла [c.221]

Остановимся сначала на задаче о консервативной механической системе. Это в действительности общий случай, так как путем добавления времени t к числу позиционных переменных и введения в пространство конфигураций дополнительной оси t, а также замены слов независящая от времени h словами независящая от параметра т любая механическая система может быть сделана консервативной. Соединим точки qi,..., qn и <7i,..., траекторией, которая приводит к стационарному значению интеграл [c.292]

Гаусс (1777—1855). Несколько в стороне от главного направления лежит принцип наименьшего принуждения , установленный выдающимся математиком Гауссом. В этом принципе не используется в качестве минимизируемой функции интеграл по времени. Гаусс вводит для произвол-ьного момента времени определенную положительную величину, называемую принуждением , и минимизацией этой величины получает ускорения, считая скорости и координаты в этот момент заданными. Принцип Гаусса является истинным минимальным принципом, а не просто принципом стационарного значения. Однако он не обладает аналитическими преимуществами других принципов, поскольку принуждение включает в себя, помимо позиционных координат и скоростей, еще и ускорения. Герц дал геометрическую интерпретацию принуждения Гаусса, представив его как геодезическую кривизну в пространстве конфигураций [c.392]

При рассмотрении приложений метода Лагранжа было видно, что существование циклических координат обусловливает постоянство величин, которые иногда, на основании предварительных сведений, можно отождествить с компонентами количества движения (компонентами импульсов). Однако надо особенно подчеркнуть, что выражение количества движения никогда не фигурирует в явном виде в связи с трактовкой Лагранжа. Основная черта метода Лагранжа состоит в том, что независимыми переменными являются время и обобщенные координаты. Производные по времени от обобщенных координат также явно входят в уравнения, но в конечном счете всегда будут зависимыми переменными. Это обстоятельство иллюстрируется использованием для представления движения системы понятия траектории в пространстве конфигураций. [c.56]

Временная и пространственная когерентность лазерного источника, используемого для записи голограммы и восстановления с нее изображения, определяет не только свойства полученной голограммы, но также то, насколько сложной будет конфигурация оптической системы, применяемой для записи голограммы. Временная когерентность связана с конечной шириной полосы частот излучения источника, а пространственная когерентность — с его конечной протяженностью в пространстве. В газовом лазере временная когерентность определяется временными (или продольными) и пространственными (или поперечными) модами лазерного резонатора. Самая высокая степень как пространственной, так и временной когерентности получается в режиме одномодовой генерации. В 2.3 приведены точные математические определения временной и пространственной когерентности источников света и их влияние на процессы записи голограмм и восстановления с них изображения. [c.287]

Таким образом, координаты д представляют в Л -мерном пространстве конфигураций N независимых переменных а. Легко видеть, что в построенном пространстве не существует другого базиса, отличного от е в котором координаты изображающей точки удовлетворяли бы (2. 2) для любого момента времени. Иными словами, между независимыми переменными определяющими конфигурацию молекулы с N колебательными степенями свободы и базисом (е в ]У-мерном пространстве конфигураций существует взаимно однозначное соответствие. [c.92]

Сделаем еще несколько сопоставлений вариационного принципа Гамильтона (65я = 0) и принципа наименьшего действия (40). Хотя в нашем изложении оба принципа относятся к механическим системам, имеющим потенциал, но пучки траекторий сравнения, охватывающие истинную траекторию в пространстве конфигураций, выбираются различным образом. Синхронная или 6-вариация соответствует виртуальным (возможным) перемещениям системы, т е. таким перемещениям, которые система может иметь в данный момент 1 — фиксировано), не нарушая связей (дозволяемых связями). Если наложенные на систему связи явно зависят от времени, то действительное бесконечно малое перемещение не принадлежит к числу виртуальных и, следовательно, могут быть такие траектории сравнения в пространстве конфигураций, на которых (Г-Ь У) =полной энергии системы не будет постоянным. Соответственные точки действительной траектории системы и траекторий сравнения проходятся в одинаковые моменты времени, но полные энергии в этих точках в общем случае не равны между собой. [c.137]

В целях лучшего использования рабочего пространства печи, уменьшения времени прогрева и получения однородных результатов цементации, формы и размеры ящиков должны выбираться сообразно конфигурации и размерам цементируемых в них деталей. [c.41]

Два деления истории. История развития небесной механики есте-ственно разделяется на две части. Одна касается развития чисто формального взгляда на вселенную, естественного разделения времени, конфигурации созвездий и определения путей и периодов планет н их движений другая трактует попытки и успехи в достижении правильных идей относительно физических сторон явлений природы, основных свойств силы, материи, пространства и времени и особенно взаимоотношений между ними. Правда, эти две линии в развитии астрономической науки не всегда отчетливо разделялись теми, кто их развивал наоборот, они часто ассоциировались настолько тесно, что рассуждения последней сильно влияли на выводы первой. Хотя оба вида исследований должны быть строго различаемы в уме исследователя, но, конечно, ясно, что они должны постоянно служить контролем друг другу. Целью двух следующих параграфов будет охарактеризовать возможно короче развитие небесной механики по этим двум линиям со времени ранних греческих философов до того времени, когда Ньютон приложил свой гений к анализу введенных элементов и к их синтезу в одном из самых величественных произведений человеческого ума. [c.40]

