Минимум лагранжева действия

Теорема 8.7.1. (Лагранж). Положение равновесия склерономной системы, находящейся под действием потенциальных сил, устойчиво, если в этом положении силовая функция достигает изолированного максимума (потенциальная энергия — изолированного минимума). [c.570]

Принцип Гамильтона состоит в следующем функции и (), , удовлетворяющие уравнениям Лагранжа, т. е. выражающие истинное движение системы под действием данных сил, удовлетворяют в то же время необходимым условиям того, чтобы действие по Гамильтону могло принять экстремальное значение (максимум или минимум) сравнительно со значениями во всех других возможных близких [c.375]

Принцип Гамильтона состоит в следующем функции и У1, удовлетворяющие уравнениям Лагранжа (выражающие истинное движение системы под действием данных сил), удовлетворяют в то же время необходимым условиям экстремальности действия по Гамильтону, т. е. действие по Гамильтону имеет максимум или минимум сравнительно со значениями во всех других возможных близких движениях системы, переводящих ее из начального положения (при <= о) в конечное (t = tl). [c.405]

В случае, когда для прямого пути действие по Лагранжу имеет минимум, длина дуги геодезической меньше длины любой другой кривой, соединяющей те же точки, что и дуга геодезической. [c.135]

Связь аналитической механики и современной физики. Два великих достижения современной физики теория относительности и квантовая механика — теснейшим образом связаны с аналитической механикой. Теория относительности Эйнштейна революционизировала все области физики. Было показано, что ньютонова механика справедлива лишь приближенно для скоростей, малых по сравнению со скоростью света. Однако аналитический метод, основанный на использовании принципа наименьшего действия, остался неизменным. Модифицирована была лишь функция Лагранжа получение же дифференциальных уравнений движения из принципа минимума осталось. Действительно, полная независимость вариационного принципа от какой-либо специальной системы отсчета делала его особенно ценным для построения уравнений, удовлетворяющих принципу общей относительности. Этот принцип требует, чтобы основные уравнения природы оставались инвариантными при произвольных преобразованиях координат. [c.394]

Лагранж доказывает (стр. 257), что когда материальная точка движется по неподвижной поверхности и, находясь только под влиянием начальной скорости, не подвержена действию какой-либо силы, то скорость ее постоянна и описываемая ею линия является кратчайшей из тех, какие можно провести между двумя ее точками. Для доказательства этого положения знаменитый автор ограничивается обоснованием утверждения, что вариация дуги равна нулю и что, следовательно, в данном случае существует максимум или минимум но так как, говорит он, максимум здесь невозможен, то имеет место минимум. Подобный путь рассуждения недопустим в самом деле, известно, что интеграл, вариация которого равна нулю, может в то же время не быть ни максимумом, ни минимумом тем не менее в рассматриваемом частном случае утверждение Лагранжа правильно, как это можно доказать в нескольких словах. [c.402]

Кроме того недостатка, что при обычном способе выражения принципа наименьшего действия теорема живых сил не вводится в интеграл, выражающий этот принцип, плохо еще то, что обычно говорят интеграл должен быть наибольшим или наименьшим между тем надо сказать его первая вариация должна обращаться в нуль. Смешение этих никоим образом не тождественных требований так вошло в обычай, что его едва можно поставить в упрек авторам. На этой почве между Лагранжем и Пуассоном произошло замечательное qui pro quo, которое относится к кратчайшей линии. Лагранж говорит совершенно справедливо, что в этом случае интеграл никогда не может сделаться максимумом, потому что как ни длинна будет кривая, соединяющая две точки на данной поверхности, всегда можно найти еще более длинную, а отсюда он заключает, что интеграл всегда должен быть минимумом. Напротив, Пуассон, который знал, что интеграл в известных случаях, в частности для замкнутой поверхности, за известными границами перестает быть минимумом, заключил отсюда, что в этих случаях интеграл должен быть максимумом. Оба заключения неправильны в случае кратчайших линий интеграл во всяком случае никогда не будет максимумом, а будет либо минимумом, либо ни тем, ни другим, — ни максимумом, ни минимумом. [c.303]

Лагранжа, вот принцип наименьшего действия. Я его изложу иначе, а именно так 1°. я буду пользоваться любыми координатами, 2°. (что существенно) условия минимума и максимума я заменю условиями интегрируемости. Вам, конечно, известно, что условия интегрируемости играют очень большую роль в механике, например в гидростатике и гидродинамике. Я утверждаю, что вся механика есть вопрос интегрируемости, это условие содержит в себе первое как частный случай оно требует только, чтобы вариация была интегрируемой, тогда как условие максимума требует не только, чтобы эта вариация была интегрируемой, но и того, чтобы ее интеграл обращался в нуль. [c.772]

