Действие лагранжево

Волны постоянного действия (лагранжева илп гамильтонова) ). Построение Гюйгенса. Определим волны постоянного действия (лагранжева или гамильтонова в обоих случаях они одни и те же) для когерентной системы лучей или траекторий, введенной в 74, следующим условием ) [c.245]

Рис. 40. Луч или траектория Г в <3 и движущаяся волна постоянного действия — лагранжева или гамильтонова. За время dt перемещение вдоль луча равно DD, а перемещение волны — DE.

Указанную выше последовательность действий, позволяющую для любой системы координат, действуя стандартным образом, выписать уравнения движения, называют иногда лагранжевым формализмом. [c.134]

В соответствии с последовательностью действий, определяемых лагранжевым формализмом, необходимо теперь выразить через новые координаты г], J и скорости , т), Действуя в соответствии с общей схемой, следовало бы, зная (/) и о ( ), найти функции /(I, т), g /), ф( , т , С О и 1 з( ,, С О. входящие в формулы преобразования (8), и выразить затем х, у, z через [c.161]

Используя теорему 7.1.1, можно построить систему дифференциальных уравнений движения, в которой искомыми переменными будут лагранжевы координаты и которые будут учитывать действие дополнительных дифференциальных связей. Эти связи мы будем предполагать независимыми, так что после очевидных преобразований и соответствующей перенумерации переменных уравнения связей можно представить в виде [c.526]

Исследуем движение склерономной механической системы под действием потенциальных сил в окрестности ее положения равновесия в пространстве лагранжевых координат. В точке равновесия все потенциальные силы обращаются в нуль [c.569]

Рассмотрим влияние гироскопических сил. Такие силы могут возникать, например, вследствие действия кориолисовых сил в неинерциальной системе отсчета. Они также могут быть следствием процедуры Рауса игнорирования циклических координат. Рассмотрим случай // = 2 + 0- Если лагранжевы координаты системы ортогональны в том смысле, что форма Ьо есть сумма членов, содержащих только квадраты обобщенных скоростей, то (см. 8.5) функция Рауса также будет представлять собой сумму положительно опреде,пен-ной квадратичной формы по позиционным скоростям и свободного от скоростей члена. Однако если 2 — произвольная положительно определенная квадратичная форма, то отсутствие линейного по скоростям члена в функции Рауса гарантировать нельзя, так что функцию Рауса следует принять в виде [c.593]

Введение. Принцип наименьшего действия и его обобщение, произведенное Гамильтоном, переводят задачу механики в область вариационного исчисления. Уравнения движения Лагранжа, вытекающие из стационарности некоторого определенного интеграла, являются основными дифференциальными уравнениями теоретической механики. И тем не менее мы еще не достигли конца пути. Функция Лагранжа квадратична по скоростям. Гамильтон обнаружил замечательное преобразование, делающее функцию Лагранжа линейной по скоростям при одновременном удвоении числа механических переменных. Это преобразование применимо не только к специальному виду функции Лагранжа, встречающемуся в механике. Преобразование Гамильтона сводит все лагранжевы задачи к особенно простой форме, названной Якоби канонической формой. Первоначальные п дифференциальных лагранжевых уравнений второго порядка заменяются при этом 2га дифференциальными уравнениями первого порядка, так называемыми каноническими уравнениями , которые замечательны своей простой и симметричной структурой. Открытие этих дифференциальных уравнений ознаменовало собой начало новой эры в развитии теоретической механики. [c.190]

Бернулли — с момента появления дифференциального исчисления. Эйлер нашел дифференциальное уравнение, дававшее в явном виде решение для широкого класса таких задач. Хотя Эйлер и не сформулировал четко принцип наименьшего действия, что было впервые сделано Лагран-жем, его применения этого принципа к механическим задачам, по сути дела, эквивалентны лагранжевой явной формулировке. [c.390]

После того как во второй лекции мы получили лагранжевы уравнения движения для системы дискретных материальных точек, мы вывели из них в третьей лекции принцип Даламбера и из него принцип Гамильтона. С уравнениями, полученными нами теперь для движения тела, мы произведем действия, которые соответствуют тем, которые раньше привели нас к принципу Гамильтона. Обозначим, как это мы делали до сих пор, через к, у, г — координаты некоторой материальной точки тела в момент 1. а через Ьх, Ьу, Ьг — составляющие бесконечно малого возможного перемещения этой точки. Возможные перемещения здесь совершенно произвольны [c.102]