Метод обобщенных координат, применяемых для описания движения (состояния) системы со связями, допускает важную математическую интерпретацию. Пространство, образованное совокупностью обобщенных координат д , носит название пространства конфигураций. Оно имеет 5 измерений. Поскольку состояние системы п материальных точек в любой момент времени задается набором координат ( 1, 2,. .., дз), то оно тем самым задается положением точки, изображающей систему в пространстве конфигураций. Несмотря на формальный характер этого математического приема, он оказывается весьма полезным в ряде вопросов физической теории. Например, описание движения системы с помощью изображающей точки оказывается эффективным и наглядным, если число измерений конфигурационного пространства мало. [c.169]

Произвольное движение системы изображается в ее пространстве конфигураций и времени некоторой кривой. Если система голономна, то и обратно любая кривая в этом пространстве, идущая, естественно, в направлении возрастающих времен, изображает некоторое движение системы. Однако для неголономных систем это не имеет места и лишь некоторые кривые в пространстве конфигураций и времени соответствуют движениям системы, совместным с ее связями. Действительно, точка этого пространства, изображающая в некоторый бпределенный момент времени положение системы, не может сместиться в любом направлении, поскольку определяющие это смещение дифференциалы обобщенных координат и времени удовлетворяют теперь ряду неголономных связей [c.18]

Будем рассматривать два многообразия а) многообразие конфигураций, в котором точка соответствует конфигурации динамической системы, и Ь) многообразие конфигураций и времени, в котором точка соответствует конфигурации в данный момент времени. Легко видеть, i-to многообразие конфигураций применимо при изучении склерономных систем, а многообразие конфигураций и времени — при изучении реономных. Для склерономных систем пространство конфигураций может быть метризовано при помощи кинематического линейного элемента [c.13]

Он показал, что если геодезические линии пространства проектируются вдоль параметрических линий и на поверхности и = onst, то полученные при этом кривые будут совпадать с динамическими траекториями в многообразии конфигураций и времени. [c.29]

С течением времени положение системы в пространстве изменяется и точка, изображающая эту систему, описывает в пространстве конфигураций некоторую кривую. Условимся называть эту кривую траект.орией движения системы. Движение изображающей точки вдоль этой траектории отображает действительное движение системы в пространстве. [c.391]

Конечно, условие (6) может удовлетворяться и тогда, когда точка М(д1,. .., I7 v) лежит за пределами области минимума, если на ее координаты не наложены какие-либо ограничения. Но в исследуемом вопросе можно основываться на непрерывности перехода координат материальной системы д, от начальных значений д о к конечным д Если при движении системы изображающая точка в пространстве конфигураций удаляется от положения равновесия и начального положения в противоречии условиям (II. 165а), то она должна пересечь границу области минимума. При этом потенциальная энергия П сделается равной или больщей А. Однако неравенство (6) должно выполняться в произвольный момент времени. Следовательно, неравенство (6) указывает, что точка М(ди. .., д ) находится в области минимума и движется с ограниченной скоростью. Последнее выте- [c.218]

Мы знаем, что процесс варьирования интеграла можнр свести к вычислению дифференциалов, для чего достагочно рассмотреть однопараметрическое семейство возможных траекторий в пространстве конфигураций. Координаты qi становятся тогда функциями времени t и параметра а, указывающего, какая траектория применяется при вычислении интеграла /. Поэтому этот интеграл можно рассматривать как функцию а, а вариации входящих в него величин можно отождествить с их дифференциалами. Символически это можно записать следующим образом [c.251]

Так как характеристическая функция W не зависит от t, то поверхности W = onst в пространстве конфигураций занимают фиксированные положения. Что касается поверхностей 5 = onst, то в любой момент t каждая такая поверхность совпадает с некоторой поверхностью W = onst. Однако значение W, соответствующее заданному значению 5, будет изменяться со временем в соответствии с равенством (9.78). Рассмотрим, например, поверхности S = а м S = Ь. В момент t = О они будут совпадать с поверхностями W = а и W = Ь (рис. 66). Однако спустя некоторое время dt поверхность S = а будет совпадать с поверхно- [c.336]