Развитая Лагранжей точка зрения на принцип наименьшего действия разделялась рядом ученых того времени. Например, Лаплас, который расширил сферу приложения принципа в оптике, применив его к преломлению света в кристаллах, говорит о механическом содержании этого принципа Интеграл живой силы системы, умноженный на элемент времени, есть минимум, так что, следовательно, истинная экономия природы есть экономия живой силы ). Ограниченность этого толкования в настоящее время, после работ Гамильтона, Гельмгольца и др., после теории относительности и квантовой механики совершенно очевидна. [c.800]

Принципом наименьшего действия Лагранж много занимался в первые годы своей научной деятельности, в связи с работами по вариационному исчислению. При систематическом изложении механики этот принцип отходит у Лагранжа на второй план. Все же существенно было то, что Лагранж формулировал этот принцип с полной определенностью как чисто механическую теорему, справедливую при соблюдении определенных условий. Эта формулировка такова при движении любой системы тел, находящихся под действием взаимных сил притяжения, или сил, направленных к неподвижным центрам и пропорциональных каким-либо функциям расстояний, кривые, описываемые различными телами, а равно их скорости необходимо таковы, что сумма произведений отдельных масс иа интеграл скорости, умноженной на элемент кривой, является максимумом или минимумом — при условии, что первые и последние точки каждой кривой рассматриваются как заданные. [c.205]

Теорема Лагранжа об устойчивости консервативных систем. Пусть система с голо-номными стационарными связями находится в равновесии под действием одних консервативных сил. Если потенциальная энергия системы имеет в положении равновесия изолированный минимум, то это положение равновесия устойчиво но Ляпунову. [c.96]

Последнее равенство показывает, почему Лагранж не называл свой принцип принципом наименьшего действия рассматриваемый принцип сводится собственно к тому, что сумма живых сил всех тел от момента, когда они выходят из заданных точек, до того момента, когда они приходят в другие заданные точки, является максимумом или минимумом. Следовательно, его с большим основанием можно было бы назвать принципом наибольшей или наименьшей живой силы, эта формулировка имела бы то преимущество, что она была бы общей как для движения, так и для равновесия . .. мы видели, что при прохождении положения равновесия живая сила всегда бывает наибольшей или наименьшей [51. [c.27]

Перейдем от описания специальной ситуации систем с дискретным временем к общей постановке задач лагранжевой механики, сформулированной в 5.3. Мы хотим показать, что решение уравнения Лагранжа (5.3.2), переписанное ниже как (9.4.2), которое описывает ньютонову динамику, эквивалентно решению вариационной задачи, т. е. нахождению критических точек некоторого функционала. В отличие от случая дискретного времени, которым мы занимались до этого, естественно определенный функционал действия оказывается заданным на некотором бесконечномерном пространстве. Это приводит к существенным техническим усложнениям и требует развития локальной теории. Со временем мы научимся находить минимумы такого функционала действия (определенного ниже), как мы уже умеем делать в случае дискретного времени. Прежде всего найдем взаимосвязь между уравнением Лагранжа и вариационными задачами. [c.371]

При рассмотрении минимума действия требуется некоторое дополнительное исследование, так как условие постоянства эиергии Т— и необходимо рассматривать как ограничение на вариации координат. Пусть Л — постоянная энергии. Тогда, следуя правилу Лагранжа в вариационном исчислении, положим [c.344]

И назовем его действием по Лагранжу. Докажем, что в действительном движении действие принимает экстремальное значение по сравнению с его значениями при движении системы по окольным путям. В силу того, что Т— Тч есть положительно определенная функция, это экстремальное значение будет представлять собой минимум функционала. Наложим следующие условия [c.252]

Можно показать, что действие по Лагранжу по взятому прямому пути будет минимумом относительно действий по окольным путям при одинаковых значениях начальной энергии, если конечное положение удалено от начального положения Ад не дапее ближайшего кинетического фокуса, сопряжённого с Ло (см. заключительные указания в 201). В отделе Интегрирование уравнений динамики мы ещё вернёмся к этому вопросу. [c.366]

