Лагранжа под действием силы тяжести)

В только что рассмотренных примерах определить реакции можно было и без применения уравнений Лагранжа первого рода, непосредственно составляя условия равновесия движущейся точки под действием силы тяжести, реакции и центробежной силы инерции. Метод множителей Лагранжа оказывает существенную пользу в тех случаях, когда поверхность или кривая не обладают теми простыми геометрическими свойствами, как сфера или окружность покажем это на следующем примере. [c.392]

Еще Торричелли (1644 г.) было известно, что положение системы тел, находящихся под действием сил тяжести, будет устойчивым, если центр тяжести этой системы тел занимает наинизшее из возможных положений. Лагранж обобщил этот принцип Торричелли на случай произвольных потенциальных сил и установил следующий критерий устойчивости положения равновесия консервативной системы [c.192]

VI.4. Маятникообразное качение цилиндра по плоскому основанию. Пусть центр тяжести S неоднородного кругового цилиндра радиуса а находится на расстоянии s от его оси. Цилиндр катится под действием силы тяжести по горизонтальной плоскости. Масса цилиндра равна ш, момент инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести параллельно оси цилиндра, равен 0. Исследовать движение по методу Лагранжа, введя в качестве обобщенной координаты q угол поворота цилиндра вокруг его оси. При вычислении кинетической энергии поместить точку отсчета [c.330]

Рис. 63. Первое прочтение два типа траекторий движения под действием силы тяжести (направленной вниз) при наличии магнитного поля, ортогонального плоскости (промежуточный вариант — траектория типа циклоиды). Наблюдается не падение, а дрейф. Левый рисунок, в отличие от правого, действителен лишь до тех пор, пока модуль начальной скорости не превосходит некоторого предела, при превышении которого траектория сразу пойдет вверх. Второе прочтение рисунка изменение углов прецессии и нутации в случае Лагранжа. Причина качественного сходства траекторий в обеих задачах — наличие линейных по скоростям членов в функциях Лагранжа и Рауса соответственно

Еще Торричелли (1644) установил, что положение системы тел под действием сил тяжести будет устойчивым, если центр тяжести этой системы занимает наинизшее положение. Использование понятия энергии позволило Лагранжу обобщить принцип Торричелли на случай произвольных потенциальных сил и сформулировать следующий критерий устойчивости состояния равновесия консервативной системы. [c.384]

Составить уравнения Лагранжа I рода для материальной точки, движущейся по поверхности сферы под действием силы тяжести. Сфера идеально гладкая. Точка сферу не покидает (рис. 3.2.2). [c.95]

Интегрирование дифференциальных уравнений движения твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, представляет значительные математические трудности. Мы рассмотрим лишь наиболее простые случаи, а именно случай вращения динамически симметричного тела вокруг неподвижной точки по инерции (случай Эйлера) и случай движения под действием силы тяжести, когда тело имеет относительно неподвижной точки ось динамической симметрии, а центр тяжести лежит на этой оси (случай Лагранжа ). [c.322]

Движение твердого тела, имеющего неподвижную точку, под действием силы тяжести (случай Лагранжа) [c.330]

Примеры на составление уравнений Лагранжа. Тело с двумя равными главными центральными моментами инерции вращается под действием силы тяжести вокруг неподвижной точки О, расположенной на оси неравного момента инерции. Найти условия, при которых тело движется подобно математическому маятнику. [c.347]

Если параметры тела заданы — известны величины М, I, А, С и тело с одной неподвижной точкой совершает регулярную прецессию под действием силы тяжести вокруг вертикали, то постоянные 00, Фо и фо связаны условием (6.123). Мы видим, что регулярная прецессия в случае Лагранжа описывается частным решением уравнений движения. (В случае Эйлера, при условии А = В, регулярная прецессия представляла собой общее решение — ось прецессии определял произвольно направленный вектор кинетического момента.) [c.412]

Решение. Примем за обобщенную координату системы вертикальное отклонение г груза от положения покоя (рис. 272, б). Рассматриваемая система находится под действием консервативных сил — сил тяжести и силы упругости. Воспользуемся уравнением Лагранжа в виде (126.1) [c.353]

Так как система находится под действием консервативных сил —сил тяжести, то воспользуемся уравнениями Лагранжа для консервативной системы. Для этого найдем потенциальную энергию системы, пользуясь формулой (73.2), приняв плоскость движения ползуна за нулевую плоскость [c.361]

Случай Лагранжа — Пуассона. В этом случае тело, имеющее одну неподвижную точку О, находится под действием только силы тяжести и форма этого тела такова, что для него А=В С, т. е. эллипсоид инерции для неподвижной точки О тела есть эллипсоид вращения, и центр тяжести тела лежит на подвижной оси Oz на некотором расстоянии от неподвижной точки О. При этом ось Oz является осью симметрии эллипсоида инерции и называется оаю динамической симметрии тела. Такое тело, имеющее одну неподвижную точку, часто называют симметричным гироскопом (рис. 391). Его положение определяется тремя Эйлеровыми углами <р, ф и 0. [c.709]

После выключения мотора катящийся рычаг с ковшом движется под действием момента, создаваемого силой тяжести. Применяя и в данном случае уравнение движения в форме Лагранжа, получим [c.207]

R под действием только силы тяжести (рис. 365). Составить дифференциальное уравнение движения этого цилиндра (равнение Лагранжа), принимая за обобщенную координату угол ср прямой ОС с вертикальной осью у. Найти затем период малых колебаний цилиндра около положения равновесия. [c.564]

