Действие по Лагранжу

Из этого следует, что для действительного движения действие по Лагранжу имеет стационарное значение, что и требовалось уста- [c.410]

Найдем сначала выражение функции действия по Лагранжу [c.411]

Какие выражения называются действием по Гамильтону и действием по Лагранжу и какова зависимость между ними [c.413]

В частном случае, когда рассматривается натуральная (т. е. консервативная) система, действию по Лагранжу можно придать определенный механический смысл. Вспомним с этой целью выражения для Р и АГ и представим функцию Якоби в виде [c.331]

Подставляя это выражение в формулу (148) для действия по Лагранжу, получаем [c.331]

Формулы (8.39) н (8.40) представляют собой выражения для действия по Лагранжу. Пределы интегрирования соответствуют начальному н конечному положению системы. [c.232]

Выражая в интеграле (19) функцию Р с помощью равенства (10), находим связь между действием по Лагранжу W и действием по Гамильтону W [c.131]

Полученное выражение для W показывает, что действие по Лагранжу равно работе векторов количеств движения точек системы на соответствующем перемещении системы. [c.132]

В случае, когда для прямого пути действие по Лагранжу имеет минимум, длина дуги геодезической меньше длины любой другой кривой, соединяющей те же точки, что и дуга геодезической. [c.135]

Принцип Мопертюи-Лагранжа. При заданной константе энергии h уравнения движения консервативной или обобщенно консервативной системы могут быть записаны в форме уравнений Якоби (см. уравнения (36) п. 152). Эти уравнения имеют форму уравнений Лагранжа второго рода, где в качестве функции Лагранжа L выступает функция Якоби Р, а роль независимой переменной играет обобщенная координата qi. По аналогии с действием S по Гамильтону введем действие по Лагранжу [c.483]

Равенство (4) выражает принцип Мопертюи-Лагранжа, заключающийся в том, что среди всех кинематически возможных путей, удовлетворяющих условиям, описанным в предыдущем пункте, прямой путь выделяется тем, что для него действие по Лагранжу имеет стационарное значение. [c.484]

Вопрос об экстремальных свойствах действия по Лагранжу решается точно так же, как и для принципа Гамильтона-Остроградского при помощи рассмотрения сопряженных кинетических фокусов. [c.484]

Пусть система консервативна. Тогда функция Якоби Р вычисляется по формуле (38) п. 152 и действие по Лагранжу может быть преобразовано к виду [c.484]

Выражение (5) для действия по Лагранжу можно записать иначе [c.484]

T. e. для консервативной системы действие по Лагранжу равно сумме работ количеств движения точек системы на соответствующих их перемещениях. [c.484]

Действие по Лагранжу для движения по параболе [c.486]

При достаточно малых значениях а величина (8) меньше величины (9), т. е. действие по Лагранжу на прямом пути меньше, чем на окольном. [c.486]

Для этого движения действие по Лагранжу [c.487]

Функция S, выраженная таким образом, носит название характеристической функции. Выше было указано, что главная функция является особой формой действия по Гамильтону. Подобно этому характеристическая функция представляет собой особую форму действия по Лагранжу. Действительно, по определению (42.33), если принять во внимание уравнение (42.32), мы имеем [c.455]

Функционалы действие . 1. Действие в форме Якоби. Действием в форме Якоби называют функционалы, составленные на основе действия по Лагранжу (3.10) при необходимости увеличить или желании уменьшить число обобщённых координат. [c.57]

При совместном использовании синхронных и асинхронных вариаций получен расширенный аналог (обобщение) центрального уравнения Лагранжа. На основе этого уравнения составлено интегральное равенство (называемое здесь центральным интегральным равенством), связывающее действие по Лагранжу и действие по Гамильтону. Полученное интегральное равенство позволяет находить синхронные и асинхронные вариации действия при различных вариантах задания условий варьирования концевых точек траектории. Из центрального интегрального равенства как частные случаи следуют классические принципы стационарного действия и другие интегральные выражения изменения действия при варьировании. [c.106]

Заметим, что произведение 2ТА имеет смысл элементарного действия по Лагранжу на промежутке времени А (Ai(t) — бесконечно малая функция времени). При использовании обобщённых координат [c.107]

Об изменении действия по Гамильтону и действия по Лагранжу при синхронном и асинхронном варьировании. Левая часть интегрального равенства (8) представляет собой выражение, которое равно нулю при предположениях принципа Гамильтона-Остроградского. Действительно, если кривые сравнения получаются изохронным виртуальным варьированием (А = 0) и при условиях на концах [c.108]

