Полюсы соответствующие связанным состояниям

Полюсы, соответствующие связанным состояниям. Рассмотрим соответствующие связанным состояниям полюсы S или нули функции f, расположенные в верхней полуплоскости к. Введем новый потенциал [c.332]

Вычеты функции 5 (fe) в полюсах, соответствующих связанным состояниям, так же как и в (12.84), можно выразить через Однако из соотношения (12.145) следует, что функция при fe = i/ не всегда является чисто мнимой. Действительно, вместо (12.85) мы получаем [c.350]

К 1, п. 3. Формула (12.85) для вычета элемента S-матрицы в полюсе, соответствующем связанному состоянию, получена Крамерсом [502], как это было отмечено в работе Иоста [448], н независимо от него Меллером [610] и Гейзенбергом [374]. Более подробный вывод соотношения (12.84) имеется в работе Меллера [610] см. также работы Тер-Хаара [829] и Иоста [447] [c.369]

Отрицательные энергии. Допустим сначала, что k — положительное мнимое число и что I — корень уравнения (13.21). Функция фг должна экспоненциально обращаться в нуль на бесконечности. Следовательно, правая часть соотношения (13.22) равна нулю. Так как интеграл, входящий в левую часть соотношения, не равен нулю, то Im =- 0. Поэтому Im Я, = О, если Re Я, > 0. Для отрицательных энергий полюсы Редже (расположенные в полуплоскости Re / > — Ч2) должны лежать на действительной оси I. Кроме того, эти полюсы должны быть простыми. Последнее утверждение можно доказать в точности так же, как с помощью (12.52) доказывается то, что полюсы, соответствующие связанным состояниям, должны быть простыми как функции от к. Далее, из (12.189) видно, что полюсы Редже при возрастании энергии должны двигаться вправо. [c.381]

Как мы уже видели, нефизические листы римановой поверхности, на которые можно перейти посредством аналитического продолжения за различные разрезы, имеют важное значение для описания резонансов. Конечно, на нефизических листах возможны все виды сингулярностей, если только относительно сил взаимодействия не делается особых предположений, которые не определяются физическими соображениями. Тем не менее для простоты мы пренебрегаем такими усложнениями. К тому же следует сказать, что пока мы ограничиваемся рассмотрением упрош,енной задачи с конечным числом каналов, поведение S-матрицы на других листах римановой поверхности вследствие свойства унитарности не может быть намного хуже ее поведения на физическом листе. Это непосредственно видно из соотношения (17.42). Если потребовать, чтобы диагональные матрицы были регулярными всюду на физическом листе (за исключением полюсов, соответствующих связанным состояниям), то определитель А не должен иметь сингулярностей на других листах. В результате из соотношения (17.42) следует, что диагональные элементы S-матрицы на других листах должны быть мероморфными функциями. Единственными сингулярностями их могут быть полюсы, соответствующие нулям определителя А. Из (17.51а) вытекает, что недиагональные элементы могут иметь, кроме того, точки ветвления. [c.482]

Положим 1 1<4т2. В этом случае функция /( , ) регулярна на всей плоскости Е, кроме точек спектра, заполняющих положительную действительную полуось, и конечного числа простых полюсов на отрицательной оси, соответствующих связанным состояниям. Применим теорему Коши к интегралу [c.166]

Теперь с помош,ью метода Фредгольма построим функцию Грина согласно (10.89а). Метод Фредгольма одинаково хорошо применим для определения как функции , так и функции . Поэтому можно сделать вывод, что если условие (10.93) выполнено, то является аналитической (операторной) функцией переменного к, регулярной в верхней полуплоскости 1т > О (за исключением точек, соответствующих связанным состояниям, в которых она имеет простые полюсы) и непрерывной в области 1т 0. (Относительно дополнительных полюсов, обусловленных связанными состояниями потенциала —V, см. замечание в конце гл. 9, 3.) [c.272]

Таким образом, если вначале полюс функции 5,, соответствующий связанному состоянию, расположен на первом листе, то при возрастании I он движется вправо. В конце концов этот полюс должен пересечь порог Е = О, так как нам известно, что существует максимальное значение I, выше которого не может быть связанных состояний. Что происходит с нулем функции [к), когда он, пройдя через точку А = О, попадает из верхней в нижнюю полуплоскость, зависит от того, при каком значении /о момента I совершается этот переход. [c.360]