Другими словами, мы заменим отрезок + 1]) подходящим образом перепараметризованной геодезической, на которой достигается единственный минимум функционала действия А на множестве По теореме 9.5.5 получаем А(а А(<т). Параметризуя а с постоянной скоростью, получаем такую кривую ст, что А А(д . Замыкание Р множества всех кривых ст, образованных из ст Г, компактно в С°-топологии. Это следует из того обстоятельства, что любая кривая из Р вполне определяется упорядоченной последовательностью не более чем [I(ст)/Д] +1 точек множества В, и из того наблюдения, что если применима теорема 9.5.5, то единственный минимум функционала на множестве непрерывно в С -топологии зависит от выбора точек х и у. Поэтому функционал А достигает своего минимума на множестве Г°, а потому и на множестве Г. По определению множества Г этот минимум также является минимумом на Осталось показать, что всякий глобальный минимум функционала А на множестве достигается на С -кривой, так что, будучи критической точкой функционала действия А, она является решением уравнения Эйлера — Лагранжа. Выберем i е [0,1] и такое малое е, что 1 с(г - е, t + е)) < Я. Тогда по теореме 9.5.5 ограничение представляет собой параметризацию с постоянной скоростью геодезической ф + кривую класса С . О [c.377]

Отметим, что условие (8.34) является условием стационарности величины А. Вопрос о том, будет ли при этом А иметь минимальное значение, требует дальнейшего исследования. Можно доказать, что для достаточно близких Л и 2 действие по Лагранжу А будет минимумом. В этом случае этот принцип можно назвать принципом наименьигего действия. [c.230]

Теорема Лагранжа — Дирихле устанавливает, что равновесие механической системы, находящейся под действием консервативных сил, является устойчивьш, если в этом положении ее потенциальная энергия имеет минимум. [c.9]

Формулировка принципа. Ученые искали различные способы сведения уравнений движения к единому началу путем введения интегралов или функций, которые обращаются в минимум для действительного движения системы по сравнению с возможными 6an3KitMH движениями. Эта идея находит свое выражение прежде всего в принципе наименьшего действия (п. 486) затем следует более общий принцип Гамильтона (п. 483), из которого очень просто выводятся уравнения Лагранжа для голономных систем, но в случае систем не-голономных эти рассуждения и выводы становятся уже неверными. Мы займемся здесь принципом наименьшего принуждения Гаусса. Этот принцип, являясь наиболее общим, не вызывает к тому же никаких затруднений при его приложениях. Преимущество принципа состоит и в том, что он имеет простое аналитическое выражение, позволяющее свести нахождение уравнений движения произвольной системы, как голономной, так и неголономной, к нахождению минимума функции второй степени. [c.420]

Вместо принципа наименьшего действия можно представить другой принцип, который также состоит в том, что первая вариация некоторого интеграла обращается в нуль, и из которого можно получить дифференциальные уравнения движения еще более просто, чем из принципа наименьшего действия. Этот принцип раньше оставался незамеченньш, вероятно, потому, что здесь вместе с исчезновением вариации вообще не получается минимум, как это имеет место для принципа наименьшего действия. Гамильтон был первым, исходившим из этого принципа. Мы воспользуемся этим принципом для того, чтобы представить уравнения движения в той форме, которую им дал Лагранж в аналитической механике. Пусть, прежде всего. [c.307]

Якоби показал, что функция Я может содержать время также expli ite, не делая невозможным образование вариации и вытекающего отсюда дифференциального уравнения. Я использовал это, чтобы добавить к Я еще сумму Е(Р,. р,), в которой Pi обозначает координату, а Р,- — силу, действующую в направлении координаты р, смысл этого будет точнее разъяснен ниже. Величины Р, рассматриваются как заданные функции времени, однако независимые от координат. В этой форме теорема о минимуме вариации дает уравнения Лагранжа для сил Р,. Тем самым целый ряд специаль- [c.431]

Ответ Лагранжа предуказан тем, что, как мы видели выше, область применения принципа ограничена для него сферой применения закона живых сил. Если вспомнить, что Лагранж показал, что принцип наименьшего действия может быть выражен в форме интеграла который должен равняться максимуму или минимуму, то станет совершенно ясен ответ Лагранжа на поставленный выше вопрос. [c.800]

Итак, мы видим, что Лагранж и здесь, как и в проблеме обоснования анализа, идет по пути известного самоограничения. Он ограничивает сферу применимости принципа наименьшего действия областью применимости закона живых сил, следуя в этом отношении за Эйлером. Он рассматривает свойство интеграла dt 2 давать минимум или максимум для действительного движения как свойство аналитического характера. У Лагранжа принцип наименьшего действия перестал уже иметь явно логическое значение, признаком которого было бы нечто большее, чем чисто аналитические свойства, выражающиеся возможностью делать вариацию нулем , — говорит Дюринг ). Но то, что Дюринг считает достоинством Лагранжа, на самом деле есть его недостаток, ибо, кроме метафизики , существует также научный анализ физического содержания математических выражений ). Исследование Лагранжа, которое было выше нами рассмотрено, пред- [c.800]

