Принцип наименьшего действия Эйлера—Лагранжа)

Принцип наименьшего действия (Эйлера—Лагранжа) 17, 18, 165 [c.403]

Естественно возникает вопрос об отношении принципа Герца к принципу наименьшего действия Эйлера — Лагранжа в его классической форме и в форме, которую придал ему Якоби, и к принципу Гамильтона. [c.233]

Л. Эйлер впервые строго доказал принцип Мопертюи для случая движения материальной точки, находящейся под действием центральной силы (1744 г.). Наконец, Ж. Лагранж распространил принцип наименьшего действия на широкий класс задач динамики системы. [c.201]

Несмотря на то, что имеется целый ряд вариационных принципов, связанных с именами Эйлера, Лагранжа, Якоби, Гамильтона, все эти принципы взаимосвязаны, и к ним ко всем подходит название принцип наименьшего действия , если понимать этот термин в широком смысле слова. [c.136]

Якоби раскритиковал рассуждения Лагранжа, касающиеся принципа наименьшего действия , указав на важность того обстоятельства, что варьирование происходит при определенных граничных значениях последнее невозможно, если в качестве аргумента выбрано время. В этом случае верхний предел интеграла действия должен варьироваться определенным образом с тем, чтобы обеспечить сохранение энергии вдоль истинного и варьированного путей. Тем не менее если соответствующим образом понять формулировку принципа наименьшего действия, данную Эйлером и Лагранжем, то окажется, что их выкладки совершенно правильны, а их принцип отличается от принципа Якоби лишь формально. Как мы видели, принцип Якоби представляет собой результат следующих операций. [c.163]

В свете всего сказанного о параметрических системах формулировка принципа наименьшего действия для консервативных систем, данная Эйлером и Лагранжем, получает новый смысл. Напомним, что этот принцип требует минимизации интеграла по времени от величины 2Т при условии, что для движущейся точки выполняется энергетическое уравнение Т + V = . При переходе от пространства конфигураций к фазовому пространству принцип Эйлера — Лагранжа принимает следующую форму. Требуется найти условия стационарности интеграла [c.221]

Именно Гамильтон, преобразовав принцип Даламбера, впервые дал точную формулировку принципа наименьшего действия. Форма, в которой применяли этот принцип Эйлер и Лагранж, справедлива лишь для консервативных (склерономных) систем. [c.391]

Якоби дал также новую формулировку принципа наименьшего действия для случая независимости от времени, который рассматривали Эйлер и Лагранж. Он критиковал их формулировку на том основании, что область интегрирования у них не удовлетворяет условию варьирования при фиксированных граничных значениях. Хотя в действительности Эйлер и Лагранж применяли свой принцип вполне корректно, исключение времени из вариационного интеграла, произведенное Якоби, привело к новому принципу, определяющему траекторию движущейся точки без всякого указания на то, как движение происходит во времени. Сходство этого принципа с принципом Ферма о наименьшем времени распространения света, из которого может быть определена траектория светового луча, непосредственно устанавливало аналогию между оптическими и механическими явлениями. [c.392]

Исключение времени из интеграла, рассматриваемого при получении принципа наименьшего действия, должно производиться обязательно при помощи принципа живой силы, а не при помощи принципа площадей или какого-либо другого интегрального уравнения задачи только таким путем можно придти к принципу наименьшего действия. Лагранж в одном месте говорит, что он в Туринском Мемуаре вывел дифференциальные уравнения движения из принципа наименьшего действия в соединении с принципом живых сил. Такой способ выражения после сделанных выше замечаний не допустим. Лагранж применил только что открытое им вариационное исчисление к использованному уже Эйлером принципу наименьшего действия, но употребил при этом принцип живых сил в расширенном виде, приданном [c.303]

