Действие по Гамильтону Лагранжу

Какие выражения называются действием по Гамильтону и действием по Лагранжу и какова зависимость между ними [c.413]

На прямом пути удовлетворяются уравнения Лагранжа системы поэтому все выражения, стоящие в скобках под знаком интеграла в формуле (61), тождественно равны нулю. Отсюда сразу следует, что на прямом пути вариация действия по Гамильтону равна нулю, т. е. что прямой путь является экстремалью рассматриваемой вариационной задачи — на прямом пути действие по Гамильтону достигает стационарного значения. [c.279]

Обратим внимание теперь на то, что справедливо и обратное утверждение если соответствующая а = 0 кривая из пучка, представленного на рис. VI 1.2, такова, что действие по Гамильтону достигает на этой кривой стационарного значения и при а = 0 вариация действия равна нулю, то эта кривая удовлетворяет уравнению Лагранжа, т. е. является прямым путем. Действительно, если положить равной нулю вариацию действия в левой части уравнения (61) и вспомнить затем, что вариации координат б<7у независимы и могут быть выбраны произвольно, то отсюда следует, что выражения, стоящие в скобках под знаком интеграла, порознь равны нулю, т. е. что уравнения Лагранжа удовлетворяются всегда, когда в формуле (61) левая часть обращается в нуль. [c.280]

Для построенного таким образом семейства можно рассмотреть действие по Гамильтону и вариацию действия. Для вариации действия по Гамильтону воспользуемся формулой (60). Особенность рассматриваемой задачи состоит в том, что все кривые однопараметрического семейства являются прямыми путями и, следовательно, на них тождественно выполняются уравнения Лагранжа. Поэтому интеграл, стоящий в правой части формулы (60), в данном случае тождественно обращается в нуль, и формулы для приращения функционала содержат только проинтегрированную часть [c.295]

Введенный так функционал W является аналогом действия по Гамильтону 1. Он получается из действия по Гамильтону, если функцию Лагранжа заменить на функцию Якоби, t на q и ограничить выбор пучка сравниваемых кривых изоэнергетическим [c.330]

Действием по Гамильтону называют динамическую величину 3, выражающуюся через функцию Лагранжа следующим образом [c.375]

Принцип Гамильтона состоит в следующем функции и (), , удовлетворяющие уравнениям Лагранжа, т. е. выражающие истинное движение системы под действием данных сил, удовлетворяют в то же время необходимым условиям того, чтобы действие по Гамильтону могло принять экстремальное значение (максимум или минимум) сравнительно со значениями во всех других возможных близких [c.375]

Принцип Гамильтона состоит в следующем функции и У1, удовлетворяющие уравнениям Лагранжа (выражающие истинное движение системы под действием данных сил), удовлетворяют в то же время необходимым условиям экстремальности действия по Гамильтону, т. е. действие по Гамильтону имеет максимум или минимум сравнительно со значениями во всех других возможных близких движениях системы, переводящих ее из начального положения (при <= о) в конечное (t = tl). [c.405]

Выражая в интеграле (19) функцию Р с помощью равенства (10), находим связь между действием по Лагранжу W и действием по Гамильтону W [c.131]

Функция S, выраженная таким образом, носит название характеристической функции. Выше было указано, что главная функция является особой формой действия по Гамильтону. Подобно этому характеристическая функция представляет собой особую форму действия по Лагранжу. Действительно, по определению (42.33), если принять во внимание уравнение (42.32), мы имеем [c.455]

Sh = L ) dt — действие (функционал действия) по Гамильтону, L = Т - - и — функция Лагранжа, Т — кинетическая энергия, U — потенциал поля внешних сил, —U = H — потенциальная энергия. [c.15]

Здесь б я — полное (обобщенное) действие по Гамильтону, — обобщенная функция Лагранжа, причем в соотношении (6.18) выполнено равенство [c.184]

Для общего понимания ситуации важно указать, что релятивистский эффект приводит к тому, что в уравнениях Лагранжа, в их правой части появляется дополнительная сила, не являющаяся потенциальной, а уравнения Гамильтона записываются в таком же виде, как и для неконсервативной системы. Отсюда, в частности, вытекает, что действие по Гамильтону в релятивистском случае не носит привычного для классической механики экстремального характера. [c.255]