Формулировка Мопертюи принципа наименьшего действия была еще весьма несовершенна. Первая научная формулировка принципа была дана Эйлером в том же 1744 г. в сочинении Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума либо минимума, или решение изопериметрической задачи . Он сформулировал свой принцип следующим образом интеграл J mvds имеет наименьшее значение для действительной траектории, рассматривая последнюю в группе возможных траекторий, имеющих общие начальное и конечное положения и осуществляющихся с одним и тем же значением энергии. Эйлер дает своему принципу точное математическое выражение и строгое обоснование для одной материальной точки, подчиненной действию центральных сил. На протяжении 1746—1749 гг. Эйлер написал несколько работ о фигурах равновесия гибкой нити, где принцип наимень шего действия получил применение к задачам, в которых действуют упругие силы. Дальнейшее продвижение здесь было достигнуто трудами Ж. Лагранжа. [c.185]

МЕХАНИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ— состояние покоя или прямолинейноравномерного движения системы материальных точек (тела, звена, механизма). М. может 1ть устойчивым, неустойчивым и безразличным. При устойчивом равновесии достаточно малые отклонения системы (тела) от положения равновесия вызывают силы, стремящиеся вернуть ее в состояние равновесия. Условием устойчивого равновесия для консервативной системы (где механическая энергйя не превращается в тепловую) является минимум потенциальной энергии данной системы (теорема Лагранжа—Дирихле). Если на систему с идеальными связями действуют только силы тяжести, то устойчивым будет положение, при котором центр тяжести занимает самое низкое положение (принциТП Торичелли). [c.178]

Дальнейшее развитие проблемы п тел принадлежит Ю. Д. Соколову многочисленные исследования которого посвящены изучению особых траекторий системы свободных материальных точек, взаимно притягивающихся или отталкивающихся с силами, пропорциональными произвольной функции взаимных расстояний. Соколов обобщил на случай произвольных сил взаимо-114 действия в задаче п тел теорему Пенлеве о минимуме взаимных расстояний, теорему Шази о парном соударении в неизменяемой плоскости, теорему Дзио-бека о движении точек в неподвижной центральной плоскости при аннулировании кинетического момента системы относительно ее центра масс и теорему Слудского—Вейерштрасса об общем соударении тел. Он установил нижнюю границу радиусов сходимости разложений координат точек системы около момента регулярного движения. Обобпщв уравнение Лагранжа — Якоби, он исследовал поведение квадратичного момента инерции при стремлении t к некоторому особому моменту ti или оо. Соколов изучил траектории парного соударения в общей задаче трех тел, исследовал характер особых, Точек интегралов прямолинейного движения. Рассматривая ограниченную задачу трех тел в обобщенной постановке, он исследовал поведение искомых функций и доказал существование решения задачи, установил инвариантное соотношение, характеризующее условие соударения. Результаты этих исследований Соколов успешно применил к решению задач о притяжении к неподвижному и равномерно вращающемуся центрам. [c.114]

Характер равновесия системы при действии потенциальных сил определяется характером экстремума функции П. Равновесие может быть устойчивым или неустойчивым. Согласно фундаментальной теореме Лагранжа — Дирихле, оно устойчиво, если потенциальная энергия в положении равновесия имеет минимум. Обратные предложения [c.261]

Геометрическое место кинетических фокусов, сопряженных началу рассматриваемого пучка траекторий, представляет сопряженную этому началу фокальную поверхность. Так, в примере движения материальной точки в поле силы тяжести этой поверхностью служила парабола безопасности (14.19), а в случае эллиптического кеплерова движения — эллипс (16.35). От расположения этой фокальной поверхности относительно начала пучка зависит протяженность примыкающей к нему достаточно малой области , о которой выше говорилось. Ее граница определяется той поверхностью семейства Л = onst, на которой расположен ближайший к началу кинетический фокус. Нет нужды доказывать, что действие по Лагранжу на траектории, соединяющей начальное положение с конечным, расположенным за кинетическим фокусом, не является минимумом, так как доказательство свелось бы к дословному повторению сказанного в п. 12.3 и иллюстрируемого рис. 89. [c.750]