В формулировках принципа наименьшего действия, обсуждавшихся до сих пор, не уделялось внимания условиям движений, предположенных возможными, и все-таки эти условия имеют такое же значение, как и сама величина действия, так как в зависимости от характера наложенных условий содержание принципа принимает совершенно различное значение. Дело идет не только о признаке, по которому сделан выбор, но и о природе движений, которые подлежат отбору. Однако, пока это обстоятельство, недооценка которого привела ко многим роковым ошибкам, было ясно понято и принцип наименьшего действия получил первую правильную формулировку, прошло длительное время. Если открытие принципа наименьшего действия приурочить именно к этому моменту, то только Лагранжу можно приписать эту заслугу. Между тем такая оценка была бы несправедлива в отношении тех людей, которые подготовили почву и начали работу, впоследствии удачно завершенную Лагранжем. К числу этих людей относятся прежде всего Лейбниц, судя главным образом по его письму 1707 г., оригинал которого утерян, затем Мопертюи и Эйлер. [c.583]

Это определение и выражает тот шаг вперед, который совершил Лагранж в развитии принципа наименьшего действия. Он распространил принцип, сформулированный у Эйлера для материальной точки, на случай произвольной системы точек, связанных между собой и действующих друг на друга совершенно произвольным образом. [c.797]

И, словно отвечая Эйлеру, Лагранж в своей Аналитической механике говорит, что он называет этот принцип принципом наименьшего действия, по аналогии с принципом, который Мопертюи дал под этим названием . [c.798]

Наиболее выдающиеся исследования Остроградского относятся к обобщениям основных принципов и методов механики. Он внес существенный вклад в развитие вариационных принципов. Вариационные принципы механики входят в круг вопросов, интересовавших Остроградского в течение всей его жизни. Постоянное возвращение к вариационному исчислению и вариационным принципам механики роднит ого с Лагранжем — одним из создателей вариационного исчисления и творцом аналитической механики. Ранее нами указывалось, что вариационными принципами механики занимались такие корифеи науки, как Ферма, Мопертюи, Эйлер, Лагранж, Гамильтон. Мы также отметили, что новый этап в разработке принципа наименьшего действия связан с именем Лагранжа, который поставил целью свести динамику к чистому анализу. В работах Лагранжа проблемы механики представляют собой лишь определенный класс задач вариационного исчисления. [c.214]

Именно Эйлер развил в отчетливой и последовательно стройной математической форме те идеи, которые иначе рисковали остаться в глазах поколений блестящей, но не слишком глубокой догадкой. В этом смысле Эйлер является действительным основоположником научно сформулированного принципа наименьшего действия в механике. Он придал ему научную форму, и нужен был еще только один шаг для того, чтобы завершить полное освобождение принципа наименьшего действия от метафизических лохмотьев и математически обобщить его. Этот шаг сделал Лагранж. [c.200]

Развитие принципа наименьшего действия связано с именами П. Л. Мопертюи (1698— 1759), Эйлера, Лагранжа, К. Г. Якоби (1804 — 1851). Существенный вклад в развитие аналитической механики на основе сформулированного им принципа был сделан У. Р. Гамильтоном (1805— 1865). Независимо от Гамильтона этот принцип несколько позднее был разработан Остроградским, который применил его для более широкого класса задач. Этот наиболее важный и общий принцип получил название принципа Гамильтона — Остроградского. [c.12]

Г. Принцип наименьшего действия в форме Мопертюи— Эйлера—Лагранжа—Якоби. Пусть теперь функция Гамильтона Н (р, д) не зависит от времени. Тогда Н (р, д) есть первый интеграл уравнений Гамильтона (1). Спроектируем поверхность Н р, д) = h пз расширенного фазового пространства ( , д, i) в пространство (р, g) . Получится 2п — 1-мерная поверхность Н (Р, д) = h в R ", которую мы уже рассматривали в пункте Б и которую мы обозначили М . [c.215]

Первый член обращается здесь в нуль в силу закрепленности концов, а во втором в силу произвольности вариации 8gi t) надо будет потребовать обращения в нуль подинтегрального выражения. Тем самым требование принципа наименьшего действия приводит нас к уравнениям Лагранжа — Эйлера [c.17]