На -плоскости каждый полюс, соответствующий определенному связанному состоянию, при изменении I движется из своего исходного положения при / = О к началу координат при I - оо. Других полюсов, кроме тех, которые соответствуют связанным состояниям, в этом случае нет. В случае отталкивательного потенциала имеются только виртуальные состояния траектории соответствующих им полюсов идут по мнимой оси и оканчиваются в точке к = 0. [c.399]

Теорема Левинсона. Наметим теперь доказательство теоремы Левинсона. Определитель А ( ), входящий в (15.126), обладает такими же свойствами, что и функция f, в случае нулевого спина, и для него можно провести рассуждения, подобные тем, которые ведут к (12.95). Поскольку полюс функции fj соответствующий связанному состоянию, является однократным, то кратность нуля определителя к) равна кратности вырождения связанного состояния. Поэтому можно утверждать, что число нулей rij определителя А- (к), расположенных в верхней полуплоскости к, просто равно числу связанных состояний при условии, что каждый нуль и каждое связанное состояние считаются столько раз, какова их кратность и степень вырождения соответственно. Единственное осложнение возникает в случае к = 0. Читателя, интересующегося этим вопросом, мы отсылаем к соответствующей литературе [6411. [c.434]

Не следует забывать, что величина рассматриваемая как функция переменной Е, имеет не только разрезы, но и полюсы. Некоторые из них проявляются в виде б-функций в скачке на разрезе и непосредственно входят в первые три члена формулы (9.796). Эти полюсы явным образом зависят от X и х. Но, кроме того, G имеет полюсы, не зависящие от этих переменных,— они соответствуют связанным состояниям трехчастичной системы и возникают при таких значениях Е, когда детерминант Фредгольма обращается в нуль. [c.489]

Предельным случаем близко расположенных резонансов является случай кратных полюсов. В то время как полюсы S-матрицы, соответствующие связанным состояниям, должны быть простыми, не существует никаких общих запретов на появление кратных полюсов в комплексной плоскости, соответствующих резонансам. Первый наблюдаемый эффект, обусловленный появлением кратных полюсов, состоял бы в том, что изменилась бы форма соответ- [c.554]

Соответствующие уравнения при наличии одного связанного состояния в двухчастичном канале были выведены в работах [1, 2]. Для вывода таких уравнений нужно включить в систему промежуточных состояний рассматриваемые связанные состояния и учесть наличие простых полюсов амплитуды рассеяния в точках связанных состояний. [c.284]

Кроме широкополосного двухчастичного экситонного поглощения возможно одночастичное поглощение в области относящееся к образованию связанных состояний двух экситонов. Энергии таких состояний соответствуют полюсам функций Грина (64.33) на вещественной оси Подставив значения (64.35) при ]>1 в (64.33), определим условия, при которых такие связанные состояния появляются. [c.565]

В основном рассматривается полная амплитуда рассеяния, которой не соответствует верхний динамический разрез сейчас вообще не встает вопрос о том, являются ли все полюсы связанными состояниями. [c.93]

Рассматривая далее равенство (9.22) при <0, видим, что а(]/ ) является возрастающей функцией Е. Следовательно, а(0) соответствует высшему угловому моменту семейства, при котором еще может реализоваться связанное состояние с нулевой энергией. Если >0, следует ожидать, что функция а УЮ комплексна, причем вследствие унитарности а УЕ- -is) = a YE — /е). Более того, согласно предыдущему рассмотрению, полюсы 5(A, ) при ReA>0. возможны только тогда, когда k вещественно и находится в верхнем квадранте, а 1га Я>0. Следовательно, [c.141]

Если, с другой стороны, Im -< О, то значения Е должны двигаться через разрез для функции Е — — уН ) , который проходит по области непрерывного спектра . На соответствующем втором листе римановой поверхности полюсы аналитически продолженной резольвенты, или собственные значения а ( ) оператора К, не имеют смысла связанных состояний гамильтониана Но + уН. Вместо этого, как будет подробно показано в гл. 16, 5, такие полюсы на втором листе (если они лежат достаточно близко к действительной оси) приводят к появлению резонансов при рассеянии. Следовательно, физический смысл того, что значение ( ) проходит вблизи единицы, или пересекает окружность единичного радиуса, и при этом имеет малую мнимую часть, состоит в появлении резонансов. Конечно, резонансы будут появляться всякий раз, когда а (0) почти равно единице, а точка а ( ) при возрастании энергии продолжает смещаться вправо. [c.227]

