Гессиан

Область пространства называют выпуклой, если отрезок прямой, соединяющей две любые точки этой области, расположен целиком в ней. Так, область допустимых решений на рис. 8 образует выпуклый четырехугольник. Функция является выпуклой, если выпукло множество точек, расположенных над ее графиком. Например, U(в) на рис. 4 — выпуклая функция. В многомерных пространствах эти наглядные представления не удается применить, и понятие выпуклости без дополнительных критериев, позволяющих выразить те же особенности функции в аналитическом виде, становится не более как образным выражением. Необходимым и достаточным условием выпуклости непрерывной функции с непрерывными вторыми производными является неотрицательность определителя матрицы, составленной из этих производных (матрицы Гессе). Если же гессиан определен положительно, т. е. условие э-0 для соответствующей квадратичной формы может быть заменено условием >0, то функция называется строго выпуклой. [c.185]

Метод Ньютона использует для определения направления движения в допустимой области информацию как о градиенте, так и гессиане 152 [c.152]

Мы будем лишь предполагать, что гессиан функции L относительно обобщенных скоростей не равен тождественно нулю ) [c.82]

Поскольку якобиан правых частей равенств (1) по переменным (ii является отличным от нуля гессианом функции L [см. условие (19) на стр. 82], то уравнения (1) могут быть разрешены относительно qi (Z = l,. .., я) [c.83]

Доказательство. Гессиан функции X совпадает с якобианом правых частей в уравнениях (11). Поэтому условие (10) показывает, что из уравнений (11) можно выразить [c.86]

Допустим, что гессиан функции L относительно обобщенных скоростей ( малый гессиан ) отличен от нуля ) [c.91]

Предположим, что так называемый гессиан , т. е. детерминант, образованный из вторых частных производных F, отличен от нуля. Этим гарантируется независимость п переменных Vi, и из уравнений (6.1.2) можно выразить ы,-, представив их как функции и,. [c.191]

Геометрия риманова 42 Герц 393 Гессиан 191 [c.401]

Отсюда легко вывести, что как при ДфО любую лагранжеву систему можно преобразовать в каноническую систему, так и, обратно, любую каноническую систему, характеристическая функция Н которой имеет отличный от нуля гессиан Aj, можно рассматривать как преобразованную из лагранжевой системы. [c.243]

Если гессиан функции 5И не равен нулю, то к системе (2 ) будет применимо гамильтоново преобразование (п. 1), в силу которого п лагранже-вых уравнений, которые вместе с добавочным уравнением 2Ш = I образуют [c.367]

Предположим для определенности, что гессиан функции Я относительно Pi< Pz, < Рц-х не равен тождественно нулю. В силу п канонических уравнений [c.373]

Обратимся исключительно к случаю нормальной лагранжевой системы, для чего, как мы уже знаем, необходимо и достаточно, чтобы, по крайней мере, в рассматриваемой области не был тождественно равен нулю гессиан (гл. V, п. 14) [c.437]

Это выражение при всяком отличном от и достаточно близком к нему, будет только тогда отлично от нуля, когда отличен от нуля для начальных значений гессиан [c.438]

В заключение этого исследования не бесполезно кратко изложить условия, которые мы должны были последовательно вводить для того, чтобы можно было выразить действие А через q, q и и чтобы были справедливы изложенные выше выводы. Этих условий три 1) лагранжева система должна быть нормальной, т. е. гессиан кинетического потенциала 2 не должен быть тождественно равен нулю 2) функция Гамильтона Я(9 ), по предположению, не зависящая от t, должна явно содержать dt, т. е. не должна быть однородной нулевой степени относительно q, для чего необходимо и достаточно, [c.446]

В дальнейшем, если не будет оговорено особо, мы будем рассматривать более общие системы, в которых функция Лагранжа L не обязательно определяется как разность кинетической энергии и потенциала и в этом смысле является произвольной функцией L qi t). Будем лишь требовать, чтобы гессиан этой функции относительно обобщенных скоростей не был равен нулю [c.283]

