Экстремаль

Изэнтропические течения. Поля экстремалей [c.84]

В предыдущем подразделе уже было установлено, что в плоских изэнтропических течениях величины а и постоянны на экстремалях, то есть в плоскости а, 9 экстремали изображаются точками. Из (1.17) [c.84]

Одной из экстремальных характеристик в плоскости а, О является прямая а = -к 12. В работе [34] выяснено, что поверхность перехода через скорость звука, опирающаяся на некоторый контур и являющаяся одновременно характеристической поверхностью, обладает минимальной площадью среди всех поверхностей, опирающихся на тот же контур. В осесимметричном случае такими поверхностями могут быть либо плоскости перпендикулярные к оси симметрии, либо поверхности, образующие которых являются цепными линиями. Во втором случае угол 9 меняется на характеристике. Следовательно, упомянутая экстремаль в плоскости Хуу должна быть цепной линией. Однако, трудно ожидать, чтобы в окрестности всякой характеристической поверхности, на которой а = я /2, существовало решение задачи Коши или некоторой краевой задачи. Этот вопрос представляет собой предмет самостоятельного исследования. Здесь можно указать, что в осесимметричном изэнтропическом случае, когда газ является совершенным, такое решение не существует. [c.88]

При этом, конечно, уравнения (3.44)-(3.46) не выполняются. Пусть найдено решение задачи 3. Предположим, что экстремаль Ьк найденного решения лежит целиком в области [c.101]

Из (3.49) следует, что только неравенство б<р < 0, противоречащее условию (3.32), ведет к уменьшению сопротивления х- Таким образом, как и в 3.3.2, заключаем, что решение задач 1 и 3 является одновременно решением задач 2 и 4, если экстремаль лежит в области (3.20) или (3.48). Сопоставление решений. Итак, найдены необходимые условия экстремума вариационных задач в двух вариантах. В одном случае независимой переменной является у, в другом — величина i>. Обе формы решения обладают своими преимуществами и недостатками. [c.101]

При V = 1 уравнения на экстремалях упрощаются. В случае независимой переменной у из (2.36), (2.37), (2.11), а также из (2.30) с учетом (2.36), (2.37), соответственно получаем [c.102]

Исходные данные задачи, то есть (рис. 3.14) координаты точек а и Ь, функции А ф), 0(V ), У ф), (ро(ф) на характеристике ас и величина ((1 - и), могут быть таковы, что при решении задачи 3 экстремаль ЬЛ в плоскости а,д частично (при и = ) или целиком (при V = 0 и и = I) лежит в области [c.103]

Вспоминая содержание последних подразделов, можно кратко сказать следующее. Пусть необходимо решить задачу 4 с некоторыми исходными данными. Если решение задачи 3 с теми же исходными данными приводит к тому, что экстремаль ЬЛ в плоскости а, 1 целиком принадлежит области (3.48), то тем самым найдено решение задачи 4. Если экстремаль ЬН выходит за пределы области (3.48), то задача 4 имеет рассмотренное в этом подразделе решение при условии, что (р 1р) > <ро ф). Если, наконец, условие (р ф) > <Ро ф) на части характеристики ЬЛ не выполняется, то могут иметь место более сложные схемы решения. [c.107]

Рассмотрим в плоскости г, а всю я экстремаль, отвечающую найденным множителям Лагранжа. Напомним, что величина г определена формулой (2.50) и при фиксированной величине взаимно однозначно связана с у. Выражение (2.50) было введено для осесимметричного случая, однако, его можно использовать и в случае плоского течения. На рис. 3.20 изображена экстремаль одного из типов, которые получаются при осесимметричных течениях. [c.108]

Вторая вариация 6 1 будет вычисляться вначале для интеграла в (4.1) при фиксированном верхнем пределе. Выберем на экстремали некоторую точку и. Вместо экстремали рассмотрим какую-либо линию ии. Величина интеграла в (4.1) будет меняться в зависимости от выбора линии иг. Действительно, в качестве свободной выбрана функция а у), функции /3(1/), Ф у), А2(у), Хз(у) связаны сука уравнениями (2.15), (2.11), (2.30), (2.29) и, следовательно, подынтегральное выражение в (4.1) зависит от пути а у), соединяющего исходную точку и с интересующей нас точкой V. Особыми точками подынтегрального выражения могут быть точки, в которых 81п(1 - а) = о, как это следует из выражений для Фа, Фд, Ф , приведенных в (2.28)-(2.30). Существенно, однако, что в малых окрестностях регулярных точек экстремали, которые не пересекаются самой исследуемой экстремалью, подынтегральное выражение в (4.1) не меняет знака. В противном случае рассматриваемые окрестности экстремали пересекались бы новыми линиями, на которых первая вариация 61 обращается в нуль. Таким образом, достаточно каким-либо одним путем определить знак второй вариации I. Выберем следующий путь. В окрестности регулярной точки и построим бесконечно малый элемент характеристики ии, не совпадающий с экстремалью. Пусть этот элемент таков, что величины 6а и у на нем имеют один порядок малости. Здесь под 6а подразумевается разность между а на иг и а на экстремали при фиксированном значении у. [c.109]