Количество полюсов или нулей, конечно, не уменьшится, если у" заменить на —и. Число связанных состояний для потенциала —и равно числу т тех собственных значений а ядра К радиального уравнения Липпмана — Швингера (с потенциалом — 7), которые при Е О находятся вне единичного круга (гл. 9, 1, п. 1). Это обусловлено тем, что при уменьшении энергии, начиная с Е = О, полюсы должны двигаться влево вдоль действительной оси и при некоторой энергии пройти через точку а = 1. Каждое такое прохождение соответствует одному связанному состоянию. [c.333]

Движение полюсов функции S . Различие в низкоэнергетическом поведении функции fb когда f (0) = О, в двух случаях / = О и / 1 существенным образом сказывается на движении ее нулей при изменении константы взаимодействия у. Когда 1 = 0, нуль функции f , проходя через начало координат, остается простым. Следовательно, новое связанное состояние, перед тем как стать связанным, является виртуальным состоянием. Когда / 1, из (12.153) следует, что если нуль fj оказывается в точке = О, то он должен быть двукратным. Это означает, что при соответствующем значении у два нуля функции f сливаются в один. Слияние двух симметричных комплексных нулей функции f , которое в случае / = О может иметь место в любой точке на отрицательной мнимой полуоси, при />1 происходит точно в начале координат. Если взаимодействие не настолько сильное, чтобы могло образоваться связанное состояние, то на втором листе (при условии, что потенциал позволяет осуществить аналитическое продолжение функции S ) функция Si имеет два комплексных полюса, расположенных очень близко к началу координат и имеющих очень малую мнимую часть. Эти полюсы ответственны за появление низкоэнергетического резонанса, который рассматривался в гл. И, 2, п. 2. [c.352]

Траектории Редже. Кривые, описываемые полюсами Редже на плоскости комплексного углового момента при изменении энергии, называются траекториями Редже. Траектории Редже позволяют нам установить связь между различными связанными состояниями и резонансами при разных значениях I, подобную получаемой из рассмотрения траекторий, по которым движутся полюсы S-матрицы на -плоскости при изменении I. Как будет показано в следующем параграфе, при отрицательных энергиях полюсы Редже в области Re / > — Vo должны лежать на действительной оси I. Когда полюс проходит через точку, соответствующую целому значению I, S обращается в бесконечность и возникает связанное состояние. (Мы считаем, что потенциал ведет себя [c.377]

Никаких сингулярностей в этом случае не появляется. Если же значения Я становятся физическими, б1пл/ = = 0, и мы получаем простой полюс для /( , 0. который при 1т/ >0 (в согласии с гл. 7) может возникнуть только тогда, когда величина к чисто мнима. Ясно, что эти полюсы соответствуют связанным состояниям системы. [c.169]

Физическая интерпретация. Физическая интерпретация полученных результатов основана на том, что функции Грина имеют смысл функций распространения или пропагаторов, а их полюсы соответствуют связанным состояниям или состояниям свободных частиц. Вспомним, к примеру, интерпретацию решения уравнения (6.15а), полученного методом итераций. Например, полный пропагатор для двух частиц в (9.47) или (9.47а) представлен в виде суммы двух членов первый член представляет редуцированный пропагатор. Второй член разумно интерпретировать следующим образом. Сначала происходит распространение частиц, описываемое редуцированным пропагато-ром, после которого следует вертекс Я, соответствующий испусканию двух частиц и образованию квазисвязанного состояния или квазичастицы. Движение последней описывается пропагатором 1/А. Ее последующий распад описывается вертексом Я Ф, а распространение испускаемой пары частиц — функцией Грина На основании указанной физической интерпретации рассматриваемый метод называют также методом квазичастиц. [c.240]

Кроме того, из (12.33) и (12.336) вытекает также, что функция 5 регулярна всюду на физическом листе, за исключением простых полюсов, соответствующих связанным состояниям. Поэтому для функции (5 — 1) SiftR имеет место дисперсионное соотношение [c.331]

Полное число полюсов, соответствующих как виртуальным, так и связанным состояниям, расположенных справа от любого полюса, соответствующего связанному состоянию, есть четное числа, а справа от полюса, соответствующего виртуальному состоянию, —нечетное. Поэтому каждая из величин гез и / Яп положительна [положительность первой величины находится в согла- [c.340]

