ПРИЛОЖЕНИЕ. Момент вектора относительно точки и относительно оси

Зависимость между моментами силы относительно центра и относительно оси. Пусть на тело действует приложенная в точке А сила F (рис. 105). Проведем какую-нибудь ось г и возьмем на ней произвольную точку О. Момент силы F относительно центра О будет изображаться вектором Мд, перпендикулярным плоскости ОАВ, причем по модулю [c.109]

Рассмотрим вопрос об уравновешивании динамических нагрузок на стойку и фундамент механизма. Как известно, любая система сил, приложенных к твердому телу, приводится к одной силе, приложенной в произвольно выбранной точке, и к одной паре, причем вектор этой результирующей силы равен главному вектору данной системы сил, а момент пары равен главному моменту данной системы сил относительно выбранного центра приведения. Пусть дан механизм АВС (рис. 489), установленный на фундаменте Ф. Пользуясь принципом отвердевания, мы можем силы инерции всех звеньев механизма также привести к силе и паре. Выбираем какую-либо точку О механизма за центр приведения и за начало координат. Такой точкой удобно выбрать точку, лежащую где-либо на оси вращения ведущего звена /, вращающегося с угловой скоростью ш. Из точки О проводим взаимно перпендикулярные оси Ох, Оу и Ог. Проекции на оси координат главного вектора всех сил инерции механизма [c.385]

Моментом силы относительно точки (центра) О называется вектор, численно равный произведению модуля силы на плечо (расстояние от центра до линии действия силы) н направленный перпендикулярно плоскости, проходящей через точку О и линию действия силы в ту сторону, откуда сила видна направленной относительно точки О против хода часовой стрелки. Если точка приложения силы F определяется радиусом-вектором г относительно точки О, то Мо Р) = гХ , т. е. момент силы равен векторному произведению вектора г на вектор Х. Проекция в тора момента силы Мо (Р) на ось называется моментом силы Г относительно оси. Момент равнодействующей силы относительно оси равен алгебраической сумме моментов сил данной системы сил относительно этой оси. [c.50]

Мы уже показали, что линия действия реакции Pgs проходит через точку Р, так что мы, воспользовавшись уравнением (б), можем определить ее величину. При развертывании уравнения (б) надо иметь в виду, что момент силы, приложенной к стороне многоугольника, равен произведению величины силы на длину части стороны от центра момента до точки приложения силы и на синус разности углов наклона к оси х векторов силы и указанной стороны многоугольника. Например, момент силы относительно точки Е (см. рис. 108, а) равен [c.158]

Приложение к солнечной системе. Неизменяемая плоскость Лапласа. Если пренебречь действием звезд, то система, образованная Солнцем, планетами и их спутниками, не подвергается действию никаких внешних сил. Следовательно, если взять оси с постоянными направлениями, проведенными из центра тяжести О системы, который расположен весьма близко к Солнцу, то главный момент Оа относительно точки О количеств движений, вычисленных по отношению к этим осям, является постоянным по величине и направлению. Можно вычислить для какого-нибудь момента времени проекции А, В, С этого вектора на оси, подсчитав суммы моментов количеств движения относительно этих осей всех тел системы. [c.59]

Моменты сил. Момент силы относительно точки есть величина, равная векторному произведению радиус-вектора, проведенного из данной точки в точку приложения силы, и этой силы. Момент саш относительна оси есть величина, равная [c.33]

Легко видеть, что М/ не зависит от выбора точки О на оси I. О методе определения М/ и о некоторых иных фактах, относящихся к понятиям момент вектора , главный момент совокупности векторов и главный момент относительно оси , см. приложение. В приложении речь идет о системе скользящих векторов. Множество сил, приложенных к разным точкам СИСтемы материальных точек, не образует системы скользящих векторов, однако приведенные в приложении результаты, касающиеся указанных выше понятий, относятся к любой совокупности векторов, в том числе и к совокупности, не являющейся системой скользящих векторов. [c.68]

Можно упростить интегрирование дифференциальных уравнений движения, используя теорему об изменении кинетической энергии системы материальных точек в задачах, где главный вектор и главный момент сил, приложенных к твердому телу, постоянны либо зависят от положений точек (угла поворота) твердого тела, а в число данных и неизвестных величин входят масса и момент инерции твердого тела относительно оси, проходящей через его центр инерции перпендикулярно к неподвижной плоскости, силы, приложенные к твердому телу, перемещения точек твердого тела (угловые перемещения), скорости точек твердого тела (угловые скорости) в начале и в конце этих перемещений. [c.542]