В связи со сказанным становится ясным, почему параллельно с развитием теории программного управления с самого начала построения теории оптимальных процессов ставилась задача о нахождении управляющих сил и сразу в виде функции от текущих координат хг (1) управляемого объекта. При этом получил наибольшее распространение тот подход к рассматриваемым задачам о синтезе, который развивад-ся по пути методов динамического программирования. Этот метод соответствует известным в вариационном исчислении рассуждениям о распространении возбуждений. С точки зрения вариационных принципов механики метод динамического программирования аналогичен введению функции действия и приводит соответственно к уравнениям типа уравнений Гамильтона — Якоби в частных производных. Таким образом, уравнения в частных производных, вытекающие из методов динамического программирования, связаны с обыкновенными дифференциальными уравнениями, фигурирующими, например, в принципе максимума, подобно тому как в аналитической механике уравнения Гамильтона — Якоби для функции 8 свйзаны с соответствующими уравнениями движения в форме Лагранжа или Гамильтона. Основу метода динамического программирования составляет функция V [т, х], которая имеет смысл минимума (максимума) оптимизируемой величины /[т, л (т)] (0 (т< < 1, т> о —текущий момент времени, 1 — момент окончания процесса), рассматриваемой как функция от начальных, временно фиксируемых условий г, х (т) = х, т. е. [c.203]

Теорема 9.5.8. Пусть М — полное связное ориентированное ри-маново многообразие и х, уеМ. Тогда функционал действия А наТ достигает своего (не обязательно единственного) минимума на гладкой геодезической Эйлера —Лагранжа. [c.376]

Сразу видно, что в основном состоянии выступают только куперовские пары (k, —k ). м —вероятность того, что два состояния с противоположными л II о не заняты, к —что они заняты. Если в (83.19) произвести умножение, то появятся члены с различным числом операторов рождения пар. Таким образом, (83.19) не есть состояние с определенным числом частиц. Мы можем, однако, рассматривать (83.19) как выражение для волновой функции, определяя и и v нз условий варьирования, требуя минимума энергии. Так первоначально действовали Бардин, Купер и Шри-фер. Таким образом можно получить результаты, выведенные выше другим способом. Вариацию надо провести при фиксированном числе частиц. Мы должны, следовательно, в качестве дополнительного условия потребовать N — on.st. Это может быть выполнено посредством дополнения до варьирования к оператору Гамильтона члена —jiiV. Множитель Лагранжа А, окажется равным химическому потенциалу, т. е. энергии Ферми Ер. В этом истинная причина, почему мы перед (83.5) перешли от Я к Нтел-Полученные пока результаты привели только к понижению энергии основного состояния. То, что с этим явлением связана сверхпроводимость, обнаруживается лишь прн рассмотрении возбужденных состояний. Это NUJ II пыполним в следующем параграфе. [c.327]

Движение, определяемое с помощыо вариационного исчисления Приравнивая нулю первую вариацию функций V или 5 (при заданных условиях), полученную согласно правилам вариационного исчисления, можно найти координаты qi, q ,. .. как функции t. Среди этих функций времени, конечно, находятся движения, определяемые уравнениями Лагранжа, так как по только что доказанному онн обращают первые вариации в нуль. Но возможно, что могут существовать другие пути (хотя они будут противоречить законам механики), переводящие систему из начального положения в конечное, при которых функции V или 5 будут иметь минимум. Легко видеть, что эти пути должны существовать, так как два положения могут быть такими, что невозможно выпустить систему из начального положения с данной энергией так, чтобы она прошла через конечное положение. Так, предположим, что требуется бросить тяжелую частицу нз начальной точки А с данной скоростью таким образом, чтобы она прошла через точку В на горизонтальной прямой, проходящей через точку А и отстоящую от нее на расстоянии, превышаю щем наибольшую горизонтальную дальность. Известно, что это не может быть сделано в реальных условиях бросания в реальное время. Тем пе менее должны существовать некоторые пути из А в В, на которых действие будет минимальным. Покажем теперь что 1) стандартные методы вариационного исчисления, которые основаны на предположении, что вариации независимых координат могут иметь любой знак, приводят только к уравнениям Лагранжа 2) существуют некоторые другие пути движения, которые так расгюложены, что координаты (по крайней мере вдоль некоторой частп пути) нельзя варьировать в какую-то одну сторону без введения мнимых величин и что еслн эти недопустимые вариации исключить, такие пути могут давать максимум или минимум. [c.343]

UTMeTHAi, что условие (fi.34) является условием ста цйонарности величины Л, Вопрос о том, будет ли при этом Л иметь минимальное значение, требует дальнейшего исследования. Можно доказать, что для достаточно близких ti и I2 действие по Лагранжу Л будет минимумом. Б этом случае этот принцип можно назвать принципом наименьилего действия. [c.230]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...