Применим теперь приведенные рассуждения к волнам в (/-пространство. Выберем в -пространстве для некоторого момента времени определенную точку Р, через которую в момент времени / должен пройти в заданном направлении волновой пакет. Пусть также заданы средняя частота V или среднее значение для этого пакета. Подобныб условия саитветсгиунгг заданию в случае механической системы исходной конфигурации и компонентов скорости в начальный момент. (Задание энергии и направления движения равносильно заданию значений компонентов скорости.) [c.687]

Обычно под частной О. т. подразумевают описание явлений с помощью и. с. о. После того как и. с. о. выбрана, необходимо задать метод определения в ней времён и координат событий. Т. к. в инерц. систе-ма.х в частной О. т. справедлива евклидова геометрия, то для определения координат событий можно пользоваться декартовыми координатами j , х , х , или х, у, Z, где X, у, Z измеряются стандартным жёстким масштабом в ортогональной декартовой системе -координат. Три координаты х, у, z объединяются в трёхмерный вектор г (или л ). Время t в данной точке г измеряют любым механизмом, совершающим периодич. движение, т. е. периодически возвращающимся в данную конфигурацию. Тогда число периодов и есть время г. Предполагается, что часы во всех точках пространства и во всех и. с. о. одинаковы. В совр, метрологии оси. единицы для измерения длины и времени выбираются с помощью оптич. явлений (число световых волн стандартного излучателя и число атомных колебаний стандартного атома для заданных переходов). [c.494]

В некоторых приложениях не требуется малых отклонений по всем фазовым переменным. Так, если поставлено условие траекгорной устойчивости (безотносительно к изменению скоростей и, следовательно, временному положению системы по данной траектории), то близость движений оценивается в пространстве конфигураций, т.е. по норме <1(0 Ч(0 Здесь [c.457]

В результате ряда работ, в частности работ, вызванных выступлением Ю. И. Неймарка и Н. А. Фуфаева с критикой точки зрения Вольтерра, было установлено, что существует неограниченное число вариантов определения операций виртуального варьирования в пространстве конфигураций — времени, которым соответствуют вышеуказанные перестановочные соотношения для кинематически зависимых голономных координат и квазикоординат. [c.100]

Обязательная связь временных процессов с пространственным перемещением соединяет механику с физикой и, вместе с тем, отделяет в самой физике понятия, сводимые (с теми или иными оговорками, условиями и границами) к механике, и понятия, не сводимые к ней. Эта же связь между пространством и временем отделяет механику от геометрии. Речь идет не об абстрактной геометрии и не об абстрактных пространствах. Абстрактные пространства могут представлять самые различные ряды явлений и абстрактная теория этих пространств может с одинаковым успехом описывать механические, физические, химические, биологические и экономические аспекты. Речь идет о той первоначальной геометрической концепции, которая считала себя теорией окружающего нас трехмерного пространства (именно к нему и только к нему относится вопрос о связи между пространством и временем), но подготовила понятия, впоследствии обобщенные и получившие абстрактный характер. Статическая космология Аристотеля (неподвижные сферы, неподвижный центр и неподвижные границы мироздания) и теория естественных движений (тела стремятся совпасть со статической конфигурацией своих естественных мест) не выходила за пределы трехмерного пространства. Она придавала ему физический смысл. Схема естественных мест , неподвижного центра и границ Вселенной не включала времени, не изменялась во времени, и тем не менее эта вневременная, чисто пространственная реальность определяла движения тел. В отличие от механики Галилея, от механики виртуальных движений, вообще от механики, возникшей в XVII в., перипатетическая механика исходила не из динамики, а из статики. Не суммирование динамических воздействий объясняло равновесие системы, а, наоборот, динамические эффекты (в том числе падение тел) объяснялись стремлением космической системы к равновесному, статическому, естественному состоянию. [c.381]

Сущность одного из основных вариантов технологии состоит в следующем. В качестве борирующей засыпки применяют порошок технического карбида бора различной дисперсности или смеси на его основе Процесс борирования по данной технологии аналогичен процессу цементации в твердом карбидизаторе и отличается от него по существу только тем, что контейнер, в котором борируют изделия, герметизируют с помощью плавкого затвора. Для образования плавкого затвора используют крошку стекла с температурой размягчения 500—700 С. Борирование проводят в металлических сварных контейнерах (пакетах) из жаростойкой стали размеры и форма контейнеров определяются конфигурацией и габаритами обрабатываемых изделий и рабочим пространством печи. Герметизированный контейнер (рис. 76) с упакованными в нем изделиями, плотно засыпанными порошком карбида бора, помещают в горячую печь с воздушной или любой другой средой и выдерживают при 850—1050" С в течение времени, необходимого для получения боридного покрытия требуемой толщины. После этого контейнер извлекают из печи и охлаждают на воздухе, в проточной воде или в спрейере и распаковывают. Борированные изделия [c.207]

