Принуждение по Гауссу

Принцип наименьшего принуждения допускает простое геометрическое истолкование. Он означает, что действительные ускорения системы минимально отклоняются от тех, которые имели бы место при полном отсутствии связей. Метрика, оценивающая отклонение, определена коэффициентами квадратичной формы принуждения по Гауссу. [c.419]

Запишем принуждение по Гауссу [c.420]

Принуждение по Гауссу (определение 5.4.2) есть положительно определенный многочлен А второй степени по переменным Жк- Его минимум существует, единствен и может быть найден из условия [c.427]

Первый член принуждения по Гауссу есть энергия ускорений. Продифференцируем по г второй член [c.428]

Поскольку (17) совпадает с принуждением по Гауссу, принцип наименьшей (динамической) кривизны (17), сформулированный Сингом, тождествен принципу наименьшего принуждения. Далее будем изучать свойства траектории, изображающей точки с помощью понятия кривизны по Герцу (16) геометрической кривизны [27]), а также понятия относительной геометрической кривизны двух траекторий [137], определяемой как модуль разности векторов кривизны этих траекторий. Например, если траектории 1 и 2 имеют векторы кривизны К1 и К2, то в равенстве [c.91]

Различные вопросы механики иногда решаются посредством замены реальной системы системой-моделью с введением различных упрощений физических свойств реальной системы и ев движения. Целью дальнейшего исследования является доказательство увеличения принуждения по Гауссу при частных, но достаточно общих, способах построения системы-модели, отображающей реальную систему. [c.68]

В связи со своим методом наименьших квадратов Гаусс (1829 г.) формулировал принцип наименьшего принуждения. По Гауссу, мерой принуждения является величина [c.19]

Как функция обобщенных ускорений 9,,. .., я принуждение по Гауссу Z=Z2 + Z,+ Zo, где 2, — квадратичная и линейная формы по обобщенным ускорениям соответственно, а Zo не зависит от обобщенных ускорений. [c.194]

Для того чтобы определить характер стационарной точки принуждения по Гауссу q, О, вычислим в этой точке второй дифференциал по ц. [c.195]

Положительность второго дифференциала во всей области значений обобщенных ускорений свидетельствует о наличии минимума принуждения по Гауссу в стационарной точке. Т [c.195]

Представим принуждение по Гауссу в виде Z=Z2 + Zl+ZQ, [c.195]

Принуждение по Гауссу Z(q, я, ц, г) определяется формуле [c.198]

Решим задачу на условный экстремум найдем экстремаль ные точки принуждения по Гауссу при условиях (21.5), считав что изменяются только обобщенные ускорения, а величины я, фиксированы. Имеем [c.198]

Рассмотрим принуждение 2 по Гауссу дискретной системы материальных точек. Как известно, [c.64]

Последний период жизни, начиная с 1830 г., Гаусс посвятил исследованиям по теоретической физике создание абсолютной системы электромагнитных единиц, электромагнитного телеграфа (1833), магнитной обсерватории при Геттингенской астрономической обсерватории (1835), создание основ теории потенциала (1834—1840), теории капиллярности (1830), теории построения изображений в системе линз (1840), формулирование так называемого принципа наименьшего принуждения (принцип Гаусса). После Гаусса осталось много неопубликованных работ. К 1939 г. было издано 11 томов его сочинений. [c.40]

Гауссов принцип наименьшего принуждения является, таким образом, истинно минимальным принципом, подобно принципу наименьшего действия притом гауссов принцип проще, так как он не требует интегрирования по времени. Это преимущество, однако, далеко не искупает того недо- [c.133]

Гаусс (1777—1855). Несколько в стороне от главного направления лежит принцип наименьшего принуждения , установленный выдающимся математиком Гауссом. В этом принципе не используется в качестве минимизируемой функции интеграл по времени. Гаусс вводит для произвол-ьного момента времени определенную положительную величину, называемую принуждением , и минимизацией этой величины получает ускорения, считая скорости и координаты в этот момент заданными. Принцип Гаусса является истинным минимальным принципом, а не просто принципом стационарного значения. Однако он не обладает аналитическими преимуществами других принципов, поскольку принуждение включает в себя, помимо позиционных координат и скоростей, еще и ускорения. Герц дал геометрическую интерпретацию принуждения Гаусса, представив его как геодезическую кривизну в пространстве конфигураций [c.392]