Задача 260. Система сил, приложенных к твердому телу, относительно точки А (0 2 —3) приводится к главному вектору R (3 3 3) и главному моменту Mj (—4 —5 6). Доказать, что эта система сил приводится к динамическому винту, и найти точку В (х у, 0) пересечения оси динамического винта с плоскостью хоу, а также, параметр винта. [c.96]

Момент вектора. Для неподвижного (или для скользящего) вектора можно ввести понятие момента относительно центра и относительно оси. Пусть вектор а приложен в точке М. Положение точки М по отношению к осям Охуг может быть определено радиусом-вектором г, проведенным из центра О в точку /И (рис. 23). [c.35]

Совершенно иначе ведет себя быстровращающийся гироскоп под действием такой же силы Р (рис. 304), приложенной в точке А. Точка А согласно приближенной теории, начнет двигаться не в направлении действия силы Р, а, как это следует из теоремы Резаля, в направлении векторного момента этой силы относительно неподвижной точки О, параллельно оси Ох. При этом ось гироскопа вращается вокруг оси Оу. Действительно, гироскоп еще до действия силы имел кинетический момент Ко, направленный по оси гироскопа и равный Уг 1. так как гироскоп вращался только вокруг собственной оси Ог с угловой скоростью 1. По теореме Резаля скорость конца вектора Ко равна и параллельна векторной сумме моментов относительно точки О всех [c.467]

Точка приложения главного вектора, называемая центром давления, в общем случае не совпадающая с центром тяжести, может быть определена на основании законов статики твердого тела. Известно, что момент главного вектора системы сил равен сумме моментов составляющих сил. Если обозначить координаты центра давления Хд, г/д и 2д, то уравнения моментов относительно осей координат будут [c.30]

Допустим, что тело вращения, закрепленное в точке О своей оси Oz, находится под действием таких сил, что сумма их моментов относительно оси вращения Oz равна постоянно нулю. Чтобы легче представить себе совокупность этих сил, их можно привести, как. мы это сейчас покажем, к одной силе F, перпендикулярной к оси Oz и приложенной в определенной точке Н, взятой на этой оси, и к другой силе F, приложенной в точке О. Действительно, известно, что систему сил, приложенных к твердому телу, можно привести к одной силе Ф, приложенной в точке О, и к паре, вектор [c.191]

С другой стороны, если через А о обозначить проекции главного вектора приложенных сил и через Мр — сумму моментов этих сил относительно оси, проведенной через точку G перпендикулярно к плоскости хОу, то получим [c.361]

Пусть О г есть ось вращения Земли и —перпендикуляр к плоскости эклиптики, проведенный в ту сторону, где он образует с осью Ог острый угол. Направление оси Ог неизменно в пространстве. Вследствие симметрии действие Солнца на добавочный слой приводится к одной силе, приложенной к оси Ог , проходящей через полюсы, попеременно то с одной, то с другой стороны от точки О, так как точка приложения находится со стороны той половины добавочного пояса, которая ближе расположена к Солнцу. Отсюда следует, что эта сила, действующая то с одной стороны, то с другой от точки О, все время стремится приблизить экваториальную плоскость к плоскости эклиптики или, что сводится к тому же, приблизить ось Ог к нормали Ог1 к этой плоскости. Момент О этой силы относительно точки О направлен, таким образом, все время в одну и ту же сторону от плоскости 2 1 Ог. Поэтому, в силу принципа стремления осей вращения к параллельности, ось Ог, проходящая через полюсы, перемещается к вектору О и приводит плоскость г Ог во вращение вокруг перпендикуляра Ог к эклиптике, направленное постоянно в одну и ту же сторону. Если пренебречь периодическими возмущениями, которые испытывает земная ось в плоскости г Ог, то эта ось опишет конус вокруг 0 ]. Это весьма медленное прецессионное движение земной оси вокруг перпендикуляра к плоскости эклиптики вызывает явление предварения равноденствий. Продолжительность полного обращения земной оси вокруг нормали к эклиптике составляет около 25 000 лет. Отсюда видно, что явление предварения равноденствий происходит вследствие асимметричного действия Солнца на экваториальное утолщение Зем. И. [c.202]