Наиболее общими характеристиками динамических процессов являются энергетические характеристики. Действительно, любую материальную систему, с позиций классической механики, можно полностью описать положением всех ее точек в пространстве и изменением этого положения во времени. При этом под пространством в общем случае следует понимать так называемое пространство конфигураций системы, обобщенные координаты которой и их первые производные по времени могут быть либо функционально связаны с декартовы- ми координатами, либо полностью от них не зависеть. Располагая некоторыми дополнительными данными о свойствах рассматриваемой системы, можно получить выражения для энергии в виде либо функции Лагранжа, либо функции Гамильтона, Зная эти величины и используя известные в механике вариационные принципы, мы прцдем к так называемым обобщенным уравнениям движения. [c.32]

Как известно, на заре развития механики предлагались в качестве меры механического движения для материальной точки количество движения ти (Декарт) и удвоенная кинетическая энергия (Лейбниц), но эти меры движения являются менее совершенными и менее универсальными, чем величины 81, и 8н-Для дальнейшего оказывается весьма полезной следующая геометрическая интерпретация движения системы. Пусть механическая система точек (или твердое тело) имеет 5 степеней свободы и ее положение относительно системы отсчета (материального базиса) определяется обобщенными координатами ( 1, <72, дг,, де). При движении системы обобщенные координаты будут изменяться, т. е. будут некоторыми функциями времени t. Будем рассматривать совокупность обобщенных координат (< 1, , <7 ) для каждого момента времени как координаты точки в пространстве -измерений. Тогда каждой конфигурации (положению в пространстве) механической системы будет соответствовать точка в -мерном пространстве. Так как по природе реального механического движения обобщенные координаты ( 1,. . ., дз) являются непрерывными функциями времени, то каждому конечному перемещению системы с степенями свободы в трехмерном евклидовом пространстве будет соответствовагь некоторая кривая в -мерном пространстве. Мы будем называть такое -мерное пространство пространством конфигураций, а кривую в этом -мерном пространстве, соответствующую реальному движению системы, — траекторией механической системы (соответственно твердого тела) в пространстве конфигураций. Каждая точка такой траектории в пространстве конфигураций однозначно соответствует некоторому положению в евклидовом пространстве реальной механической системы. Пользуясь введенной терминологией, можно сказать, что для реально осуществляющихся механических движений на истинной траектории в пространстве конфигураций меры движения 8ь и 8ц принимают [c.123]

При осуществлении полной вариации, когда учитывается изменение времени 1, можно всегда требовать, чтобы движения по истинной траектории и траектории сравнения выполнялись при 7-1-1/=сопз1, т, е пучок траекторий сравнения можно физически реализовать. Время движения вдоль изоэнергетических траекторий между соответственно выбранными конфигурациями может и не сохраняться, так как требование изоэнергетичности может в ряде случаев приводить к ускорению или замедлению движения по траекториям сравнения в пространстве конфигураций (координаты действительной и варьированных траекторий различны, следовательно, в общем случае будут различны и скорости). При полной вариации или Д-вариации время варьируется и на концах траекторий сравнения (т. е. МФО при 1=1 А, г = й), но полные вариации обобщенных координат в конечных точках пучка траекторий сравнения равны нулю. [c.137]

Рассмотрим, например, в пространстве конфигураций близкие друг к другу действительную и виртуальную траектории системы, предполагая, что в начальный и конечный моменты времени обе траектории пересекаются. Действительная траектория определяется функциями Гг(0. удовлетворяющими уравнениям движения и уравнениям связей, в то время как виртуальные траектории определяются функциями ri t, е), лодчиненными только уравнениям связей. Полагая, что ri t, е) е=о =ti(i), зададим виртуальные перемещения точек системы в виде [c.449]

Изложение применения метода Монте-Карло для исследования жидкостей будет неполным, если хотя бы кратко не коснуться его соотношения с методом молекулярной динамики, рассмотренным в гл. 4 первого тома. Объединяет оба эти метода то, что они применяются к малым конечным системам, используют одинаковые периодические граничные условия, оба дают для подобных систем точные решения, но для различных задач. В методе молекулярной динамики асимптотически точные результаты в принципе получаются путем усреднения по времени функций фазового пространства вдоль одной или нескольких характерных фазовых траекторий системы с помощью интегрирования элементарных уравнений движения Ньютона для системы. Равновесные свойства получаются в результате усреднения по времени, проводимого после затухания переходного процесса, обусловленного выбором начального состояния. В методе Монте-Карло асимптотически точные результаты для средних по различным конфигурациям, определяемых в том или ином статистическом ансамбле, получаются путем усреднения по случайным блужданияль в этом конфигурационном пространстве. (Различие двух методов, заключающееся в том, что в методе молекулярной динамики траектория определена в фазовом пространстве координат и импульсов системы, а в методе Монте-Карло — в конфигурационном пространстве, являющемся проекцией фазового пространства на координаты [c.316]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...