Для системы материальных точек, положение которой задаётся обобщёнными координатами дг (пространство конфигураций), в переменных Лагранжа дг, 1, дг ( г обобщённые скорости) действие по Гамильтону имеет вид [c.27]

Физический смысл различия между плотностью действия в исходных выражениях (8), (9) и функцией Лагранжа как плотностью действия по Гамильтону состоит в следующем разные знаки соответствуют противоположным тенденциям влияния движения на изменение действия отброшенные слагаемые, степень малости которых выше, чем /( , отражают эффекты, игнорируемые в классической механике наличие постоянного слагаемого представляет интерес в проблеме квантования и применения принципов в задачах на равновесие. [c.59]

Операции асинхронного варьирования функции и функционала обозначим так же, как и вариации варьирования обобщённых координат, через А. Напомним, что операция 5 выполняется изохронно. Применительно к функции Лагранжа Ь и функционалу б (действие по Гамильтону) имеем следующие выражения вариаций [c.67]

При энергетическом подходе для описания движения составляется функционал, например действие по Гамильтону с функцией Лагранжа Ь — Т — И, где кинетическая и потенциальная энергия имеют вид [c.86]

Из условий стационарности действия по Гамильтону следует, что движение описывается уравнениями Лагранжа второго рода, с помощью которых получаем уравнения движения материальной точки [c.86]

При совместном использовании синхронных и асинхронных вариаций получен расширенный аналог (обобщение) центрального уравнения Лагранжа. На основе этого уравнения составлено интегральное равенство (называемое здесь центральным интегральным равенством), связывающее действие по Лагранжу и действие по Гамильтону. Полученное интегральное равенство позволяет находить синхронные и асинхронные вариации действия при различных вариантах задания условий варьирования концевых точек траектории. Из центрального интегрального равенства как частные случаи следуют классические принципы стационарного действия и другие интегральные выражения изменения действия при варьировании. [c.106]

Об изменении действия по Гамильтону и действия по Лагранжу при синхронном и асинхронном варьировании. Левая часть интегрального равенства (8) представляет собой выражение, которое равно нулю при предположениях принципа Гамильтона-Остроградского. Действительно, если кривые сравнения получаются изохронным виртуальным варьированием (А = 0) и при условиях на концах [c.108]

Pi, потребуем также, чтобы на участках непрерывного движения расширенной системы выполнялось условие стационарности действия по Гамильтону исходной системы с функцией Лагранжа L [c.140]

Действие. Действие по Гамильтону 5 строится на основе функции Лагранжа Ь — Т — И (где Т — кинетическая энергия системы, П — её потенциальная энергия) [c.147]

Оценка точности определения частоты колебаний по форме изгиба. Составим для рассматриваемой системы с функцией Лагранжа Ь — Т — И действие по Гамильтону [c.168]

Экстремаль действия по Гамильтону будет экстремалью функционала, в котором вместо функции Лагранжа стоит произвольная дифференцируемая и монотонная функция от функции Лагранжа. В частности, на действительных траекториях минимальным будет интеграл [c.119]

Давление на плоскую стенку 369 Действие по Гамильтону 123 Действие по Лагранжу 123 Декарт 14, 123 [c.393]

Таким образом, каждой задаче рассматриваемого класса соответствует некоторая функция Лагранжа L(q, д, а траекториями движения являются кривые в на которых интеграл действия по Гамильтону (функционал) принимает стационарное значение по сравнению с близкими кривыми. В вариационном исчислении такие кривые называются экстремалями функционала. Это не произвольные кривые в они описываются уравнениями (6). [c.224]

Известно, что для системы с функцией Лагранжа ( 5 я) время можно включить в число обобщенных координат, если в выражении действия по Гамильтону Ж сделать переход к новому времени т так, как это описано в задаче 21.29. Исходя из [c.292]