Принцип наименьшего принуждения Гаусса. Уравнения Аппеля. В начале XIX в. получил большое развитие метод обработки наблюдений — метод наименьших квадратов. В аналитической механике этот метод приводит к новому общему принципу. В 1829 г. Карл Фридрих Гаусс (1777—1855) опубликовал свой знаменитый мемуар, в котором предложил доказательство принципа наименьшего принуждения. Это была единственная работа Гаусса по аналитической механике. Как замечает сам Гаусс, каждый новый принцип вносит новую точку зрения на законы природы. По мнению Гаусса, его принцип имеет то преимущество, что обнимает одинаковым образом как законы движения, так и законы покоя. [c.524]

Наиболее перспективна, по-видимому, тенденция рационального использования образов всех трёх картин [16]. К этому наименее подготовлен подход Герца. Классический принцип прямейшего пути сформулирован как эмпирический основной закон , объединяющий обычный закон энергии и принцип наименьшего принуждения Гаусса в одно утверждение [27]. Позже Дж.Л. Синг с помощью введённого им понятия относительной кривизны обосновал более общее утверждение принципа, допускающее наличие силового поля [137. [c.84]

Классический принцип прямейшего пути (при условии движения по инерции, т. е. с постоянной кинетической энергией) выводится непосредственно из принципа наименьшего принуждения Гаусса. В качестве меры принуждения принимается отклонение сравниваемых мыслимых движений, среди которых находится и действительное движение, от действительного же движения системы, полученной из данной освобождением от всех связей [7]. Поскольку активные силы отсутствуют, свободная материальная точка имеет ускорение, равное нулю (равномерное прямолинейное движение), поэтому принуждение имеет вид [c.87]

Понятие относительной кривизны позволяет использовать различные формы принципа наименьшего принуждения [13], полученные сравнением отклонений движений друг от друга по мере принуждения Гаусса. Обоснование новых формулировок принципа наименьшей кривизны для систем, в которых имеются и силовые поля, и связи, не только однородные относительно скоростей (и не только удерживающие), даётся в п. 11.3. [c.91]

Принцип Гаусса или принцип наименьшего принуждения, как известно, состоит в следующем в каждый момент 1 значение принуждения Г, соответствующее действительным ускорениям материальных точек системы, является минимальным по сравнению со всеми другими его значениями, соответствующими возможным ускорениям этих точек. [c.93]

Для систем с линейными неголономными связями принцип Гаусса можно вывести из принципа Даламбера—Лагранжа, предполагая, что эти связи являются идеальными. Но в случае неголономных связей общего вида этого сделать нельзя, не зная структуры связей или, точнее, не установив, по отношению к каким перемещениям системы эти связи являются идеальными. Поэтому нельзя утверждать, что принцип Гаусса применим ко всякой неголономной системе. Целью настоящей работы является выяснение вопроса, какому условию должны удовлетворять реакции неголономных нелинейных связей, чтобы для системы с такими связями был справедлив принцип наименьшего принуждения. [c.94]

Вырежем из тел объемы, ограниченные торцовыми поверхностями со, и и боковыми поверхностями, образованными нормалями к мгновенному контуру области со. Эти объемы выделенного из тел вещества будем рассматривать как механическую систему, которая движется в соответствии с принципом Гаусса. Как уже отмечалось ( 1 данной главы), силы, действующие на части поверхностей объемов, лежащих внутри тел, следует отнести к активным силам, хотя по существу они являются реакциями неидеальных связей. На основании соотношений (3.1) и (3.26) представим принуждение системы 2 в следующей форме [c.73]

Смысл принуждения по Гауссу — среднеквадратичное уклош ние действительных ускорений г , от ускорений точек в освобох денном от связей движении Принуждение по Гауссу, вь [c.194]

Принцип наименьщего принуждения принуждение по Гауссу как функция обобщенных ускорений принимает минимальное значение на действительном движении. [c.194]

Принцип наименьщего принуждения Гаусса справедлив также для механических систем с идеальными неголономными линейными связями принуждение по Гауссу Z(q, 4, q, 0> рассматриваемое как функция обобщенных ускорений 9,,. .., .принимает минимальное значение на действительном движении. [c.197]

Здесь X,/, 5= 1,. .., т — значения множителей Лафанжа в точ экстремума. Как показано в 6.20, второй дифференциал положителен во всей области значений переменных а значит, он будет положительным и при условиях (21.7). Таким образом, принуждение по Гауссу минимально на действительном движении. [c.198]

Формулировка принципа. Ученые искали различные способы сведения уравнений движения к единому началу путем введения интегралов или функций, которые обращаются в минимум для действительного движения системы по сравнению с возможными 6an3KitMH движениями. Эта идея находит свое выражение прежде всего в принципе наименьшего действия (п. 486) затем следует более общий принцип Гамильтона (п. 483), из которого очень просто выводятся уравнения Лагранжа для голономных систем, но в случае систем не-голономных эти рассуждения и выводы становятся уже неверными. Мы займемся здесь принципом наименьшего принуждения Гаусса. Этот принцип, являясь наиболее общим, не вызывает к тому же никаких затруднений при его приложениях. Преимущество принципа состоит и в том, что он имеет простое аналитическое выражение, позволяющее свести нахождение уравнений движения произвольной системы, как голономной, так и неголономной, к нахождению минимума функции второй степени. [c.420]