Из (21) нетрудно получить также выражение асинхронной вариации действия по Лагранжу для неконсервативных систем [c.110]

Изохронная вариация действия по Лагранжу непосредственно следует из центрального интегрального равенства (8) (или из (24)) при условиях на концах (12) получаем [c.110]

Аналогию с оптическим принципом Ферма, известную для непрерывного движения [25], обнаруживаем, используя соотношение между действием (27) и действием по Лагранжу для обобщённо-консервативных систем [c.141]

В классическом приближении из (24) следует выражение, отличающееся на аддитивную константу от живой силы (2Г), фигурирующей в действии по Лагранжу (см. формулу (3.10)). [c.262]

Перейдем к доказательству начала наименьшего действия по Лагранжу. [c.545]

Для установления принципа стационарного действия использованы ураинення Лагран>[ а второго рода. Если же исходить из принципа стационарного деУ ствня, то па его ось-ове можно установить все основные теоремы механики консервативных систем и получить дифференциальные уравиеаия движения в форме уравнений Лаг-зан>1 а второго рода. Установим зависимость между действием по аммльтону S и действием по Лагранжу W. [c.410]

Эта формула устанавливает зависимость между действием по Лагранжу W и действием по Гамильтону S Сопоставим теперь принцип Мопертюи— Лагранжа с принципом Гаммльтона — Остроградского. В принципе Мопертюи — Лагранжа сравниваются движения консервативной системы, oeepuiaejWM с одной и той же энергией, тогда как в принципе Гамильтона —Остроградского сравниваются движения, совершаемые за один и тот же промежуток времени. [c.411]

Отметим, что условие (8.34) является условием стационарности величины А. Вопрос о том, будет ли при этом А иметь минимальное значение, требует дальнейшего исследования. Можно доказать, что для достаточно близких Л и 2 действие по Лагранжу А будет минимумом. В этом случае этот принцип можно назвать принципом наименьигего действия. [c.230]

Полученный интеграл 5 носит название действия по Лагранжу. Сравним действие по Лагранжу по прямому пути, ведущему из Лд в Л,, с действием по какому-либо окольному пути между теми же положениями, предположив, что окольное движение происходит при той же начальной энергии /г, как и прямое движение тогда окажется, что действие по прямому пути по отношению к действиям по окольным путям будет иметь стационарное значение. Иначе говоря, первая вариация интеграла (35.11) для прямого пути равняется нулю. При вариировании необходимо будет помнить, что [c.365]

Доказанное свойство интеграла и составляет содержание принципа Лагранжа (Lagrange) действие по Лагранжу по прямому пути между данными двумя положениями консервативной системы без неинтегрируе-мых связей имеет стационарное значение по отношению к действиям по окольным путям между теми же положениями, если движения по прямому и окольным путям совершаются с одной и той же начальной энергией. [c.366]

Можно показать, что действие по Лагранжу по взятому прямому пути будет минимумом относительно действий по окольным путям при одинаковых значениях начальной энергии, если конечное положение удалено от начального положения Ад не дапее ближайшего кинетического фокуса, сопряжённого с Ло (см. заключительные указания в 201). В отделе Интегрирование уравнений динамики мы ещё вернёмся к этому вопросу. [c.366]

Самые вычисления при выводе принципа Гельмгольтца можно произвести следующим образом. За независимую переменную интеграции выберем некоторую величину 6, отличную от времени пусть ft принимает значения в,, и 0, для начального и конечного положений системы и А у Примем во внимание, что кинетическая энергия Т является однородной функцией скоростей внутренних масс а=, 2..... г) и скоростей внешних масс q ( r- -, л+2,. .., s). Интеграл (35.11), выражающий действие по Лагранжу и подлежащий вариированию, может быть написан так [c.368]

Мннимум лагранжева действия. Положим, что координатами консерватийной системы с s степенями свободы служат величины q , q ,... силовую функцию обозначим чераз t/, кинетическую энергию — через Т и начальную энергию — через /г. - Выберем два каких-либо положения системы одно начальное А , другое конечное Л,. Тогда действием по Лагранжу ( 202) называегся интеграл [c.480]

Курс теоретической механики Ч.2 (1977) -- [ c.410 ]

Классическая механика (1980) -- [ c.331 ]

Теоретическая механика (1990) -- [ c.312 ]

Теоретическая механика (1999) -- [ c.484 ]

Курс теоретической механики Часть2 Изд3 (1966) -- [ c.123 ]

Аналитическая механика (1961) -- [ c.710 , c.748 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...