Перемещения отдельных точек системы и, в частности, их проекции на линии действия сил Ff определяются (для любой конфигурации) приращением 8д единственной лагранжевой координаты. [c.258]

Для того чтобы указать другие замечательные аналогии между лагранжевыми составляющими Q,, системы сил и проекциями Х , Yf, Zi сил на декартовы оси координат, выясним сначала, в каком смысле должны считаться заданными, с математической точки зрения, активные силы Fi, действующие на систему. [c.266]

Если система, на которую действуют силы, является голономной, определяемой в лагранжевых независимых координатах q , q ,. уравнениями [c.281]

Может быть, не бесполезно доказать здесь снова прямым путем это последнее обстоятельство, т. е. разрешимость п уравнений (43) относительно п лагранжевых ускорений q. С этой целью заметим, что даже при более общем предположении, что связи зависят от времени, составляющие Q, действующих сил и живая сила Т являются функциями исключительно от и от t, так что q входят только в члены [c.293]

Дана голономная система. Показать, что если каждая точка Р этой системы находится под действием силы вязкого сопротивления —), , где л— положительная постоянная и — скорость точки Р,-, то лагранжевым составляющим таких сил можно придать вид [c.351]

Мы уже знаем, что если функция U( q) при частных значениях q координат q, т. е. при заданной конфигурации системы, дог пускает стационарное значение (в частности, максимум или минимум), так что исчезают лагранжевы составляющие Q действующих сил, то С" будет для системы конфигурацией равновесия (т. I, гл. XV, п. 28). [c.355]

Геометрическая интерпретация принципа стационарного действия. Обратимся еще раз к голономной системе со связями, не зависящими от времени, для которой величины составляют систему независимых лагранжевых координат, и, как это уже не раз делалось нами ранее, представим оо конфигураций точками абстрактного пространства п измерений, в котором величины q истолковываются как самые общие координаты. В атом пространстве можно условно определить линейный элемент или элементарное расстояние ds между двумя любыми бесконечно близкими точками и [c.411]

Траектории и связки траекторий. Прежде чем приступить к распространению принципа стационарного действия на какую-нибудь лагранжеву систему с кинетическим потенциалом, йе зависящим от времени, удобно привести здесь некоторые новые соображения о соответствующих траекториях. Эти траектории для случая какой угодно системы дифференциальных уравнений вида [c.428]

Обобщение принципа стационарного действия. Рассмотрим любую лагранжеву систему (31) с кинетическим потенциалом й, не зависящим от t. В динамическом случае (консервативном), как известно, имеем [c.431]

Поэтому в качестве естественного обобщения определения (25) на случай произвольной лагранжевой системы (31) с функцией 2, не зависящей от t, назовем действием, относящимся к какому-нибудь решению а уравнений (31) в течение заданного промежутка времени от 0 ДО j, интеграл [c.431]

Эта формула позволяет распространить принцип стационарного действия на общие лагранжевы системы (31) с не зависящим от времени кинетическим потенциалом. [c.432]

В этом заключении мы имеем обобщение принципа стационарного действия на лагранжевы системы с кинетическим потенциалом q), не зависящим от времени, но в остальном произвольного вида. [c.433]

Но для того, чтобы использовать эти тождества для распространения вариационных принципов на лагранжевы системы какого угодно вида, мы должны были постоянно предполагать неизменными при варьировании крайние конфигурации, между которыми нам нужно было вычислять, вдоль любого решения лагранжевой системы, интеграл S или действие А(8 = 0 при / = и t — [c.436]

Применяя прямо равенство (45), мы увидим, что А будет зависеть от /q, и от 2 произвольных постоянных, которые входят в общий интеграл лагранжевой системы (31) или эквивалентной ей гамильтоновой системы (31 ) и которые мы можем отождествить с начальными значениями величин и р. Наоборот, аргументы входят в А только в виде бинома действительно, так как дифференциальные уравнения не зависят от t, то это переменное появится в решении а и, следовательно, в функции под знаком А только в виде бинома t — отсюда следует, что после выполнения интегрирования действие А будет зависеть только от ty — (но не от или /ц в отдельности). [c.442]