Принцип наименьшего действия Мопертюи — Эйлера — Лагранжа [c.251]

Обращаясь к принципу наименьшего действия Мопертюи — Эйлера — Лагранжа (см. 17, гл. IV), Якоби замечает, что почти во всех учебниках, даже и в лучших, как Пуассона, Лагранжа и Лапласа, этот принцип представлен так, что, по моему мнению, его нельзя понять ([38], шестая лекция). Упрек Якоби относится, главным образом, к тому, что в изложении того времени была неясной связь принципа наименьшего действия с теоремой живых сил (с интегралом энергии). Кроме того, Якоби указывает на неудачное название самого принципа и связанное с этим неправильное понимание его сущности. [c.257]

М. у. могут быть получены из наименьшего действия принципа, т. е. их можно совместить с Эйлера — Лагранжа уравнениями, обеспечивающими вариационную экстремальность ф-ции действия. [c.38]

Сопоставление принципа Гамильтона с принципом наименьшего действия Эйлера—Лагранжа показывает, что первый допускает более широкое обобщение. Принцип Гамильтона является наиболее общей и абстрактной формой изложения физической сущности лгеханики. Почти для всех разделов физики можно найти вариационные принципы, которые приведут к соответствующим уравнениям движения при таком построении теории этих отделов физики будут характеризоваться известной структурной аналогией, имеющей серьезную познавательную ценность. [c.865]

Легко показать далее, следуя Герцу, что естественное движение свободной голономной системы переводит систему из данного начального в достаточно близкое конечное положение за более короткое время, чем какое-либо другое возможное движение с одинаковым постоянным значением энергии, так как в этом случае энергия п скорость одинаковы, и время перехода пропорционально длине пути. В этом случае интеграл по времени от энергии равен произведению данного постоянного значения энергии на промежуток времени перехода. Таким образом, получается принцип наименьшего действия Эйлера — Лагранжа. Отношение этого принципа к пргшципу Герца такое же, как принципа наименьшего действия в форме Якобп. [c.234]

Принцип наименьшего действия обычно свйзыВают С именем Мопер-тюи. Однако высказанный им в 1747 г. принцип имел туманную теологическую форму и вряд ли может в настоящее время рассматриваться как принцип механики. Строгой формулировкой и доказательством этого принципа мы обязаны Эйлеру и Лагранжу. [c.256]

Эйлер н Лагранж первые открыли в точном виде принцип наименьшего действия, заключающийся в следующем Соединим точки и Р., произвольной пробной траекторне/ . По всей вероятности, эта траектория, в качестве которой может быть выбрана любая непрерывная кривая, не совпадает с действительной траекторией, избранной для движения природой. Однако мы можем постепенно исправлять наше пробное решение и прийти в конце концов к некоторой кривой, которую можно считать действительной траекторией движения. [c.16]

Мне кажется, что предыдущие замечания могут заставить признать, что между принципом наименьшего действия и законом равновесия нет никакого параллелизма и никакой гармонии, как это думал Эйлер и даже Лагранж. Эйлер в Берлинских мемуарах ) высказал даже мнение, что, рассматривая бесконечно малое движение, возможно вывести закон равновесия из принципа наименьшего действия и что единственное затруднение, которое здесь имеет место, состоит в том, чтобы разобраться во всех бесконечно малых, которые фигурируют в этой задаче. Видимость подобной гармонии исчезает в большой своей части, если привести интеграл к его правильному виду [c.291]

Лагранжу совершенно чужды теологические рассуждения Мопертюи. И не находят у него никакого отклика слова Эйлера в письме к нему от 9 ноября 1762 г. Какое удовлетворение получил бы Мопертюи, если бы был еще жив, увидев свой принцип наименьшего действия возведенньш на высшую ступень, доступную для него ). [c.798]

