Траектория сравнения

Вновь изобразим движение материальной системы как движение материальной изображающей точки в многомерном пространстве конфигураций. Траектория изображающей точки, соответствующая действительному движению системы, называется основной. Траектории изображающей точки, образованные из основной в результате варьирования радиусов-векторов точек материальной системы, называются траекториями сравнения. [c.185]

Принцип Даламбера — Лагранжа устанавливает некоторое свойство действительного движения, т. е. движения изображающей точки по основной траектории. Это свойство заключается в том, что при движении изображающей точки по основной траектории сумма работ активных сил и сил инерции, произведенная на возможных перемещениях точек системы, соответствующих переходу изображающей точки с основной траектории на траекторию сравнения, в случае наличия лишь идеальных связей, будет не положительной. [c.185]

Рассмотрим теперь действительное движение и движение по траектории сравнения. Как и всегда, предполагается, что движение по траектории сравнения не противоречит связям. [c.192]

Предполагается, что координаты точки, движущейся по траектории сравнения, совпадают с координатами изображающей точки на основной траектории с точностью до малых величин второго порядка малости. Допустим, что направления касательных к основной траектории и траектории сравнения в данной точке также совпадают. [c.192]

Тогда для движения по траектории сравнения найдем [c.192]

Введем векторы относительной первой кривизны основной траектории и траектории сравнения ). Обозначим вектор относительной кривизны основной траектории кь вектор относительной кривизны траектории сравнения обозначим кг. Пусть вектор кривизны траектории вспомогательной системы будет к". Тогда квадраты модулей векторов относительных кривизн определятся равенствами [c.193]

Аналогичным условиям удовлетворяют вариации обобщенных координат. Положения, занимаемые изображающей точкой на действительной траектории и траектории сравнения в одинаковые моменты времени, являются соответствующими, как, например, точек M t) и М (/) на рис. 28. Следовательно, соответствие между точками действительной траектории и траектории сравнения устанавливается по времени . Таким образом, в каждый момент времени конфигурация системы в действительном движении определяет конфигурацию системы в движении сравнения. [c.196]

Действительно, р,, q связаны зависимостью (11.39). Следовательно, чтобы вариации импульсов р были независимыми от вариаций и рр надо изменить способ варьирования, полагая, что на траектории сравнения равенство (II. 39) не удовлетворяется. Но при этом нельзя пользоваться принципом Гамильтона — Остроградского. [c.200]

Предположим, что на траектории сравнения постоянная А равна постоянной А на траектории действительного движения, т. е. действительное движение и движение сравнения происходят с одинаковой механической энергией. [c.201]

Из равенства (а) видно, что это условие налагает некоторые ограничения на скорость движения изображающей точки по траектории сравнения. [c.201]

Переход от основной траектории к траектории сравнения рассматривается как результат изменения коэффициентов Л и В. Найдем [c.211]

Если рассматривать траектории системы в фазовом пространстве, то процедура варьирования аналогична выбору траектории сравнения в пространстве конфигураций. [c.35]

Последнее условие, очевидно, должно иметь место и для всех траекторий сравнения. [c.467]

Вывод уравнений Лагранжа второго рода из принципа Якоби. Так как предполагается, что движение по всем траекториям сравнения происходит с одним и тем же запасом энергии /г, то [c.507]

Мерой механического движения в принципе Гамильтона является функционал 8ц, называемый действием по Гамильтону. Чтобы выявить экстремальные свойства действия 8н для реально происходящих движений, нужно выбрать пучок (множество) близких траекторий в пространстве конфигураций и произвести для них вычисления функционала 8ц. Выбор пучка траекторий сравнения играет важную роль для понимания сути принципа Гамильтона. Рассмотрим сначала понятие вариации функции. [c.124]

Пучок траекторий сравнения будем выбирать так, чтобы на всех траекториях интеграл энергии (24) сохранялся. Траектории сравнения, удовлетво- [c.133]