Все сказанное здесь относительно осей координат применимо также и к любой оси а. Стало быть, в соответствии с уравнением (5.17), момент силы F относительно оси а определяется следующим образом надо образовать момент относительно какой-либо точки О, лежащей на оси а, и спроектировать вектор этого момента на ось а. Можно также, в соответствии с уравнениями (5.17а, б), спроектировать площадь, соответствующую моменту относительно точки О, на плоскость, перпендикулярную оси а. Третий способ состоит в следующем мы определяем кратчайшее расстояние точки приложения силы от оси а, которое называем плечом силы /, и разлагаем силу F на три слагающие параллельно оси а, F/ в направлении / и F в направлении, перпендикулярном к а и /. Тогда [c.57]

Найдём на прямой, служащей основанием этого вектора (т. е. на центральной оси системы), точку, независимую от общего направления векторов иначе говоря, найдём на основании вектора а такую точку С (фиг. 32), которая не изменит своего положения, если, оставив все векторы параллельными между собой, повернуть их на один и тот же угол около их точек приложения искомая точка носит название центра системы параллельных векторов. Согласно формуле (3.2) главный момент относительно точки С, заданной радиусом-вектором выражается через главный момент Lq относительно начала координат следующим образом [c.30]

Кроме распределенных внешних сил (поверхностных и объемных) на брус могут действовать и сосредоточенные силы и моменты. Пусть в пределах сечения i (г = г,) имеется точек приложения сосредоточенных сил и сосредоточенных моментов. Тогда все они могут быть приведены к центру сечения. Главный вектор и главный момент в сечении i, эквивалентные всем действующим в этом сечении внешним сосредоточенным силам и моментам, могут быть представлены при помощи составляющих в системе осей хуг, т. е. при помощи стандартной системы внешних сосредоточенных сил Pix, Ply, Piz, приложенных к центру сечения (к оси стержня в рассматриваемом сечении), и стандартной системы внешних сосредоточенных моментов 30t,-2, действующих относительно осей, проходящих через центр тяжести поперечного сечения (одна из таких осей совпадает с осью г и две другие параллельны осям X у). [c.48]

М. к. д. материальной точки относительно центра О равен векторному произведению радиуса-вектора г точки, проведённого из центра О, на её кол-во движения mv, т. е. ко = [гтв] или в др. обозначениях ко = г X mv. М. к. д. материальной точки относительно оси г, проходящей через центр О, равен проекции вектора ко на эту ось. Для вычисления М. к. д. точки справедливы все ф-лы, приведённые для вычисления момента силы, если в них заменить вектор F (или его проекции) вектором mv (или его проекциями). Изменение М. к. д. точки происходит под действием момента mo(F) приложенной силы. Характер этого изменения определяется ур-нием dk/dt = wio(F), являющимся следствием оси. закона динамики. Когда iBo(f) о, что, напр., имеет место для центр, сил. Mi к. д. точки относительно центра О остаётся величиной постоянной точка движется при этом по плоской кривой и её радиус-вектор в любые равные промежутки времени описывает равные площади. Этот результат важен для небесной механики (см. Кеплера законы), а также для теории движения космич. летат. аппаратов, ИСЗ и др. [c.207]

Две системы сил называются статически эквивалентными, если их главные векторы, приложенные в произвольно выбранной точке О, и главные моменты относительно некоторой оси, проходящей через точку О, одинаковы. Проекции статически эквивалентных систем сил на любую ось (и моменты их относительно любой оси) одинаковы. [c.8]

Теорема об изменении момента количества движения точки (теорема моментов). Из двух основных динамических характеристик, введенных в 109, величина ти является векторной. Иногда при изучении движения точки вместо изменения самого вектора та оказывается необходимым рассматривать изменение его момента. Момент вектора т О относительно данного центра О или оси г обозначается т0 т о) или т то) и называется соответственно моментом количества движения или кинетическим моментом точки относительно этого центра (оси). Вычисляется момент вектора mv так же, как и момент силы. При этом вектор т О считается приложенным к движущейся точке. По модулю т т<о) =туН, где к — длина перпендикуляра, опущенного из центра О на направление вектора mv (см. рис. 265). [c.282]

Аналитические выражения моментов вектора относительно осей координат. Пусть дан вектор Ру с началом в точке Ау и с концом в точке Ву (рис. 1). Обозначим через Ху, Уу, Zy координаты его точки приложения Ау и через Ху, Kj, Zy его проекции на оси Ох, Оу, Oz. Момент Ny вектора относительно оси Oz равен удвоенной площади проекции треугольника ОАуВу на плоскость хОу, причем этой величине площади приписывается знак согласно установленному ранее правилу. Но одна из вершин проекции совпадает с точкой О, а две другие имеют в плоскости хОу координаты [c.24]