Важность существования корреляции между различными амплитудами рассеяния парциальных волн можно оценить, обращаясь к дисперсионным соотношениям для полной амплитуды рассеяния. Допустим, что потенциал экспоненциально убывает на бесконечности. В гл. 10, 3, п. 2 мы видели, что в этом случае амплитуда рассеяния вперед является аналитической функцией от Е, регулярной на физическом листе всюду, за исключением простых полюсов, соответствующих связанным состояниям. Следовательно, она должна удовлетворять некоторому дисперсионному соотношению. Но эта же самая амплитуда является суммой амплитуд парциальных волн, каждая из которых может иметь и в общем случае имеет, бесконечное множество сингулярностей на физическом листе. Поэтому должна иметь место очень сильная корреляция между положениями точек сингулярностей различных элементов S-матрицы и значениями вычетов в них, чтобы в амплитуде рассеяния вперед эти сингулярности взаимно скомпенсировались. Более того, поскольку дисперсионное соотношение существует также и в случае, когда передаваемый импульс не равен нулю, то сингулярности должны также компенсировать друг друга и в амплитудах рассеяния по любому направлению (вплоть до некоторого конечного значения передаваемого импульса). Это, очевидно, означает, что сингулярности должны сильно зависеть друг от друга. [c.355]

В результате получаем, что вычет функции S в полюсе, соответствующем связанному состоянию (если только функцию можно аналитически продолжить в окрестность этого полюса), факторизуется в том смысле, что [c.434]

Аналитичность. Из спектральной теории операторов известно, что = Е — Я) 1 является аналитической операторной функцией Е, регулярной всюду в плоскости с правым разрезом, за исключением точек, соответствующих связанным состояниям. Спрашивается, почему же тогда S не регулярна с необходимостью там, где регулярна I/ Это различное поведение и 5 на физическом листе обусловливается тем, что матричные элементы 5 вычисляются для зависящих от энергии волновых функций, которые при комплексных значениях энергии не дгогут быть нормируемыми. Именно это обстоятельство ответственно за возможное отсутствие регулярности функции S там, где функция. V i регулярна, а равно и за возможное появление кратных полюсов у S в точках, в которых функция должна иметь только простые полюсы. Более того, поскольку соответствующий матричный элемент от вычета функции У может обращаться в нуль, то функция S к) необязательно должна иметь полюсы в точках полюсов для Поэтому исследование д как операторной функции Е намного проще исследования S-матрицы. В случае можно привлечь общий и хорошо разработанный операторный формализм S-матрицу же удобнее исследовать методами, которые используются в настоящей главе. [c.328]

Если потенциал аналитический (с индексом а = /гя), т. е. является, например, суперпозицией потенциалов Юкавы (12.22а), то 5 можно аналитически продолжить на весь первый и второй лист римановой поверхности, за исключением линий разрезов Юкавы на обоих листах, которые идут вдоль действительной оси от точки Е -= — аУ >[1 до —сх>. Эта линия разреза на физическом листе обычно называется левым разрезом. Помимо этого, 5, конечно, может иметь (и обычно имеет) полюсы на втором листе. В полюсах на физическом листе, соответствующих связанным состояниям, функция 5 обязательно имеет отрицательные мнимые вычеты, если таковые расположены до начала левого разреза, т. е. если ев < В противном случае из (12.32а) нельзя [c.330]

Как мы только что видели, полюсы S-матрицы играют особую роль. Если на потенциал наложить достаточно сильные требования, чтобы все полюсы функции 5 на физическом листе определялись только нулями функции f, то эти полюсы обозначают связанные состояния. Полюсы на втором листе функции 5, если они расположены достаточно близко к положительной действительной полуоси, могут интерпретироваться как наблюдаемые резонансы. Оставшиеся полюсы функции 5 на втором листе, если они находятся на отрицательной действительной полуоси, иногда называют виртуальными, или же антисвязанными, состояниями. Согласно (12.74), каждому полюсу 5 на втором листе соответствует свой нуль функции S на первом листе. Поэтому, вообще говоря, лшжно ограничиться изучением функции S, заданной только на физическом листе, обращая при этом, конечно, внимание и на ее полюсы, и на нули. Допуская, что константа взаимодействия у может принимать комплексные значения, видим, что нули функции f являются характеристическими значениями ядра радиального уравнения Липпмана — Швингера и, следовательно, они определяют свойства сходимости борновского ряда для S. [c.332]