Сделаем еще несколько сопоставлений вариационного принципа Гамильтона (65я = 0) и принципа наименьшего действия (40). Хотя в нашем изложении оба принципа относятся к механическим системам, имеющим потенциал, но пучки траекторий сравнения, охватывающие истинную траекторию в пространстве конфигураций, выбираются различным образом. Синхронная или 6-вариация соответствует виртуальным (возможным) перемещениям системы, т е. таким перемещениям, которые система может иметь в данный момент 1 — фиксировано), не нарушая связей (дозволяемых связями). Если наложенные на систему связи явно зависят от времени, то действительное бесконечно малое перемещение не принадлежит к числу виртуальных и, следовательно, могут быть такие траектории сравнения в пространстве конфигураций, на которых (Г-Ь У) =полной энергии системы не будет постоянным. Соответственные точки действительной траектории системы и траекторий сравнения проходятся в одинаковые моменты времени, но полные энергии в этих точках в общем случае не равны между собой. [c.137]

Отметим, что па концах траекторий сравнения t=t") [c.15]

Из сравнения этих картин можно визуально определить различия в характере обтекания более концентрированной системы. Пунктиром на рис. 38 изображены границы ячеек, в пределах которых справедливы соотношения (3. 3. 49), (3. 3. 50). Вне ячеек линии тока изображены в силу свойств непрерывности траекторий жидких частиц. [c.112]

При сравнении различных сил, поднимающих вверх частицы со дна горизонтальной трубы, наиболее важными оказались силы Бернулли, обусловленные мгновенными разностями скоростей, связанными с турбулентными пульсациями. Согласно [373], действие этих сил локализовано в промежуточном слое, хотя отдельные частицы при разных режимах течения могут двигаться по различным траекториям. На основе анализа размерностей Томас выделил два типа закономерностей предельный случай минимального переноса частиц при бесконечно малой их концентрации и зависимость от концентрации. Функциональная связь величины п[c.167]

В приложениях к движению варьирование связано с рассмотрением движения механической системы но кривой, являющейся действительной траекторией механической системы в пространстве конфигураций, и по допустимым кривым или кривым сравнения. [c.394]

Ограничим произвольность выбора путей сравнения условием пересечения действительной траектории и кривой сравнения в моменты времени ti и t-i, т. е. условием, чтобы при t = = U (рис. 208) [c.396]

Для сравнения решим теперь эту же задачу посредством проектирования уравнения движения на касательную к траектории. Имеем [c.187]

Так как в s-мерном иодпространстве конфигураций все траектории сравнений проходят через точки Л и jB, то для моментов времени, соответствующих этим точкам, обобщенные координаты системы имеют неизменные значения и их вариации равны нулю [c.100]

Рассмотрим наряду с движениями по основной траектории и траектории сравнения движение изображающей точки по траектории, соответствующей движению некоторой системы, освобожденной от связей. Предположим, что на эту свободную систему действуют активные силы, равные активным сила.м, приложенным к точкам несвободной системы, движение которой изучается. Пусть число степеней свободы этой вспомогательной системы равно чиелу етепеней свободы несвободной системы. Предположим, что элементы траекторий изображающей точки для вспомогательной свободной системы, несвободной системы и траектории сравнения совпадают в некоторой точке с точ- [c.192]

Рассмотрим движение изображающей точки на отрезке ее действительной траектории МхММ (рис. 28). Пусть положениям точек М и Мг соответствуют моменты времени и 2-Предположим, что отрезок траектории сравнения М М М2 имеет общие концы М М2 с отрезком действительной траектории. Так как вариации изохронны, изображающая точка, двигаясь по траектории сравнения, достигает точки М2 одновременно с точкой, движущейся по действительной траектории, если они одно- [c.195]

Дйствительно, равенство (а) связывает скорости изображающей точки на действительной траектории и траектории сравнения с координатами точек, принадлежащих этим траекториям. [c.201]

Предположим, что исследуется движение изображающей точки на отрезке М1М2 основной траектории. Выберем траекторию сравнения так, чтобы концы ее отрезка, соответствующего отрезку М М2 основной траектории, совпадали с точками М и М2. Так как постоянные энергии А при движении изображающей точки по основной траектории и траектории сравнения одинаковы, можно утверждать, что промежуток времени, соответствующий переходу изображающей точки из положения М в положение М2 по основной траектории, не равен промежутку времени, необходимому для перехода этой же точки из положения М в положение М2 по траектории сравнения. Поэтому для доказательства принципа Эйлера — Лагранжа следует применять неизохронные (полные) вариации. Рассмотрим общее уравнение динамики [c.201]