Отсюда легко видеть, что действие A(q l [ ) в рассматриваемом здесь случае, когда кинетический потенциал и, следовательно, функция Гамильтона не зависят от t (предыдущая глава, п. 38), приводит к интегрированию лагранжевой системы или, точнее, соответствующей гамильтоновой системы по методу Гамильтона — Якоби. [c.445]

В заключение этого исследования не бесполезно кратко изложить условия, которые мы должны были последовательно вводить для того, чтобы можно было выразить действие А через q, q и и чтобы были справедливы изложенные выше выводы. Этих условий три 1) лагранжева система должна быть нормальной, т. е. гессиан кинетического потенциала 2 не должен быть тождественно равен нулю 2) функция Гамильтона Я(9 ), по предположению, не зависящая от t, должна явно содержать dt, т. е. не должна быть однородной нулевой степени относительно q, для чего необходимо и достаточно, [c.446]

Самоторможение 36 Свободная точка, находящаяся под действием консервативных сил 328 Связка решений лагранжевой системы уравнений 429 [c.549]

Центральная орбита. Частица совершает плоское движение под действием силы, все время направленной в начало координат О. В качестве лагранжевых координат возьмем полярные координаты г, 0. Декартовы координаты х, у будут связаны с лагранжевыми координатами формулами [c.59]

Сферический маятник. Материальная точка Р скользит под действием силы тяжести по гладкой поверхности сферы радиуса а с центром в точке О. В качестве лагранжевых координат выберем полярные углы 0, Ф, где 0 — угол между вектором ОР и направленной вверх вертикальной осью Oz, а ф — азимутальный угол между плоскостью POz и координатной плоскостью xOz. В данном случае [c.60]

Сферический маятник. Точка движется под действием силы тяжести по гладкой сфере радиуса а. В качестве лагранжевых координат возьмем полярные углы 0, ф радиус-вектора, причем отсчет угла 0 будем производить от вертикали, направленной вверх. Уравнения энергии и момента количества движения запишутся в виде [c.71]

Функционал 5 называется лагранжевым действием материальной системы. Соответственно этому функционал называется якобиевьш действием материальной системы. [c.204]

Действительное движение материальной системы со стационарными голономными связями в консервативном силовом поле отличается от иных кинематически возможных эквиэнергетиче-ских движений тем, что для произвольного промежутка времени лагранжево или якобиево действие, найденное для действительного движения, стационарно. Иначе говоря, первая вариация лагранжевого действия и других его форм, определенная для произвольного промежутка времени соответственно закону действительного движения, равна нулю. Условие (II. 149) или (11. 150) —это необходимые, но недостаточные условия наличия экстремума функционалов, которыми выражается якобиево или лагранжево механические действия. Конечно, как будет видно из дальнейшего, это утверждение относится и к форме действия, предложенной Эйлером. [c.204]

Как видно из равенства (II. 151), действие по Якоби зависит лишь от формы и положения действительной траектории изображающей точки в пространстве конфигураций. Кривая, на которой удовлетворяется условие (II. 149), называется экстремалью. Следовательно, действительная траектория — экстремаль. Через фиксированную точку Л пространства конфигураций, можно провести бесконечное множество экстремалей, соответствующих различным начальным условиям. Проведем через точку 44] действительную траекторию и экстремаль, образующую с действительной траекторией малый угол и пересекающую действительную траекторию в точке М%. Предположим, что при уменьшении угла между вспомогательной экстремалью и действительной траекторией точка Мг приближается к предельному положению Мг. Точка Ма называется точкой, сопряженной с М, пли ее кинетическим фокусом. Если точка М2 лежит между точками и Мэ, то якобие-во или лагранжево действия имеют минимум для действительного движения системы. [c.205]

Примечание. В связи с получеяным результатом приведем геометрическую интерпретацию достаточных условий существования экстремума функционалов, которыми определяется якобиево и лагранжево действия материальной системы. [c.207]

Применим теперь лагранжевы дифференциальные уравнения гидродинамики к некоторым движениям несжимаемой жидкости, на частицы которой действуют силы, а на свободную поверхность производится постоянное давление. Первым расс.мотренны.м случаем будет тот, когда в тяжелой жидкости известны.м образом распространяются волны конечной высоты. Положим опять плотность равной единице, выберем ось 2 направленной вниз по вертикали и предположим, что движение всюду происходит параллельно плоскости хОг. Тогда, если положим Ь = у, уравнения (7) пятнадцатой лекции дадут [c.297]