Глубокое развитие идеи Гаусса дал в 1892—-1893 гг. Герц ), разработавший принцип прямейшего пути ценность принципа Герца состоит в том, что он сводит задачи механики к проблеме геодезических линий и тем самым геометризует классическую динамику. Принцип Герца был бы просто частным случаем принципа Гаусса, если бы он не заменил сил, действующих на систему, связями ее с другими системами, находящимися с ней во взаимодействии. Этим самым Герц как бы изучал только свободные системы, вводя кроме наблюдаемых еще и скрытые массы и скрытые движения . Исторические корни механики Герца содержатся в работах Гельмгольца о скрытых движениях (введение которых у Герца оказывается логически необходимым следствием его концепции основ механики) и в работе Кирхгофа по выяснению основ механики. В своей формулировке каждое естественное движение самостоятельной материальной системы состоит в том, что система движется с постоянной скоростью по одному из своих прямейших путей . Герц объединяет, по существу говоря, закон инерции и принцип наименьшего принуждения. Герц отмечает глубокую связь своего принципа с теорией поверхностей и многочисленные аналогии, которые возникают при его рассмотрении. Принцип Герца находится в тесной связи с геометрической оптикой и теоремой Бельтрами—Липшица, так как между прямейшими путями и нормальными к ним поверхностями в процессе движения имеет место то [c.849]

Новый основной принцип прямейшего пути Герц сформулировал как эмпирический основной закон каждое естественное движение самостоятельной материальной системы состоит в том, что система движется с постоянной скоростью по одному из своих прямейших путей. Это положение объединяет обычный закон энергии и принцип наименьшего принуждения Гаусса в одно утверждение... Если бы связи были разрушены (на один момент), то массы рассеялись бы в прямолинейном и равномерном движении... Это первый и последний основной принцип механики. Из него и допущенной гипотезы скрытых масс дедуктивно выводится содержание механики [27]. В предложенном законе Герц усматривает также объединение первого закона Ньютона и принципа наименьшего принуждения Гаусса, а в числе преимуществ отмечает, что метод бросает яркий свет на разработанный Гамильто- [c.85]

Связи, наложенные на материальную систему, изменяют движение точек, заставляя (принуждая) их отклоняться от свободного движения — от движения под действием тех же активных сил, но без связей. Принцип Гаусса утверждает, что принуждение, оказываемое связями в действительном движении, меньше принуждения в движении по любому окольному пупш — в любом мыслимом движении. В качестве меры принуждения Гаусс ввел сумму произведений масс материальных точек на квадраты отклонений их радиусов-векторов (разностей радиусов-векторов точек в движении со связями и в свободном движении). [c.264]

Г. п. тесно связан с принципом наименьшего цринуждения (см, Гаусса принцип), поскольку величина Z, наз. принуждением, пропорц. квадрату кривизны при идеальных связях (см. Связи механические) оба принципа имеют одинаковое матем. выражение 6Z=0. Г. п. был применён нем. учёным Г. Герцем (1894) для построения его механики, в к-рой действие активных сил заменяется введением соответствующих связей. С. м. Тарг. ГЕТЕРОГЕННАЯ СИСТЕМА (от греч. heterogenes — разнородный), неоднородная термодинамич. система, состоящая из различных но физ. св-вам или хим. составу частей фаз). Смежные фазы Г. с. отделены друг от друга физ. поверхностями раздела, на к-рых скачком изменяется одно или неск. св-в системы (состав, плотность, крист, структура, электрич. или магн. момент и т. д.). Примеры Г. с. вода и водяной пар над ней (вода в двух агрегатных состояниях), уголь и алмаз (две различные но крист, структуре фазы одного в-ва — углерода), сверхпроводящая и нормальная фазы сверхпроводника, несмешивающиеся жидкости (напр., вода и растит, масло), композиц. материалы (волокнистые и дисперсноуплотнённые, содержащие различные по структуре хим. в-ва в ТВ. состоянии). Различие между Г. с. и гомогенной (однородной) системой не всегда ясно выражено. Так, переходную область между гетерогенными механич. смесями (взвесями) и гомогенными (молекулярными) р-рами занимают т. и. коллоидные р-ры, в к-рых ч-цы растворённого в-ва столь малы, что к ним неприменимо понятие фазы. [c.114]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...