Наложим дополнительные ограничения на варации Ьг . Чтобы представить геометрически эти ограничения, рассмотрим движение системы в 5-мерном пространстве конфигураций. Действительному движению системы соответствует некоторая линия ( траектория системы ), проходящая через две заданные точки Л и . Точка А соответствует конфигурации системы в момент и, точка Е — конфигурации системы в момент Метод синхронного варьирования, разъясненный нами выше, есть не что иное, как строго определенная процедура проб. Мы слегка изменяем истинную траекторию системы в пространстве конфигураций и сравниваем величины действия, по Гамильтону, на истинной и варьированной траектории. Мы будем считать далее, что действительная и варьированная траектории ( трубка траекторий сравнения) проходят через заданные начальную А и конечную Е точки в пространстве конфигураций и, следовательно, время движения системы от Л до для всего пучка (множества) траекторий сравнения остается одним и тем же. Фиксация точек Л и в пространстве конфигураций означает также, что вариации координат системы в положениях А и В равны [c.127]

Для пояснения способа выбора траекторий сравнения при синхронном варьировании рассмотрим случай одной материальной точки, движущейся по идеально гладкой, стационарной неосвобождающей поверхности. В этом случае и действительная траектория и варьированные траектории будут лежать на заданной поверхности (фиг. 23) и точка должна пробегать соответствующие дуги на истинной траектории и траекториях сравнения за одно и то же время. Множество всех трактерий срав- [c.128]

При осуществлении полной вариации, когда учитывается изменение времени 1, можно всегда требовать, чтобы движения по истинной траектории и траектории сравнения выполнялись при 7-1-1/=сопз1, т, е пучок траекторий сравнения можно физически реализовать. Время движения вдоль изоэнергетических траекторий между соответственно выбранными конфигурациями может и не сохраняться, так как требование изоэнергетичности может в ряде случаев приводить к ускорению или замедлению движения по траекториям сравнения в пространстве конфигураций (координаты действительной и варьированных траекторий различны, следовательно, в общем случае будут различны и скорости). При полной вариации или Д-вариации время варьируется и на концах траекторий сравнения (т. е. МФО при 1=1 А, г = й), но полные вариации обобщенных координат в конечных точках пучка траекторий сравнения равны нулю. [c.137]

Уравнение (1) показывает, что годограф радиуса-вектора точки / , являющийся траекторией этой точки, сдвинут по сравнению с годографом радиуса-вектора точки А ( раектория [c.135]

Роль различных членов в правой части уравнения (2.44) стала очевидной благодаря сравнению результатов Чао с результатами oy [721], который пренебрег вторым и третьим членами, но учел влияние силы тяжести, и с результаталш Фридлендера [232], который пренебрег только третьим членом. Результаты сравнения представлены на фиг. 2.9. При р = 0,01, когда плотность твердой частицы много больше плотности жидкости, хорошее соответствие результатов обусловлено малостью вклада присоединенной массы, градиента давления и силы Бассе. Однако прп р = 0,5 нельзя ожидать точности от методов oy и Фридлендера. Этот случай будет рассмотрен позднее. В гл. 6 будет учтено отклонение траектории частиц от линий тока. Некоторые другие аспекты теории дисперсии прп движении сплошной среды обсуждались в работе Лпна [490]. [c.58]

В заключение этого параграфа рассмотрим движение ракеты на активном прямолинейном участке траектории (рис. III.26). В качестве объема W рассмотрим объем, ограничень ый внешней оболочкой корпуса ракеты и срезом сопла. Предположим, что процесс горения топлива протекает достаточно медленно и что поэтому на интересующем нас интервале времени скорость движения центра инерции масс, расположенр]Ых внутри ракеты, относительно ее корпуса пренебрежимо мала по сравнению со скоростью самой ракеты. Рассматривая разгон ракеты на прямолинейном активном участке траектории, пренебрежем вращением ракеты относительно собственных осей, т. е. предположим, что ракета движется поступательно. [c.119]

Поводковые механизмы применяются для передачи вращатель-тюго движения звеньев (поводков), оси вращения которых пересекаются или параллельны, в реле времени, спидометрах, мембранных расходомерах и других устройствах. Схема поводкового механизма показана на рис. 24.8. Механизм состоит из двух валиков 1 и 4, находящихся в разных плоскостях и жестко связанных с ними поводков 2 и 3. Диаметр поводков обычно мал по сравнению с пх длиной и при выводе формул принимается равным нулю. Траекторией точки касания поводков является прямая пересечения плоскостей вращения поводков. Перемещение точки касания поводков [c.278]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...