Далее, как было показано в гл. 12, из свойства (20.26) вытекает, что существует S-матрица, аналитическая всюду в полосе шириной /С, расположенной выше действительной оси k, за исключением полюсов на мнимой оси, соответствующих связанным состояниям. Поэтому необходимым условием существования единственного в смысле выполнения асимптотики (20.26) потенциала является требование того, чтобы S-матрица была аналитической всюду в полосе, расположенной выше действительной оси и охватывающей все связанные состояния, за исключением точек, соответствующих последним. Таким образом, все связанные состояния соответствуют полюсам S-матрицы и лишних полюсов нет. Достаточные критерии существования такого единственного потенциала в настоящее время не известны ). [c.566]

Простейшее предположение относительно особенностей fl (г) состоит в том, что крайней правой особенностью / (г) является простой полюс. Этот полюс соответствует в аннигиляционном канале связанному состоянию со всеми квантовыми числами (кроме I) такими же, как у вакуума (спин J = О, изосиин Т = О, четность Р = -f 1), и иногда наз. вакуумным полюсом, пли полюсом Померанчука. Можно показать, что траектория этого полюса 1д (г) обладает свойствами 2) и 3) траекторий полюсов Редже в нерелятивистской кваптовой механике. Если учитывать при больших энергиях, т. е. при больших. s (или z), только вклад одного этого полюса, то асимптотич. поведение (s,i) будет иметь вид [c.391]

Гайдидей и Локтев 451] показали, что в области значений 1 1>2, полюсы функций Грина (64.36), соответствующие образованию связанных состояний пар экситонов, определяются уравнениями [c.566]

Как следует из предыдущего рассмотрения, связанные состояния и резонансы группируются в семейства, характеризующиеся одной 1 той же функцией Е). Всякий раз, когда а УЕ) является целым числом /, в /-Й парциальной волне амплитуды рассеяния возникает полюс, который интерпретируется как связанное состояние или как резонанс в зависимости от соответствующего ему значения Е. Так как определяется из равенства [c.140]

Условие зануления соответствующих функций непосредственно определяется их аналитическими свойствами (располол ением нулей в весовом пространстве). Именно в этом пункте наиболее наглядно прослел ивается упомянутая в п. 2, II. 1 аналогия асимптотического метода в теории представлений некомпактных групп и потенциальной теорией рассеяния, в которой роль В играют функции Иоста. При этом исследование аналитических свойств (полюсов и нулей) в комплексном пространстве р выделяющее вполне неприводимые и унитарные представления, подобно изучению связанных состояний, резонансов и т. д. на основе аналитических свойств функций Иоста X, р) в комплексной р-плоскости и их физической интерпретации (см., например, [3]). [c.97]

При возрастании I полюс может вести к появлению других связанных состояний с более высокими значениями I, но в конце концов полюс, конечно, должен пересечь порог. Если только полюс не пересекает порог точно при / О, то после прохождения порога он превращается в пару симметрично расположенных комплексных полюсов на втором листе -поверхности. При этом второй член пары приходит с другого листа через кинематический левый разрез, который имеется только при нецелых /. Мы следим только за нижним полюсом, который находится вблизи верхнего берега правого разреза. Если пороговое значение I больше, чем V2, то траектория этого полюса касается разреза. Если при следующем целом значении I полюс все еще находится близко от действительной оси Е, то должен наблюдаться резонанс с соответствующим угловым моментом. Можно сказать, что этот резонанс обусловлен той же самой причиной, что и связанное состояние и т. д. В конечном счете полюс поворачивает влево и исчезает, прижимаясь все больше и больше к отрицательной действительной полуоси Е на второл листе. Каждый полюс функции Si должен двигаться по такого рода траектории. Но, конечно, при / = О не все полюсы начинают свое движение на первом листе и даже не из области вблизи правого разреза. [c.361]

С этой точки зрения коэффициенты отражения (трансформации) акустоэлектрических волн можно отождествить с амплитудой рассеяния в квантовой механике. Наличие отраженных волн разной поляризации объясняется просто тем обстоятельством, что уравнения пьезо акустики описывают связанные колебания. Как известно, амплитуда рассеяния имеет простые полюсы при энергиях, соответствующих связанным колебаниям, т. е. состояниям дискретного спектра. Аналогично этому коэффициенты отражения и трансформации волн в пьезоакустике имеют простые полюсы при таком соотношении аир, которое соответствует распространению поверхностных волн. Этот факт уже отмечался Брехов-ских [81] при исследовании волн Рэлея. Рассмотрим вопрос подробнее. [c.127]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...