Одно из преимуществ, которое получается при использовании этой формулы, заключается в том, что она непосредственно приводит к общим уравнениям, в которы х содержатся принципы или теоремы, известные под названием принципов сохранения живых сил, сохранения движения центра тяжести, сохранения моментов вращения или принципа площадей и принципа наименьшего действия В этом же месте Лагранж подчеркивает Однако все эти принципы следует рассматривать скорее как общие выводы из законов динамики, чем как первоначальные принципы этой науки . [c.227]

Эйлер рассматривал мембрану, в сущности, как пластинку. Такая аналогия неудачна. Лагранж дал лучшую трактовку задачи, и на основании его результата для малых прогибов мембраны под действием силы тяжести уравнение колебаний мембраны подучается корректно, в виде [c.270]

Н. Г. Четаев (1926) исследовал вопрос о существовании непрерывной последовательности устойчивых фигур равновесия однородной в каждый момент времени вращающейся жидкой массы, находящейся под действием сил ньютоновского притяжения, сил лучистого сжатия к центру тяжести с постоянной скоростью и постоянного давления на свободной поверхности. Для выделения устойчивой последовательности фигур равновесия автор использовал теорему Лагранжа об устойчивости равновесия, которую доказал применительно к рассматриваемой системе. Несколько позднее Четаев (1931), пользуясь теоремой Ляпунова об устойчивости фигур равновесия, доказал, что если существует не бесконечно малый нижний предел для массы отдельных тел, на которые под влиянием сил ньютоновского притяжения и центробежной может распасться некоторая масса однородной несжимаемой жидкости, то для этой массы существует по крайней мере одна устойчивая фигура равновесия. Далее автор доказал две важные общие теоремы о числе реальных ветвей кривой ] авновесия механической системы, проходящих через точку бифуркации и о смене устойчивости. Частные случаи указанных теорем были установлены [c.32]

Механика конца XVII в. еш,е далека от ее современного состояния. Но это уже не формальная совокупность частных теорий и задач (о причинах и законах движения тел, о равновесии простейших механизмов, о центре тяжести тел, о движении небесных тел и других), решение которых базируется на простейших опытных фактах, арифметических расчетах и геометрических построениях. Семнадцатый, начало восемнадцатого века — это время создания первых не философских, а физико-математических теорий (движения планет, падения тел в пустоте, удара тел, колебаний тел, равновесия тел под действием сил, движения тел в среде), уточнения физического смысла и математического представления как уже обш,епринятых, так и новых понятий, принципов и законов. Это переход от механики частных задач и методов их решения к идеологии универсальной, построенной на обш,их законах и понятиях теории, — к теоретической или аналитической механике, систематическое изложение и развитие которой на основе понятий и методов математического анализа начинается с работ Эйлера , Даламбера, Лагранжа. [c.8]

Для того чтобы полностью определить закон движения твердого тела, системы динамических уравнений Эйлера недостаточно. Эту систему следует допо.пнить кинематическими соотношениями ( 6.2). В целом получается система дифференциальных уравнений, исследование свойств решения которой часто сопряжено со значительными трудностями. Ниже будут рассмотрены три случая, когда для этой системы аналитически может быть построено общее решение. Это — случай Эйлера, когда момент внешних сил отсутствует, а также случаи Лагранжа-Пуассона и Ковалевской, когда движение вокруг неподвижной точки происходит под действием параллельного поля силы тяжести. [c.466]

Как известно, еще в 1758 г. Л. Эйлер рассмотрел случай движения твердого тела вокруг неподвижно точки (полюса), когда центр тяжести совпадает с полюсом, а вое силы сводятся к равнодействующей, проходящей через эту неподвижную точку. В 1834 г. Л. Пуансо дал геометрическую интерпретацию этого случая. В 1788 г. Лагранж (и независимо от него в 1815 г. С. Пуассон) рассмотрел случай, когда тело имеет ось сиАГметрии, проходящую через неподвижную точку, и движется под действием только силы тяжести, точка приложения которой лежит на оси симметрии и не совпадает с полюсом (симметрический тяжелый гироскоп — волчок). Обе задачи сводятся в общем случае к квадратурам, и их решения выражаются через эллиптические функции. [c.246]

Ньютон, стоя на плечах гигантов , дал в Началах , в первых же следствиях из трех основных законов, два существенных обобщения следствие III гласит, что количество движения системы тел не изменяется при взаимодействии этих тел, а из следствия IV мы узнаем, что общий центр тяжести двух или большего числа тел не изменяет своего состояния движения или покоя при взаимодействии этих тел, и, следовательно, без внешних воздействий на систему и препятствий он либо остается в покое, либо движется прямолинейно и равномерно. Но в рассуждениях, которыми Ньютон обосновывает свои следствия, ничто не наводит читателя на мысль, что эти два утверждения равнозначны. В дальнейшем более наглядная формулировка, относящаяся к центру тяжести, была долгое время на первом плане. Далам-бер, по мнению Лагранжа, значительно расширил принцип центра тяжести по сравнению с Ньютоном, показав, что когда тела находятся под действием постоянных ускоряюпщх сил, причем все они (силы) направлены по параллельным линиям или по линиям, сходящимся в одной точке, и действуют пропорционально расстояниям, то центр тяжести должен описывать ту же кривую, как если бы тела были свободны . Окончательная формулировка принадлежит самому Лагранжу, который, вслед за похвалою в адрес Да-ламбера, пишет Можно еще добавить, что движение этой точки (центра тяжести системы) вообще остается таким же, как если бы все силы тел, каковы бы они ни были, были приложены в этой точке с сохранением за каждой силой ее направления Ив заключение Лагранж указывает, что принцип служит для определения движения центра тяжести независимо от соответствующих движений тел и что он, таким образом, может дать три конеч- [c.124]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...