Результат варьирования д(1,а) прямого нути отобразится в пространство новых переменных Действие по Гамильтону Ш а) есть вычисление одного и того же интеграла в разных переменных, поэтому в новых переменных функция (а) останется прежней. По-прежнему а = О есть стационарная точка W(a), поэтому в силу принципа Гамильтона образ д ) прямого пути q t) есть решение уравнений Лагранжа, а функция Лагранжа Ь совпадает с функцией, стояш,ей под интегралом в новых переменных. Подсчет этой функции приводит к результату [c.94]

Для нелинейных уравнений Лагранжа нет прямой связи между фокусами по определению 23.1 и единственностью решения краевой задачи (см. пример 23.2), но, как указывалось в начале параграфа, и в линейном и в нелинейном случаях наличие или отсутствие фокусов определяет тип стационарной точки действия по Гамильтону. Приведем без доказательств две теоремы , утверждения которых будут проиллюстрированы (с элементами доказательств в общем случае) на двух примерах. [c.104]

Пример 23.1. Для линейного осциллятора действие по Гамильтону, уравнение Лагранжа и решение нрн начальных условиях 1о = О, жо, о имеют вид [c.105]

Рассмотрим влияние фокусов на тип экстремума действия по Гамильтону. Уравнение (23.26) есть уравнение Лагранжа для действия по Гамильтону [c.112]

Эта формула устанавливает зависимость между действием по Лагранжу W и действием по Гамильтону S Сопоставим теперь принцип Мопертюи— Лагранжа с принципом Гаммльтона — Остроградского. В принципе Мопертюи — Лагранжа сравниваются движения консервативной системы, oeepuiaejWM с одной и той же энергией, тогда как в принципе Гамильтона —Остроградского сравниваются движения, совершаемые за один и тот же промежуток времени. [c.411]

Записанный так функционал, определенный на пучке (40), носит название действия по Гамильтону и играет важную роль при исследовании движения а потенциэотьных полях. Из сказанного следует, что движение, удовлетворяют, е уравнениям Лагранжа, представляет экстремаль функционала (48). В следующем параграфе мы докажем приведенную выше теорему Эйлера для однопараметрического пучка специального типа, пока же выведем формулу для вариации действия эта формула потребуется нам в дальнейшем. [c.275]

Теорема Э. Нёгер. Если действие по Гамильтону S (2) является инвариантом группы Ли (3) с операторами (5), то система уравнений Лагранжа (1) допускает R интегралов движения [c.73]

Составляются интегральные равенства, представляющие собой выражения изменения действия при варьировании. В качестве действия рассматриваются классические действия по Гамильтону, по Лагранжу и вириальная форма действия для систем Четаева-Румянцева. Обобщения интегральных равенств получены при рассмотрении истинной траектории и варьированных кривых при совместном применении синхронного и асинхронного варьирования. Даётся обоснование расширенного принципа Гамильтона-Остроградского в теории реономных систем. На основе способа варьирования по Гельмгольцу сформулированы новые обобщения принципа Гёльдера. [c.106]

Проблема точного интегрирования уравнений динамики — одна из самых популярных тем исследования, начиная со знаменитых Математических начал натуральной философии Ньютона. Руководящей идеей в этом круге вопросов является общая идея симметрии. При решении задачи о центральном движении Ньютон уже использовал соображения симметрии факторизуя орбиты группы вращений, он свел эту задачу к изучению движения по прямой в потенциальном поле. Впоследствии Лагранж и Якоби заметили, что классические интегралы задачи многих гравитирующих тел связаны с инвариантностью уравнений движения относительно группы преобразований Галилея. Это фундаментальное наблюдение обобщено Эмми Нётер каждой группе преобразований, сохраняющих действие по Гамильтону, отвечает интеграл уравнений движения. Верно и обратное фазовый поток уравнений Гамильтона, в которых гамильтонианом служит известный интеграл, переводит решения исходных уравнений движения в решения тех же уравнений. На этой идее основано доказательство известной теоремы Лиувилля о полной интегрируемости уравнений Гамильтона фазовые потоки инволютивных интегралов попарно коммутируют и порождают абелеву группу симметрий максимально возможной размерности на многообразиях их совместных уровней. [c.6]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...