Итак, минимум х может иметь место, если экстремаль bh принадлежит области (4.11) и если варьирование положения точки h ведет к увеличению Х- Если экстремаль целиком или частично принадлежит области (4.12), то минимум х на найденной экстремали не достигается. [c.113]

На экстремалях функции а, i i, Аз и переменная у связаны равенствами (2.11), (2.28)-(2.30) при А5 = 0. Эти равенства имеют вид [c.113]

Входящие В ЭТО равенство вторые производные на экстремалях выражаются формулами [c.114]

Из формул (4.6) и (4.14) следует, что у/йа = О при Г = 0. Иными словами, граница области минимального сопротивления совпадает с геометрическим местом таких точек экстремалей, в которых ускорения бесконечны. [c.114]

Геометрическое место точек экстремалей, в которых Г = 0, при I/ = 1, X = 1,4 изображено в плоскости г, а штрих-пунктирной линией на рис. 3.11. Нетрудно убедиться, что эта линия проходит через [c.114]

Плоские течения. Наиболее прост изэнтропический случай, поскольку для него любая экстремаль в плоскости а, д изображается точкой. Обратимся вначале к этому случаю. [c.124]

В случае плоских течений с переменной энтропией исследование существенно осложняется тем, что экстремали перестают быть точками в плоскости а,д. Переменность а(у), д(у), ip(y) на характеристике bh может приводить к тому, что для некоторых областей изменения исходных данных вариационной задачи рещения рассмотренных здесь видов не имеют места. Это осложнение может проявиться, например, в том, что при попытке отыскания рещения экстремаль переходит из области U в область I2 или П3. [c.126]

Образующие найденных тел вращения изображены на рис. 3.27. Они пронумерованы в соответствии с таблицей. В приведенных примерах рещения непрерывны. Образующие 1, 5, 9 дают частные примеры рещений, в которых реализуется двусторонний экстремум. Угол наклона образующей аЬ к оси х в точке а равен 1 . Излом контура отсутствует, и вся искомая характеристика второго семейства является экстремалью. [c.128]

Основная разница между решениями вариационных задач для внешних и внутренних течений заключается в поведении экстремалей на [c.137]

Только на экстремалях может достигаться [c.403]

Коль скоро параметр а вы бран, функции (40) зависят только от одного аргумента — времени, их можно продифференцировать по времени и подставить полученные выражения и в функционал (41). Тогда функция Ф, стоящая под знаком интеграла, будет функцией только от времени, так что можно вычислить интеграл (41) и после подстановки пределов определить число— значение ф. Таким образом, каждой кривой рассматриваемого пучка (40) функционал (41) ставит в соответствие некоторое определенное число, и в этом смысле на однопараметрическом пучке кривых значение функционала является просто функцией параметра а. Эта функция может при некоторых значениях сс принимать стационарные значения кривые, которые получаются при подстановке в (40) этих значений а, носят название экстремалей. [c.273]

Таким образом, экстремалями заданного семейства кривых (40) являются те кривые, на которых функционал имеет стационарные значения. [c.273]

На прямом пути удовлетворяются уравнения Лагранжа системы поэтому все выражения, стоящие в скобках под знаком интеграла в формуле (61), тождественно равны нулю. Отсюда сразу следует, что на прямом пути вариация действия по Гамильтону равна нулю, т. е. что прямой путь является экстремалью рассматриваемой вариационной задачи — на прямом пути действие по Гамильтону достигает стационарного значения. [c.279]

Легко показать, что экстремаль является инвариантом преобразований, т. е. если преобразования (62) выполняются одновременно над кривой пучка, представляющей собой экстремаль, и над функционалом, то преобразованная кривая остается экстремалью для преобразованного функционала. Отсюда и из обратного утверждения принципа Гамильтона (см. выше) сразу следует, что преобразованный прямой путь удовлетворяет уравнениям Лагранжа с лагранжианом L, который определяется по формуле (64). [c.281]

Определение 8.11.3. Экстремалью дифференцируемого функционала называется вектор-функция 7, для которой Р(6, 7) = О при любом допустимом 6. [c.600]

Теорема 8.11.2. (Эйлер). Вектор-функция 7 служит экстремалью функционала [c.600]

Необходимость. Пусть у — экстремаль. Это значит, что F(6) = 0, V6 eq([c.601]

После интегрирования получаем искомую экстремаль в параметрической форме [c.602]