Гессиан функции L относительно переменных qi (г = 1, 2,, п) отличен от нуля (см. неравенства (45), (46) п. 147). Замечая, что он равен якобиану правых частей равенств (2), на основании теоремы о неявной функции получаем, что эти равенства разрешимы относительно переменных qi [c.284]

Прежде чем получать уравнения Гамильтона, введем некоторые вспомогательные определения. Пусть дана функция X( i, Ж2,. .., ж ), гессиан которой отличен от нуля [c.284]

Уравнения Уиттекера (29) имеют структуру уравнений Гамильтона. Их можно записать в виде уравнений типа Лагранжа. Пусть гессиан функции К по переменным pj отличен от нуля [c.291]

Пусть гессиан функции Лагранжа по переменным отличен от нуля [c.328]

Считая, что гессиан (6) п. 165 отличен от нуля, составим функцию Рауса [c.495]

Гессиан функции L относительно переменных qt (г=1, 2,. .и) отличен от пуля (см. неравенства (45), (46) н. 147). Замечая, что он равен я обиаиу правых частей равенств (2), па оснопанин теоремы о неявной фуикцан получаем, что эти равенства разрешимы относительно переменных qi [c.241]

Считая, что гессиан (6) н. 1G5 отличен от нуля, составим фупК цию Рауса [c.351]

Если / — гладкая функция с некритической точкой Р, равная нулю на Л и имеющая критическую точку Р на В, то второй дифференциал (гессиан) ограничения / на 5 в точке Р— квадратичная форма на ТрВ. Требуется, чтобы ограничение этой формы на TpApiTpB было невырождено. [c.91]

Теорема Донкина ). Пусть дана некоторая функция Х(хи, х ), гессиан которой отличен от нуля [c.86]

ПО теореме Донкина (гессиан функции L относительно q. (г=1,. .., и) не равен нулю ) из формул (1) следует [c.88]

Предположим, в частности, что речь идет о динамической системе, так что имеем = Г -)- ГУ. В этом предположении, как мы уже знаем (п. 41), гессиан Д функции сводится к дискрими-ланту ] j квадратичной части rживой силы Т или полной живой силы Т, смотря по тому, зависят или не зависят связи от )фсмени. Так как в обоих случаях речь идет об определенной положительной форме, то дискриминант во всяком случае будет отличным от нз ля и положительным, как и все его главные миноры вместе с другими аналогичными главными минорами най ется. минор т-то порядка, образованный пересечением т первых строк и т первых столбцов, также отличный от нуля. Уравнения (55) будут, таким образом, разрешимы относительно т производных iji от т циклических координат 2, т.), и потому их [c.303]

Геоидные оси 311 Гессиан функции Лагранжа 297 Гиперповерхность изоэнергетическая 353 [c.426]

Прямая проверка предыдущих результатов. Результаты, относящиеся к характеристической функции Н, не зависящей от t, были выведены в предыдущем пункте как следствия из результатов, полученных в п. 35 при более общем предцоложении, что функция Н зависит явно от t мы пришли к правилу для определения общего решения канонической системы, вводя только полный интеграл W (с гессианом, не равным нулю) уравнения Н = Е, в которое t не входит. Представляет интерес найти снова эти результаты прямым путем, аналогичным тому, который был использован в п. 35 для общего случая, т. е. обращаясь к каноническому преобразованию, которое в этом случае не будет зависеть от f и потому будет вполне каноническим. [c.305]

Так, в частности, oo i элементов, принадлежащих в данный момент, от которого условимся отсчитывать время, к одной и той же связке с центром Ро> по истечении известного промежутка времени t (достаточно короткого для того, чтобы не возникли особые обстоятельства, которые мы, по крайней мере отчасти, будем иметь случай уточнить) будут образовывать многообразие оо -1 соединенных элементов к этому можно добавить, что, вообще говоря, это многообразие будет иметь основание с наибольшим числом измерений, т. е. некоторую гиперповерхность. Легко видеть, что это обстоятельство обязательно будет иметб место, если предположить, что гессиан характери- [c.372]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...