Таким образом в случае вращающихся или циклических систем мы пришли к необходимости делать различие между устойчивостью в смысле, указанном классическим лагранжевым методом малых колебаний, когда трением пренебрегают, и устойчивостью определяемой критерием Дирихле-Кельвина. Это различие было указано впервые Кельвином, и затем его подтвердил Пуанкаре в своих исследованиях о возможных формах равновесия вращающейся жидкости, частицы которой подвержены действию взаимного притяжения. Различают соответственно два случая обыкновенной" или временной" и практической", постоянной" или вековой" устойчивости, причем последнее наименование связано с приложениями в астрономии. [c.254]

Здесь и далее в 104, 105 и начале 106, где речь идет о. стационарности действия", различаются. естественные и воображаемые, тоже тут привлекаемые для сравнения движения, понимая под первыми (в согласии с некоторыми другими авторами) всегда такие, законы которых и здесь выражаются лагранжевыми диференциа 1ьными уравнениями в их форме для независимых параметров, так что все естестьенные движения здесь тоже. свободные". Прим. ред. [c.268]

Избыточные лагранжевы координаты. Если голономная система 8, определяемая независимыми лагранжевыми координатами q , до,, д и имеющая поэтом п степеней свободы, подвергается действию новых голономных связей, то это получает выраясение в том, что параметры д связываются одним пли несколышии уравнениями [c.277]

Меростатические движения и типичная форма уравнений МАЛЫХ колебаний около них. Рассмотрим динамическую систему с голономными связями, не зависящими от времени, на которую действуют консервативные силы, и предположим, что циклический характер некоторых лагранжевых координат допускает приложение метода игнорирования этих координат (предыдущая глава, п. 45). [c.391]

Отметим здесь прежде всего, что характер обратимости, которым обладают лагранжевы уравнения движения (и, следовательно, уравнения малых колебаний), когда действующие силы являются чисто консервативными, сохраняется тгкже, когда на эти силы накладываются кинетические действия гиростатического типа. Это видно прежде всего из типичной формы уравнений (30) п. 24, которую имеют в этом случае уравнения малых колебаний. Действительно, мы замечаем, что вместе с ец антисимметричны также и —e k. [c.396]

В этом случае возникает также вопрос, могут ли эти действия влиять на устойчивость равновесия, и ответ будет противоположным тому, который мы имели в предположении устойчивого самого по себе (п. 26) состояния равновесия. Если состояние равновесия, само по себе неустойчивое в строгом смысле, стабилизируется (линейно) гиростатическими действиями, то пассивные сопротивления (линейные в первом приближении относительно лагранжевых скоростей) в к онце концов нарушают устойчивость. Другими словами, устойчивость, обусловленная гиростаттескимп силами, не имеет более векового характера. [c.401]

Перенос колебаний с одной степени свободы на другую. Пусть S и Г) — две лагранжевы координаты голономной системы с каким угодно числом степеней свободы, со связями, не зависящими от времени, и находящейся под действием консервативной системы сил. Рассмотрим колебания системы около одного из ее положений равновесия, соответствующего для определепности нулевым значениям i и rj, и предположим, что эти две координаты, если и не являются сами нормальными, то представляют собой линейные комбинации с постоянными коэффициентами (и, само собой разумеется, независимые) некоторых двух нормальных координат системы. [c.408]

Для постановки динамической задачи о движении Земли около ее центра тяжести под действием притяжения отдаленной точки Р необходимо, помимо потенциала (фиктивного), еще и выражение для живой силы. Здесь нам пригодится замечание п. 2 гл. VIII, на осно--вании которого (поскольку действие силы зависит только от ориентировки Земли относительно неподвижных осей) вращательное движение определяется уравнениями (лагранжевыми и, следовательно, каноническими), составляемыми в предположении, что центр тяжести неподвижен. Следовательно, для живой силы Земли здесь надо принять выражение (Г) в канонических переменных, приведенное в предыдущем пункте. При помощи выражений (Г) для живой силы и (101) для потенциала U мы можем получить явное представление характеристической функции Н= Т) — и. [c.321]

Тождество (54), как характеристическое для решений лагранжевой системы, по сравнению со всеми возможными асинхронно-варьиро-ванными решениями выражает так называемый принцип варьированного действия. [c.441]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...