Приложение общих теорем. Определение центральной оси. — Если все векторы системы параллельны, то их главный вектор R параллелен общему направлению векторов или равен нулю. С другой стороны, моменты различных векторов относительно точки О перпендикулярны к ьтому общему напраглению, и потому главный момент О системы тоже перпендикулярен к этому направлению. Итак, если R не равен нулю, то (J и Л перпендикулярны между собой система допускает, таким образом, одну результирующую, или просго результирующую, приложенную в какой-нибудь точке центральной оси (п 26). Если бы главный вектор R был равен нулю, то система приводилась бы к одной паре или нулю, но не могла бы быть приведена к одному вектору. [c.33]

При решении этих задач по принципу Даламбера нужно разбить вращающееся твердое тело на элементарные материальные частицы и к каждой такой частице приложигь касательную п нормальную силы инерции этой частицы. Так как, согласно принципу Даламбера, все эти силы инерции уравновешиваются заданными силами, приложенными к телу, и реакциями закрепленных точек, то в общем случае имеем шесть известных из статики уравнений равновесия (три уравнения проекций и три уравнения моментов). В эти уравнения войдут, во-первых, сумма проекций всех сил инерции на каждую из трех выбранных координатных осей, или, что то же, проекции главного вектора сил инерции на каждую из этих осей, и, во-вторых, суммы моментов всех сил инерции относительно каждой координатной оси, или, что то же, главные моменты сил инерции относительно каждой из этих осей. Если ось вращения тела примем за координатную ось Z, то проекции главного вектора сил инер[[,ии [c.378]

Предположим, что гироскоп, закрепленный в точке О своей оси Ог, находится под действием силы Р, постоянной по величине и направлению и приложенной в точке оси на расстоянии а от О. Возьмем в качестве неподвижной системы три взаимно перпендикулярные оси Ол , У12 5, проходящие через неподвижную точку, причем ось Ос, параллельна силе Р, но направлена в обратную сторону. С другой стороны, выберем в качестве триэдра, связанного с гироскопом, три главные оси инерции относительно центра О, направив ось Ог по оси симметрии, а две другие оси Ох и Оу перпендикулярно к оси симметрии. Пусть С есть момент инерции относительно оси Ог и Л — момент инерции относительно Ох момент инерции относительно Оу, очевидно, равен А. Пусть, далее, есть начальная угловая скорость гироскопа вокруг оси Ог. Уравнения движения гироскопа будут те же, что и уравнения в п° 362, которые определяли углы Эйлера О, ф и (р при движении тяжелого твердого тела. Но в том случае вектор Р обозначал вес тела, приложенный к центру тяжести, между тем как теперь Р есть произвольная сила, предполагаемая лишь неизменной по величине и направлению. Очевидно, мы встретимся с [c.158]

ПРАВИЛО (Стокса длина волны фотолюминесценции обычно больше, чем длина волны возбуждающего света фаз Гиббса в гетерогенной системе, находящейся в термодинамическом равновесии, число фаз не может превышать число компонентов больше чем на два ) ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [Галилея — уравнения классической механики, связывающие координаты и время движущейся материальной точки в движущихся друг относительно друга инерциальных системах отсчета с малой скоростью калибровочные — зависящие от координат в пространстве — времени преобразования, переводящие одну суперпозицию волновых функций частиц в другую каноническое в уравнениях Гамильтона состоит в их инвариантности по отношению к выбору обобщенных координат Лоренца описывают переход от одной инерци-альной системы отсчета к другой при любых возможных скоростях их относительного движения] ПРЕЦЕССИЯ — движение оси собственного вращения твердого тела, вращающегося около неподвижной точки, при котором эта ось описывает круговую коническую поверхность ПРИВЕДЕНИЕ системы <к двум силам всякая система действующих на абсолютно твердое тело сил, для которой произведение главного вектора на главный момент не равно нулю, приводится к динаме к дниаме (винту) — совокупность силы и пары, лежащей в плоскости, перпендикулярной к силе скользящих векторов (лемма) всякий скользящий вектор, приложенный в точке А, можно, не изменяя его действия, перенести в любую точку В, прибавив при этом пару с моментом, равным моменту вектора, приложенного в точку А скользящего вектора относительно точки В ) ПРИНЦИП (есть утверждение, оправданное практикой и применяемое без доказательства Бабине при фраунгоферовой дифракции на каком-либо экране интенсивность диафрагмированного света в любом направлении должна быть такой, как и на дополнительном экране ) [c.263]