Теорема 8.11.3. Пусть, как и прежде, все траектории проходят через фиксированную начальную и конечную точки для заданных начального <о и конечного <1 значений параметра Тогда найдется постоянная А, для которой экстремаль функционала Ф при условии, что функционал Ф сохраняет постоянное значение, совпадает с безусловной экстремалью функционала Ф + АФ. [c.604]

Изопериметрическую задачу переформулируем так требуется найти такую кривую у" (экстремаль), что Ф = О для любой вариации 6, обращающей в нуль значение Ф. Пусть задана соверщенно произвольная вариация 6. Тогда вариация 6 может быть получена по формуле [c.604]

Теорема 8.11.3 обосновывает метод множителей Лагранжа для изопериметрических задач (сравните с замечанием 4.6.2). Рецепт решения задач по этому методу состоит в том, что ищется безусловный экстремум функционала Ф -I- АФ. Его экстремаль 7 будет зависеть от скалярного параметра А. Параметр А находится из условия, что Ф(7 ) = с. [c.605]

Согласно теореме 8.11.2, экстремаль этого функционала удовлетворяет уравнению Эйлера [c.605]

Определение 8.12.1. Пусть у — экстремаль функционала Ф в смысле теоремы 8.12.1. Значение этого функционала на экстремали зависит от начального и конечного положения системы, начального и конечного моментов времени [c.612]

Определение 8.12.2. Два положения qo и ql системы называются сопряженными кинетическими точками, если они могут быть соединены между собой несколькими различными экстремалями. [c.614]

Определение 8.12.3. Пусть 7 — экстремаль функционала ] в смысле теоремы 8.12.3. Значение этого функционала на экстремали зависит от начального и конечного положений системы [c.617]

Таким образом, если экстремаль bh целиком принадлежит области, определяемой неравенствами (3.48) и (4.11), в точке h имеют место неравенства (4.20), а на характеристике h выполняется неравенство Фа8ш(1 -а) < о, то найденное решение отвечает выбранному типу необходимых условий минимума волнового сопротивления. [c.118]

В 3.2.5 было установлено, что знак величины д на экстремали постоянен. Если t < о, то в области (4.11) имеем 1 -а < 0. Из (3.23) тогда заключаем, что при движении по характеристикам второго семейства в сторону уменьшения rj) величина у уменьшается. Зависимость а у) или а(г) на экстремалях частный вид которой тфиведен на рие, 3.11, показывает, что такое движение по экстремалям ведет в сторону линии с бесконечными ускорениями, а в плоскости а,< — в сторону кривой VSU. Следовательно, в осесимметричном случае попытка отыскания решения одного из рассмотренных видов может привести к тому, что экстремаль не будет принадлежать целиком области П. Это обстоятельство приводит к новым ограничениям области существования найденных решений для внешних течений. Подобное ограничение не возникает, если > 0 в начальной точке экстремали, поскольку в этом случае 1 > 0 на всей экстремали. [c.126]

Интегральные кривые уравнения Зйлера у = у(х, l, Со) называются экстремалями. [c.403]

Записанный так функционал, определенный на пучке (40), носит название действия по Гамильтону и играет важную роль при исследовании движения а потенциэотьных полях. Из сказанного следует, что движение, удовлетворяют, е уравнениям Лагранжа, представляет экстремаль функционала (48). В следующем параграфе мы докажем приведенную выше теорему Эйлера для однопараметрического пучка специального типа, пока же выведем формулу для вариации действия эта формула потребуется нам в дальнейшем. [c.275]

Следствие 8.11.1. (Свойство взаимности изопериметричес-кой задачи). Множество экстремалей функционала Ф при фикси-рованнолг значении функционала Ф и множество экстремалей функционала Ф при фиксированном значении функционала Ф принадлежат однопараметрическому по параметру А семейству безусловных экстрелгалей функционала Ф Ч- АФ. [c.604]

Теорема 8.12.1. (Принщш Гамильтона стационарного действия). Действительное движение голономной механической системы под действием потенциальных (обобщенно потенциальных) сил, выполняемое от заданного положения q( о)) отличается от кинематически возможных движений системы между этими положениями в том же интервале времени тем, что действительное движение служит экстремалью функционала [c.612]

Пусть лагранжиан Ь голономноИ системы не зависит явно от времени (силы потенциальны или обобщенно потенциальны). Тогда действительная траектория изображающей точки конфигурационного пространства служит экстремалью функционала [c.616]

Основы теоретической механики (2000) -- [ c.600 ]

Курс теоретической механики. Т.2 (1977) -- [ c.205 ]

Метрология, специальные общетехнические вопросы Кн 1 (1962) -- [ c.577 ]

Технический справочник железнодорожника Том 1 (1951) -- [ c.177 ]

Математические методы классической механики (0) -- [ c.54 ]

Справочное руководство по небесной механике и астродинамике Изд.2 (1976) -- [ c.697 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...