Итак, мы видим, что Лагранж и здесь, как и в проблеме обоснования анализа, идет по пути известного самоограничения. Он ограничивает сферу применимости принципа наименьшего действия областью применимости закона живых сил, следуя в этом отношении за Эйлером. Он рассматривает свойство интеграла dt 2 давать минимум или максимум для действительного движения как свойство аналитического характера. У Лагранжа принцип наименьшего действия перестал уже иметь явно логическое значение, признаком которого было бы нечто большее, чем чисто аналитические свойства, выражающиеся возможностью делать вариацию нулем , — говорит Дюринг ). Но то, что Дюринг считает достоинством Лагранжа, на самом деле есть его недостаток, ибо, кроме метафизики , существует также научный анализ физического содержания математических выражений ). Исследование Лагранжа, которое было выше нами рассмотрено, пред- [c.800]

Лагранж, вместе с тем, отвергает претензии принципа наименьшего действия на всеобщую значимость и на звание основного общего закона природы. Мы уже видели активное наступление теологии на науку под флагом самой науки в XVIII в., выразившееся в работах Мопертюи, отчасти Эйлера и др. И тот факт, что Лагранж отвергал всякие метафизические мотивы, связанные с нажимом на антропоморфно близкое нам наименьшее действие , помогал материалистически-детерминистическому мировоззрению в его борьбе с идеалистической телеологией. [c.801]

Продолжая исследования М. В. Остроградского, Ф. А. Слудский ) и затем М. И. Талызин ) показали, что принцип наименьшего действия в форме Эйлера—Лагранжа и принцип Гамильтона—Остроградского существенно различны. Дело в том, что в принципе Гамильтона вариации координат 6 , изохронны и время не варьируется, так как каждой точке действительной траектории ставится в соответствие точка на другой бесконечно близкой кривой, причем обе точки проходятся в один и тот же момент времени. В случае же принципа Эйлера— Лагранжа связи стационарны и имеет место закон живых сил Т = U + h. При этом допущении время должно варьироваться. [c.834]

Тем не менее, Лагранж ( Oeuvres , т. I, стр. 337,345) варьировал также и независимые переменные и, основываясь частично на этом, считал свой метод более общим, чем метод Эйлера. Изложение Лагранжей основ вариационного исчисления кажется недостаточно понятным, однако несомненно, что в принципе наименьшего действия он считает t переменным. [c.903]

Формулировка Мопертюи принципа наименьшего действия была еще весьма несовершенна. Первая научная формулировка принципа была дана Эйлером в том же 1744 г. в сочинении Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума либо минимума, или решение изопериметрической задачи . Он сформулировал свой принцип следующим образом интеграл J mvds имеет наименьшее значение для действительной траектории, рассматривая последнюю в группе возможных траекторий, имеющих общие начальное и конечное положения и осуществляющихся с одним и тем же значением энергии. Эйлер дает своему принципу точное математическое выражение и строгое обоснование для одной материальной точки, подчиненной действию центральных сил. На протяжении 1746—1749 гг. Эйлер написал несколько работ о фигурах равновесия гибкой нити, где принцип наимень шего действия получил применение к задачам, в которых действуют упругие силы. Дальнейшее продвижение здесь было достигнуто трудами Ж. Лагранжа. [c.185]

В мемуаре О дифференциальных уравнениях, относящихся к задаче изопериметров , а затем в письме к Лиосковскому профессору Н. Д. Брашману, напечатанном ь 1866 г., Остроградский высказал сомнение в справедливости принципа наименьшего действия Лагранжа. Основные возражения Остроградского сводятся к следующему. Для Эйлера и Лагранжа принцип наименьшего действия и простейшая задача вариационного исчисления представляли собой одну и ту же математическую проблему. Остроградский же замечает, что в принципе наименьшего действия переменные связаны законом живых сил и не являются поэтому независимыми, в отличие от переменных обыкновенной вариационной задачи. Отсюда следует также, что вариации переменных подчинены некоторому условию и не могут быть совершенно произвольными. Поэтому Остроградский считает формулировку принципа у Лагранжа и его выводы ошибочными и дает собственную формулировку в случае консервативной системы действительная траектория движения между двумя точками обладает тем свойством, что преобразование уравнений движения приводит к условию [c.218]