ТЕОРЕМА [взаимности (перемещений перемещение точки А под действием силы, приложенной в точке В, равно перемещению точки В под действием силы, приложенной в точке А работ работа первой силы на перемещении точки ее приложения под действием второй силы равна работе второй силы на перемещение точки ее приложения под действием первой силы ) Гульдена — Панна ( площадь поверхности, полученной вращением дуги плоской кривой (или ломаной линии) вокруг оси, лежащей в ее плоскости, но ее не пересекающей, равна длине этой дуги, умноженной на длину окружности, описанной центром тяжести объем тела вращения, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси, лежащей в плоскости этой фигуры и ее не пересекающей, равен произведению площади этой фигуры на длину окружности, описанной центром тяжести площади фигуры ) Гюйгенса точка подвеса физического маятника и центр качания суть точки взаимные Гюйгенса — Штейнера момент инерции тела относительно некоторой оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно данной, и произведения массы тела на квадрат расстояния между ними о движении центра масс ( центр масс системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы и к которой приложены все внещние силы, действующие на систему тела с переменной массой центр масс тела с переменной масой движется как точка затвердевшей массы, в которой сосредоточена масса тела в данный момент и к которой приложены главный вектор активных внешних сил и главный вектор реактивных сил ) Жуковского если силу, приложенную к какой-либо точке звена плоского механизма, перенести параллельно самой себе в одноименную точку повернутого плана скоростей, то момент этой силы относительно полюса плана скоростей будет пропорционален ее мощности ] [c.282]

Итак, единственной причиной существования главного момента сил инерции относительно центра масс О являются силы инерции Кориолиса. Эти силы, приложенные к симметричным точкам 3 и 4 (рис. б), образуют пару сил. (На рис. б, чтобы сделать его ясным, к точкам 7 и 2 приложены только переносные и относительные силы инерции, к точкам 3 и 4 — только кориолисовы силы инерции.) Вектор момента этой пары сил направлен по осих. [c.537]

Пусть материальная точка массы т под действием приложенной к ней силы Р движется относительно некоторой неподвижной (инерциальной) системы координатных осей по какой-либо траектории Л Л (рис. 218). Пусть эта точка занимала на траектории в началеданного промежутка времени (в момент =0) положение Л1о и имела скорость г о, в конце же данного промежутка (в момент времени занимает положение и имеет скорость чзх-Зависимость между вектором ускорения а точки и вектором приложенной к нему силы выражается, как мы знаем, основным уравнением динамики (И8) [c.297]

В теле, вращающемся вокруг неподвижной оси, точки Р и Q совпадают, следовательно, совпадают Л и В, т. е. в центре качанм приложены как равнодействующая Л, так и количество движения К (рис. 2). Рассмотрим качение без скольжения колеса по плоскости (рис. 3). Вектор количества движения колеса приложен в точке Л. Так как кинетический момент колеса относительно любой точки О на линии действия этого вектора [c.45]

Пусть в некоторой точке /4 механизма (рис. 2.11) действует сила Р, под углом а,- к направлению скорости V,- перемещения этой точки относительно стойки. Повернем вектор скорости Уе на 90 и перенесем силу Р параллельно себе самой в точку, соответствующую концу вектора. Тогда J poизвeдeниe гИгСоз а можно рассматривать как момент силы Р относительно точки А , расположенной относительно нее на расстоянии Л,- — о/соз Аналогично, если повернуть на 90" весь план скоростей механизма с изображенными на нем скоростями точек приложения внешних сил и перенести на него с кинематической схемы все внешние силы, то сумма их моментов относительно полюса плана скоростей будет равна нулю. Этот результат известен как теорема Н. Е. Жуковского, а повернутый на 90° полный план скоростей механизма, условно рассматриваемый как жесткий рычаг с осью вращения в полюсе рр, называется вспомогательным рычагом Н. Е. Жуковского. [c.42]

Точку приложения первой силы переносим в направлении ее действия в точку е на окружности входа жидкости в колесо, а второй — в точку d на окружности выхода. От такого переноса моменты их не изменятся. Для первой силы плечо относительно оси О будет / i osai для второй — i 2 os а2. Углы ai и аг образованы векторами соответствующих скоростей и касательными к окружностям в точках входа и выхода жидкости. Очевидно, на колесо будет действовать алгебраическая сумма моментов от обеих сил, т. е. [c.333]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...