Но математическая реализация и обобщение идеи взаимосвязи симметрия — сохранение могли произойти лишь в результате того развития ньютоновой механики, которое было связано, прежде всего, с именами И. и Д. Бернулли (принцип виртуальных работ, закон сохранения момента импульса и т. д.), Эйлера (вариахщонное исчисление, принцип наименьшего действия и т. д.), Даламбера (принцип Даламбера), Лагранжа (вариационное исчисление, обш ая формула динамики и т. д.) и некоторых других исследователей. [c.226]

Это и есть принцип наименьшего действия Мопертюи Эйлера— Лагранжа — Якоби) ). Важно отметить, что отрезок о х Ь, параметризующий кривую у, не фиксирован и может быть разным у сравниваемых кривых. Зато одинаковой должна быть энергия (функция Гамильтона). Заметим также, что принцип определяет форму траекторк[и, но не время для определения времени нужно воспользоваться постоянной энергии. [c.216]

Первая публикация Мопертюи о принципе наименьшего действия относится к 1744 г. Пменно в этот год он принимает предложение Фридриха Великого занять пост президента Берлинской академии наук и переезжает в Берлин. Это было официальное признание высоких научных заслуг Мопертюи — автора нескольких известных книг и большого количества статей по математике, механике , физике, астрономии, биологии и прикладным проблемам. Публикации по принципу наименьшего действия — это не только новый этап в творчестве Мопертюи, поиск фундаментальных принципов мироздания, но и важнейшее событие в истории классической механики. Начавшаяся после публикации принципа дискуссия, активными участниками которой стали Кениг, Эйлер, Даламбер, Дарси, Куртиврон, Вольтер, Лагранж, Л. Карно и другие видные ученые XVIII-XIX вв., привела к уточнению многих ранее введенных понятий, философскому осмыслению роли механики и ее принципов в системе наук, формированию нового математического аппарата механики, получившей после Лагранжа название аналитической. [c.232]

Все это нужно нам потому, что теперь мы можем доказать принцип наименьшего действия и переформулировать уравнения Пьютона в виде уравнений Эйлера - Лагранжа. Действительно, уравнения движения Пьютона для потенциальных сил имеют вид [c.27]

Лринцип наименьшего действия был сформулирован Эйлером применительно к одной материальной точке. Распространение принципа на системы материальных точек и тел со связями принадлежит Лагранжу, который в своих ранних работах, посвященных принципу наименьшего действия, применил развитый им [c.251]

В 18 в. интенсивно развиваются аналитич. методы решения задач М., основывающиеся на использовании дифф. и интегр. исчислений. Для матер, точки эти методы разработал Л. Эйлер, заложивший также основы динамики ТВ. тела. Аналитич. методы решения задач динамики системы основываются на принципе возможных перемещений, развитию и обобщению к-рого были посвящены исследования швейц. учёного И. Бернулли, франц. учёных Л. Карно, Ж. Фурье и Ж. Лагранжа, и на принципе, высказанном франц. учёным Д Аламбером и носящем его имя. Разработку этих методов завершил Лагранж, получивший ур-ния движения системы в обобщённых координатах (назв. его именем) им же разработаны основы совр. теории колебаний. Др. путь решения задач М. исходит из принципа наименьшего действия в форме, высказанной для точки франц. учёным П. Мопертюи и обобщённой на случай системы точек Ла-гранжем. В М. сплошной среды Эйлером, швейц. учёным Д. Бернулли, а также Лагранжем и Д Аламбером были разработаны теор. основы гидро-, динамики идеальной жидкости. [c.415]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...